AI Parte E

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AERODINÁMICA I E-1
 
EJERCICIO E01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala de alargamiento Λ=6 de forma en planta rectangular, y envergadura b = 6 m, 
cuyos perfiles tienen una línea de curvatura formada por tres tramos rectos, el tramo central paralelo 
al eje x, y los extremos formando un ángulo δ(y) << 1 con dicho eje, como se indica en la figura. 
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen incompresible, calcule el 
valor de la distribución de δ(y) 
para que el ala tenga resistencia 
inducida mínima cuando el 
coeficiente de sustentación del 
ala vale cL = 1/2. 
 
Solución 
En el problema del perfil se sabe que 3( ) ( )sn y yα δπ
= . En el ala, de 12L
c AπΛ= se obtiene 
1
1
6
A
π
= , de modo que, de la ecuación de Prandtl, resulta 2
1 1( ) sin
12
α θ θ
ππ
= + , y la torsión vale 
por tanto ( )2
1( ) sin 1ε θ θ
π
= − , de manera que ( )1( ) sin 1
3
δ θ θ
π
= − . 
 
EJERCICIO E02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala de forma en planta elíptica y alargamiento Λ = 16/π, está provista de una torsión 
antisimétrica, ε(y) = −ε(−y). Sabiendo que en cierta situación de vuelo tanto el coeficiente de 
sustentación como los coeficientes de momento de guiñada y de balance son no nulos, y en la 
hipótesis de que en esta situación el coeficiente de momento de guiñada vale cMz = 25/2δ2, con 
δ << 1, determine, dentro de la validez de la teoría del ala larga de Prandtl, los valores de los 
coeficientes de sustentación y de balance, con la condición de que el coeficiente de resistencia 
inducida sea mínimo. 
 
Solución 
Como la torsión es antisimétrica es I2n−1 = 0, n = 1,2,3,...., como cMx ≠ 0 es A2 ≠ 0, y como el ala es 
de forma en planta elíptica en la adicional unitaria sólo hay término en a1. Así pues, en a 
distribución adimensional de circulación sólo puede haber A1 = a1 y términos pares: A2, A4, .... 
En consecuencia, como cMz es conocido: cMz = −A1A2 = 25/2δ2, se tiene una ligadura entre estos dos 
coeficientes que condiciona el valor del coeficiente de resistencia inducida, será pues: 
 ( )
5 4
2 2 2
1 2 22
2
22 4 2
4Di
c A A A
A
π δ⎛ ⎞Λ
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
para que cDi sea mínimo habrá que determinar el valor de A2 para el que dcDi/dA2 = 0, que resulta ser 
A2 = ±2δ, y por tanto 3/ 21 2A δ= ∓ , 
9 / 22Lc δ= ∓ , 4Mxc δ= ± , 
5 / 22Mzc δ= y finalmente 
6 22Dic δ= . 
 
EJERCICIO E03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala plana, de forma en planta elíptica, alargamiento Λ = 10, vuela a través del aire en calma 
en régimen compresible subsónico. Sabiendo que el ángulo de ataque del ala es α = 1/20 radianes, y 
sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale cL = π/10, determine, dentro de la validez de 
la teoría potencial linealizada, el valor del número de Mach de vuelo. 
 
Solución 
δ δ 
1/4 1/2 −1/2 −1/4 U∞ 
x/c 
z/c 
AERODINÁMICA I E-2
El ala a resolver en incompresible ha de tener un alargamiento Λi = βΛ, siendo 21 Mβ ∞= − ; si se 
mantiene el valor del coeficiente de sustentación, cLi = cL, el ángulo de ataque del ala tendrá que ser 
αi = α/β. Así pues, como en el caso de un ala plana de forma en planta elíptica es a1 = 4/(Λ+2), 
será: 4 4
2 2 2 2
i
Li i L
i
c cπ πβ αα
β β
Λ Λ
= = =
Λ + Λ +
, de donde se deduce 2 L
L
c
c
παβ Λ −=
Λ
, que, con los 
datos numéricos del enunciado, proporciona los valores M∞ = 0,8 (β = 0,6), si α = 1/25 radianes, o 
bien M∞ = 0,6 (β = 0,8), en el caso en el que el ángulo de ataque del ala vale α = 1/20 radianes. 
 
