L0

Vista previa del material en texto

1
Introducción a las ecuaciones de Lagrange
1
Ecuaciones de Lagrange para una partícula (cartesianas)
Triedro físico (3-D)
P
M
Ecuaciones de Lagrange
2
3
Ecuaciones de Lagrange para una particula (coordenadas arbitrarias)
Triedro físico (3-D)
P
M
Base de vectores tangentes
Coordenadas generalizadas
Velocidades generalizadas
Componente generalizada de la fuerza
3
4
Demostración
5
Ec. De Lagrange: Particula moviendose sobre curva (sin rozamiento)
Tangente a la curva
P
5
6
Ec. De Lagrange: Particula moviendose sobre superficie (sin rozamiento)
Tangentes a la superficie
P
6
7
Resumen: Ecuaciones de Lagrange para una particula
Triedro físico (3-D)
P
M
Base de vectores tangentes
Coordenadas generalizadas
Velocidades generalizadas
Componente generalizada de la fuerza
Casos particulares:
 Movimiento sobre curva:
 Movimiento sobre superficie:
7
Ejemplos:
1)
Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula de masa M moviéndose en un triedro inercial y sometida al peso.
Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’) se desplaza con una ley arbitraria. 
P
M g
O’
8
9
Ejercicio:
Deducid las ecuaciones de Lagrange de una partícula relativista a partir de la ecuación relativista del momento:
Solución:
1)
P
M g
O’
10
Ejemplos:
2)
Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una péndulo ideal: partícula de masa M moviéndose en un plano vertical y sujeta por un hilo ideal. Usar como coordenada generalizada el ángulo que forma el hilo con la vertical descendente.
P
M g
11
Solución:
2)
M g
12
Ejemplos:
3)
Una partícula de masa M se mueve en un triedro (O,x,y,z) bajo la acción de una fuerza atractiva desde el origen O del triedro y proporcional a la distancia. Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange usando como coordenadas generalizadas las coordenadas esféricas de la partícula .
M 
13
Solución:
3)
M 
Coordenadas generalizadas:
14
M 
15
Ejemplos:
4)
Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre la parábola
 (donde es una constante). Plantear la ecuacion de Lagrange para el movimiento de la partícula usando como coordenada generalizada.
Mg 
16
Solución:
4)
Mg 
17
Potencial de fuerzas (primera definición)
El peso de una partícula, la fuerza de un muelle ideal,
La fuerza de un campo eléctrico sobre una carga eléctrica, gravitación, .. etc, son fuerzas que derivan de un “potencial” :
 Mg 
Peso:
18
Muelle ideal (OP):
Muelle ideal (O’P):
P
P
O’
19
Gravitación:
Campo electrostático : 
 campo eléctrico , potencial eléctrico
 donde 
La fuerza sobre carga eléctrica es 
P
O’
20
Potencial generalizado de fuerzas
Una fuerza deriva de un “potencial generalizado
 ” cuando :
Observar que !!!!!!! 
21
Ejemplos:
Fuerza de inercia:
Comprobarlo !!!!!!! 
Fuerza de campo magnético constante (por sencillez):
Comprobarlo !!!!!!! 
22
Componentes generalizadas de las fuerzas que derivan de un potencial generalizado : 
Observar que !!!!!!! 
23
Ec. de Lagrange para una partícula en un campo de las fuerzas que deriva de un potencial generalizado : 
Definición: 
Partícula sin ligaduras:
Función de Lagrange o Lagrangiana de la partícula
3 grados de
 libertad
24
Partícula con ligaduras geométricas ideales (holónomas ideales):
1 grado de
 libertad
Sobre curva (sin rozamiento): 
2 grados de
 libertad
Sobre superficie (sin rozamiento): 
25
Definición de sistema lagrangiano: 
Una partícula sin ligaduras (o con ligaduras holónomas ideales) bajo la acción de una fuerza que deriva de un potencial generalizado se dice que es un sistema lagrangiano.
