AI Parte D

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AERODINÁMICA I D-1
EJERCICIO D01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de ala, de cuerda c = 2 m, formado por tres tramos rectos, como se indica en 
la figura, volando a través del aire en calma con velocidad U∞ y ángulo de ataque nulo. Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible, calcule el valor de la 
velocidad de vuelo para la que la sustentación generada por el perfil sea l = 540 N·m−1. Determine 
el ángulo que forma la línea de sustentación nula del perfil con la cuerda del mismo (dibuje, sobre 
el esquema de la línea de curvatura, 
la línea de sustentación nula). 
Suponga 45
3
δ
π
= grados y ρ = 1,2 
kg·m−3. 
 
Solución 
Como z(x) = z(−x) es A0 = A2 = 0. Por tanto, teniendo en cuenta que 
45
3
δ
π
= grados, o bien 
1
4 3
δ = radianes, resulta 
/3
1
0 0 2 /3
2 d 2 2 3 1cos d cos d cos d
d 2
zA
x
π π π
π
δ δθ θ θ θ θ θ
π π π π
⎛ ⎞
= − = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ , de 
modo que 1
1
2l
c Aπ= = , de donde se obtiene 2
l
lU
ccρ∞
= = 30 m·s−1. Obviamente 3 1
4sn
δα
π π
= = . 
 
EJERCICIO D02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una línea de curvatura cuya ecuación, en variables adimensionalizadas con la cuerda c, 
responde a la expresión: 
( )( )21 1 4 1 22cz x xπ= − − , 
 –1/2 ≤ x ≤ 1/2, 
volando a través del aire en calma 
en régimen incompresible con 
velocidad U∞. Si es kπ el coeficiente de peso del perfil (el peso por unidad de envergadura dividido 
por la presión dinámica de la corriente incidente y la cuerda del perfil), que se supone aplicado en el 
punto medio de la cuerda, y supuesto que el perfil está articulado en el borde de ataque a un punto 
fijo, determine el ángulo de ataque de equilibrio, αeq, aplicando consistentemente la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen incompresible. 
 
Suponga ahora que la línea de curvatura vuela con ángulo de ataque nulo. Sabiendo que en las 
condiciones de vuelo la velocidad del sonido vale a∞ = 300 m/s, dentro de la validez de la teoría 
potencial linealizada de perfiles calcule y represente esquemáticamente en el gráfico adjunto la 
variación con el número de Mach de vuelo (0 < M∞ < 2) del coeficiente de sustentación y del 
coeficiente de resistencia de la línea de curvatura. 
 
Solución 
En incompresible es ( )21 1 1 31 4 12 2cos cos 22 2
cdz x x
dx
θ θ
π π
⎛ ⎞= − + − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 0
1
2
A
π
= − , 
1
2A
π
= y 2
3
2
A
π
= − . Por tanto 2 1lc πα= + y 
1
8mac
c = − , y tomando momentos respecto al borde 
δ δ 
1/4 1/2 −1/2 −1/4 U∞ 
x/c 
z/c 
U∞ 
z 
x 
−1/2 1/2 
AERODINÁMICA I D-2
de ataque, 1 1 0
2 4 l mac
k c cπ − + = , se obtiene 3
4eq
kα
π
= − . La resistencia aerodinámica en 
supersónico, con ángulo de ataque nulo, es: 
( )
1 2
22
2 2 2 2
1 2
4 1281 4 12
1 15 1
dc x x dx
M Mπ π−∞ ∞
= + − =
− −
∫ . 
 
