AI Parte C

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AERODINÁMICA I C-1
EJERCICIO C01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura se muestra un torbellino tridimensional de intensidad Γ que discurre según los ejes x 
e y del triedro de referencia. Calcule la velocidad vertical inducida por cada uno de los tramos del 
torbellino, AO y OB, a lo largo de la recta CD situada a una distancia a del eje x, en el plano z = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
( ) ( )1 2 3 4cos cos cos cos4 4V a xθ θ θ θπ π
Γ Γ
= − + −
2 2 2 2
1 1
4 4
x a
a xx a x aπ π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ
= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
( )2 24 x a x aaxπ
Γ
= + + + 
 
EJERCICIO C02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Considere una herradura de torbellinos como la representada en la figura. Calcule el punto o 
puntos del eje x en los que la velocidad inducida por la herradura de torbellinos es nula. 
 
Solución 
Este ejercicio es análogo al ejercicio resuelto en la página 164. Sea ξ = x/b y sea w = 4πW/Γ, donde 
W es la velocidad inducida por el hilo de torbellinos. 
 
En la parte negativa del eje ξ las tres ramas, AB, BC y CD inducen velocidades con el mismo 
sentido, por lo que es imposible que en esta parte del eje exista un punto de velocidad nula. 
 
En la parte positiva del eje la velocidad inducida por las ramas AB y CD se opone a la velocidad 
inducida por la rama BC. 
 
Así pues, en un punto (ξ,0), los módulos de las 
velocidades valen 
wAB = wCD =1 − cosθ1 =
2
1
1
ξ
ξ
−
+
, 
wBC = 2cosθ2 =
2
2
1ξ ξ+
 
y como para todo valor de ξ > 0 es 
wBC > (wAB + wCD), la velocidad vertical en el eje sólo se anula cuando ξ → +∞. 
 
θ1 θ2 
θ3 
θ4 
a 
(x,a) 
y 
z 
C B 
a 
D 
O 
A x 
ξ 
η 
1 
1 Γ 
1 
1 A 
C 
B 
D 
θ2 
θ1 
AERODINÁMICA I C-2
 
EJERCICIO C03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura se ha representado un torbellino plano, de intensidad Γ = 2π 
m2/s, con forma de triángulo equilátero de lado L = 1 m. Calcule el módulo de 
la velocidad inducida por el torbellino en el circuncentro del triángulo. 
 
Solución 
Obviamente la velocidad inducida por el torbellino será el 
triple de la velocidad debida a cada uno de los segmentos 
que forman el triángulo equilátero. Tras unas sencillas 
operaciones de geometría elemental se encuentra que el 
circuncentro está a una distancia 3 / 6d L= del lado 
considerado, de modo que será 
1
5 3cos cos
4 6 6 2
V
d L
π π
π π
Γ Γ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y la velocidad total 1
93
2
V V
Lπ
Γ
= = . Tomando Γ = 2π se tiene 
finalmente V = 9/L. 
 
EJERCICIO C04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración de torbellinos 
representada en la figura (Γ = 2π m2·s−1, k = 3, 
h = 1 m). Calcule el módulo de la velocidad 
generada por esta herradura en el punto del eje x 
(∞,0,0). 
 
Solución 
Sean Γ y kΓ (con k >1) las intensidades de los 
torbellinos de la cabeza. Las intensidades de los 
torbellinos de las colas habrán de 
ser Γ la de la cola situada en 
y = −h, (k−1)Γ la intensidad del 
hilo situado en y = h, y kΓ la 
intensidad del hilo situado en 
y = 3h. 
 
El problema a resolver para calcular la velocidad en el punto solicitado es pues un problema 
bidimensional, con tres torbellinos, como se indica en el esquema. La velocidad en (∞,0,0) es por 
tanto ( )2 6 ΓΓ 1 1
2 3 6
kk kw
h h h hπ π
−−⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
EJERCICIO C05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un hilo de torbellinos de intensidad 
Γ m2·s−1, como el representado en la figura, formado 
por dos torbellinos rectos contenidos en el plano z = 0 
unidos por una semicircunferencia de radio a m, 
también contenida en el plano z = 0. Calcule el vector 
velocidad en el punto del eje z situado a una distancia a 
del origen (0, 0, a). 
 
