Tema 3 - Teoria del laminado

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MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
OBJETIVO: 
Exponer la teoría básica necesaria para la determinación 
de esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales 
de material compuesto en forma de “laminados”. 
Las estructuras de pared delgada se modelizarán mediante 
membranas (láminas planas o curvas que soportan esfuerzos 
en el plano tangente, con deformaciones en el plano del 
elemento pequeñas a lo largo del espesor) o placas (esfuerzos 
de membrana y cortantes, flectores y torsores). 
Se emplearán refuerzos en forma de barras (elementos lineales 
que trabajan en tracción/compresión) o vigas (pueden soportar 
cargas axiales y cortantes, momentos flectores y torsores) para 
mantener la forma de las secciones transversales, introducir 
cargas concentradas o aumentar esfuerzos de pandeo. 
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ESTRUCTURAS DE 
MATERIAL COMPUESTO: 
pared delgada tipo 
monocasco o semi-
monocasco 
Estructura semi-monocasco metálica: 
revestimiento de fuselaje metálico 
Estructura semi-monocasco de CFRP: 
revestimiento del estabilizador de A340-600 
Obtenidas mediante apilado de 
láminas individuales. 
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Función de las propiedades (constantes 
ingenieriles) de cada una de las láminas 
que componen el laminado. 
σ{ }k = [Q]kεk [Q]k
n 
: 
k 
: 
2 
1 
Apilado de láminas 
individuales. 
LAMINADO 
LÁMINA 
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!  La LÁMINA es el bloque básico de construcción de un LAMINADO. 
!  Las propiedades, por un lado y la secuencia de apilado de las láminas 
(orientaciones, situación y cantidades relativas), por otro lado, definirán 
en conjunto las propiedades mecánicas del laminado. 
!  Para determinarlas será necesario conocer primero las propiedades 
mecánicas de la lámina (“bloque básico”) de manera individual, bien a 
partir de ensayos, bien mediante modelos y herramientas 
micromecánicas (ver “Tema 2”). 
!  Existen dos formas básicas de presentación de lámina: cinta y tejido. 
cinta 
unidireccional 
tejido 
bidireccional 
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Lámina unidireccional: 
• La configuración de una lámina unidireccional de material compuesto, 
define un comportamiento claramente ortótropo: en cualquier punto de la 
lámina hay 3 direcciones principales perpendiculares entre si, para la 
cuales las propiedades mecánicas son distintas. 
• Se planteará un análisis mecánico simplificado, excluyendo esfuerzos 
fuera del plano de la lámina. Se considerarán únicamente: 
! Esfuerzos longitudinales: σ1 
! Esfuerzos transversales: σ2 
! Esfuerzos cortantes: τ12 
1
2 
3 
esfuerzos 
longitudinales esfuerzos 
transversales 
esfuerzos 
cortantes 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Notación de laminados. 
 
0º 
-45º 
45º 
90º 
90º -45º 
0º 
45º 
90º 
90º 
45º 
0º 
[0,45,90] 
90º 
45º 
0º 
[0,45,90]S 
Simétrico 
45º 
0º 
[0,±45,90]$ 
Simétrico impar equilibrado 
0º 
45º 
90º 
45º 
0º 
[0,45,90]2 
Repetido Laminado básico 
El LAMINADO se forma mediante el apilamiento de 
varias láminas ortótropas o isótropas. 
Eje x 
laminado 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
CÓDIGO ESTÁNDAR DE IDENTIFICACIÓN DE LAMINADOS 
"  Cada lámina se identifica con un número que corresponde al ángulo en 
grados entre la dirección de las fibras en la lámina y el eje “x” del laminado. 
"  Láminas individuales adyacentes de diferente orientación se separan 
mediante una “barra inclinada” ( / ). En ocasiones mediante una “coma” (,). 
"  Las láminas se citan secuencialmente desde una cara del laminado a la otra, 
comenzando por la primera lámina colocada (cara de útil) y encerrando la 
secuencia entre corchetes ([ …. ]). 
"  Láminas adyacentes de idéntica orientación se indican mediante un subíndice 
numérico del ángulo correspondiente, indicando el subíndice el Nº de láminas 
con dicha orientación. 
"  Se antepone el signo “+” o “-” al ángulo de cada lámina para indicar el sentido 
del ángulo entre la dirección de las fibras en la lámina y el eje “x” del laminado 
consistente con el sistema de coordenadas establecido en cada caso. 
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"  Cuando 2 láminas adyacentes están orientadas con ángulos iguales en 
magnitud pero de signos opuestos, se suele anteponer al ángulo el signo “±”, 
representando cada signo una lámina diferente. 
"  Cuando las orientaciones de las láminas del laminado presentan simetría 
respecto al plano medio de éste, se especifica únicamente la mitad de la 
secuencia de apilado, añadiendo el subíndice “s” al corchete para indicar que 
la otra mitad es la simétrica de la indicada. 
"  Laminados simétricos con Nº impar de láminas se codifican como los 
simétricos con Nº par (punto anterior), pero se coloca una barra sobre la 
lámina central, codificada la última, para indicar que la mitad de dicha lámina 
está sobre el plano de simetría y la otra mitad bajo él. 
"  Grupos de secuencias de láminas repetidos en el laminado se denominan 
conjuntos y se encierran entre paréntesis, añadiendo un subíndice numérico 
que indica el Nº de veces que dicho grupo se repite secuencialmente. 
CÓDIGO ESTÁNDAR DE IDENTIFICACIÓN DE LAMINADOS 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
CÓDIGO ESTÁNDAR DE IDENTIFICACIÓN DE LAMINADOS 
"  Cuando se maneja un laminado híbrido, el código estándar resulta 
parcialmente modificado para añadir información relativa al material de cada 
lámina. 
"  Si se utilizan láminas de tejido en el laminado, como ángulo correspondiente a 
la lámina se utiliza el de la urdimbre del tejido, encerrado entre paréntesis para 
indicar que se trata de tejido. 
[0/±45/(90/02)3/±302/0]s Nº total láminas: 33 
ASTM D 6507 “Standard Practice for Fiber Reinforcement 
Orientation Codes for Composite Materials” 
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•  Criterios básicos de orientación de las láminas: 
"  La configuración cuasi-isótropa [0/ ± 45/ 90]ns en carbono HS / 
epoxy, proporciona una rigidez similar al aluminio. 
" Un mayor número de láminas en dirección de las cargas 
dominantes, conduce a un diseño más optimizado. 
" Por su carácter frágil, nunca confiar exclusivamente en la 
resistencia transversal de la resina; debe haber un mínimo del 10 
% de láminas a 90º y ± 45º. 
" Cuando hay cambios de geometría, taladros, etc., el mínimo 
recomendado a cada orientación es del 20% (“bearing strength”). 
"  Las orientaciones usuales son 0, 90 y ± 45; orientaciones distintas 
encarecen la producción sin ninguna ventaja importante (salvo en 
espesores muy pequeños). 
" Desviaciones admisibles en orientación: ± 3º. 
"  Las láminas a ± 45º proporcionan la rigidez y resistencia a 
cortadura, referida al sentido longitudinal. 
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"  El aspecto “novedoso” a considerar en diseño estructural con 
materiales compuestos respecto a los materiales estructurales 
convencionales, tales como las aleaciones metálicas, es su marcada 
anisotropía y la naturaleza macroscópicamente heterogénea de los 
laminados. 
"  Existe una fuerte analogía entre los pasos correspondientes a la 
fabricación de un laminado y los correspondientes al desarrollo de la 
teoría del laminado: En ambos casos, el “ladrillo” o “elemento básico 
constructivo” es la lámina ortogonal bien en forma de cinta 
unidireccional, bien en forma de tejido cruzado. 