En resumen 
M∞<1 M∞>1 
2
1
1
lc
M∞
=
−
 
 
cl = 0 
 
cd = 0 2 2
128
15 1
dc
Mπ ∞
=
−
 
 
EJERCICIO D03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Suponga un perfil de ala, de cuerda c, caracterizado por sus línea de curvatura y distribución de 
espesores. La línea de curvatura, definida en el intervalo –c/2 ≤ ξ ≤ c/2, está formada por dos 
tramos rectos que se unen en el punto (−c/4, εc), con ε << 1. La distribución de espesores, tal como 
se indica en el esquema adjunto, tiene una parte elíptica, definida en el intervalo –c/2 ≤ ξ ≤ ξ1 (que 
corresponde a una elipse de semiejes c/4 y 
εc, y con centro en (−c/4, 0)), y una parte 
lineal en el intervalo ξ1 ≤ ξ ≤ c/2, siendo 
ξ1 el punto del eje ξ donde la tangente a la 
elipse pasa por el borde de salida. 
Supuesto el perfil volando en régimen 
compresible, dentro de la validez de la 
teoría potencial linealizada de perfiles en 
régimen compresible, calcule la variación 
con el número de Mach de vuelo del 
ángulo formado entre la línea de 
sustentación nula del perfil y su cuerda, 
αsn(M∞). Acote en la solución anterior el o los rangos de valores de número de Mach donde no es 
válida la solución obtenida. 
 
 
Solución 
En régimen subsónico el ángulo pedido será el que se 
obtenga al aplicar la teoría potencial linealizada de 
perfiles en régimen incompresible (en el ejercicio propuesto el problema de espesor es, obviamente 
irrelevante), y por tanto αsn(M∞)/αsn(0) = 1. En régimen supersónico el único efecto sustentador es 
el de la placa plana, de modo que αsn(M∞)/αsn(0) = 0. Estas soluciones dejan de valer, 
evidentemente, cerca de M∞ = 1, donde es de aplicación la limitación transónica ⎟1− M∞⎟3/2 >> ε ó δ 
(el mayor de ambos). Respecto a αSN(0) = −αi+A1/2, el proceso de cálculo es del todo semejante al 
empleado en cualquier problema de perfiles que se resuelva por el método de Glauert. En nuestro 
caso es dzc/dx = −4ε/3, 0 ≤ θ ≤ 2π/3, y dzc/dx = 4ε, 2π/3 ≤ θ ≤ π, de modo que se tiene 
4
9i
εα = 
y 1
16 3
3
A ε
π
= , y así se obtiene ( ) 8 3 40
3 9SN
α ε
π
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
ζ 
ξ 
εc 
−c/2 c/2 
ζ 
ξ 
εc 
−c/2 c/2 ξ1 
−c/4 
αSN 
AERODINÁMICA I D-3
EJERCICIO D04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de ala de cuerda c = 1,6 m cuya línea de curvatura es un polinomio de 
segundo grado: 
 
2
0
n
c
n
n
z xa
c c=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ , 12
x
c
≤ . 
Determine la flecha máxima de la línea de curvatura y el ángulo de ataque del perfil cuando éste 
vuela a M∞ = 0,6 con velocidad U∞ siguiendo una trayectoria horizontal y rectilínea a través del aire 
en calma (densidad ρ). Suponga que la masa del perfil es M kg/m, y que el centro de masas está en 
el punto medio del perfil. 
 
Solución 
En variables adimensionalizadas con la cuerda c, la ecuación del perfil es zc = δ(1 – 4x2). En 
régimen incompresible (haciendo 2x/c = cosθ, de modo que d d 8 4 coscz x xδ δ θ= − = − ) se obtiene 
que el coeficiente de sustentación vale cl,i = 2π(α + 2δ), y que el coeficiente de momento respecto al 
centro aerodinámico vale cmac,i = −πδ. 
 Llamando 21
2
M
Mgc
U cρ ∞
= , las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos en régimen 
compresible son βcM = 2π(α + 2δ) y βcM = 4πδ, respectivamente, siendo 21 M 0,8β ∞= − = , y de 
estas ecuaciones resulta 
4
Mcβδ
π
= y α = 0. 
 