 
Γ 
π/6 
5π/6 
L 
d 
y 
z 
−h h 3h 
Γ (k−1)Γ kΓ 
x Γ 
y 
kΓ 
h 
h 
2h 
Γ x 
y 
a 
AERODINÁMICA I C-3
Solución 
La contribución a la velocidad vertical del tramo curvo, teniendo en cuenta que 3
d
4
ox rV
rπ
×Γ
= ∫ 
es, en módulo, , 3
0
2 2· d 2
8 162 2v c
a aV
aa
π
θ
π
Γ Γ
= =∫ , 
mientras que la debida a los hilos rectos es la 
mitad de la producida por dos hilos de torbellinos 
bidimensionales ,
1 1 22
2 2 2 42v r
V
aaπ π
Γ Γ
= = . 
Por tanto la velocidad vertical total es 
,
2 1
4 4v r
V
a π
⎛ ⎞Γ
= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. La horizontal es debida 
únicamente al tramo curvo, y se obtiene proyectando en la dirección del eje x: 
, 3
0
2 2· sin d 2
8 82 2h c
a aV
aa
π
θ θ
π π
Γ Γ
= =∫ . 
 
EJERCICIO C06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el flujo tridimensional axilsimétrico creado por una corriente incidente U∞ y una 
distribución de manantiales, situados en el eje, en –l/2 < x < l/2 de valor q(x) = −q0x/l. Calcule el 
valor de la velocidad en el eje r = 0 para x < −l/2 y x > l/2. 
/ 2
/ 2
d
4
l
o o o
ol
q x xU x
l x xπ∞
−
−
Φ = +
−∫ 
Si 
2
lx < − , 0ox x− < , y 
/ 2
/ 2
d ln ln
4 4 2 2
l
o o o o
ol
q x x q l lU x U x l x x x x
l x x lπ π∞ ∞
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ = + = + + − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 
ln ln
4 2 2
2 2
oq l l x xu U x x l lx l x xπ
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥∂Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− − −
⎣ ⎦
 
Si 
2
lx > , 0ox x− > , y 
/ 2
/ 2
d ln ln
4 4 2 2
l
o o o o
ol
q x x q l lU x U x l x x x x
l x x lπ π∞ ∞
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ = − = + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 
ln ln
4 2 2
2 2
oq l l x xu U x x l lx l x xπ
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥∂Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− +
⎣ ⎦
 
 
 
EJERCICIO C07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la velocidad generada por dos hilos de torbellino de intensidad Γ, en forma de anillo 
cuadrado de lado a, en el punto medio entre ambos (x = y = z = 0). Los anillos son paralelos entre sí 
y están separados una distancia 2l, uno en el plano x = l y otro en el plano x = −l, como se 
representa en la figura. 
 
a 
a 
dxo π/4 
Vh 
Vv r 
AERODINÁMICA I C-4
Solución 
La velocidad inducida por un segmento es 
1 1 2 1
/ 2(cos cos ) 2cos
4π 4π 2π 4π
a aV
h h h d hd
θ θ θΓ Γ Γ Γ= − = = = 
con 2 2 2( / 2)d h a= + y 2 2 2( / 2)h l a= + . 
La resultante tiene sólo componente según el eje x 
(negativa) y vale 
2
1 2
/ 28 cos 8
4π 4T
a a aU V
hd h h d
ϕ
π
Γ Γ
= = = . 
 
 
EJERCICIO C08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el movimiento axilsimétrico de un líquido definido por la función de corriente de 
Stokes: ψ = Arnx, n > 0. Calcule el potencial de velocidades para aquel o aquellos valores de n para 
los que exista el potencial. 
 
Solución 
2
2 21 ( )
2 2 2 2
n nn n xu r x r f r
r r x
ψ ϕ ϕ
π π π
− −∂ ∂= = = → = +
∂ ∂
, 11 1
2 2
nw r
r x r
ψ ϕ
π π
−∂ ∂= − = − =
∂ ∂
 
3 1( 2) 12 ( )
4 2
n nn n r x f r r
r
ϕ
π π
− −∂ −= + ≡ −
∂
, así pues, para que sean iguales: n = 2, y 
2
( )
4
rf r
π
= − , de 
modo que 2 21 (2 )
4
x rϕ
π
= − 
 
EJERCICIO C09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Considere el movimiento axilsimétrico de un líquido definido por la función de corriente de Stokes 
ψ = Arbx , b > 0. Supuesto determinado el potencial de velocidades, suponga ahora que se añade a la 
configuración anterior una velocidad azimutal Vθ(r) con Vθ(1) = U. Determine Vθ(r) para que el 
movimiento resultante siga siendo potencial. 
 