EJERCICIO E04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala larga, recta, de alargamiento Λ=6 y con una superficie en planta de 10 m2, que 
se desplaza horizontalmente a través del aire en calma con velocidad U∞=80 m/s. De medidas 
realizadas se deduce que la velocidad vertical inducida en la línea de puntos 1/4 es constante y vale 
−1 m/s. Calcule el peso del ala y su resistencia inducida. Suponga que la densidad del aire es ρ = 
1.2 kg.m−3 
 
Solución 
El ángulo de ataque inducido vale 1/80 radianes. Como el ángulo de ataque inducido es constante, 
la distribución de circulación adimensional es elíptica, de modo que A1 = 1/40. Conocido A1 es 
12L
c AπΛ= , 
2
L
Di
cc
πΛ
= , L = qScL, y Di = qScDi, con 2
1
2
q Uρ ∞= . Aplicando los valores numéricos del 
enunciado se obtiene: L = 2880π N y Di = 36π N. 
 
EJERCICIO E05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala larga de forma en planta elíptica, cuya torsión, simétrica (ε(y) = ε(−y)) es tal que 
la línea de sustentación nula del ala coincide con la línea de sustentación nula del perfil central, 
volando en régimen incompresible a través del aire en calma (ρ = 1,2 kg·m−3) con ángulo de ataque 
α = 2 grados y velocidad U∞ = 100 m/s. Sabiendo que la envergadura del ala es b = 6 m y su 
superficie en planta S = 6 m2, calcule el coeficiente de sustentación del ala así como el coeficiente 
de momento de guiñada. 
 
Solución 
Como la línea de sustentación nula del perfil central coincide con la del ala es I1 = 0, y como la 
torsión es simétrica también es nulo I2. Así pues, al ser el ala de forma en planta elíptica, será 
A2 = 0. Por tanto cMz = 0, y el coeficiente de sustentación vale 1
2
2 2L
c aπ πα αΛ Λ= =
Λ +
; como el 
alargamiento es Λ = 6, y el ángulo de ataque del enunciado está expresado grados en vez de 
radianes, llamando α a este ángulo en grados, finalmente queda 
23
2 180 120L
c π π πα α= = . 
 
EJERCICIO E06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala plana de forma en planta elíptica, con una superficie en planta de 10 m2 y una 
envergadura de 10 m, volando a través del aire en calma con una trayectoria horizontal, rectilínea y 
uniforme, con velocidad U∞ = 200 m/s (M∞ = 0,6). Si el peso del ala es W = 2,4×104 N, y 
suponiendo que la densidad del aire vale ρ = 1,2 kg/m3, determine el valor del ángulo de ataque del 
ala 
 
Solución 
De los datos del enunciado se obtiene Λ = 10 y cL = 0,1. Aplicando ahora la analogía de Prandtl-
AERODINÁMICA I E-3
Glauert (cLi = cLc, Λi = βΛc, αi = αc/β), en régimen incompresible habrá que resolver un ala también 
plana y de forma en planta elíptica, pero de alargamiento Λi = 8 (pues β = 0,8). Este es un problema 
bien conocido (a1 = 2/5), de modo que de la expresión del coeficiente de sustentación del ala, 
12
i
L ic a
π αΛ= , se obtiene que en incompresible el ángulo de ataque vale 1
16i
α
π
= radianes, y en 
consecuencia el ángulo de ataque pedido (αc = βαi), es 
1
20c
α
π
= radianes. 
 
EJERCICIO E07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala de envergadura b = 10 m volando horizontalmente a través del aire (ρ = 1 
kg/m3) en calma con una velocidad de 80 m/s. Sabiendo que el peso del ala es de (2π/3)×104 N y 
que las cuerdas del ala siguen la ley: 
 ( ) ( )sin sin 3
2
bc θ θ δ θ
π
= + 
con δ<<1 y θ = cos−1(2y/b), determine el ángulo de ataque del perfil central, α(π/2), y la torsión del 
ala, ε(θ), para que ésta tenga resistencia inducida mínima. Calcule el valor del parámetro δ sabiendo 
que la torsión en los bordes marginales vale ε(±b/2) = −1/32 radianes. 
 