EJERCICIO D05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil de cuerda c = 1,4 m vuela con ángulo de ataque α = 0,05 rad a través del aire en calma 
(ρ = 1,2 kg·m−3) con una velocidad de 90 m/s. En estas condiciones la distribución de coeficiente de 
sustentación a lo largo de la cuerda vale cl(θ) = k(1 – cosθ), con cos2
cx θ= , 
2
cx ≤ , donde k es una 
constante adimensional de valor k = 0,2. Determine el valor de la circulación sobre el perfil. 
 
Solución 
El coeficiente de sustentación global del perfil, integrando, por ejemplo, en la variable x 
(2x/c = cosθ), vale 
/ 2 / 2
/ 2 / 2
1 2( )d 1 d
c c
l l
c c
k xc c x x x k
c c c
− −
⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ , así pues, de la igualdad 
21
2 l
l U cc Uρ ρ∞ ∞= = Γ , se obtiene 
1 1
2 2l
U cc U ck∞ ∞Γ = = . 
 
EJERCICIO D06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Conocida la ecuación de Euler-Bernoulli: ( )21 d
2
p F t
t
Φ Φ
ρ
∂
+ ∇ + =
∂ ∫ , calcule el valor mínimo 
de la velocidad local del sonido, a, sobre una línea de curvatura parabólica que se mueve con 
ángulo de ataque nulo en régimen estacionario, con un número de Mach M∞ = 0,6 a través de un gas 
perfecto, sabiendo que la velocidad del sonido corriente arriba, lejos del perfil, es a∞ = 300 m/s. 
 
Para determinar de forma sencilla las magnitudes necesarias del campo fluido sobre la línea de 
curvatura, de ecuación z = εc[1−(2x/c)2], con ε = 1/30, c = 0,75 m y –1 ≤ 2x/c ≤ 1, suponga 
aplicable la teoría potencial linealizada de perfiles. 
 
AERODINÁMICA I D-4
Solución 
Resolviendo el perfil dado en régimen incompresible, aplicando el método de Glauert, se tiene 
d 24 4 cos
d
z x
x c
ε ε θ= − = − , de forma que A1 = 4ε, y por tanto ui = 4εU∞sinθ, que esmáxima en 
θ = π/2, donde vale uimax = 4εU∞. La velocidad de perturbación máxima al número de Mach dado es 
pues maxmax 2 2
4 M 0,1
1 M 1 M
iuu a aε ∞ ∞ ∞
∞ ∞
= = =
− −
, y en consecuencia Umax = U∞+ umax = a∞(M∞+0,1) = 
0,7a∞. En el caso de un gas perfecto, en régimen estacionario, de la ecuación de Euler-Bernoulli se 
obtiene: ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2min max1 11 0,6 0,7 0,9742 2a a U U a a
γ γ
∞ ∞ ∞ ∞
− −⎧ ⎫⎡ ⎤= + − = + − =⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭
, habiendo 
tomado γ = 1,4. Así pues es amin ≅ 0,987a∞ ≅ 296 m/s. 
 
EJERCICIO D07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Ensayos en túnel con un perfil simétrico de cuerda c = 0,5 m y de espesor relativo 0,06 indican 
que la sustentación máxima producida por el perfil vale 480 N/m. Sabiendo que en los ensayos la 
densidad del aire valía ρ = 1,2 kg/m3 y que la velocidad era U∞ = 40 m/s, aplicando 
consistentemente la teoría potencial linealizada de perfiles indique cuanto valdrá el máximo 
coeficiente de sustentación del perfil cuando vuele a M∞ = 0,6 (suponga a∞ = 340 m/s). 
 
Solución 
La relación entre los coeficientes de sustentación en régimen compresible e incompresible es 
clc = cli/β, donde ( )212lic l U cρ ∞= y 21 Mβ ∞= − . 
 
EJERCICIO D08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil idealizado por una placa plana de 
cuerda c = 3 m volando en régimen incompresible con 
velocidad U∞ = 60 m/s. El perfil está provisto de un flap 
simple de cuerda c/2. Sabiendo que en régimen de crucero, 
con el flap sin deflectar, el coeficiente de sustentación del 
perfil vale cl = 1/3 y que la velocidad de despegue es U∞/2, 
determine el ángulo de deflexión del flap en el despegue 
suponiendo que la parte fija del perfil mantiene el mismo 
ángulo de ataque que en vuelo de crucero. Desprecie el efecto 
de la cercanía del suelo sobre la sustentación. 
 
