AI Parte B

Vista previa del material en texto

AERODINÁMICA I B-1
EJERCICIO B01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la velocidad en el punto x=0, 
z=aπ/2 que produce un torbellino de 
intensidad Γ situado en x = aln2, z = aπ/2 
situado en el interior de un semicanal de 
anchura aπ tal como se indica en la figura. 
 
Solución 
Se sabe que la transformación τ = aet/a, 
transforma un canal de altura aπ en el plano 
t (esquema 1) en un semiplano en el plano 
τ. El problema en el plano transformado es el indicado en el esquema 2: un torbellino en presencia 
de un suelo plano con un obstáculo semicircular, y se desea conocer la velocidad en el transformado 
del punto A’, que es (0,ia). El problema del esquema 2 es equivalente al representado en el esquema 
3, dos torbellinos en presencia de un cilindro circular de radio a. Aplicando en teorema del círculo 
el potencial complejo es el correspondiente al representado en el esquema 4. La velocidad debida a 
estas singularidades en el punto A es 1 2 2 1 4
2 3 3 3
U
a a a a aτ π π
Γ Γ⎛ ⎞= − − + − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y por tanto, la 
velocidad en el punto A’ es 
A A A
d d d d 4i i
d d d d 3
f fU W U
t t t aτ
τ τ
τ π′ ′ ′
Γ
= − = = = − , es decir 4
3
W
aπ
Γ
= 
 
 
 
 
 
aln2 
Γ 
z 
x 
aπ/2 
aπ/2 
A’ 
Esquema 1 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
a 
Esquema 2 
A 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
a 2a 
−Γ 
A 
Esquema 3 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
2a 
−Γ 
a/2 
a/2 
A 
Esquema 4 
aln2 
Γ 
z 
x 
aπ/2 
aπ/2 
AERODINÁMICA I B-2
EJERCICIO B02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración bidimensional representada en la figura formada por un suelo plano 
sobre el que se levanta una colina cuya forma es un arco de circunferencia. Se desea conocer el 
valor de la velocidad sobre la colina en función de la altura de la misma. Para determinar el valor de 
dicha velocidad, transforme el problema propuesto en otro de solución conocida aplicando 
consistentemente una transformación bilineal y las transformaciones auxiliares que sean necesarias. 
Calcule el potencial complejo del problema transformado y el potencial complejo en el plano del 
problema inicial. Calcule la velocidad conjugada en el problema inicial y esquematice la función 
U(0,h)/U∞, donde h = 2H/L. Para expresar los resultados utilice los siguientes parámetros: 
πβ
π γ
=
−
, 1 2
2tan
1
h
h
γ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Nota: para adimensionalizar 
utilice como longitud carac-
terística la distancia L/2. 
 
Solución 
Sean x = 2X/L, z = 2Z/L, 
t = x+iz; la transformación bilineal τ = (t−1)/(t+1) transforma el problema propuesto en un doblete 
de intensidad 2U∞ situado en (1,0) en presencia de un contorno como el indicado (plano τ), y la 
transformación τ’ = τβ, transforma este segundo problema en un doblete de intensidad 2βU∞ situado 
en el punto (1,0) del plano τ’. Así pues: 
( ) 2
1
Uf βτ
τ
∞′ =
′−
, ( ) 2
1
Uf β
βτ
τ
∞=
−
, ( ) 2
11
1
Uf t
t
t
β
β ∞=
−⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠
. 
Por tanto ( ) ( )
( ) ( )
12
2
2
1
i 4
1 1
t
f t u w U
t t
β
β β
β
−
∞
−
= − =
⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦
, que en t = 0+ih vale 
2
21
Uw
h
β ∞=
+
. 
 
 
 
 
 
Para esquematizar la variación de U(0,h)/U∞ = w(0,h)/U∞ con la altura adimensional h basta con 
tener en cuenta que cuando h = 0 no existe colina, con lo que será U(0,h)/U∞ = 1, y que cuando 
h = 1 la colina es una semicircunferencia, en cuyo caso es bien conocido que U(0,h)/U∞ = 2 
(recuérdese que, en un flujo potencial, el mínimo del coeficiente de presión sobre un cilindro 
circular vale –3). 
 
EJERCICIO B03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una familia de perfiles de forma 
elíptica, tal como se indica en la figura. 
Determine, en función del parámetro k, 
(0 ≤ k ≤ 1/2) el valor de la velocidad máxima 
sobre el perfil. 
 