Solución 
El área de la forma en planta es ( ) ( )
/ 2 2 2
/ 2 0
d sin sin 3 sin d
4 8
b
b
b bS c y y
π
θ δ θ θ θ
π
−
= = + =∫ ∫ , el 
coeficiente de sustentación vale
21 6
2
L
Lc
U S
π
ρ ∞
= = , y por tanto 1 2 2 2
2 2 4 1
24
L Lc c S WA
b U bπ π πρ ∞
= = = =
Λ
 
(nótese que no es estrictamente necesario calcular S). De la ecuación de Prandtl: 
( ) ( )1 1
1 1sin sin sin 3
2 2
A Aθ θ δ θ α θ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se obtiene ( ) 1
2sin 1
sin sin 3 2
A θα θ
θ δ θ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
, de donde 
resulta 1
2 1
2 1 2
Aπα
δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 y ( ) 1
sin 12
sin sin 3 1
A θε θ
θ δ θ δ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
, cuyo valor, por ejemplo, en 
θ = 0 es ( ) 1
1 1 10 2
1 3 1 32
Aε
δ δ
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
, de donde se obtiene 19
δ = . 
 
EJERCICIO E08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala de forma en planta rectangular, de alargamiento Λ>>1, volando a través del aire 
en calma con velocidad U∞. Suponiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale cL = π3/180, 
y suponiendo que la resistencia inducida del ala es mínima, calcule, dentro de la validez de la teoría 
del ala larga de Prandtl, el ángulo formado entre la dirección de sustentación nula de cualquiera de 
los perfiles de las puntas del ala y la dirección de sustentación nula del perfil central. 
 
Solución 
Que el coeficiente de resistencia inducida sea mínimo para un valor dado del coeficiente de 
sustentación implica A1 ≠ 0 y An = 0 para n>1. Así pues la ecuación de Prandtl 
queda: 1 1
1 1 1sin 2 ( )
2 2
A Aθ π α θ
Λ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 1
1( ) sin
2
A Λα θ θ
π
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. La diferencia entre 
las líneas de sustentación nula de los perfiles correspondientes a θ = 0 y θ = π/2 es por tanto 
Δα = ΛA1/π = 2cL/π2 (radianes) = 360cL/π3 (grados), pues como se sabe cL = πΛA1/2. 
AERODINÁMICA I E-4
EJERCICIO E09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala cuya forma en planta es como la representada en 
la figura, de envergadura b = 12 m y cuerda en la raíz c0 = 2 m, 
volando a través del aire en calma (ρ = 1 kg·m−3) con velocidad 
U∞ = 50 m·s−1. 
 
Sabiendo que el peso que ha de sustentar el ala es P = 7500 N, y 
supuesto que la geometría del ala es tal que al ángulo de ataque de 
vuelo la resistencia inducida es mínima, dentro de la validez de la 
teoría potencial linealizada de alas largas, determine el ángulo de 
ataque de la línea de sustentación nula del perfil central. 
 
Determine también el ángulo que forma la línea de sustentación nula 
de cualquiera de los perfiles de los bordes marginales respecto a la 
línea de sustentación nula del perfil central. 
 
Como el ala no tiene motor, para mantener la velocidad de vuelo 
constante su trayectoria habrá de ser descendente. Supuesto que el 
ala está inicialmente a una altitud h = 300/π m y a una distancia 
horizontal d = 9000 m de la pista de aterrizaje, calcule si el ala 
alcanzará o no dicha pista (desprecie el posible efecto de la 
proximidad del suelo). 
 
Nota: la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles vale 
dcl/dα = 2π. 
 
Solución 
De los datos del enunciado se deduce que S = 18 m2 y Λ = 8, por 
tanto: 
 21
2
1
3L
Pc
U Sρ ∞
= = , 1
2 1
12
LcA
π π
= =
Λ
. 
Como G(θ) = A1sinθ (resistencia inducida mínima), de la ecuación de 
Prandtl se obtiene 
 ( ) 1
1sin
( ) 2
bA
c
α θ θ
π θ
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 
 
( )1
1 1 6 1
2 2 2 12 2
bA
c
πα
π π π π
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
radianes, 
 ( ) ( ) 1
10
2
Aα α π= = radianes, 
y en consecuencia ( ) ( )1 2
10
2 2 2
bA
c
πα α
π π π
⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 radianes. 
En el vuelo de planeo será: L ≈ P, Pβ ≈ Di, pues tanβ ≈ sinβ ≈ β << 1; 
1sin
24
Di L
L
c c
c
β
π π
= = =
Λ
,la distancia recorrida horizontalmente antes de llegar al suelo es 
300 24hd π
β π
= = = 7200 m < 9000 m. Así pues, el ala llega al suelo antes de alcanzar la pista. 
 