"  El punto de partida de la teoría del laminado es la relación esfuerzo-
deformación de la lámina expresada en los ejes de simetría del 
material (ejes 1, 2, 3): [σ]12 = [Qij]12 [ε]12. 
"  Al construir el laminado, cada lámina se va apilando (colocando 
encima o superponiendo) de tal modo que sus fibras forman un 
determinado ángulo (θ) respecto a los ejes de referencia del laminado 
(ejes x, y, z). 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DELLAMINADO 
Definición de ejes lámina y ejes laminado 
≡ 3 
θ 
θ 
2 
1 
x 
y 
LAMINADO 
LAMINA K 
n 
: 
k 
: 
2 
1 
n-1 
3 
zk zk-1 
zn 
zo 
Plano medio 
del laminado. 
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Sistema de ejes de la lámina: Lámina “unidireccional” (U/D) eje local 
“1” paralelo a las fibras; tejido eje local “1” paralelo a la urdimbre. 
Estado de esfuerzos plano en el plano 1-2: 
0
0,,
31233
1221
===
≠
ττσ
τσσ
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Sean: σ1 ≠ 0 y σ2, τ12 = 0 
σ1 σ1 
Las deformaciones serán: 
Paralela al eje “1”, ε1 = σ1/E1; 
Paralela al eje “2”, ε2 = - ν12·σ1/E1; 
ν12 es la relación “principal” de Poisson. 
1 
2 
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Sean: σ2 ≠ 0 y σ1, τ12 = 0 
σ2 
σ2 
Las deformaciones serán: 
Paralela al eje “2”, ε2 = σ2/E2; 
Paralela al eje “1”, ε1 = - ν21·σ2/E2; 
1 
2 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Sean: τ12 ≠ 0 y σ1, σ2 = 0 
La deformación será: γ12 = τ12/G12; 
1 
2 
τ12 
τ12 
τ12 
τ12 
Agrupando de forma matricial las relaciones entre esfuerzos y 
deformaciones recién obtenidas en los ejes ortótropos de la 
lámina, se obtiene: 
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!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
!
!
!
"
#
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−
−
=
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
12
2
1
12
2112
2211
12
2
1
100
01
01
τ
σ
σ
ν
ν
γ
ε
ε
G
EE
EE
La relación esfuerzos-deformaciones para un material ortótropo bajo 
condiciones de esfuerzos planos y expresada en los ejes del material 
(ejes principales) de la forma: 
De las 5 constantes elásticas, sólo 4 son independientes, ya que: 
!12 / E1 = !21 / E2 
"  E1 y E2: módulos elásticos en las direcciones longitudinal (1) y transversal (2). 
"  G12: módulo de cortadura en el plano 12. 
"  ν12: módulo de Poisson “principal” o mayor, proporciona la deformación transversal 
provocada por una deformación longitudinal. 
"  ν21: módulo de Poisson menor, proporciona la deformación longitudinal provocada 
por una deformación transversal. 
[ ] [ ][ ]σε S=
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En general resulta más conveniente trabajar con la forma inversa de la 
anterior ecuación: 
[ ] [ ][ ]εσ Q=
( ) ( )
( ) ( )
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
−−
−−
=
!
!
!
"
#
$
$
$
%
&
12
2
1
12
211222112121
211221221121
12
2
1
00
011
011
γ
ε
ε
ννννν
ννννν
τ
σ
σ
G
EE
EE
Donde los elementos Qij se denominan “coeficientes de rigidez 
reducida”. 
Q11 = E1 / (1 - !12!21) 
Q22 = E2 / (1 - !12!21) 
Q12 = !21E1 / (1 - !12!21) = !12E2 / (1 - !12!21) 
Q66 = G12 
[σ]12 = [Qij]12 [ε]12 
Indica en “ejes locales” de la lámina o ejes “1-2” 
(1) 
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Cuando una lámina se incorpora para formar un laminado, la dirección 
paralela a las fibras (lámina unidireccional) o a la urdimbre (lámina de 
tejido) de la lámina (dirección “1”), formará un determinado ángulo (“"”) 
con relación a un eje de referencia fijo en el laminado (dirección “x”). 
CONVENIO: " se mide desde el eje “x” hacia el eje “1” y es positivo en 
sentido contrario a las agujas del reloj. 
x, y: ejes generales del laminado 
1, 2: ejes locales de la lámina 
# 
Todos los cálculos se 
realizarán utilizando los 
ejes “del laminado” o 
sistema de ejes x-y, lo que 
requiere el transformar las 
re lac iones esfuerzos-
deformaciones desde los 
“ejes locales” de cada 
lámina,1-2 a los generales 
del laminado, x-y. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Los esfuerzos referidos a los ejes “del laminado” o sistema de ejes x-y, 
σx, σy y τxy, están relacionados con los esfuerzos en los “ejes lámina” o 
locales (sistema de ejes 1-2), σ1, σ2 y τ12, mediante las ecuaciones de 
transformación: 
[σ]xy = [T]-1 [σ]12 
[ε]12 = [T] [ε]xy 
Y, análogamente, las deformaciones referidas a los ejes “del laminado”, 
εx, εy y γxy/2, están relacionadas con las deformaciones en los “ejes 
lámina, ε1, ε2 y γ12/2, mediante las ecuaciones de transformación: 
La matriz [T] de transformación y su inversa [T]-1 son: 
 c2 s2 2cs 
 s2 c2 -2cs 
-cs cs c2 - s2 
[T] = 
c = cos θ 
s = sen θ 
(2) 
[ε]xy = [T]-1 [ε]12 (3) 
 c2 s2 -2cs 
 s2 c2 2cs 
 cs -cs c2 - s2 
[T]-1 = 
[σ]12 = [T] [σ]xy ; 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Sustituyendo en la ecuación (2) los valores de σ1, σ2 y τ12 dados 
por la ecuación (1) y, en la ecuación resultante, sustituyendo los 
valores de ε1, ε2 y γ12/2 dados por la ecuación (3), queda: 
[σ]xy = [T]-1 [Q]12 [T] [ε]xy 
[Q]xy 
[σ]xy = [Q]xy [ε]xy ; donde: 
Quedando la relación esfuerzos-deformaciones de una lámina ortótropa 
referida a los ejes generales del laminado como: 
“coeficientes de rigidez 
reducida transformados” 
(4) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Qxx = c4Q11 + s4Q22 + 2c2s2Q12 + 4c2s2Q66 
Qyy = s4Q11 + c4Q22 + 2c2s2Q12 + 4c2s2Q66 
Qxy = c2s2Q11 + c2s2Q22 + (c4 + s4)Q12 - 4c2s2Q66 
Qxs = c3sQ11 - cs3Q22 - cs(c2 - s2)Q12 - 2cs(c2 - s2)Q66 
Qys = cs3Q11 - c3sQ22 + cs(c2 - s2)Q12 + 2cs(c2 - s2)Q66 
Qss = c2s2Q11 + c2s2Q22 - 2c2s2Q12 + (c2 - s2)2Q66 
son los coeficientes de rigidez reducida transformados y 
siendo Q11, Q22, Q12 y Q66 los valores principales de rigidez 
de la lámina o “coeficientes de rigidez reducida” 
indicados 4 diapositivas más atrás. 
