Aer11Sep-1_es

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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS 
EXAMEN DE ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS 
2 de septiembre de 2011 
Problema nº 1: 
La figura representa la sección transversal idealizada de un ala, que está formada 
por 5 cordones que soportan los esfuerzos normales de flexión y 6 paneles de chapa 
capaces de soportar únicamente los esfuerzos cortantes, con las siguientes propiedades: 
Áreas de los cordones: Espesores de los paneles: 
A1= A3= A4= 600 mm2 52: 4 mm (larguero anterior) 
A2= A5= 1500 mm2 43: 3 mm (larguero posterior) 
 32, 21, 15, 54: 2 mm (revestimiento) 
Las longitudes de los paneles y áreas encerradas se dan en la figura. 
El valor del módulo de elasticidad es E=70000 MPa y del módulo de elasticidad en 
cortadura es G=27000 MPa. 
Se pide: 
1.- Determinar y representar los flujos cortantes en los paneles debidos a una fuerza 
cortante vertical Sy=1000 N, aplicada en el centro de cortadura de la sección. 
2.- Determinar la posición horizontal del centro de cortadura. 
3.- Calcular la rigidez a cortadura GKy de la sección. 
4.- Determinar la rigidez a torsión de la sección. 
 
 
 
400 800
120 180
200
a
1 2
3
45
t=2
t=4
t=2
t=2t=2
t=3
600 mm2
600 mm2600 mm
2 1500 mm2
1500 mm2
S =128.000 mm2543 2
L =804 mm23L =402 mm12
S =27.000 mm21a S =76.000 mm1a52
2
L =850 mm1a5
1 / 3 
Problema 1.- 2 de septiembre de 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.- Para una sección idealizada los saltos de flujo en los cordones vienen dados por la relación: 
· · · ·y xi i i i i
x y
S Sq y B x B
I I
∆ = − − 
Para aplicar esta relación hemos de situar los ejes en el centro de gravedad de la sección. 
Tomando momentos estáticos con respecto a unos ejes x’y’ con origen en el cordón 5: 
'· 2·600·800 600·400 600·1200' 150
3·600 2·1500 4800
i i
G
i
x B
x mm
B
−
= = = =
+
∑
∑
 
'· 600·180 1500·200 600·120 480000' 100
4800 4800
i i
G
i
y B
y mm
B
+ +
= = = =∑
∑
 
Situados los ejes en G, calculamos los momentos y producto de inercia, las fuerzas cortantes 
efectivas y los saltos de flujo. Es útil organizar los cálculos en forma de tabla, que se da a continuación. 
 
Cordón B x y y2·B x2·B xy·B Δq 
 (mm2) (mm) (mm) (mm4) (mm4) (mm4) N/mm 
1 600 -550 80 3,84E+06 1,82E+08 -2,64E+07 -0,640 
2 1500 -150 100 1,50E+07 3,38E+07 -2,25E+07 -3,722 
3 600 650 20 2,40E+05 2,54E+08 7,80E+06 -1,169 
4 600 650 -100 6,00E+06 2,54E+08 -3,90E+07 0,849 
5 1500 -150 -100 1,50E+07 3,38E+07 2,25E+07 4,683 
Sumas 4800 4,01E+07 7,56E+08 -5,76E+07 0,00 
 Ix Iy Ixy 
Para una fuerza vertical de valor 1000, los valores resultan: 
2
· / 1000 1123,0
1 / 0,8905
y x xy y
y
xy x y
S S I I
S
I I I
−
= = =
−
 