Di 
L 
P 
Pβ 
β 
β 
b/2 
c0/2 
c0 
x 
y 
U∞ 
b/2 
AERODINÁMICA I E-5
EJERCICIO E10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La exploración de la estela de un ala larga plana, de envergadura b = 8 m y superficie en planta 
S = 8 m2, que vuela en régimen incompresible a través del aire en calma (ρ = 1,2 kg·m−3) con 
ángulo de ataque α = 2 grados y velocidad U∞ = 100 m/s, indica que la distribución en la estela de 
la intensidad de los torbellinos libres se ajusta a la ley: 
 ( ) 2y kUγ ∞= , 02
b y− ≤ ≤ , ( ) 2y kUγ ∞= − , 0 2
by≤ ≤ , 
siendo k una constante conocida de valor k = 2. Calcule la sustentación generada por el ala. 
 
Solución 
Como γ = dΓ/dy, la distribución de circulación a lo largo de la envergadura vale Γ = 2kU∞(y + b/2) 
en –b/2 ≤ y ≤ 0, y Γ = −kU∞(y − b/2) en el intervalo 0 ≤ y ≤ b/2. En consecuencia, la sustentación 
pedida vale 
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
1( )d ( )d
2
b b
b b
L l y y U y y U kbρ ρ∞ ∞
− −
= = Γ =∫ ∫ . 
 
EJERCICIO E11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala de forma en planta elíptica, envergadura b = 5 m, alargamiento Λ = 8 y torsión 
ε(y) = ε0(2y/b)2, con ε0 = 6º, vuela a través del aire en calma en régimen incompresible con 
velocidad U∞. Sabiendo que la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles vale 2π, calcule 
el coeficiente de sustentación del ala cuando la corriente no perturbada incide según la dirección de 
sustentación nula del perfil central. 
 
Solución 
En la variable θ la torsión se expresa como ε(θ) = ε0cos2θ. Introduciendo esta expresión en la 
ecuación de Prandtl se obtiene: 
 20
1 1
1 4 1sin 2 sin cos sin
2 2sinn n
A n nA nθ π θ ε θ θ
π θ
∞ ∞⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟Λ ⎝ ⎠
∑ ∑ , o bien 
 ( )20 0
1
1sin cos sin sin sin 3
4 2 4n
n A nθ ε θ θ ε θ θ
∞ Λ⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ . 
Así pues A1 = ε0/10, y el coeficiente de sustentación del ala (cL = πΛA1/2) vale cL = απ2/450 
 
 
EJERCICIO E12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 El ala de un avión está formada por una parte central, de forma rectangular, y dos elementos 
exteriores de forma trapezoidal. La parte rectangular tiene una semienvergadura bi = 4,0 m y una 
cuerda cr = 4,0 m; cada uno de los elementos trapezoidales tiene una envergadura bt = 8 m y la 
cuerda en el extremo exterior, ct, es un 50% 
de la del interior. La torsión de este ala es tal 
que, cuando el coeficiente de sustentación cL 
vale 0,7, la distribución de circulación 
adimensional es elíptica. 
 
Dibuje una semiala en la cuadrícula adjunta, 
sabiendo que es una ala recta de acuerdo con 
el modelo de Prandtl, y calcule el momento 
en el encastre para una presión dinámica de vuelo de 6000 Pa. 
 
20 4 6 8 10 12
4
2
0
AERODINÁMICA I E-6
Solución 
1( ) sinG Aθ θ= , 1( ) sinbU Aθ θ∞Γ = , 
2
1( ) sinl bU Aθ ρ θ∞= , 
/ 2 / 2 3 2
2 1
1
0 0
1( ) d sin cos sin d
2 2 4 3
b
x
b b b U AM l y y y bU A
π
ρρ θ θ θ θ ∞∞= = =∫ ∫ 
1 1
2
2
L
L
CC A Aπ
π
Λ
= ⇒ =
Λ
, 3 2 21 1
6 3 2
L
x L
CM b U bSU Cρρ
π π∞ ∞
= =
Λ
 