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Se pueden obtener las expresiones explícitas para las constantes de 
ingeniería de la lámina en los ejes “del laminado” (Ex, Ey, Gxy, etc.) en 
función de las correspondientes constantes en los ejes principales de la 
lámina (E1, E2, G12, etc.). A modo de ejemplo: 
1/Ex = (1/E1)c4 + (1/G12 - 2$12/E1)c2s2 + (1/E2)s4 
1/Gxy = (4c2s2/E1)(1 + $12) + (4c2s2/E2)(1 + $21) + (c2 - s2)2/G12 
Las relaciones deformaciones - esfuerzos pueden obtenerse invirtiendo 
las de esfuerzos - deformaciones directamente o transformando las de 
deformaciones-esfuerzos desde ejes principales lámina (12) a generales 
laminado (xy), quedando: 
[ε]xy = [T] [S]12 [T] -1 [σ]xy 
[S]xy 
(5) 
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E1 = 200 GPa 
E2 = 10 GPa 
G12 = 5 GPa 
ν12 = 0,30'
1/Ex = (1/E1)c4 + (1/G12 - 2$12/E1)c2s2 + (1/E2)s4 
x, y: ejes generales del laminado 
1, 2: ejes locales de la lámina 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
E1 = 200 GPa 
E2 = 10 GPa 
G12 = 5 GPa 
ν12 = 0,30'
x, y: ejes generales del laminado 
1, 2: ejes locales de la lámina 
1/Gxy = (4c2s2/E1)(1 + $12) + (4c2s2/E2)(1 + $21) + (c2 - s2)2/G12 
4,0 
4,5 
5,0 
5,5 
6,0 
6,5 
7,0 
7,5 
8,0 
8,5 
9,0 
9,5 
10,0 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 
θ (º)'
G
xy
 (G
Pa
) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
! Un laminado se comporta como un cuerpo sólido de una sola capa 
es decir existe “integridad estructural” o unión perfecta entre las 
láminas que constituyen el laminado. 
!  Las láminas individuales que lo forman, están conectadas a través 
de una capa (interlámina) de unión perfecta, infinitamente delgada, 
que no se deforma bajo una solicitación a cortadura. 
!  Las láminas individuales son homogéneas (idénticas propiedades 
en todos sus puntos) y ortótropas (3 direcciones perpendiculares en 
las cuales las propiedades mecánicas son diferentes). 
!  El espesor total del laminado, h, es pequeño en comparación con 
sus dimensiones en el plano. 
!  Los desplazamientos son pequeños comparados con el espesor del 
laminado (|u|, |v|, |w| << h). 
TEORÍA CLÁSICA DE LA LAMINACIÓN. 
HIPÓTESIS: 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
!  Para análisis bidimensionales de esfuerzos planos, la deformación se 
supone constante a lo largo del espesor. 
!  En flexión, los desplazamientos varían linealmente a lo largo del 
espesor, es decir, u y v son funciones lineales de z. 
!  El comportamiento permanece lineal. La “Ley de Hooke”es válida. 
!  Se cumplen las “hipótesis de Kirchhoff”: 
!  Las normales a la superficie media del laminado, permanecen rectas 
durante la deformación (no se alabean) y, además, permanecen 
normales a dicha superficie durante la deformación (forman siempre 
un ángulo recto con el plano medio geométrico del laminado). Lo 
anterior implica que γxz y γyz son “cero”. 
!  Las normales a la superficie media del laminado, mantienen su 
longitud (εz = 0), lo que implica que el desplazamiento transversal, w, 
es independiente de la coordenada de espesor, z. 
!  El esfuerzo perpendicular a la superficie media deformada es 
despreciable. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
1) Calcular la respuesta de un laminado (calcular 
esfuerzos y deformaciones en cada lámina). 
2) Determinar las constantes de ingeniería para 
introducirlas en fórmulas estándar y calcular 
esfuerzos y desplazamientos. 
3) Definir las propiedades del material (laminado) 
requeridas como entrada en los modelos de 
análisis de elementos finitos. 
Satisfechas las anteriores hipótesis, la teoría del 
laminado permite: 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
RELACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO. 
A 
Sección (ABCD) 
sin deformar 
Sección (ABCD) 
deformada 
Plano x-y : plano medio 
o plano de referencia. 
Con las hipótesis anteriores se 
puede asumir que: 
w = f (x, y)
u = u0(x, y)− z ∂w
∂x
v = v0(x, y)− z ∂w
∂y
ya que: 
α x = ∂w
∂x
yα y = ∂w
∂y
ub = u0−α xzb
vb = v0−α yzb
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
εx =
∂u
∂x
=
∂u0
∂x
− z ∂
2w
∂x2
= εx
o + zκ x
εy =
∂v
∂y
=
∂v0
∂y
− z ∂
2w
∂y2
= εy
o + zκ y
γ xy = γ s =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
=
∂u0
∂y
+
∂v0
∂x
#
$
%
&
'
(− 2z
∂2w
∂x∂y
= γ xy
o + zκ xy
€ 
ε[ ]xy = ε[ ]xy
o
+ z κ[ ]xy
z 
Para pequeños desplazamientos: 
Se pueden relacionar las deformaciones en cualquier punto del laminado con las 
deformaciones del plano de referencia y las curvaturas del laminado según: 
Las deformaciones varían linealmente a lo largo del espesor del 
laminado 
(6) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Teniendo presente la relación esfuerzos-deformaciones para una lámina 
en ejes del laminado obtenida anteriormente (4), sustituyendo en ella las 
deformaciones recién obtenidas, queda: 
[σ]xy = [Q]xy [ε0]xy + z[Q]xy[k]xy; 
k k k 
Los esfuerzos NO varían linealmente a lo largo del espesor del laminado 
z 
x 
1 
2 
3 
4 
εx Ex σx 
(7) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Dada la variación discontinua de esfuerzos de lámina a lámina, resulta más 
conveniente tratar el efecto integrado de esos esfuerzos sobre el laminado. 
Los esfuerzos que actúan sobre la lámina “k” del laminado, dados por la 
expresión (7), pueden reemplazarse por fuerzas y momentos resultantes, de 
la forma: 
Nx
k = σ x
− t2
t
2
∫ dz Mxk = σ x
− t2
t
2
∫ zdz
Ny
k = σ y
− t2
t
2
∫ dz
Ns
k = τ s
− t2
t
2
∫ dz
My
k = σ yz
− t2
t
2
∫ dz
Ms
k = τ sz
− t2
t
2
∫ dz
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
En el caso de un laminado, el momento y la fuerza resultante 
totales se obtendrán sumando las contribuciones de todas las 
láminas que lo forman: 
Nx
Ny
Ns
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
=
σ x
σ y
τ s
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
zk−1
zk∫
k=1
n
∑
k
dz
Mx
My
Ms
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
=
σ x
σ y
τ s
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
zk−1
zk∫
k=1
n
∑
k
zdz
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Sustituyendo en las anteriores expresiones los valores de 
esfuerzos en función de deformaciones dados por la expresión 
(7) y teniendo presente que las rigideces, [Q]xy, las 
deformaciones del plano medio del laminado o “plano de 
referencia”, [ε0]xy y las curvaturas, [k]xy, no son funciones de la 
coordenada “z” y pueden sacarse de la operación de integración 
y que, además, solo las rigideces son únicas para cada lámina 
particular, siendo comunes para todas las láminas del laminado 
las deformaciones del plano medio del laminado y las curvaturas 
que pueden, por tanto, sacarse del sumatorio como factor 
común, queda: 
= Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ zk − zk−1( )
#
$
%
&
'
( ε 0#$ &'xy +
1
2
Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ zk2 − zk−12( )
#
$
%
&
'
( κ[ ]xy = A[ ]xy ε
0#$ &'xy + B[ ]xy κ[ ]xy
M[ ]xy = Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ zdzzk−1
zk∫
$
%
&
'
(
) ε 0$% '(xy + Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ z2 dzzk−1
k
∫
$
%
&
'
(
) κ[ ]xy =
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
N[ ]xy = Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ dzzk−1
zk∫
$
%
&
'
(
) ε 0!" #$xy + Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ zdzzk−1
k
∫
$
%
&
'
(
) κ[ ]xy =
=
1
2
Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ zk2 − zk−12( )
#
$
%
&
'
( ε 0#$ &'xy +
1
3
Q[ ]xy
k
k=1
n
∑ zk3 − zk−13( )
#
$
%
&
'
( κ[ ]xy = B[ ]xy ε
0#$ &'xy + D[ ]xy κ[ ]xy
Que son las RELACIONES CARGAS-DEFORMACIONES 
(ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL LAMINADO). 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
N[ ]xy = A[ ]xy ε
0!" #$xy + B[ ]xy κ[ ]xy
M[ ]xy = B[ ]xy ε
0!" #$xy + D[ ]xy κ[ ]xy
Nx
Ny
Nxy
!