Solución 
Si en régimen de crucero, con velocidad U∞, el coeficiente 
de sustentación vale cl cruc. = k, en el despegue, con 
velocidad U∞/2, habrá de ser cl desp. = 4k. En el primer caso 
se tiene 2πα = k, de donde resulta α = k/(2π), y en el 
segundo será cl desp. = cl cruc. +Δcl flap, o bien Δcl flap = 3k. Δcl flap se debe únicamente a la deflexión 
del flap, y es la solución del problema de la figura adjunta. 
Aplicando el método de Glauert (dz/dx = 0 para π/2≤θ≤π, y dz/dx = −δ para 0≤θ≤π/2) será 0 2
A δ= , 
2
1
0
2 2cos dA
π
δ δθ θ
π π
= =∫ , de modo que Δcl flap = 3k = δ(2+π), y por tanto 32
kδ
π
=
+
. 
 
U∞ 
α 
U∞/2 
α 
δ 
δ 
AERODINÁMICA I D-5
EJERCICIO D09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una placa plana volando en régimen compresible (M∞ = 0,6). Calcule el valor del 
ángulo de ataque para el que el coeficiente de momento respecto al borde de salida valga cmc = 3/4. 
 
Solución 
El coeficiente de momento respecto al borde de salida de un placa plana en régimen incompresible 
es 3 3
4 2mi l
c c πα= = . En régimen compresible subsónico, llamando 21 Mβ ∞= − , será 
3
2mc
c πα
β
= , 
de modo que 2 8
3 15
mc mcc cβα
π π
= = radianes, pues β = 4/5. 
 
EJERCICIO D10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil simétrico de cuerda c = 3 m se desplaza con velocidad U∞ = 200 m·s−1 a través de un 
fluido en reposo cuyas propiedades físicas corriente arriba valen ρ∞ = 1 kg·m−3, a∞ = 250 m·s−1. Si 
en estas condiciones la sustentación producida por el perfil es de 20 kN·m−1, determine el valor de 
su ángulo de ataque. 
 
Solución 
El número de Mach vale 4/5 y por tanto β = 3/5. El coeficiente de sustentación del perfil en régimen 
incompresible, cli, es cli = βcl = 2πα. De este modo resulta 22
lc l
U c
β βα
π πρ ∞
= = , 
 
EJERCICIO D11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la línea de curvatura dada, en variables adimensionalizadas con la cuerda c, por la 
expresión: 
 ( ) ( )2 4 11 2 8 ;18 2c
kz x x x x
π
= − − ≤ , k = 5 
Calcule el ángulo de ataque ideal, αi, de esta línea de curvatura. 
 
Solución Como zc(x) = zc(−x) será dzc(x)/dx = −dzc(−x)/dx, lo que asegura que la integral 
0
d d
d
cz
x
π
θ∫ 
es nula y en consecuencia el ángulo de ataque ideal es nulo 
 
EJERCICIO D12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles, calcule la fuerza por unidad de 
longitud que se ejerce sobre cada uno de los dos apoyos de la cubierta bidimensional representada 
en la figura (supuesta suficientemente lejos del suelo) cuando incide sobre ella un viento horizontal 
con velocidad U ∞ en una atmósfera de densidad ρ∞. Suponga que los apoyos no perturban el campo 
fluido y que es δ << 1. 
 