21 6000 Pa
2
Uρ ∞ = , 
280 mS = , 7, 2Λ = , 0,7LC = , 3,33 mc = , 
6 62,688 10 N.m = 0,856 10 N.mxM π
= × × 
 
EJERCICIO E13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala recta, de forma en planta elíptica, envergadura b y alargamiento Λ = 6 vuela con velocidad 
uniforme U∞ en el seno de una atmósfera en reposo de densidad ρ, siguiendo una trayectoria 
horizontal y rectilínea. Sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala es cL = π/4 y que la 
distribución de torsión está dada por la expresión 
 
2
0 0
2 2( ) , 1, 1y yy
b b
ε ε ε⎛ ⎞= − << ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
suponiendo aplicable la teoría de alas largas en régimen incompresible, calcule el momento flector 
en la raíz del ala. Suponga que la pendiente de la curva de coeficiente de sustentación de los perfiles 
vale 2π. 
 
Solución 
El momento flector es 
/ 2 / 2 3
2
0 0
( ) d ( ) cos sin d
4
b
f
bM l y y y U G
π
ρ θ θ θ θ∞= =∫ ∫ . Para determinar G(θ) se 
utiliza la ecuación de Prandtl, con la torsión ( )2 2( ) 2 coso oy bε θ ε ε θ= − = − : 
2
sin1 4sin sin 2 cos
2 π 2sin
n
n o
nA n
A n
θ
θ θ π α ε θ
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − =
⎢ ⎥Λ
⎣ ⎦
∑∑ 
 
sin4 sin sin sin 3
4 4 2
no o
nA nθε εα θ θ θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − −
⎢ ⎥Λ
⎣ ⎦
∑ 
de donde resulta 3 6
oA ε= −
+ Λ
. El coeficiente A1 se obtiene de cL =π/4, además 
1 1
π 1
2 12L
c A AΛ= → = . El resto de An son nulos. Por tanto 
/ 2
2 3 2 3
1 3
0
1 1 1( sin sin 3 )sin 2 d
8 48 3 5
o
fM U b A A U b
π
ερ θ θ θ θ ρ∞ ∞
⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ . 
 
EJERCICIO E14 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Sea un avión de masa m, provisto de un ala plana, recta, de forma en planta elíptica, alargamiento 
Λ >> 1, superficie S y coeficiente de sustentación máximo de los perfiles en régimenincompresible, 
clmax 0. Este avión vuela a través del aire en calma, en condiciones tales que la densidad del aire es ρ 
AERODINÁMICA I E-7
y la velocidad del sonido a∞. 
 
Suponiendo que el mencionado ala es la única superficie sustentadora del avión y que la entrada en 
pérdida de los perfiles se produce cuando se alcanza un cierto cpmin*, siempre el mismo para 
cualquier número de Mach e igual al de M∞ = 0, relacione la sustentación y el ángulo de ataque 
máximos del ala, Lmax y αmax, con el número de Mach de vuelo, en el intervalo 0,3 < M∞ <0,6. 
Exprese los resultados pedidos, Lmax y αmax, como funciones de los parámetros (ρ, a∞, M∞, S, Λ, 
clmax 0). 
 
Solución 
Como las distribuciones de presión al variar el número de Mach son homólogas, se mantiene el 
clmax de los perfiles, independiente del Mach de vuelo. Además, como el ala es de forma en planta 
elíptica, ese valor de clmax coincide con el cLmax ala, por tanto: 2 2max max
1 M
2 l
L a Scρ ∞ ∞= . 
Por otra parte, el ala homóloga en incompresible está definida por: αi = α/β, Λi=Λβ, de modo que 
2π
2
L
i
c β
α β
∂ Λ
=
∂ + Λ
, 2π
2
Lc
α β
∂ Λ
=
∂ + Λ
, y en consecuencia, 2 2 2 2max max
1 2π 1M M
2 2 2 l
a S a Scρ α ρ
β∞ ∞ ∞ ∞
Λ
=
+ Λ
, de 
donde se obtiene 
2
max max max
2 1 M2
2π 2πl l
c cβα ∞
+ Λ −+ Λ
= =
Λ Λ
 
 
EJERCICIO E15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un avión de masa m, está provisto de un ala plana, recta, de forma en planta elíptica, de 
alargamiento Λ y superficie S. Este avión vuela a través del aire en calma con movimiento 
horizontal, rectilíneo y uniforme, en condiciones tales que la densidad del aire es ρ y la velocidad 
del sonido a∞. 
Suponiendo que la mencionada ala es la única superficie sustentadora del avión, relacione el ángulo 
de ataque del ala, α, con el número de Mach de vuelo, M∞, en el intervalo 0,3 < M∞ <0,6. 
 