Un sistema físico cuya evolución en el tiempo ( ) se determina a partir de las ecuaciones
 para una cierta función , se dice que es un sistema
 lagrangiano. 
26
27
Más ejemplos!
1) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple (partícula de peso Mg) de longitud R cuando además sobre el péndulo actúa la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K . Usar el ángulo como coordenada generalizada y escribir la ecuación del movimiento a partir de la lagrangiana.
P
M g
27
Solución:
1)
M g
28
29
2) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre el paraboloide, de eje vertical, . Sobre la partícula actúa además un muelle ideal de constante elástica K, cuyo extremo está fijo al origen de coordenadas. Determinar la lagrangiana de la partícula y sus ecuaciones del movimiento usando x, y, como coordenadas generalizadas.
P
Mg
29
30
P
Mg
2) Solución.
30
31
31
32
Ligaduras no holónomas
Triedro físico (3-D)
P
M
Coordenadas generalizadas:
Ligadura no holónoma ideal
Trabajo en un desplazamiento pequeño
32
33
Teorema:
Triedro físico (3-D)
P
M
Demostración:
33
34
Ecuaciones de Lagrange para una partícula con una ligadura no holónoma (ideal):
Triedro físico (3-D)
P
M
3 grados de libertad
Incógnitas: 
34
35
Ecuaciones de Lagrange para una partícula con dos ligaduras no holónomas (ideales):
Triedro físico (3-D)
P
M
3 grados de libertad
Incógnitas: 
35
36
Ecuaciones de Lagrange para una partícula moviendose sobre una superficie sin rozamiento y con una ligadura no holónoma (ideal):
2 grados de libertad
Incógnitas: 
P
36
37
Ejemplo (ligaduras no holónomas ideales):
Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en cada instante al vector siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange que describen el movimiento de la partícula. 
Mg
38
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
Coordenadas generalizadas x,y,z,
paralelo a 
2 ligaduras no holónomas:
39
Solución (ligaduras no holónomas ideales):
Incógnitas:
Condiciones iniciales:
Compatibles con (1) y (2) !!
40
P) La Lagrangiana de un sistema lagrangiano de dos grados de libertad es , donde , y es el potencial generalizado del que se derivan las componentes generalizadas ( ) de las fuerzas. 
P1) Las componentes generalizadas de las fuerzas satisfacen:
A) , .
B) , .
C) , .
D) , .
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
1,2,3.
i
=
3
22
11
22
1
,i
i
TMvMx
=
==
å
r
&
,
1,2,3.
i
i
dT
F
dtx
i
¶
=
¶
=
&
,
i
i
dT
Mx
dtx
¶
º
¶
&&
&
1,2,3.
,
i
ii
i
dTT
F
dtxx
=
¶¶
-=
¶¶
&
,
ii
MxF
=
&&
1
x
2
x
3
x
F
r
r
r
112233
112233
,
.
FFeFeFe
rxexexe
=++
=++
r
rrr
rrrr
2
2
.
dr
MF
dt
=
r
r
dr
v
dt
=
r
r
123
¡(,,,)!
rqqqt
r
33
11
,
jjj
jj
j
rrr
qqa
tqt
==
¶¶¶
=+=+
¶¶¶
åå
rrr
r
&&
123123
(,,,,,,)
vqqqqqqt
r
&&&
123
(,,,),
1,2,3.
ii
i
xqqqt
iq
j
=
=º
j
q
º
&
2
2
.
dr
MF
dt
=
r
r
ii
QFa
º×
r
r
,
1,2,3.
i
ii
dTT
Q
dtqq
i
¶¶
-=
¶¶
=
&
112233112233
,.