Solución 
2 0d 2 2
d 2 0 02 2
c xz
cx x
πδ θ π
πδ θ
⎧ − ≤ ≤ ≤ ≤⎪
⎨
− ≤ ≤ ≤ ≤⎪⎩
 
0
1 d d 0do
zA x
π
θπ= − =∫ , 
/ 2
1
0 / 2
2 8( 2 )cos d (2 )cos dA
π π
π
δδ θ θ δ α θπ π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , A2 = 0. 
U∞ 
c/2 c/2 
δc 
AERODINÁMICA I D-6
21 8 1 12 2 8 82 2 2l o
AC A l U cδπ π δ ρ δπ ∞
⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( ) 2 21 2 8 12 ( 2 )4 4 2m acacC A A m U c
π π δ δ ρ δπ ∞= − + = − = − = − 
Estableciendo el equilibrio de momentos respecto al borde de ataque 
(A) y al borde de salida (B) 
04B ac
cf c l m− + = , 21 (2 2 )2Bf U cρ δ δ∞= + , 
21 42Bf U cρ δ∞= 
3 04A acf c l c m− − = , 
21 (6 2 )2Af U cρ δ δ∞= − , 
21 42Af U cρ δ∞= 
 
EJERCICIO D13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Una placa plana bidimensional, de cuerda c = 2 m, volando en régimen incompresible a 
velocidad U∞ = 100 m/s en el seno de una atmósfera en reposo de densidad ρ = 1 kg/m3, 
proporciona una sustentación l = 6280 N/m. 
Considere que esa misma placa vuela a la misma velocidad y ángulo de ataque en el seno de un 
fluido que tiene la misma densidad que en el caso anterior, pero ahora el número de Mach de vuelo 
es M∞ = 0,6. Calcule la fuerza de succión que actúa en el borde de ataque de la placa. 
 
Solución 
La fuerza de succión (ver “Paradoja de D’Alembert”) es sf lα= , donde l es la sustentación y α el 
ángulo de ataque. El ángulo de ataque es el mismo que en incompresible: 0,628 0,1 rad2π 2π
licα = = 
donde cli es el coeficiente de sustentación en régimen incompresible, 2 0,6281
2
i
li
lc
U cρ ∞
= = . 
La sustentación a M∞ = 0,6 es 2 21 1 8000 N/m2 2
li
l
cl U cc U cρ ρ β∞ ∞= = , con 
21 0,8Mβ ∞= − = y 
li
l
cc β= . Por lo tanto 8000 N/m 0,1 800 N/msf × 
EJERCICIO D14 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un perfil de cuerda c, cuya línea de curvatura es una parábola de flecha máxima εc, vuela a 
ángulo de ataque nulo y número de Mach M∞ = 0,8 en el seno de la atmósfera en reposo. El perfil 
dispone de un timón que está articulado en el punto medio del perfil. Calcule el momento que se 
debe aplicar en dicho timón para mantenerlo sin deflectar. 
 
Solución 
La línea de curvatura en régimen incompresible es 
( )221c xz c cε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ , de modo que 
d 8 4 cosd
cz x
x cε ε θ= − = − , obteniéndose A0 = 0 y A1 = 4ε, 
4 sinUU ε θ∞
= , 4 16 sinl Uc U ε θ∞
= = . 
En régimen incompresible el momento M0 vale 
/ 2 0 / 2
20
0 / 2 0
( ) d 16 sin cos ( sin )d 2 sin 2 sin d2 2
c
l
M c cc x x x cq
π
π
ε θ θ θ θ ε θ θ θ= = − = =∫ ∫ ∫ 
l 
mac 
fB fA 
−c/2 −c/2 
x 
z 
AERODINÁMICA I D-7
 ( )
/ 2 / 22 2 2
0
0
1 1 42 (cos cos3 )d sin sin 32 3 3c c c
π π
ε θ θ θ ε θ θ ε= − = − =∫ , 
y por tanto, en régimen compresible el momento es 243
oMM q cεβ β= = 
 
EJERCICIO D15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una línea de curvatura cuya ecuación, en variables adimensionalizadas con la cuerda c 
es zc(x) = ε(a − x)(1 − 4x2), con ε << 1, |x| ≤ 1/2. Dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen incompresible determine el valor del parámetro adimensional a 
para que el centro de presiones coincida con el centro aerodinámico. 
 