Mx
My
Mxy
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
%
&
#
#
#
#
#
'
#
#
#
#
#
=
A11 A12 A16 " B11 B12 B16
A12 A22 A26 " B12 B22 B26
A16 A26 A66 " B16 B26 B66
! ! ! " ! ! !
B11 B12 B16 " D11 D12 D16
B12 B22 B26 " D12 D22 D26
B16 B26 B66 " D16 D26 D66
(
)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
+
,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
εx
0
εy
0
γ xy
0
!
κ x
κ y
κ xy
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
%
&
#
#
#
#
#
'
#
#
#
#
#
Fuerzas y 
momentos 
en el plano 
Deformaciones 
y curvaturas 
del plano de 
referencia 
Combinándolas: 
Aij = Qij
k zk − zk−1( )
k=1
n
∑ Bij =
1
2
Qij
k zk
2 − zk−1
2( )
k=1
n
∑ Dij =
1
3
Qij
k zk
3 − zk−1
3( )
k=1
n
∑
Matriz de rigidez del laminado, siendo: 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
xy
o
xy
DB
BA
M
N
!
"
!
#
$
!
%
!
&
'
(
(
(
)
*
+
+
+
,
-
=
!
"
!
#
$
!
%
!
&
'
κ
ε
!
"
!"!
"
!
Matriz de rigidez del laminado 
! A es la matriz de rigidez extensional o 
en el plano (membrana). 
! D es la matriz de rigidez a flexión. 
! B es la matriz de rigidez de 
acoplamiento flexión/membrana. 
En un laminado formado por múltiples capas de orientaciones arbitrarias, la matriz de 
rigidez estará totalmente poblada acoplamiento membrana/flexión/torsión 
!  Cada una de las submatrices es simétrica: Aij = Aji, Bij = Bji, Dij = Dji 
!  En un laminado “simétrico”, Bij = 0. 
!  En un laminado “equilibrado”, A16 = A 26 = 0. 
Como los laminados multidireccionales se caracterizan por la discontinuidad 
de esfuerzos de lámina a lámina, es preferible trabajar con deformaciones 
que son continuas a lo largo del espesor. Invirtiendo las relaciones cargas-
deformaciones recién obtenidas, pueden expresarse las deformaciones y 
curvaturas en función de cargas y momentos aplicados. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
SIMPLIFICACIONES DE LAS ECUACIONES 
CONSTITUTIVAS DEL LAMINADO. 
Nx
Ny
Nxy
!
Mx
My
Mxy
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
%
&
#
#
#
#
#
'
#
#
#
#
#
=
A11 A12 A16 " B11 B12 B16
A12 A22 A26 " B12 B22 B26
A16 A26 A66 " B16 B26 B66
! ! ! " ! ! !
B11 B12 B16 " D11 D12 D16
B12 B22 B26 " D12 D22 D26
B16 B26 B66 " D16 D26 D66
(
)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
+
,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
εx
0
εy
0
γ xy
0
!
κ x
κ y
κ xy
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
%
&
#
#
#
#
#
'
#
#
#
#
#
La simplificación más importante se logra si todos los términos Bij = 0, 
dado que en ese caso se produce el desacoplo total entre desplazamientos 
en el plano del laminado y fuera del plano del laminado (desacoplo flexión 
alargamiento). Esto se logra construyendo un laminado simétrico respecto 
a su plano medio (simétrico respecto a “z”): por cada lámina por encima del 
plano medio, hay otra lámina idéntica en propiedades y orientación 
colocada a idéntica distancia por debajo del plano medio. 
Nx
Ny
Nxy
!
Mx
My
Mxy
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
%
&
#
#
#
#
#
'
#
#
#
#
#
=
A11 A12 A16 " B11 B12 B16
A12 A22 A26 " B12 B22 B26
A16 A26 A66 " B16 B26 B66
! ! ! " ! ! !
B11 B12 B16 " D11 D12 D16
B12 B22 B26" D12 D22 D26
B16 B26 B66 " D16 D26 D66
(
)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
+
,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
εx
0
εy
0
γ xy
0
!
κ x
κ y
κ xy
!
"
#
#
#
#
#
$
#
#
#
#
#
%
&
#
#
#
#
#
'
#
#
#
#
#
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Una simplificación adicional se logra si los términos A16 y A26 = 0 (desacoplo 
tracción cortadura en el plano). Esto se logra construyendo un laminado 
equilibrado: por cada lámina con orientación +θ, hay otra lámina idéntica en 
propiedades y espesor colocada con orientación -θ. 
Finalmente, otra simplificación adicional se logra si los términos D16 y D26 = 0 
(desacoplo flexión torsión). Excepto para el caso de laminados [0]n, [90]n y cruzados, 
estos términos no pueden ser cero para ningún laminado simétrico, aunque pueden 
llegar a ser muy pequeños si se colocan pares de láminas de orientación ±θ en 
laminados con bastantes capas. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Factores de influencia en la matriz de rigidez. 
 
•  Reglas de apilamiento: 
•  Simetría: . No hay acoplamiento alargamiento/flexión 
•  Equilibrado: por cada capa con orientación hay otra capa 
idéntica en cualquier posición del laminado A16=0 y A26=0. No hay 
acoplamiento entre fuerzas normales y deformación a cortadura: el 
laminado se comporta como una lámina ortotrópica. 
 
•  Reducción de acoplamiento flexión torsión: los términos D16 y D26 no nulos 
implican un acoplamiento flexión/torsión. Serán nulos si todas las láminas 
tienen orientaciones 0º y 90º o si dos laminas idénticas con orientaciones 
+θ +θ tuvieran la misma z. Se puede reducir el acoplamiento situándolas 
por pares y contiguas. 
[ ] [ ] [ ]0
2
2
, == ∫
−
h
h
zdzQB kxy
90,0≠+θ θ−
[ ] ( )[ ] 0
3
1
,
3
1
3 =−= − kxykkk QzzD
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Matriz de flexibilidad del laminado 
xy
T
xy
o
M
N
db
ba
!
"
!
#
$
!
%
!
&
'
(
(
(
)
*
+
+
+
,
-
=
!
"
!
#
$
!
%
!
&
'
!
"
!"!
"
!
κ
ε
Invirtiendo la matriz de rigidez es posible expresar las deformaciones y 
curvaturas del laminado en función de las fuerzas y momentos resultantes: 
a ! b
! " !
bT ! d
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
=
A ! B
! " !
B ! D
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
−1
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
!  El objetivo del análisis de laminados de material compuesto es determinar los esfuerzos y 
deformaciones en cada lámina del laminado. Una vez determinados, pueden utilizarse para 
predecir la carga a la que se produce el fallo del laminado. 
!  El problema puede plantearse, en una primera fase, como el de determinar los esfuerzos y 
deformaciones en cada lámina para un estado conocido de cargas y para una determinada 
secuencia de apilamiento del laminado. 