Solución 
 1V V Vθ= + , 0V Vθ∇ ∧ = ∇ ∧ = . Como ( )V rθ es el campo de velocidades de un movimiento plano 
(no depende de x), entonces ( ) 1/V r rθ = . 
 
EJERCICIO C10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Determine la velocidad en el punto (0,0) debida a dos 
anillos de torbellinos de radio a y de intensidad Γ, 
paralelos y coaxiales, separados una distancia d, como 
se indica en la figura. 
 
Solución 
La velocidad generada en el eje x por uno de los anillos 
de torbellinos a una distancia d/2 es 
2 2
2 3 3/ 22
0
2
d 1cos
4 2 2
1
4
a aV
aR R d
a
π
θ ϕ
π
Γ Γ Γ
= = =
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 
x 
r 
a a 
Γ Γ
d/2 d/2 
xy 
z 
Γ Γ 
2l a 
AERODINÁMICA I C-5
donde cosϕ = a/R y R2 = a2 + d2/4. La velocidad generada 
por los dos anillos es 
3/ 22
2
2
1
4
TV V
da
a
Γ
= =
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Por lo tanto, para los dos casos del examen 
( 2 3 )
8T
V d a i
a
Γ
= = − ; ( 4 2 )
27T
V d a i
a
Γ
= = − 
 
 
EJERCICIO C11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Considere un hilo de torbellino de intensidad Γ = 6 m2/s, coincidente con las partes positivas de los 
ejes, como se indica en la figura. Calcule y represente esquemáticamente en función del ángulo θ 
(0 < θ < π/2) la velocidad inducida por dicho hilo en un punto de la circunferencia de radio a = 2 m, 
centrada en el origen y contenida en el plano definido por el hilo de torbellino. 
 
Solución 
 1 cos( π/2) cos ( 1)
4π cos sin
V
a
θ θ
θ θ
Γ − + − −⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
1 sin 1 cos
4π cos sin
V
a
θ θ
θ θ
Γ + +⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
El valor mínimo se alcanza en θ = π/4, y vale 
( )
min
1 2
2π
V
a
Γ +
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO C12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Determine la velocidad generada en el punto medio O entre dos anillos de torbellinos de 
intensidad Γ, paralelos y simétricos respecto al punto O, en forma de éxagono regular de lado a, y 
separados una distancia 3 a, como muestra en la figura. 
 
Solución 
coslados anillos segmentoV n n V γ= × × × 
6, 2lados anillosn n= = , 
2cos
2
b
h
γ = = 
a 
θ 
Γ 
x 
z 
⏐Vmin⏐ 
3⏐Vmin⏐ 
5⏐Vmin⏐ 
0 π/6 π/3 π/2 
θ 
r a
V 
d/2 
x
ϕ 
ϕ 
a 
z 
a 
3 a/2 3 a/2 
x 
y 
O 
AERODINÁMICA I C-6
( )1 2 1cos cos cos4 2seg mentoV h hθ θ θπ π
Γ Γ
= − = 
2 23 3 3, ,
4 2 2
h b a a b a= + = = 
1 2 2
/ 2 1cos
7( / 2)
a
h a
θ = =
+
 
1 1
3 7 422
2
segmentoV a
a
π
π
Γ Γ
= = 
 
 
 
EJERCICIO C13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Sea un dominio turbillonario limitado por un 
tubo estrecho de sección variable, rodeado de un 
flujo irrotacional, como el que se muestra en la 
figura. La ley de áreas de las secciones rectas del 
tubo es 
 ( ) (1 sin )o
xx
l
πσ σ δ= − , 
con δ << 1 y ol σ>> . La vorticidad en la 
sección x = 0 dentro del tubo es constante y de 
valor conocido: oV iω∇ ∧ = . Determine el valor 
de la circulación sobre una línea cerrada contenida 
en el plano x = 0 que rodea al tubo sin cortarlo, y 
la variación del rotor a lo largo del tubo, 
V iω∇ ∧ = , suponiéndolo constante en cada 
sección recta del tubo, ω = ω(x). 
 
Solución 
 La circulación es ( ) d ( 0)o o oV n xσ ω σ ω σ
Σ
Γ = ∇ ∧ ⋅ = = =∫ , y como la circulación se conserva, de 
la expresión anterior se obtiene ( )
( ) 1 sin
o o ox xx
l
ω σ ωω πσ δ
= =
−
 
 
a/2 
a/2 
θ2 
θ1 
γ
γ
b 
h 
π/2 
y 
z 
l x 
σ(x)