Solución 
Se tiene ( ) ( )2 2d 1 31 8 12 1 4 cos 3cos 4 cos cos 2
d2 2
cz ax x a a
x
ε ε θ θ ε θ θ⎛ ⎞= − − − = − − + = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; de 
modo que A1 = 4a, A2 = −3/2, y de la condición cmac = 0, A1 + A2 = 0 resulta a = 3/8. 
 
EJERCICIO D16 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La distribución del coeficiente de sustentación a lo largo de la línea de curvatura de un perfil de 
cuerda c es elíptica. El valor máximo de dicha distribución, que se presenta en el punto medio de la 
cuerda, vale 4A/π. Dentro de la validez de la teoría potencial de perfiles en régimen incompresible, 
calcule el coeficiente de sustentación global del perfil cuando éste vuela al ángulo de ataque ideal. 
 
Solución 
 1 42 2l
Ac Aπ π= = 
 
EJERCICIO D17 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La distribución del coeficiente de sustentación a lo largo de la línea de curvatura de un perfil de 
cuerda c es elíptica. El valor máximo de dicha distribución, que se presenta en el punto medio de la 
cuerda, vale 4A/π. Dentro de la validez de la teoría potencial de perfiles en régimen incompresible, 
calcule la ecuación de la línea de curvatura. 
 
Solución 
 
( )/ 2 / 2
2
/ 2 / 2 0
sin sin( ) 21 1 2
4 (cos cos )2
c c
o o ol o o
o
o o oc c
u c dc x dxUw A AxdxU x x x x c c
π θ θ θ
π π ππ θ θ
∞
∞
− −
−
− − −= = = =− − −∫ ∫ ∫ , 
4 42 sinl pe
u Ac c U θπ∞
= − = = , ( )22 214dz A x z A xdx c c cπ π ⎡ ⎤−= → = −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
EJERCICIO D18 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil cuya línea de curvatura está dada por la expresión, en variables 
adimensionalizadas con la cuerda c: zc(x) = ε(1 − 4x2), con |x| ≤ 1/2 y ε << 1. Sabiendo que el perfil 
vuela con ángulo de ataque nulo en régimen compresible a M∞ = 0,8, determine la flecha de la 
curvatura, ε, para que en esta condición de vuelo el coeficiente de sustentación valga cl = 2π/30. 
 
Solución 
En régimen incompresible es cli = βcl, con β = 0,6. Por otra parte cli = πA1, pues A0 = 0 (el perfil 
vuela al ángulo de ataque ideal), y A1 = 4ε (solución bien conocida tras los ejercicios resueltos 
durante el curso). Así pues cli = βcl = πA1 = 4πε, de donde se deduce ε = βcl /(4π) = 0,01. 
AERODINÁMICA I D-8
EJERCICIO D19 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una familia de líneas de curvatura de cuerda c, de ecuación 
2
2
4( ) 1 1c
x axz x c
c c
ε
⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
, 
con ε << 1, |x| ≤ c/2, y |a| ≤ 1/2. Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada, calcule y 
represente la variación del ángulo de ataque ideal con el parámetro a. 
 
Solución 
Llamando z = zc/c, y empleando el mismo símbolo x para la variable adimensional según el eje 
horizontal (x = x/c), se tiene z = ε(1 – 4x2)(1 – ax), y derivando e introduciendo el cambio 2x = cosθ, 
dz/dx = ε[–a(1 – 4x2) – 8x(1 – ax)] = ε(– a – 8x + 12ax2) = ε(– a – 4cosθ + 3acos2θ), 
dz/dx = ε(a/2 – 4cosθ + (3a/2)cos2θ) = – A0 – A1cosθ – A2cos2θ 
Así pues A0 = α – αi = –εa/2, y como al hacer los cálculos se ha supuesto α = 0 resulta αi = εa/2. 
 