2
· /
· 1613,8
1 /
x y xy x y xy
x
xy x y x
S S I I S I
S
I I I D I
−
= = − =
−
 
5 62,802·10 · 2,135·10 ·i i i i iq y B x B
− −∆ = − − 
Como comprobación de resultados, la suma de los saltos de flujo en los cordones es nula. 
400 800
120 180
200
a
1 2
3
45
t=2
t=4
t=2
t=2t=2
t=3
600 mm2
600 mm2600 mm
2 1500 mm2
1500 mm2
S =128.000 mm2543 2
L =804 mm23L =402 mm12
S =27.000 mm21a S =76.000 mm1a52
2
L =850 mm1a5
x
y
G
2 / 3 
La sección en bicelular. El procedimiento de resolución consiste en abrir las dos celdillas y 
determinar los flujos básicos en la sección abierta resultante. Posteriormente añadimos dos flujos q1 y 
q2, que calculamos imponiendo el giro nulo de las células, mediante el sistema de ecuaciones: 
∑−=−+− ++−− i biiiiiiiii qqqq δδδδ ···· 11,,1,1 
La posición del centro elástico la determinamos posteriormente planteando la equivalencia de 
los momentos de los flujos y de la carga aplicada. 
yiiqb SdSqM ·2· =+∑ ∑ 
Hay diversas opciones para abrir las células. Por ejemplo, puede optarse por los paneles 
superiores 21 y 23. Para tomar momentos se elige el cordón 5, por lo que debe calcularse el área barrida 
de los paneles respecto a este punto. 
Para organizar los cálculos utilizamos la siguiente tabla: 
 
Panel Δs t δ δcel qb qb·δ 2S 2Scel qb·2S qy 
21 402 2 201 676,0 0,0 0,0 80000 206000 0,0 0,129 
15 850 2 425 -0,640 -272,17 126000 -8,069E+4 -0,512 
52 200 4 50 -------- 3,722 186,12 0 ---------- 0,0 3,831 
54 800 2 400 892,0 0,320 128,08 0 256000 0,0 0,340 
43 120 3 40 1,169 46,75 96000 1,122E+5 1,189 
32 804 2 402 0,0 0,0 160000 0,0 0,020 
 462000 3,151E+4 
 
 
Distribución de flujos básicos: 
 
 
 
 
 
 
Comprobación de las resultantes de los flujos. 
Vertical: 0,640·180 + 3,722·200 + 1,169·120 = 1000 
Horizontal: -0,640·400 + 0,320·800 = 0 
 
A esta distribución de flujos se añaden los flujos hiperestáticos q1 y q2, con sentido antihorario. 
 
Sistema de ecuaciones para determinar q1 y q2: 
1 1
2 2
676 50 272,17 186,12 86,06 0,129
50 892 186,12 128,08 46,75 11,29 0,020
q q
q q
− − +                   = − = ⇒ =           
 − − + +                  
 
 
a
1 2
3
45
3,722
0,640 0,320
1,169
S =1000y
q1 q2
3 / 3 
Los flujos totales para la fuerza vertical aplicada en el centro elástico de la sección resultan: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.- Posición horizontal del centro de cortadura 
Momentos con respecto al cordón 5: 
 
 3,151·104 + (+0,129)·206000 + (+0,346)·256000 = 1000·d 
 d = 63,1 mm 
Es decir, el centro de cortadura está situado a 63,1 mm del panel central, hacia el borde de 
salida. 
 
3.- Área reducida en cortadura 
2
6
1 1 · ·
10 yy
q
A
δ= ∑ 
Multiplicando las columnas correspondientes de la tabla anterior: 
 Ay = 1051 mm2 GAy = 2,838 107 N 
 
4.- Rigidez a torsión. 
Sistema de ecuaciones: iiiiiiiiii Sqqq 2··· 11,,1,1 =′−′+′− ++−− δδδ 
1 1
2 2
676 50 206000 327,32
50 892 256000 305,34
q q
q q
′ ′−                = ⇒ =         
′ ′ −               
 
·2i iJ q S′=∑ 
 
 J = 1,456·108 mm4 GJ = 3,931 1012 Nmm2 
 
a
1 2
3
45
3,831
0,512 0,340
1,189
S =1000y 0,0200,129
d=63,1
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