Solución 
Se tiene 2 21
2 M
L
mgc
a Sρ ∞ ∞
= , y definiendo el ala homóloga en incompresible tal que: 
αi = α/β, Λi = Λβ, cLi = cL, será ∂cL/∂αi = 2πΛβ/(2+Λβ), es decir ∂cL/∂α = cL/α = 2πΛ/(2+Λβ), de 
donde resulta
2
2 21
2
2 1 M
2πM
mg
a S
α
ρ ∞ ∞
+ Λ −
=
Λ
 
 
EJERCICIO E16 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un ala plana, de forma en planta elíptica, alargamiento Λ = 10, que vuela a M∞ = 0,6 a 
través del aire en calma. Sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale cL = π/10, 
determine el valor del ángulo de ataque del ala. 
Nota: suponga que la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles en régimen incompresible 
vale 2π. 
 
Solución 
Llamando 21 Mβ ∞= − , que en nuestro caso es β = 0,8, por la analogía de Prandtl-Glauert se sabe 
que en régimen incompresible el ala a resolver tiene un alargamiento Λi = βΛc = 8. Por otra parte, 
suponiendo que se conserva el ángulo de ataque, lo que significa tomar A = β en la analogía de 
AERODINÁMICA I E-8
Prandtl-Glauert, el coeficiente de sustentación en incompresible ha de ser cLi = βcLc = 8π/100, y 
como la pendiente de la curva de sustentación del ala vale 8π/5, resulta a = 1/20 rad. 
 
EJERCICIO E17 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule el número de Mach de vuelo, M∞, al que debe volar un ala de alargamiento 10, plana y 
con forma en planta elíptica, para que proporcione un coeficiente de sustentación global cL = 0,20π 
cuando vuela a un ángulo de ataque α = 5.7º. 
 
Solución 
Para resolver el problema compresible se debe resolver un problema incompresible con Λi = βΛ, 
αi = (A/β)α, pudiendo tomar A cualquier valor. Una vez obtenida la solución de este problema, cL= 
cLi /A. Para un ala plana de forma en planta elíptica que vuela en régimen incompresible, la teoría 
del ala larga proporciona que 
 2π
2
i
L ii
i
c αΛ=
+ Λ
 y por tanto 1 2π 2π
2 2L
Ac
A
β α α
β β β
Λ Λ
= =
+ Λ + Λ
 
Como α=0,1 rad, para cL =0,20π, se obtiene β=0,8, es decir M∞=0,6. 
 
EJERCICIO E18 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el vuelo en formación de varias alas de envergadura b y alargamiento Λ>>1, que 
siguen un vuelo horizontal, rectilíneo y uniforme a velocidad U∞, en régimen incompresible, en el 
seno de una atmósfera en calma de densidad ρ, estando sus líneas de puntos 1/4 alineadas según una 
dirección perpendicular a la de vuelo. En estas circunstancias, la velocidad inducida sobre una de 
ellas por el resto vale wf(θ) = BU∞ sin2θ, donde B es una constante conocida y el ángulo θ está 
definido en la forma usual, y = (b/2)cosθ. Se ha determinado que, en las condiciones anteriores, la 
distribución de circulación adimensional que aparece sobre dicha ala es G(θ) = A1 sinθ + A2 sin2θ, 
donde A1 y A2 son constantes conocidas. Calcule la fuerza en la dirección de vuelo que aparece 
sobre el ala en consideración. 
 