Solución 
La transformación de Yukovski, τ = t + a2/t, 
transforma una circunferencia del plano t, de radio ma, con m ≥ 1 en una elipse en el plano τ. 
2U∞ γ 
Plano τ 
2βU∞ 
Plano τ’ 
X 
H 
Z 
−L/2 L/2 
U∞ γ 
c 
kc 
x 
z 
U∞ 
AERODINÁMICA I B-3
Analizando los puntos de corte con los ejes se tiene, para el eje horizontal: 1 1
2
cm
m a
+ = , y 
1 cm k
m a
− = , para el vertical. De estas dos expresiones se obtienen los valores de m y c/a, que 
resultan ser 
2
4
1 4
c
a k
=
−
, 
2
1 2
1 4
km
k
+
=
−
. La velocidad máxima en el plano t (la solución de una 
corriente incidente con un doblete) es bien conocida y vale Umax = 2U∞. En el plano de la elipse es 
( )
2
max 2
i i
d 12 2 2 1 2
d d d 1kc t ma
t mU U U U k U
t mττ τ
∞ ∞ ∞ ∞
= =
= = = = +
+
. Nótese que cuando k = 0 (placa 
plana) la velocidad vale U∞, y que en el caso k = 1/2 (cilindro circular) la velocidad máxima vale 
2U∞, como era de esperar. 
 
EJERCICIO B04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura se ha representado una 
configuración bidimensional formada por un 
cilindro de sección elíptica (de semiejes de 
longitud 5a/2 y 3a/2) y un manantial potencial 
de intensidad Q situado en el punto (0,15/4), 
del que emana fluido de densidad ρ. Calcule la 
fuerza, F, ejercida por el manantial sobre el 
cilindro de sección elíptica. 
 
Solución 
La fuerza sobre el cilindro elíptico es igual y 
contraria a la fuerza sobre el manantial, y la 
fuerza sobre éste, en módulo, es ρWQ, donde 
W es la velocidad (vertical) inducida en el ojo 
del manantial por todas las singularidades del problema excepto por ella misma. 
Para calcular esta velocidad, mediante la transformación de Yukovski τ = t+a2/t, se transforma el 
problema propuesto (plano τ) en un manantial en presencia de un cilindro circular centrado en el 
origen, de radio ka con k>1 (plano t). Transformando cualquiera de los puntos de corte de la 
circunferencia con los ejes se obtiene el valor de k; por ejemplo, en t = ika es τ = ia(k−1/k) = 3ia/2, 
de donde resulta k = 2. Como el homólogo de τ = 15ia/4 es t = 4ia, el problema a resolver en el 
plano t es un manantial de gasto Q, situado en (0,4ia), en presencia de un cilindro circular en el 
origen de radio 2a, cuyo potencial complejo es 
 ( ) ( ) ( ) ( )ln 4 ln ln
2
Qf t t ia t ia t
π
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ . 
Así pues, la velocidad en el plano τ debida a todas las singularidades del problema, en el entorno 
del ojo del manantial, es 
 
2
2 215
44 4
( ) ( ) 1 1 1 1' '
2 4ia t iat ia
dF df t Q tU iW dd dt t ia t ia t t adtτ
τ
ττ π→ →→
⎛ ⎞= − = = + −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
, 
y excluyendo la propia singularidad 
 
2
2 2 15
4
4
1 1 1 1
2 4 15 4 ia
t ia
Q tU iW
t ia t ia t iat a τπ τ →→
⎡ ⎤
⎛ ⎞⎢ ⎥− = + − −⎜ ⎟⎢ ⎥− − −−⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
(0,−3/2) 
(0,3/2) 
(5/2,0) (−5/2,0) 
z/a 
x/a 
Q (0,15/4) 
AERODINÁMICA I B-4
o bien, en la variable t: 
2
2 2 2
4i
1 1 1i
2 4i i 15i
4 t a
Q t tU W
t a t a t t a a at
t
π
→
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎛ ⎞− = + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2 2
2 2 2 2
4i
4i
1 1 1
i2 4i 2 i
4
t a
t a
Q t t Q t
at a t a tt a t atπ π →
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− −⎝ ⎠⎜ ⎟+
⎝ ⎠
. 
El primer sumando proporciona una indeterminación del tipo 0/0, mientras que el límite del 
segundo sumando vale −2Qi/(51πa). Resolviendo la citada indeterminación se obtiene que el límite 
del primer sumando es −2Qi/(172πa), de modo que 
3
2
5 2 40
8673 17
Qi QiU iW
a aπ π
⋅
− = − = −
⋅
, es decir 
40
867
QW
aπ
= , y, por tanto, el módulo de la fuerza vale: 
240
867
QF
a
ρ
π
= . 
 