!  El primer paso es calcular las deformaciones y curvaturas del plano medio del laminado para 
determinar mediante la ecuación (6) las deformaciones en cada lámina y, una vez obtenidas, 
determinar los esfuerzos en cada lámina mediante la expresión (4) o bien empleando la 
ecuación (7) directamente. 
!  Las ecuaciones constitutivas del laminado proporcionan la relación entre cargas aplicadas y 
deformaciones y curvaturas del plano medio del laminado. Para un laminado genérico se 
trata de un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas: 
xy
o
xy
DB
BA
M
N
!
"
!
#
$
!
%
!
&
'
(
(
(
)
*
+
+
+
,
-
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'
κ
ε
!
"
!"!
"
!
 
€ 
ε o
!
κ
$ 
% 
& 
' 
& 
( 
) 
& 
* 
& 
xy
=
a " b
! " !
bT " d
+ 
, 
- 
- 
- 
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/ 
0 
0 
0 
N
!
M
$ 
% 
& 
' 
& 
( 
) 
& 
* 
& 
xy
€ 
a b
bT d
" 
# 
$ 
% 
& 
' =
A B
B D
" 
# 
$ 
% 
& 
' 
−1) 
* 
+ + 
, 
- 
. . ; 
CARGAS 
APILADO INCÓGNITAS: deformaciones y curvaturas plano medio 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Obtenidas las deformaciones y curvaturas del plano medio o plano de referencia del laminado, 
se determinan las deformaciones en cada lámina: 
ε[ ]xy
k
= ε[ ]xy
o
+ z κ[ ]xy
Asimismo, obtenidas las deformaciones y curvaturas del plano medio o plano de referencia del 
laminado, se determinan los esfuerzos en cada lámina: 
σ[ ]xy
k
= Q[ ]xy
k
ε[ ]xy
0
+ z Q[ ]xy
k
κ[ ]xy
Conocidas las deformaciones y/o esfuerzos en cada lámina, puede determinarse si se produce 
su fallo o no tal y como se verá más adelante al exponer las “criterios de fallo” de laminados. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Comportamiento higrotérmico: Hipótesis. 
1.  El laminado pasa de un estado de referencia definido por una temperatura 
T0 y un contenido de humedad c0 a un estado genérico definido por una 
temperatura T y concentración de humedad c. 
2.  Las deformaciones térmicas serán las correspondientes a ΔT = T – T0. 
3.  Las deformaciones hídricas serán las debidas a Δc = c – c0. 
4.  En ejes lámina las variaciones de T y c no provocan distorsiones angulares. 
5.  Los coeficientes de dilatación térmica, α, y por efecto de humedad, β, se 
consideran constantes. 
•  Las deformaciones de la lámina “k” libre y debidas únicamente a efectos térmico 
(∆T) e hídrico (∆c), en ejes laminado (xy) serán: 
e{ }xy,k
ΔT
= T[ ]k
α1
α2
0
"
#
$
%
$
$
&
'
$
(
$
$
k
ΔT =
αx
αy
αxy
"
#
$$
%
$
$
&
'
$$
(
$
$
k
ΔT y e{ }xy,k
Δc
= T[ ]k
β1
β2
0
"
#
$
%
$
$
&
'
$
(
$
$
k
Δc =
βx
βy
βxy
"
#
$$
%
$
$
&
'
$$
(
$
$
Δc
e[ ]xy
k
= α[ ]xy
k
ΔT + β[ ]xy
k
Δcque sumadas serán: 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
COMPORTAMIENTO HIGROTÉRMICO 
Una lámina sometida a un cambio uniforme de temperatura, ∆T = T - T0 y a un cambio 
uniforme de concentración de humedad, ∆c = c - c0, sufre deformación higrotérmica. 
El estado higrotérmico de referencia es (T0, c0) y se asumirá que las deformaciones 
térmica e hídrica están desacopladas y que los coeficientes de expansión son 
constantes. La deformación higrotérmica será, entonces: 
e1 =α1ΔT +β1Δc
e2 =α2ΔT +β2Δc
e12 = 0
ex =αxΔT +βxΔc
ey =αyΔT +βyΔc
exy =αxyΔT +βxyΔc
En ejes locales (1, 2) En ejes generales (x, y) 
e[ ]xy = T[ ] e[ ]12
α[ ]xy = T[ ] α[ ]12
β[ ]xy = T[ ] β[ ]12
Las deformaciones de la lámina “k” en el laminado, son iguales a la suma de las 
deformaciones producidas por los esfuerzos sobre la lámina dadas por la 
expresión (5): y las deformaciones higrotérmicas de la lámina LIBRE: 
ε[ ]xy
k
σ[ ]xy
k
ε[ ]xy
k
= S[ ]xy
k
σ[ ]xy
k
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
εx
εy
γ s
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
=
Sxx Sxy Sxs
Syx Syy Sys
Ssx Ssy Sss
!
"
#
#
#
#
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&
&
&
k
σ x
σ y
τ s
!
"
#
#
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&
&
k
+
ex
ey
es
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
;
Ecuación que, invertida, proporciona los esfuerzos en la lámina “k”: 
σ x
σ y
τ s
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
=
Qxx Qxy Qxs
Qyx Qyy Qys
Qsx Qsy Qss
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
εx − ex
εy − ey
γ s − es
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
;
y teniendo en cuenta la expresión (6), puede escribirse como: 
σ x
σ y
τ s
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
=
Qxx Qxy Qxs
Qyx Qyy Qys
Qsx Qsy Qss
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
εx
0 + zκ x − ex
εy
0 + zκ y − ey
γ s
0 + zκ s − es
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
; o, de forma 
abreviada, como: 
σ[ ]xy
k
= Q[ ]xy
k
ε 0!" #$xy + Q[ ]xy
k
κ[ ]xy z− Q[ ]xy
k e[ ]xy
k (8) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Debido a la variación discontinua de esfuerzos de lámina a lámina en el laminado, 
resulta, como ya se indicó anteriormente, más conveniente expresar las relaciones 
recién obtenidas (8) en términos de fuerzas y momentos resultantes. 
Integrando los esfuerzos dados por (8) en el espesor de cada lámina “k” y sumando 
la contribución de cada lámina del laminado se obtienen las fuerzas resultantes: 
N[ ]xy = σ[ ]zk−1
zk∫
xy
k
k=1
n
∑ dz = Q[ ]xy
k
ε 0$% &'xy + z{zk−1
zk∫
k=1
n
∑ κ[ ]xy − e[ ]xy
k }dz
N[ ]xy = A[ ] ε
0!" #$xy + B[ ] κ[ ]xy − N[ ]xy
HT ; siendo :
Nx
HT
Ny
HT
Ns
HT
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&&
&
=
Qxx Qxy Qxs
Qyx Qyy Qys
Qsx Qsy Qss
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k=1
n
∑
ex
ey
es
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
tk
Donde tk = zk – zk-1 es el espesor de la lámina “k”. Integrando ahora los esfuerzos 
dados por (8) multiplicados por “z” en el espesor de cada lámina “k” y sumando la 
contribución de cada lámina del laminado se obtienen los momentos resultantes: 
(9) 
(10) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
M[ ]xy = σ[ ]zk−1
zk∫
xy
k
z
k=1
n
∑ dz = Q[ ]xy
k
ε 0$% &'xy + z{zk−1
zk∫
k=1
n
∑ κ[ ]xy − e[ ]xy
k }zdz;
M[ ]xy = B[ ] ε
0!" #$xy + D[ ] κ[ ]xy − M[ ]xy
HT ; siendo :
Mx
HT
My
HT
Ms
HT
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
=
Qxx Qxy Qxs
Qyx Qyy Qys
Qsx Qsy Qss
!