FFeFeFerxexexe
=++=++
r
rrrrrrr
123
¿(),(),()?
qtqtqt
,1,2,3.
j
j
r
aj
q
¶
==
¶
r
r
2
1
123123
2
(,,,,,,),
TMvTqqqqqqt
=º
r
&&&
,
dv
MF
dt
=
r
r
2
j
j
j
ii
a
r
q
qqt
¶
¶
=+
¶¶¶
å
r
r
&
i
v
q
¶
=
¶
r
,
i
ii
dvv
MvMvQ
dtqq
æö
¶¶
×-×=
ç÷
¶¶
èø
rr
rr
&
22
11
22
,
i
ii
dvv
MMQ
dtqq
æö
¶¶
-=
ç÷
¶¶
èø
rr
&
,
ii
dv
MaQ
dt
×=
r
r
(
)
,
i
ii
dda
MvavQ
dtdt
æö
×-×=
ç÷
èø
r
rrr
3
1
,
j
j
j
rr
vq
tq
=
¶¶
=+
¶¶
å
rr
r
&
i
i
r
a
q
¶
=
¶
r
r
,
i
v
q
¶
=
¶
r
&
i
da
dt
r
i
dr
dtq
¶
=
¶
r
22
j
j
iji
rr
q
qqqt
¶¶
=+
¶¶¶¶
å
rr
&
FFN
*
=+
rrr
qq
dv
MaFa
dt
×=×
r
r
rr
q
FaQ
**
=׺
r
r
,
q
rrr
qqa
tqt
¶¶¶
=+º+
¶¶¶
rrr
r
&&
(
)
,
,,
q
qq
q
q
da
dvddTT
MaMvav
dtdtdtdtqq
da
vv
a
qdtq
æö
¶¶
×=×-׺-
ç÷
¶¶
èø
¶¶
ºº
¶¶
r
r
rrrr
&
r
rr
r
&
2
1
2
(,,),
TMvTqqt
=º
&
,
dTT
Q
dtqq
*
¶¶
-=
¶¶
&
112233
(,),(,),(,),
xqtxqtxqt
jjj
===
112233
.
reee
jjj
=++
rrrr
q
r
a
q
¶
=
¶
r
r
N
r
F
*
r
q
a
r
.
dv
MF
dt
=
r
r
,
FFN
*
=+
rrr
11
FaQ
**
=׺
r
r
1122
,
drr
vqaqa
dtt
¶
==++
¶
rr
rrr
&&
2
1
1212
2
(,,,,),
TMvTqqqqt
=º
&&
1
a
r
2
a
r
22
dv
MaFa
dt
×=×
r
r
rr
22
FaQ
**
=׺
r
r
1
11
2
22
,
,
dTT
Q
dtqq
dTT
Q
dtqq
*
*
¶¶
-=
¶¶
¶¶
-=
¶¶
&
&
111222123312
(,,),(,,),(,,),
xqqtxqqtxqqt
jjj
===
12
12
,,
rr
aa
qq
¶¶
==
¶¶
rr
rr
11
dv
MaFa
dt
×=×
r
r
rr
1
(,),1,2,3.
jj
qtj
jj
==
12
(,,),1,2,3.
jj
qqtj
jj
==
3
123
1
(,,,)
ii
i
rqqqte
j
=
=
å
rr
1,2,3.
j
jq
=º
'
()
O
rt
r
1
q
2
q
3
q
(
)
22
1
,.