Solución 
 La fuerza horizontal vale: 
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ] ( )
( ) ( )
2
2
1 2
1 2
0
2 2 22
1 2 1 2
0
2 2
1 2
d
sin 2 sin 2sin sin 2 sin sin d
2sin 2
1 πsin sin 2 sin sin d 2
2 4
1 1 1 cos 2 cos cos3 sin
2 2
b
f i
x
b
w y w y
F l y y
U U
A A bU bU A A B k
U b A A B k A A
U b B A A k
π
π
θ θρ θ θ θ θ θ
θ
ρ θ θ θ θ θ
ρ θ θ θ θ
− ∞ ∞
∞ ∞
∞
∞
⎡ ⎤
= − + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
+⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − + + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦
∫
∫
∫
( )2 21 2
0
πd 2
4
A A
π
θ
⎡ ⎤
+ +⎢ ⎥
⎣ ⎦∫
 
De modo que, si k=1 se tiene 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 22
1 2 1 2
0
2 2 22
1 1 2
0
2 2 22
1 1 2
1 1 π1 cos 2 cos cos3 sin d 2
2 2 4
1 1 π1 cos 2 sin d 2
2 2 4
1 4 π 2
2 3 4
xF U b B A A A A
U b A B A A
U b A B A A
π
π
ρ θ θ θ θ θ
ρ θ θ θ
ρ
∞
∞
∞
⎡ ⎤
= − − + − + + =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ 
AERODINÁMICA I E-9
y si k=2 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 22
1 2 1 2
0
2 2 22
2 1 2
0
2 2 22
2 1 2
1 1 π1 cos 2 cos cos3 sin 2 d 2
2 2 4
1 1 πcos cos3 sin d 2
2 2 4
1 16 π 2
2 15 4
xF U b B A A A A
U b A B A A
U b A B A A
π
π
ρ θ θ θ θ θ
ρ θ θ θ θ
ρ
∞
∞
∞
⎡ ⎤
= − − + − + + =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ 
 
EJERCICIO E19 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Se tiene un avión de envergadura b con un ala con forma en planta 
elíptica, alargamiento Λ y cuerda en el encastre c, volando con velocidad 
uniforme U∞ en el seno de un fluido de densidad ρ. Dentro de la validez 
de la teoría del ala larga de Prandtl, supuesto despreciable el espesor del 
fuselaje del avión, calcule el coeficiente de momento en el encastre del 
ala, cme-x, en función de los coeficientes An del desarrollo en serie de 
Fourier de senos de la distribución de circulación adimensional, 
G(θ) = ΣAnsinnθ, supuestos conocidos, y del resto de los parámetros del 
problema que intervengan en el resultado. 
 
Solución 
Conocida la distribución de sustentación, 2
1
( ) sinnl bU A nθ ρ θ
∞
∞= ∑ , el 
momento en el encastre es 
/ 2 π/2
3 2
10 0
1( ) d sin sin 2 d
8
b
e x nM l y y y b U A nρ θ θ θ
∞
− ∞= = =∑∫ ∫
3 2
1 2 3 52 2
1 2 π 3 5 ...
8 3 4 3 4 5 4
b U A A A Aρ ∞
⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥− −⎣ ⎦
, y el coeficiente de momento: 
1
1 2 2 12 2
2 1
1 2 π ( 2)
4 3 41 (2 1) 4
2
p
e x
me x p
p
Mc A A A
b pU bρ
∞ +
−
− +
=
∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥= = Λ + +
+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Λ
∑ 
****************************** 
EJERCICIO E20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Para un ensayo en túnel aerodinámico se ha construido una semiala de peso W y se ha fijado a 
una de las paredes del túnel, como se indica en la figura. En los 
ejes indicados las expresiones del borde de ataque, xba(y), y del 
borde de salida, xbs(y), son: 
( ) ( )21
4
o
ba o
cx y y b= − − , ( ) ( )23 1
4
o
bs o
cx y y b= − 
con co << bo. Se sabe que un perfil genérico de la semiala 
(0 ≤ y ≤ bo) es un segmento recto que forma un ángulo 
ε(y) = εoy/bo, εo << 1, con el segmento recto anclado en la pared, 
y que el perfil anclado en la pared forma un ángulo α con la 
corriente incidente no perturbada. Si es U∞ la velocidad de la 
corriente incidente no perturbada y ρ la densidad del aire,utilizando la teoría del ala larga de Prandtl determine la x co 
bo 
xba(y) xbs(y) 
U∞ 
x 
y 
U∞ 
AERODINÁMICA I E-10
sustentación producida por la semiala. 
 