"
#
#
#
#
$
%
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&
&
&
k=1
n
∑
ex
ey
es
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
k
zktk
Donde tk es el espesor de la lámina “k” y zk = (zk + zk-1)/2 es la coordenada z del plano 
medio de la lámina k. Las ecuaciones (9) y (11) pueden reescribirse de la forma: 
(11) 
N!" #$xy = N[ ]xy + N[ ]xy
HT
= A[ ] ε 0!" #$xy + B[ ] κ[ ]xy ;
M!" #$xy = M[ ]xy + M[ ]xy
HT
= B[ ] ε 0!" #$xy + D[ ] κ[ ]xy ;
(12) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
ESFUERZOS RESIDUALES DE LAMINACIÓN 
Durante el procesado de un laminado, existe una temperatura a la que el material 
compuesto se asume en estado libre de esfuerzos. En el caso de matrices poliméricas 
se puede tomar dicha temperatura como la de transición vítrea, Tg. Debido a la 
anisotropía térmica de la lámina unidireccional y a la heterogeneidad de un laminado 
genérico, durante el enfriamiento hasta temperatura ambiente, T0 (∆T = Tg – T0), 
aparecen esfuerzos residuales que pueden evaluarse del siguiente modo: 
CALCÚLESE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 
DEL LAMINADO: Aij , Bij , Dij 
DETERMINAR LAS DEFORMACIONES TÉRMICAS 
LIBRES DE LA LÁMINA: e1 , e2 , e12 
TRANSFORMAR LAS DEFORMACIONES TÉRMICAS 
A EJES LAMINADO: ex , ey , es 
OBTENER LAS CARGAS TÉRMICAS “LIBRES” 
EQUIVALENTES DEL LAMINADO: 
(NT)x , (NT)y , (NT)xy y (MT)x , (MT)y , (MT)xy 
(ECUACIONES 10 Y 12) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
CALCÚLENSE LAS DEFORMACIONES Y 
CURVATURAS DEL PLANO MEDIO DEL 
LAMINADO: 
CALCÚLENSE LAS DEFORMACIONES 
“RESIDUALES” DE CADA LÁMINA EN 
EJES GENERALES UTILIZANDO LA 
ECUACIÓN (6): (εR)x , (εR)y , (γR)xy 
PARA CADA LÁMINA TRANSFORMAR 
LAS DEFORMACIONES “RESIDUALES” A 
EJES LÁMINA (ECUACIÓN 3): (εR)1 , 
(εR)2 , (γR)12 
CALCÚLENSE LOS ESFUERZOS 
“RESIDUALES” DE CADA LÁMINA EN 
EJES LÁMINA (ECUACIÓN 1): (σR)1 , 
(σR)2 , (τR)12 
ε 0!" #$xy , κ[ ]xy
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
RESISTENCIA DE MATERIALES COMPUESTOS. 
!  Los mecanismos de fallo de los materiales compuestos avanzados, y por 
tanto, su comportamiento a rotura, su duración y su tolerancia al daño, son 
radicalmente diferentes de los de los materiales metálicos. 
!  Es importante conocer los modos de fallo típicos de láminas 
unidireccionales. Actualmente existen multitud de “criterios de fallo” a nivel 
de lámina, mencionándose más adelante algunos de los más conocidos: 
máximo esfuerzo, máxima deformación, Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hoffman... 
!  Se suele escoger el “fallo de la primera lámina” como criterio general de fallo 
básico para laminados de material compuesto. 
!  Este criterio es excesivamente conservativo, por lo que se abre la posibilidad 
de tener que considerar la existencia de una resistencia residual tras el fallo 
de la primera lámina, y el fenómeno de fallo progresivo (rotura “dos piezas”). 
!  Es importante entender los conceptos de duración (“durability”) y tolerancia 
al daño (“damage tolerance”) y conocer los efectos sobre el material de los 
defectos de fabricación y las condiciones de servicio. 
!  El fenómeno de fatiga, sus características y efectos en los materiales 
compuestos avanzados, y su influencia en los criterios de diseño es tema que 
cobra cada día mayor importancia. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Las propiedades de resistencia de la lámina necesarias para desarrollar el análisis 
de resistencia de un laminado de material compuesto, aplicando los denominados 
“criterios de fallo” son en términos generales y como se indicó al final del tema 2: 
Dichas propiedades pueden ser determinadas de modo directo mediante ensayos 
mecánicos sobre probetas del material o de forma teórica utilizando diferentes 
modelos micromecánicos de resistencia. La expresión más sencilla para la resistencia 
longitudinal o paralela al eje “1” de la lámina es: 
σ1
u ≅σ f
uVf +σ m
' (1−Vf )
Donde σf es la resistencia de la fibra y σm el esfuerzo soportado por la matriz para la 
deformación a rotura de la lámina y que, en general, puede despreciarse, quedando: 
σ1
u ≅σ f
uVf
Expresión aproximada y válida sólo para tracción, ya que en compresión las fibras 
suelen fallar en pandeo local, presentándose un comportamiento bastante complejo. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Modos de fallo de láminas unidireccionales (I) 
•  Los materiales compuestos de fibra continua muestran modos de fallo 
diferentes de los materiales metálicos. 
•  Un fallo macroscópico ("en 2 trozos") de un material compuesto está, 
normalmente, precedido por mecanismos de fallo internos y microscópicos 
•  A) Carga de tracción longitudinal 
fallo frágil fallo frágil con 
desgarro de fibra 
fallo frágil con despegado y/o 
fallo de la matriz 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Modos de fallo de láminas unidireccionales (II) 
•  B) Carga de compresión longitudinal 
•  C) Carga de tracción transversal: fallo de la matriz o desencolado de la entrefase 
fibra/matriz por concentración de esfuerzos de las fibras en la matriz 
Fallo en tracción transversal 
( P o i s s o n ) , c o n g r i e t a s 
longitudinales generalmente en 
la entrefase fibra/matriz 
Fallo en 
cortadura 
 a) b) 
Micropandeo de fibras a) en modo cortadura o b) en modo 
extensional (poco común, asociado a volúmenes altos de 
matriz). Ambos precedidos de agrietamiento microscópico o 
fluencia de la matriz, o desencolado de la entrefase fibra/matriz 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Modos de fallo de láminas unidireccionales (II) 
•  D) Carga de compresión transversal: fallo en cortadura de la matriz acompañado 
a veces por desencolado de la entrefase fibra/matriz 
•  E) Carga de cortadura en el plano: fallo en cortadura de la matriz acompañado 
también por desencolado de la entrefase fibra/matriz 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
!  Las aproximaciones micromecánicas para estimar la resistencia de la 
lámina de material compuesto y poder realizar predicciones del fallo de 
dicha lámina, son complejas y basadas en multitud de aproximaciones y 
supuestos y, por tanto, son aproximaciones no siempre fiables. 
! Muchos son los factores que afectan a la resistencia de la lámina, tanto los 
inherentes a la naturaleza de los propios constituyentes y la variabilidad de 
sus propiedades mecánicas, como los relativos a la morfología de los 
propios constituyentes y de la distribución relativa de ellos en la lámina. 
!  Además, ha de tenerse en cuenta la presencia de esfuerzos residuales 
causados por diferencias en los coeficientes de expansión térmica entre 
fibra y matriz. 