1/
d
mvF
dt
vc
gg
=º
-
r
r
r
'112233
(),
o
rtqeqeqe
=+++
rrrr
112233
1
,,,
r
aeaeae
q
¶
====
¶
r
rrrrrr
'112233
,
o
vvqeqeqe
=+++
rrrrr
&&&
(
)
22222
11
123
22
1'12'23'3
2()2()2(),
o
ooo
TMvMvqqq
qveqveqve
¢
==++++
+×+×+×
rr
&&&
rrrrrr
&&&
0,
j
T
q
¶
=
¶
(
)
'
(),
joj
j
T
Mqve
q
¶
=+×
¶
rr
&
&
(
)
'
(),
joj
j
dT
Mqae
dtq
¶
=+×
¶
rr
&&
&
3
,
FMge
=-
r
r
11
0,
QFa
=×=
r
r
22
0,
QFa
=×=
r
r
33
,
QFaMg
=×=-
r
r
(
)
1'
()0,
o
Mqxt
+=
&&&&
(
)
2'
()0,
o
Mqyt
+=
&&&&
(
)
3'
(),
o
MqztMg
+=-
&&
&&
'
()
o
rt
r
'1'2'3
()()(),
ooo
xteytezte
=++
rrr
r
r
x
q
z
R
222
11
22
,
TMvMR
q
==
&
,
dTT
Fa
dt
q
qq
¶¶
-=×
¶¶
r
r
&
2
sin
MRMgR
qq
=-
&&
13
(sin(1cos)),
rRee
qq
=+-
rrr
13
(cossin),
r
aRee
q
qq
q
¶
==+
¶
r
rrr
N
13
(cossin),
vRee
qqq
=+
rrr
&
313
(sincos),
FMgeNee
qq
=-+-+
r
rrr
,,
r
qf
r
r
x
y
z
Fkr
=-
r
r
f
123
,,,,
qqqr
qf
=
123
sincossinsincos,
r
r
aeee
r
qfqfq
¶
==++
¶
r
rrrr
(
)
123
coscoscossinsin,
r
areee
q
qfqfq
q
¶
==+-
¶
r
rrrr
(
)
12
sinsinsincos,
r
aree
f
qfqf
f
¶
==-+
¶
r
rrr
r
v
t
¶
=
¶
r
r
,
jjr
j
qaraaa
qf
qf
+=++
å
rrrr
&&
&&
(
)
222222
1
2
sin
TMrrr
qfq
=++
&&
&
,
rr
QFakr
=×=-
r
r
0,
QFa
qq
=×=
r
r
0,
QFa
ff
=×=
r
r
(
)
222
1
22sin,
2
T
Mrr
r
qfq
¶
=+
¶
&&
(
)
22
1
2
2sincos,
T
Mr
fqq
q
¶
=
¶
&
0,
T
f
¶
=
¶
x
y
z
(
)
123
sincossinsincos,
rreee
qfqfq
=++
rrrr
(
)
1
2
2,
T
Mr
r
¶
=
¶
&
&
(
)
2
1
2
2,
T
Mr
q
q
¶
=
¶
&
&
(
)
22
1
2
2sin,
T
Mr
fq
f
¶
=
¶
&
&
,
dT
Mr
dtr
¶
=
¶
&&
&
(
)
2
1
2
42,
dT
Mrrr
dt
qq
q
¶
=+
¶
&&&
&
&
(
)
22
2sinsin2sincos0,
Mrrrr
fqfqfqqq
++=
&&&&&
&
,
r
dTT
Q
dtrr
¶¶
-=
¶¶
&
(
)
222
sin,
MrMrkr
qfq
-+=-
&&
&&
,
dTT
Q
dt
q
q
q
¶¶
-=
¶
¶
&