EJERCICIO D20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Para diseñar una marquesina de cuerda c para una estación de tren se admiten como válidas las 
siguientes hipótesis simplificativas: 1) se supone que la marquesina está a una altura tal sobre el 
suelo que son despreciables los efectos de éste, 2) se admite que en cada sección de la marquesina 
el comportamiento es bidimensional, y que el diseño del perfil se puede acometer en el entorno de 
validez de la teoría potencial linealizada de perfiles. 
 
Sabiendo que la cuerda del perfil es paralela al suelo (situada a una altura hc) y que se desea que 
frente a una corriente horizontal el coeficiente de sustentación valga cl = πk, y que el coeficiente de 
momento en el soporte (borde de salida) sea 
nulo cmbs = 0, determine la ecuación del perfil 
de la marquesina. 
 
Escriba las integrales que permitirían resolver 
el problema si la altura hc fuera tal que no se 
pudiera despreciar el efecto del suelo. Suponga 
en este caso que el dato conocido es la 
distribución de sustentación medida a lo largo 
de la cuerda, cl(x), en vez de los coeficientes 
globales. 
 
Solución 
En lo que sigue se supone que tanto x como z están adimensionalizadas con la cuerda de la 
marquesina. El coeficiente de sustentación de un perfil vale cl = 2π(A0 + A1/2) y el coeficiente de 
momento respecto al borde de salida 
( ) ( )1 2 0 1 0 1 2
3 12 6 2
4 4 2 4mbs
c A A A A A A Aπ ππ ⎛ ⎞= − + + + = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
por tanto, de los datos suministrados (cl = πk y cmbs = 0) se deduce que 2A0 + A1 = k, y 
6A0 + 2A1 − A2 = 0, de donde se obtiene A1 = k − 2A0, A2 = 6A0 + 2A1 = 2k + 2A0, de modo que 
2
0 1 2 0 2 1 2
d cos cos 2 2 8
d
z A A A A A A x A x
x
θ θ= − − − = − + − − , pues cosθ = 2x, y cos2θ = 8x2 − 1. 
Sustituyendo (A1 = k − 2A0, A2 = 2k + 2A0), e integrando se obtiene 
( ) ( ) ( ) 20 0 0
d 2 2 2 16
d
z k A k A x k A x
x
= + − − − + , ( ) ( ) ( )2 30 0 0
162 2
3
z k A x k A x k A x d= + − − − + + , 
c/2 c/2 
z 
x 
hc 
U∞
AERODINÁMICA I D-9
y como la cuerda es horizontal: ( ) ( ) ( )0 0 0
1 1 1 22 2 0
2 2 4 3
z k A k A k A d⎛ ⎞± = ± + − − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∓ 
así pues ha de cumplirse que ( ) ( )0 0
1 22 0
2 3
k A k A+ − + = , de donde resulta A0 = 2k (y por tanto 
A1 = −3k, A2 = 6k), y además debe ser ( )0
1 2 0
4
k A d− − + = , de donde se obtiene 3
4
d k= − . Con 
estos valores, la ecuación del perfil de la marquesina (situado a una altura adimensional h sobre el 
suelo) resulta ser 2 33 4 3 16
4
z k x x x⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
En el segundo caso se puede aplicar el método de imágenes, simulando el suelo por una distribución 
de torbellinos de intensidad conocida situada en z = −2h (en variables adimensionalizadas con la 
cuerda). La intensidad de los torbellinos que simulan el perfil (distribuidos a lo largo de la cuerda, 
de acuerdo con la teoría linealizada) es 
γ(x,0) = 2u(x,0)/U∞, y como 
cl(x,0) = 4u(x,0)/U∞, resulta γ(x,0) = cl(x,0)/2. 
La intensidad de los torbellinos del perfil 
imagen es por tanto γ(x,−2h) = −cl(x,0)/2. 
Ahora hay que aplicar la integral de Cauchy 
al conjunto formado por el perfil y su imagen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1,2,3,4
, i ,1, i , d
2πi
o o o o
o
o
u x z w x z
u x z w x z t
t t
−
− =
−∫ , de donde, tras operar, teniendo en cuenta 
que se trata de un problema antisimétrico, se obtiene 
 