!  Se entienden por “criterios de fallo” o “teorías de fallo” de la lámina a 
las diferentes formas de comparar las capacidades de resistencia de la 
lámina medidas en sus ejes principales (1,2) y obtenidas de forma 
experimental (directa, mediante ensayos) o teórica (mediante modelos 
micromecánicos) con las solicitaciones (esfuerzos o deformaciones) a que 
se encuentra sometida, a fin de determinar si bajo dichas solicitaciones, se 
produce el fallo de la lámina. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
TEORÍAS (CRITERIOS) DE FALLO DE LA LÁMINA 
1.  Teorías límite o no interactivas. Los modos específicos de fallo se 
predicen comparando directamente esfuerzos o deformacionesen la 
lámina con las resistencias o deformaciones últimas correspondientes. No 
se considera que exista influencia sobre el fallo por la interacción entre los 
diferentes esfuerzos. A este grupo pertenecen las teorías del máximo 
esfuerzo y de la máxima deformación. 
2.  Teorías interactivas. El conjunto de todas las componentes de esfuerzos 
se incluyen en una expresión (“criterio de fallo”) sin hacer referencia a 
ningún modo particular de fallo. Las teorías de Tsai-Hill y de Tsai-Wu son 
ejemplos básicos de esta clase. 
3.  Teorías parcialmente interactivas o basadas en el modo de fallo. 
Cuando se asignan criterios separados para fallo de fibras o matriz/
interfase. Ejemplos de este grupo son las teorías de Hashin-Rotem y de 
Puck. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
La resistencia de la lámina se caracterizará a partir de 5 valores de diseño 
o valores admisibles en los ejes principales (1-2): admisibles a tracción y 
compresión en la dirección 1 (paralela a la fibra), admisibles a tracción y 
compresión en la dirección 2 y cortadura en el plano 12. 
ult
c
ult
t
ult
c
ult
t
ult
ult
c
ult
t
ult
c
ult
t
ult
122211
122211
,,,,
,,,,
γεεεε
τσσσσ
Estos valores de “capacidad de resistencia” de la lámina se comparan, 
utilizando el criterio de fallo que se decida, con los valores de “solicitaciones” 
que actúen sobre la lámina como consecuencia del estado de cargas sobre el 
laminado y la configuración de éste. 
σ1
t,σ1
c,σ 2
t ,σ 2
c, τ12
ε1
t, ε1
c, ε2
t , ε2
c, γ12
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO: 
El fallo tiene lugar cuando alguno de los esfuerzos en la lámina: 
excede los admisibles de esfuerzo: 
€ 
No habrá fallo mientras
σ1ult σ1 ≥1 en tracción y compresión
σ2ult σ2 ≥1 en tracción y compresión
τ12ult τ12 ≥1
% 
& 
' 
( 
' 
; MS = min 1− σ1
σ1ult
* 
+ 
, , 
- 
. 
/ / , 1−
σ2
σ2 ult
* 
+ 
, , 
- 
. 
/ / , 1−
τ12
τ12 ult
* 
+ 
, , 
- 
. 
/ / 
0 
1 
2 
2 
3 
4 
5 
5 
€ 
σ1
t ,σ1
c,σ2
t ,σ2
c,τ12
€ 
σ1ult
t ,σ1ult
c ,σ2ult
t ,σ2ult
c ,τ12ult
Envolvente de fallo para una lámina 
unidireccional bajo carga biaxial normal. 
(τ12 = 0) 
F1t =σ1ult
t ; F1c =σ1ult
c ;
F2t =σ 2ult
t ; F2c =σ 2ult
c ;
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN: 
El fallo tiene lugar cuando alguna de las deformaciones en la lámina: 
excede los admisibles de deformación: 
€ 
ε1
t ,ε1
c,ε 2
t ,ε 2
c, γ12
€ 
ε1ult
t ,ε1ult
c ,ε 2ult
t ,ε 2ult
c , γ12ult
€ 
No habrá fallo mientras
ε1ult ε1 ≥1 en tracción y compresión
ε2ult ε2 ≥1 en tracción y compresión
γ12ult γ12 ≥1
% 
& 
' 
( 
' 
; MS = min 1− ε1
ε1ult
* 
+ 
, , 
- 
. 
/ / , 1−
ε2
ε2 ult
* 
+ 
, , 
- 
. 
/ / , 1−
γ12
γ12 ult
* 
+ 
, , 
- 
. 
/ / 
0 
1 
2 
2 
3 
4 
5 
5 
Envolvente de fallo para una lámina 
unidireccional bajo carga biaxial normal. 
(τ12 = 0) F1t =σ1ultt −ν12σ 2ultt ;
F1c =σ1ult
c −ν12σ 2ult
c ;
F2t =σ 2ult
t −ν21σ1ult
t ;
F2c =σ 2ult
c −ν21σ1ult
c ;
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
TEORÍA INTERACTIVA DE TSAI-HILL: 
Tsai se basa en la teoría de elasticidad de materiales anisótropos desarrollada 
por Hill. No habrá fallo mientras: 
12
1
21
2
12
12
2
2
2
2
1
1 ≤−#
#
$
%
&
&
'
(
+#
#
$
%
&
&
'
(
+#
#
$
%
&
&
'
(
ultultultult σ
σσ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
En dicha expresión no se hace distinción entre resistencia en tracción y en 
compresión, sin embargo, los valores de resistencia a utilizar serán los 
acordes con el signo de los esfuerzos normales σ1 y σ2. En esta teoría, el 
margen de seguridad (“MS”) viene dado por la expresión: 
MS = σ1
σ1ult
!
"
##
$
%
&&
2
+
σ 2
σ 2 ult
!
"
##
$
%
&&
2
+
τ12
τ12 ult
!
"
##
$
%
&&
2
−
σ1σ 2
σ1ult
2
(
)
*
*
+
,
-
-
−1 2
−1
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
TEORÍA INTERACTIVA DE TSAI-WU: 
Tsai y Wu presentan en 1971 una teoría general de resistencia de materiales 
anisótropos que establece la hipótesis de la existencia de una superficie de 
fallo representada por una función de criterio de fallo. No habrá fallo mientras: 
F1σ1 +F2σ 2 +F11σ1
2 + 2F12σ1σ 2 +F22σ 2
2 +F66τ12
2 ≤1
c
ult
t
ult
c
ult
t
ult
F
F
22
2
11
1
11
11
σσ
σσ
−=
−=
c
ult
t
ult
c
ult
t
ult
F
F
22
22
11
11
1
1
σσ
σσ
=
= F66 =
1
τ12 ult
2
F12 ≅ −
1
2
F11F22( )
1/2
Expresión correspondiente a un estado bidimensional de esfuerzos (σ1 , σ2 , τ12 ) 
en la que los coeficientes vienen dados por: 
f ́
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
TEORÍA INTERACTIVA DE TSAI-WU: 
k = τ12 / F66
f´= -1/2 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
STRUCTURAL ANALYSIS 
02 
197 
Tsa i -Wu 
f '=-0.5 
~ ...... I ' ~ - - . 
/ 
Tsai -Wu 
f'=O 
Maximum 
YT stress 
Yc 
TI2 = 0 
Fig. 6.12 Stress failure envelopes for a typical unidirectional carbon fiber. 
(Xr = 1280 MPa, Xc = 1440 MPa, YT ---- 57 MPa, Yc = 228 MPa) 
become critical. Failure theories in the second category treat the separate failure 
modes inde-pendently. The maximum stress criteria and the Hashin-Rotem 
failure criterion treat the separate failure modes independently. 15'19 
The two-dimensional Hashin-Rotem failure criterion has the following 
components for unidirectional material. For tensile fiber failure (O'll > 0): 
2 2 //O'11 x\ //7"12 ~ 
~X-r-~) +~S-~lz) = 1 (6.37a) 
For compressive fiber failure (O'11 < 0): 
X-c-c] = 1 (6.37b) 
For tensile matrix failure (o'22 > 0): 
2 2 //O'22x~ /'r12"~ 
~-Y-r-~) + ~ 1 2 ) = 1 (6.37c) 
For compressive matrix failure (O'22 < 0): 
2-~) +Lt2~;~l - J ~ + t ~ } = 1 (6.37d) 
COMPARACIÓN ENTRE LA TEORÍA DEL MÁXIMO ESFUERZO Y LA DE TSAI-WU 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Envolvente “híbrida” de fallo incorporando dos diferentes 
criterios de fallo. 