(
)
22
2sincos0,
MrrrMr
qqfqq
+-=
&&&&
&
,
dTT
Q
dt
f
f
f
¶¶
-=
¶
¶
&
(
)
2222
1
2
4sin2sin4sincos,
dT
Mrrrr
dt
fqfqfqqq
f
¶
=++
¶
&&&&&
&
&
x
y
z
(
)
222222
1
2
sin,
TMrrr
qfq
=++
&&
&
2
zax
=
a
qx
º
(
)
22
14,
T
Mxax
x
¶
=+
¶
&
&
(
)
2222
148,
dT
MxaxaMxx
dtx
¶
=++
¶
&&&
&
,
FMgkN
=-+
r
rr
N
r
2,
xx
QFaMgax
=×=-
r
r
,
x
dTT
Q
dtxx
¶¶
-=
¶¶
&
(
)
222222
14842,
MxaxaMxxaMxxMgax
++-=-
&&&&
(
)
2222
1442,
xaxaxxgax
++=-
&&&
,
qx
º
2
,
rxiaxk
=+
r
r
r
2,
x
r
aiaxk
x
¶
==+
¶
r
r
r
r
2,
dr
vxiaxxk
dt
==+
r
r
r
r
&&
(
)
(
)
(
)
222
11
22
2222222
11
22
414,
TMvMxz
MxaxxMxax
==+=
=+=+
r
&
&
&&&
22
4,
T
aMxx
x
¶
=
¶
&
,
FMgk
*
=-
r
r
(,)
Urt
r
,
UUUU
FUijk
rxyz
*
æö
¶¶¶¶
=-º-Ѻ-++
ç÷
¶¶¶¶
èø
r
r
rr
r
,
UMgz
=
2
1
2
,
UKr
=
(
)
'
'(),
O
FKOPKrrt
*
=-=--
uuuur
r
rr
2
1
'
2
(),
O
UKrrt
=-
rr
,
FKr
*
=-
r
r
r
r
r
r
'
()
O
rt
r
,
e
Uq
=F
'
,
()
O
U
rrt
a
=-
-
rr
'
3
3
'
'()
,
()
'
O
O
OPrrt
F
rrt
OP
aa
*
-
=-=-
-
uuuur
rr
r
uuuuuur
rr
E
r
,
F
.
E
=-ÑF
r
e
q
(
)
,
ee
qEq
º-ÑF
r
(,,)
Urvt
rr
,
dUU
F
dtvr
dUUUUUU
ijkijk
dtxyzxyz
*
¶¶
=-º
¶¶
æöæö
¶¶¶¶¶¶
++-++
ç÷ç÷
¶¶¶¶¶¶
èøèø
r
rr
rr
rrrr
&&
&
F
*
r
(,,,,,,)
Uxyzxyzt
&&
&
()2,
Io
d
FMarrv
dt
w
www
æö
¢
=-+´´+´+´
ç÷
èø
r
r
rrr
rrrr
(
)
2
1
2
()(),
o
UMarrvr
ww
¢
=×-´-×´
rr
rrrrr
0
,
mage
FqvBk
=´
r
r
r
11
00
22
()(),
ee
UqrBkvqByxxy
=´×º-
r
rr
&&
j
jj
da
dUUU
aa
dtvvdtr
¶¶¶
æö
=×-×-×=
ç÷
¶¶¶
èø
r
rr
rrr
(,,)
Uqqt
&
123
(,,,)
rqqqt
r
j
j
r
a
q
¶
º
¶
r
r
jj
dUU
Qa
dtvr
*
¶¶
æö
=-×
ç÷
¶¶
èø
r
rr
jjj
dUvUvUr
dtvqvqrq
æö
¶¶¶¶¶¶
=×-×-×
ç÷
ç÷
¶¶¶¶¶¶
èø
rrr
rrr
&
,
jj
dUU
dtqq
æö
¶¶
=-
ç÷
ç÷
¶¶
èø
&
(,,)
LqqtTU
=-º
&
123
(,,,),
rqqqt
r
,1,2,3.