EJERCICIO B05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Determine el valor del coeficiente de sustentación producido por una línea de curvatura (un arco 
de circunferencia de cuerda c = 1 m y flecha máxima f = c/20), que vuela con ángulo de ataque nulo 
a través del aire en calma con velocidad U∞ = 30 m/s. 
 
Solución 
La transformación de Yukovski τ = t+a2/t transforma una 
circunferencia de centro t0 = iδa y radio R = a(1+δ2)1/2 situada 
en el plano t en un arco de circunferencia de flecha 2δa en el 
plano τ, de modo que será δ = f/(2a) = c/(2ak). El potencial 
complejo en el plano t es: 
( )
2
0 0
0
( ) ln
2
R if t U t t t t
t t
Γ
π∞
⎛ ⎞
= − ++ −⎜ ⎟
−⎝ ⎠
 
y expresando que el homólogo del borde de salida del perfil ha 
de ser punto de remanso se obtiene Γ = 4πU∞aδ = 2πU∞c/k, de 
modo que la sustentación del perfil vale l = ρΓU∞ y el coeficiente de sustentación cl = 4π/k. 
 
EJERCICIO B06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La transformación de Yukovski τ = t+a2/t convierte la 
circunferencia centrada en el origen de radio R = ka, con k = 3/2 
en una cierta elipse en el plano τ. Supuesto que la elipse está 
sometida a una corriente incidente uniforme de velocidad 
U∞ = 26 m·s−1, paralela al eje ξ, calcule la velocidad en el punto 
A sobre la elipse (intersección de la elipse con el eje η). 
 
Solución 
Sobre la circunferencia de radio R la velocidad en el homólogo del punto A (t = iR = ika) vale 2U∞, 
y sobre la elipse es 2 2
1 1( ) ( ) ( )
d d 1
V V t V t
t a t
τ
τ
= =
−
, que en t = ika queda 
2
2
2( )
1
kV U
k
τ ∞= +
. 
 
 
f 
R 
θ0 f/2 
U∞ 
ξ 
η 
A 
plano τ 
AERODINÁMICA I B-5
EJERCICIO B07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Dado el dominio fluido representado en la figura y dada 
la transformación conforme: ( )2ln 1a t tτ π= + − ,calcule 
los puntos singulares de la transformación y transforme el 
dominio fluido del plano t biunívocamente en otro dominio 
fluido en el plano τ. 
 
Solución 
2
2 2
11
1d 1
d π π1 1
ta a
t t t t
τ
+
−= =
+ − −
; 
puntos singulares: t = ±1; t → ∞ 
A: 1 ln(1) 0π
at τ= → = = 
D: i i1 ln( ) iπ
at e e aπ πτ= − = → = = 
AB: } 2ln( 1) (0, )(1, ) πt x a x xx τ τ= ∈ = + − ∈ ∈ ∞∈ ∞ 
BC: 
i
i 2 i2 i i 2
2
e 1ln( e e 1) ln (e eπ π(0,π)
(ln 2 i ) ( i )π πR R
t R a aR R R R
R
a aR
θ
θ θ θ θτ
θ
θ θ
→∞ →∞
⎫= ⎡ ⎤⎪→ ∞ = + − = + −⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦∈ ⎪⎭
→ + → ∞ +
 
CD: 
iπ iπ 2 i2π 2e ln( e e 1) ln( 1) iπ i (0, )π π(1, )
a at r r r r r ar τ α α
⎫= ⎡ ⎤= + − = + − + = + ∈ ∞⎬ ⎢ ⎥∈ ∞ ⎣ ⎦⎭
 
DA: 2 i
cos
(0,π)
az ln( 1 ) ln(e ) i i (0, )π π πz ( 1,1) z
t z a az i z aθ
θ
θ
τ θ ξ ξ
=
∈
= ⎫⎪∈ = + − = = = ∈⎬
∈ − ⎪⎭
 
 
EJERCICIO B08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Dada la siguiente configuración fluida, formada por una 
placa plana de cuerda 4a con un manantial en el borde 
derecho de la placa, que inyecta Q m2/s en el campo 
fluido, considere el problema que se obtiene al aplicar la 
transformación de Youkovsky que transforma la placa plana 
en un círculo. ¿Qué gasto inyecta el manantial del plano 
transformado en el dominio fluido transformado? Razone la 
respuesta. 
 