Ejemplo de aproximación “conservativa” de fallo en diseño 
utilizando diferentes teorías de fallo. 
La validez y aplicabilidad de una teoría 
determinada de fallo depende de la 
conveniencia de su aplicación y del 
acuerdo con los datos experimentales. 
 
En general, las diferentes teorías 
conducen a resultados no muy diferentes 
en el primer cuadrante, observándose las 
mayores diferencias en los casos de 
compresión combinada con cortadura. 
 
Las teorías de máximo esfuerzo y 
máxima deformación son más aplicables 
cuando predomina comportamiento frágil 
y las teorías interactivas (Tsai-Hill, Tsai-
Wu) son más apropiadas para casos en 
que predomine comportamiento dúctil 
bajo carga de cortadura o compresión. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
LAMINADO CARGAS EXTERNAS DETERMÍNESE LA MATRIZ DE RIGIDEZ: Aij, Bij, Dij 
CALCÚLESE LA MATRIZ DE 
FLEXIBILIDAD: aij, bij, dij 
DETERMINAR INTENSIDADES 
DE FUERZA: Nx, Ny, Nxy Y 
MOMENTO: Mx, My, Mxy 
CALCÚLENSE LAS DEFORMACIONES 
Y CURVATURAS DEL PLANO MEDIO 
DEL LAMINADO: ε
0!" #$xy , κ[ ]xy
CALCÚLENSE LAS DEFORMACIONES DE 
CADA LÁMINA EN EJES GENERALES 
ECUACIÓN (6): εx , εy , γxy 
PARA CADA LÁMINA TRANSFORMAR 
LAS DEFORMACIONES A EJES LÁMINA 
(ECUACIÓN 3): ε1 , ε2 , γ12 
CALCÚLENSE LOS ESFUERZOS DE 
CADA LÁMINA EN EJES LÁMINA 
(ECUACIÓN 1): σ1 , σ2 , τ12 
EMPLEAR UN “CRITERIO DE FALLO” DE LÁMINA PARA 
CALCULAR EL ÍNDICE DE FALLO Y EL FACTOR DE CARGA Y 
ESTABLECER LA CARGA DE “FALLO DE PRIMERA LÁMINA” 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
1)  A partir de las cargas aplicadas, Nx, Ny, Nxy, se calculan las deformaciones 
o esfuerzos empleando la teoría clásica del laminado. 
2)  Se selecciona un criterio de fallo de la lámina. 
3)  Se establecen los admisibles (valores de diseño) de la lámina. 
4)  Para cada lámina, las deformaciones/esfuerzos se comparan con los admisibles, 
empleando el criterio de fallo seleccionado. 
5)  La resistencia del laminado vendrá dada por la resistencia de la lámina crítica. 
a)  El laminado falla cuando la primera capa falla (margen de seguridad MS<0). 
b)El “Margen de Seguridad”, MS, mínimo del laminado será el de la lámina cuyo 
MS sea el menor de todos. 
1221 ,, τσσ
1221 ,, γεε
TEORÍAS (CRITERIOS) DE FALLO DEL LAMINADO 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Criterios de fallo y resistencia de un laminado 
•  Filosofía de diseño para aviones comerciales 
!  Los criterios de fallo descritos (basados en el fallo último, “dos piezas”) no tienen 
en cuenta que a niveles de carga por debajo de los admisibles, el laminado habrá 
experimentado daños macroscópicos en la matriz. 
!  La filosofía de diseño para aviones comerciales es la de no permitir daños 
microscópicos en la matriz a la máxima carga operacional, teniendo en cuenta 
efectos de degradación ambiental: temperatura, humedad, ciclos climáticos, etc. 
!  Se considerarán entonces unas deformaciones admisibles a carga última 1.5 
veces superiores a las deformaciones a carga límite. 
!  El empleo de un criterio de fallo en conjunción con el uso de la teoría clásica del 
laminado y unos admisibles de lámina obtenidos mediante ensayo es un 
procedimiento admitido por las autoridades de certificación si es validado 
mediante ensayo, es decir: 
–  Admisibles de diseño establecidos mediante ensayo 
–  Los laminados diseñados deben cumplir los requerimientos establecidos en la filosofía de 
diseño, así como los de resistencia estática. 
–  El criterio de fallo seleccionado deberá ser capaz de predecir también el fallo último " dos-
piezas" del laminado. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Criterios de fallo y resistencia de un laminado 
•  Fallo “dos piezas”: resistencia del laminado tras el fallo de una capa 
 La aplicación de criterios de fallo de primera capa con la CLT y admisibles 
establecidos mediante ensayo no concuerdan bien con los resultados 
experimentales. La secuencia de fallo que se producirá generalmente será: 
!  Fallo de una capa a 90º (fallo de la matriz) que altera las propiedades elásticas medias 
del laminado (se anulan el módulo de tracción den dirección transversal y el módulo de 
cortadura), pero el laminado seguirá soportando carga. 
!  Fallo a cortadura de las capas a ±45 
!  Fallo “dos piezas” cuando se excede 
 La capacidad de las capas a 0º 
 
CARGA 
DEFORMACION 
FALLO 1ª CAPA 
(Fallo transversal capa a 90º) 
CARGA ÚLTIMA 
FALLO “DOS PIEZAS” 
FALLOS ADICIONALES 
(Fallos a cortadura) 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
Criterios de fallo y resistencia de un laminado 
•  Criterio de fallo progresivo 
 Permite realizar una estimación más aproximada de la resistencia de un 
laminado teniendo en cuenta los fallos sucesivos de las capas 
!  Se aplica las asunciones básicas de la CLT con el criterio de fallo elegido 
!  Las matrices de rigidez son constantes para cada segmento entre fallos de capas 
!  Si una capa falla (por fallo de la matriz o por 
cortadura empleando criterios independientes, o 
por indicación de fallo interactivo sin superar los 
admisibles de la dirección de la fibra) se anulan los 
admisibles E2, G12, ν12, α2, β2. E1 y α1 no se anulan. 
!  Después del fallo de cada capa se empleará una 
nueva matriz de rigidez modificada. 
!  Los admisibles a emplear será los valores últimos 
obtenidos de ensayo, no los de diseño. 
MATERIALES COMPUESTOS. TEMA 3: TEORÍA DEL LAMINADO 
BIBLIOGRAFÍA 
1.  AIAA education series, Composite Materials for Aircraft Structures, 
editado por Alan Baker, Stuart Dutton y Donald Kelly, 2ª edición, 2004. 
2.  J. E. Ashton, J. C. Halpin y P. H. Petit, Primer on Composite Materials, 
Technomic Publishing Co., 1969. 
3.  Isaac M. Daniel y Ori Ishai, Engineering Mechanics of Composite 
Materials, Oxford University Press, 2006. 
4.  Mahmood Husein Datoo, Mechanics of Fibrous Composites, Elsevier 
Science Publishers Ltd., 1991. 
5.  Derek Hull, An Introduction to Composite Materials, Cambridge 
University Press, 1981. 
6.  Bhagwan D. Agarwal y Lawrence J. Broutman, Analysis and 
Performance of Fiber Composites, John Wiley & Sons Inc.,1980.