j
j
r
aj
q
¶
º=
¶
r
r
,
jjjj
dTTdUU
dtqqdtqq
æöæö
¶¶¶¶
-=-
ç÷ç÷
ç÷ç÷
¶¶¶¶
èøèø
&&
(,,),(,,),
TqqtUqqt
&&
0,
jj
dLL
dtqq
æö
¶¶
-=
ç÷
ç÷
¶¶
èø
&
11
(,,)
LqqtTU
=-
&
1
(,),
rqt
r
1111
(,,),(,,),
TqqtUqqt
&&
11
0,
dLL
dtqq
æö
¶¶
-=
ç÷
¶¶
èø
&
LTU
=-
12
(,,),
rqqt
r
12121212
(,,,,),(,,,,),
TqqqqtUqqqqt
&&&&
11
22
0,
0,
dLL
dtqq
dLL
dtqq
ì
æö
¶¶
-=
ï
ç÷
¶¶
ïèø
í
æö
¶¶
ï
-=
ç÷
ï
¶¶
èø
î
&
&
0,1,2,3,
jj
dLL
j
dtqq
æö
¶¶
-==
ç÷
ç÷
¶¶
èø
K
&
(),1,2,3,
j
qtj
=
K
(,,)
Lqqt
&
q
0,
dLL
dt
q
q
¶¶
-=
¶
¶
&
2
()sin0
MRRMgKR
qq
++=
&&
P
(
)
22
1
2
()1cos,
LTUMRRMgKR
qq
=-=-+-
&
,
a
q
=
r
L
,
v
=
r
L
(
)
(
)
2
1
2
2
(1cos)1cos
()1cos,
UMgzKOP
MgRKR
RMgKR
qq
q
=+=
=-+-=
=+-
uuur
22
zaxby
=+
x
y
z
(
)
4(),
L
Mxaxaxxbyy
x
¶
=++
¶
&&&
&
(
)
(
)
22
11
22
8()224()
L
MaxxbyyaxMgaxKxaxaxby
x
¶
=+--++
¶
&&&
22
(),
rxiyjzkxiyjaxbyk
=++=+++
rr
rrrr
r
2(),
vxiyjzkxiyjaxxbyyk
=++=+++
rr
rrrr
r
&&&&&&
&
(
)
2222
11
22
4(),
TMvMxyaxxbyy
==+++
r
&&&&
(
)
2
1
2
2222222
1
2
()(),
UMgzKOP
MgaxbyKxyaxby
=+=
=+++++
uuur
(
)
(
)
2222222222
11
22
4()()(),
LTU
MxyaxxbyyMgaxbyKxyaxby
=-=
=+++-+-+++
&&&&
(
)
4(),
L
Mybyaxxbyy
y
¶
=++
¶
&&&
&
(
)
(
)
22
11
22
8()224()
L
MaxxbyyayMgbyKybyaxby
y
¶
=+--++
¶
&&&
0,
dLL
dtxx
¶¶
-=
¶¶
&
0,
dLL
dtyy
¶¶
-=
¶¶
&
(
)
(
)
2223
222
(14)22
24()40,
MaxxxagMKaKx
xabKyaMaxbyabMyy
+++++
++++=
&&
&&&&
(
)
2223
222
(14)(2)2
24()40,
MbyybgMKybKy
yabKxbMaxbyabMxx
+++++
++++=
&&
&&&&
123
,,,
qqqq
=
123
(,,,)
ii
xxqqqt
=
,
j
a
r
3
11111223311
1
(),
CN
jj
j
fvdtAexexexedtAdt
mm
=
×=×++=-
å
r
rrrrr
&&&
3
11
1
(,)(,)0,
ii
i
BqtqBqt
=
+=
å
&
3
11
1
(,)(,)0,
ii
i
ArtxArt
=
+=
å
rr
&
(
)
1111112213311
1111122133
(,)(,)(,),
(,)(,)(,),
CN
fArteArteArteb
bArteArteArte
mm
=++º
=++
rr
rrrrrr
r
rrrrrr
(,),
rrqt
=
rr
33
11111
11
(,),(,),
jj
ijj
jj
i
xx
BqtABqtAA
qt
==
¶¶
==+
¶¶
åå
333
111111
111
11
()(),
j
jjjjj
jii
x
r
AeaAeAB
qq
===
¶
¶
×=×=º
¶¶
ååå
r
rrr
3
11
1
1,,
,
0,,
(1,2,3;1,2,3)
jj
jiji
j
ij
bBaaa
ij
ij
d
=
=
ì
º×==
í
¹
î
==
å
r
rrr
1111
baB
×==
r
r
12121313
,,
baBbaB
×==×==
rr
rr
LLLL
33
1111111
11
,,,(,)(,)0,
CNjj
jijiii
ji
fbbBaaaBqtqBqt
md
==
=º×=+=
åå
rrr
rrr
&
1231
(),(),(),(),
qtqtqtt
m
*
1
CN
FFf
=+
r
rr
3
11
1
(,)(,)0,
ii
i
BqtqBqt
=
+=
å
&
111111211213113
,,,
CNCNCN
faBfaBfaB
mmm
×=×=×=
rrr
rrr
11
,1,2,3.