Solución 
La forma en planta adimensional, el alargamiento y la ley de ángulos de ataque son: 
4( ) sin sin
π 2
o
o
c
b
κ θ θ θ= =
Λ
, 4 8o o
o
b b
S cπ
Λ = = ; ( ) cosoα θ α ε θ= + , 0 ≤θ ≤π, por tanto, la ecuación 
de Prandtl es 1
1
sin
πsin sin cos
2 2sin
n
o
n o
o
nA n
cA n
b
θ
θ θ α ε θ
θ
∞
∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= + −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑ ,y para resolverla (hay que 
determinar A1) conviene desarrollar el producto ( )cos sinoα ε θ θ+ en serie de senos, con lo que se 
obtiene 
1
π 4
2 3π
π1
4
o o
o
o
o
c
bA c
b
εα⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠=
+
; la sustentación de la semiala es 2 1
1 1 π
2 4 2semiala
L L U S Aρ ∞
Λ
= = 
 
EJERCICIO E21 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Suponga un perfil (de masa despreciable) caracterizado por su línea de curvatura, de ecuación, en 
variables adimensionalizadas con la cuerda del perfil c, z = ε(1−4x2), ⏐x⏐ ≤ 1/2, ε << 1. El perfil 
está provisto de un timón articulado en el punto x = 1/4. Supuesto que el perfil vuela en régimen 
supersónico ( 2M∞ = ) con ángulo de ataque nulo (cuando el ángulo de deflexión del timón es 
nulo, δ = 0), dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen 
supersónico, determine el valor del momento de charnela en función del ángulo δ de deflexión del 
timón. Suponga que la presión dinámica de la corriente incidente vale q∞. 
 
Solución 
El coeficiente de sustentación a lo largo del timón vale d4( ) 4( 8 )
d
c
l
zc x
x
δ δ ε= − = + . El momento de 
charnela es ( )
1/ 2
2 2
1/ 4
1 54 8 ( )d
4 8 12
M q c x x x q cδ εδ ε∞ ∞
⎛ ⎞= − + − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 
 
EJERCICIO E22 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 La exploración de la estela de un ala larga plana, de forma en planta elíptica, alargamiento Λ = 10 
y superficie en planta S = 100/π m2, que se mueve a través del aire en calma con velocidad 
U∞ = 100 m/s, indica que la velocidad vertical en la estela, lejos del ala, es constante y de valor 
w = 2 m/s. Calcule la resistencia inducida del ala. 
 
Solución 
Como es un ala plana de forma en planta elíptica es G(θ) = A1sinθ; la velocidad inducida en el ala 
es w(0,y,0)/U∞ = −A1/2, y en la estela w(∞,y,0)/U∞ = −A1. La resistencia inducida es por tanto: 
2
2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 100 125 N
2 2 4 2 4i Di
wD U Sc U S A U w
U
π πρ ρ ρ ρ
π∞ ∞ ∞ ∞
Λ Λ
= = = = . 
 
AERODINÁMICA I E-11
EJERCICIO E23 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Un ala recta, de envergadura b y alargamiento Λ >> 1, de forma en planta elíptica, tiene perfiles 
cuya pendiente de la curva de sustentación es una función de y 
 22 (1 ) , 1lc y
b
π γ γ
α
∂
= + <<
∂
, 
Calcule la pendiente de la curva de sustentación del ala. Para ello, escriba la ecuación de Prandtl 
para la distribución adicional unitaria y determine el coeficiente a1 en función de los demás 
coeficientes, an (n > 1), supuestos conocidos. 
 
Solución 
sin1 4sin sin 2 (1 cos ) 1
2 2sin
n
n
na n
a n
θ
θ θ π γ θ
π θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + −
⎢ ⎥Λ
⎣ ⎦
∑∑ , 
2 2
1
0 0
sin4sin d sin (1 cos ) 1 d
2sin
nna n
a
π π θ
θ θ θ γ θ θ
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + −
⎢ ⎥Λ
⎣ ⎦
∑∫ ∫ , 
2 2
1
0 0 0
4 1sin d sin cos d sin sin d
2 2 n
a na n
π π π
π θ θ γ θ θ θ θ θ θ
⎧⎪= + −⎨Λ ⎪⎩
∑∫ ∫ ∫
0
sin 2sin d
2 2n
na n
π
γ θθ θ
⎫⎪− ⎬
⎪⎭
∑∫ 
2
1 1 2
4 40
2 2 4 8 2
aa a aπ π π γ γπ −⎧ ⎫= + − − =⎨ ⎬Λ Λ +⎩ ⎭
; finalmente ( )
( )
2
1
4
2 2 2
L ac a
π γπ
α
Λ −∂ Λ
= =
∂ + Λ