Solución 
( ) ( , ) i ( , )f t x z x zϕ ψ= + ; ( ) ( , ) i ( , )F τ ξ η ξ η= Φ + Ψ 
 
2
( , )
 m /s = 
( , )
A A A
A B
B B B
x z
Q -
x z
Ψ = Ψ ⎫⎪ Ψ Ψ⎬
Ψ = Ψ ⎪⎭
 
 
plano t 
−1 +1 
C D A B 
C´ D´ 
A´ B´ 
plano τ 
2a 
plano t 
−2a 
A 
B 
plano τ 
A´ 
B´ 
AERODINÁMICA I B-6
' ' 2
' ' ' '
' '
( , )
m /s 
( , )
A A A
A B A B A B AB
B B B
- Q - Q Q
ξ η
ξ η
Ψ = Ψ ⎫⎪ Ψ Ψ = = Ψ Ψ = =⎬
Ψ = Ψ ⎪⎭
 
 
EJERCICIO B09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 El potencial complejo del flujo alrededor de un cilindro de radio R sometido a una corriente que 
se acelera desde una velocidad U0 con aceleración a es ( ) ( ) 20 /f t U a t R tτ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ , donde τ 
representa el tiempo transcurrido. Supuesto el fluido incompresible, de densidad ρ, calcule la 
diferencia de presiones entre el punto x = −R, z = 0 y el punto x = 0, z = R. 
 
Solución 
2 2
( ) ( ) ( )o oR Rf t U a t U a x izt x izτ τ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
2 2
( )( )o
R x izU a x iz i
x z
τ
⎡ ⎤−+ + + = Φ + Ψ⎢ ⎥
+⎣ ⎦
 
2 2
2 2 2 2( ) 1 ( ) 1o o
R RU a x U a z
x z x z
τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = + + Ψ = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
2
2 21
Rax
x zτ
⎡ ⎤∂Φ = +⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
, 
2
2
d ( ) 1d o
f RU at t
τ ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
A: d 0 2d
fv aRt τ
∂Φ= = = −∂ 
B: d 2( ) 0d o
fv U at τ τ
∂Φ= = + =∂ 
21
2 U p cteρ ρτ
∂Φ + + =∂ , 
212 4( )2A o BaR p U a pρ ρ τ− + = + + , 
22 2 ( )A B op p aR U aρ ρ τ− = + + 
 
EJERCICIO B10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Con la ayuda de la transformación conforme 
t/a = eτ/a, con τ = ξ + iη, calcule la velocidad en 
el punto A, τA = 2a, producida por un manantial 
de gasto Q situado en el interior de un canal de 
anchura aπ, en el punto τ = iaπ/2, como se 
muestra en la figura. 
 
Solución 
( ) ( ) ( )ln i ln i ln
2π 2π 2π
Q Q Qf t t a t a t= − + + − , 
( )
2 2
2 2
d 1 1 1
d 2π i i 2π
f Q Q t a
t t a t a t t t a
−⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
, 
( )
4 42
42 4
d d e 1 e 1(2 ) ed d 2π 2π e 1e e 1
f Q QtV a t aaτ
− −= = =
++
, 
 
 
 
 
 
 
 
A(−R,0) 
B(0,R) 
ξ 
η 
Q 
πa/2 
2a 
πa/2 
A 
Q 
Q 
−Q 
a 
a 
ae2
ξ 
η 
AERODINÁMICA I B-7
EJERCICIO B11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el flujo bidimensional de un fluido ideal 
producido por una corriente incidente de velocidad 
uniforme U∞ alrededor de una elipse, como se muestra 
en la figura. Utilizando la transformación de 
Yukovsky, determine la velocidad en el punto A. 
 
Solución 
Sea τ el plano de la elipse y t el plano del círculo (de radio R); se sabe que la velocidad en el 
homólogo de A es 2U∞. 
El ejercicio se resuelve aplicando la transformación es 2 /t a tτ = + , y para determinar las incognitas 
de la transformación, R y a, se plantea la equivalencia de puntos homólogos, por ejemplo; 
 
2
2
/ / 2
i /(i ) i / 2
R a R c
R a R b
⎫+ =
⎬
+ = ⎭
, 
cuya solución es R = (c + b)/4, y a2 = (c2 – b2)/16, por tanto, como d ( ) d ( ) d
d d d
F f t t
t
τ
τ τ
= , se tiene 
 A 2
2
2 2 1
11
U U bV Uc ba c
c bR
∞ ∞
∞
⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟− ⎝ ⎠++
+
 
 
U∞ 
c 
b 
A