i
ii
dLL
Bi
dtqq
m
¶¶
-==
¶¶
&
(,,),
LqqtTU
=-
&
3
1
(,)(,)0,1,2
riir
i
BqtqBqtr
=
+==
å
&
121122
,
CNCNCN
fffbb
mm
=+=+
rrrrr
*
,
CN
FFf
=+
r
rr
3
1
(,)(,)0,1,2
riir
i
BqtqBqtr
=
+==
å
&
111122121122223113223
,,,
CNCNCN
faBBfaBBfaBB
mmmmmm
×=+×=+×=+
rrr
rrr
2
1
,1,2,3.
rri
r
ii
dLL
Bi
dtqq
m
=
¶¶
-==
¶¶
å
&
12312
(),(),(),(),(),
qtqtqttt
mm
2
11
1
(,)(,)0,
ii
i
BqtqBqt
=
+=
å
&
1
CN
f
r
11
,1,2
i
ii
dLL
Bi
dtqq
m
¶¶
-==
¶¶
&
121
(),(),(),
qtqtt
m
2
11
1
(,)(,)0,
ii
i
BqtqBqt
=
+=
å
&
12
11111112
,,
CN
fbbBaBa
m
==+
rrr
rr
()(2sin)(3cos)(4sin),
uttitjtk
www
=++-++
r
rr
r
w
x
y
z
vxiyjzk
=++
r
rr
r
&&
&
222
1
2
(),
UMgzKxyz
=+++
,
LTU
=-
(
)
11112132212223
()(),
CN
dLL
fiBiBjBkBiBjBki
dtxx
mm
¶¶
-=×=+++++×
¶¶
rrr
rrrrrr
&
(
)
11112132212223
()(),
CN
dLL
fjBiBjBkBiBjBkjdtyy
mm
¶¶
-=×=+++++×
¶¶
rrr
rrrrrr
&
(
)
11112132212223
()(),
CN
dLL
fkBiBjBkBiBjBkk
dtzz
mm
¶¶
-=×=+++++×
¶¶
rrrrr
rrrr
&
v
r
()
ut
r
,
2sin3cos4sin
xyz
ttt
www
==
+-+
&&
&
(1):(3cos)(2sin)0,
txty
ww
--+=
&&
1112
131
(3cos),(2sin),
0,
BtBt
BB
ww
=-=-+
==
(2):(4sin)(3cos)0,
tytz
ww
+--=
&
&
2223
212
(4sin),(3cos),
0,
BtBt
BB
ww
=+=--
==
222
1
2
(),
TMxyz
=++
&&
&
(3cos)(2sin)0,(1)
txty
ww
--+=
&&
(4sin)(3cos)0,(2)
tytz
ww
+--=
&
&
1
(3cos),
MxKxt
mw
+=-
&&
12
(2sin)(4sin),
MyKytt
mwmw
+=-+++
&&
2
(3cos),
MzKzMgt
mw
++=--
&&
12
(),(),(),(),(),
xtytzttt
mm
000
(),(),(),
xtytzt
000
(),(),(),
xtytzt
&&
&
1
22
2
Qq
=-
&
1
21
2
Qq
=--
&
111
Qqq
=-
&
11
Qq
=-
22
Qq
=-
L
LTU
=-
22
1
12
2
()
Tqq
=+
&&
2
1
212112
2
2()
Uqqqqqq
=+++
&&
j
Q
11
Qq
=-
1
2
2
Q
=-
121
Qqq
=-
&