( ) ( ) ( )( )
( )
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
2 ,0 2 ,01,0 d d
2π 4
c c
o o o
o o
oc c o
u x u x x x
w x x x
x x x x h
+ +
− −
⎡ ⎤−
⎢ ⎥= × −
− − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
EJERCICIO D21 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de cuerda c, cuya distribución de espesor responde a la expresión 
 η = ±5τ(0.29690ξ1/2 – 0.12600ξ – 0.35160ξ2 + 0.28430ξ3 – 0.10150ξ4), 
con 0 ≤ ξ ≤ 1, donde τ es el espesor relativo (τ = 0.15), y ξ = x/c, η = z/c. El radio de curvatura del 
acuerdo entre extradós e intradós en el borde de ataque vale r/c = 1.1019τ2. El perfil está provisto de 
un timón articulado en el punto 3c/4. Llamando α al ángulo que forma la cuerda del perfil (con el 
timón sin deflectar) con la corriente incidente y δ el ángulo que forma el timón respecto a la cuerda, 
dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen compresible calcule la 
variación con el número de Mach de vuelo (0 ≤ M∞ < 1) del coeficiente de sustentación del perfil, 
cl, y del coeficiente de momento respecto al centro aerodinámico, cmca. 
c/2 c/2 
z 
x 
hc 
U∞
hc 
4 
3 
2 
1 
AERODINÁMICA I D-10
Explique claramente el procedimiento que sigue para resolver el problema. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Descomponiendo en perfil en los efectos de espesor, curvatura y ángulo de ataque, como el espesor 
no contribuye, en teoría linealizada, ni a la sustentación ni al momento, se tiene, para el ángulo de 
ataque A0α = α, Anα = 0, n > 0; y para la línea de curvatura, como el timón está articulado en θ = π/3, 
en régimen incompresible los coeficientes valen 
/30
0
d
3
A
π
δ
δ δθ
π
= =∫ , 
/3
1
0
2 3cos dA
π
δ
δ δθ θ
π π
= =∫ , 
/3
2
0
2 3cos2 d
2
A
π
δ
δ δθ θ
π π
= =∫ , y así, 
0 0 12 2 2
1 1 2 1 32
2 3 21 M 1 M 1 M
li
l
cc A A Aα δ δ
ππ α δ
π
∞ ∞ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= = + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥− − − ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
( )caca 1 22 2 2
1 3 3
41 M 1 M 8 1 M
m i
m
cc A Aδ δ
π δ
∞ ∞ ∞
− −
= = + =
− − −
 
 
EJERCICIO D22 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil de cuerda c, definido por las expresiones 
 z = –4kεx2/c, en –c/2 ≤ x ≤ 0, 
 z = –4εx2/c, en 0 ≤ x ≤ c/2, 
con ε << 1 y k un parámetro que identifica a los miembros de la familia de perfiles (–1 ≤ k ≤ 1). 
Calcule, dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible, 
la variación con el parámetro k del ángulo de ataque ideal αi. Represente dicha variación en el 
gráfico adjunto (complete el eje αi indicando valores apropiados). 
 
Solución 
0
0 0
dd1 1d d 0
d d
pc
i
zzA
x x
π π
α α α θ θ
π π
= − = − = − =∫ ∫ , 
y como ( )1 kα ε= − se tiene 
( )
/ 2
0 0 / 2
d1 4 2 2d 1 d d
d
p
i
z x xk k
x c c
π π π
π
εα α θ ε θ θ
π π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + = − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ 
( )
/ 2
0 / 2
41 cos d cos dk k
π π
π
εε θ θ θ θ
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ 
( ) ( ) ( )4 41 1 1 1k k kεε ε
π π
⎛ ⎞= − − − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
α 
δ 
3c/4 
c x 
z 
U∞ 
0 
k 
–1 0 1 
4 1
iα
ε
π
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 
–1 
–2