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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 22-05-2013
Un tubo in�nitamente largo contiene aire en reposo a la presión pa y temperatura Ta (velocidad del
sonido aa) a la derecha (x > 0) de un pistón situado en x = 0, mientras que a la izquierda del pistón
el tubo esta vacío.
A partir del instante inicial, se pone el pistón en movimiento con ley dada hacia x < 0, pero desconocida.
Con un sensor de presión situado en la cara del pistón orientada hacia las x crecientes, se registra la
presión pp sobre esta cara, que resulta ser
pp
pa
=
(
1− tp
t0
) 2γ
γ−1
,
para tp ≤ t0, y pp = 0 para tp > t0. En las expresiones anteriores el subíndice p indica que las
magnitudes son sobre el pistón y tp es el tiempo cuando nos movemos con el pistón, mientras que t0
es una constante conocida.
Suponiendo que el aire se comporta como un gas ideal, se pide:
1.- Velocidad del sonido ap en la cara del pistón orientada hacia las x crecientes para tp ≤ t0.
2.- Velocidad del sonido ap en la cara del pistón orientada hacia las x crecientes para tp > t0.
3.- Velocidad up del pistón para tp ≤ t0.
4.- Velocidad up del pistón para tp > t0.Tengan en cuenta que para tp > t0 en que pp = 0, la velocidad
up es la mínima (en valor absoluto) de las posibles que cumplen esta condición.
5.- Trayectoria xp del pistón tp ≤ t0.
6.- Trayectoria xp del pistón tp > t0.
7.- Determinar la velocidad u en la sección del tubo situada en x = 0 en el instante t = t0.
8.- Determinar la velocidad del sonido a en la sección del tubo situada en x = 0 en el instante t = t0.
SOLUCIÓN
1 y 2.- La relación de las isentrópicas proporciona
ap
aa
=
(
pp
pa
) γ−1
2γ
,
de modo que cuando tp ≤ t0 se tiene
ap
aa
== 1− tp
t0
,
y cuando tp > t0 se tiene ap = 0.
3 y 4.- Dado que el invariante C− proporciona
2
γ − 1
ap − up =
2
γ − 1
aa,
de modo que para tp ≤ t0 se tiene
up
aa
=
2
γ − 1
(
ap
aa
− 1
)
= − 2
γ − 1
(
tp
t0
)
,
y cuando tp > t0 se tiene
up
aa
= − 2
γ − 1
.
5 y 6.- La trayectoria para tp ≤ t0 para está dada por
dup
dtp
= up ⇒
d (xp/aat0)
d (tp/t0)
= − 2
γ − 1
(
tp
t0
)
,
que proporciona
xp
aat0
= − 1
γ − 1
(
tp
t0
)2
,
mientras que para tp > t0 se tiene
d (xp/aat0)
d (tp/t0)
= − 2
γ − 1
⇒ xp
aat0
=
1
γ − 1
− 2
γ − 1
(
tp
t0
)
,
ya que para tp = t0 es xp/aat0 = −1/ (γ − 1).
7 y 8.- La característica que pasa por el punto (x, t)tiene por ecuación
x− xp = (up + ap) (t− tp) ,
que en el caso particular del punto (0, t0) toma la forma
−xp = (up + ap) (t0 − tp) ,
de modo que
− xp
aat0
=
(
up
aa
+
ap
aa
)(
1− tp
t0
)
.
Sustituyendo los valores de xp, ap y up en función de tp, se tiene
1
γ − 1
(
tp
t0
)2
=
[
1− γ + 1
γ − 1
(
tp
t0
)](
1− tp
t0
)
,
que proporciona la ecuación (
tp
t0
)2
− 2
(
tp
t0
)
+
γ − 1
γ
= 0,
cuya solución es
tp
t0
= 1± 1√
γ
.
De las dos soluciones, la única válida es la correspondiente al signo �-�, ya que tp debe ser menor que
t0. Por lo tanto
tp
t0
= 1− 1√
γ
=
√
γ − 1
√
γ
.
Con este valor de tp, la velocidad y velocidad del sonido son
u
aa
=
up
aa
= − 2
γ − 1
(√
γ − 1
√
γ
)
= − 2√
γ
(√
γ + 1
) ,
a
aa
=
ap
aa
=
1
√
γ
.
RESPUESTAS
En las cuatro primeras respuestas la primera parte corresponde a tp ≤ t0 y la segunda a tp > t0.
1a.- apaa = 1−
tp
t0
y apaa = 0.
1b.- apaa = 1−
tp
t0
y apaa =
(
tp
t0
)2
.
1c.- apaa = 1 y
ap
aa
=
tp
t0
.
1d.-apaa =
(
tp
t0
)2
y apaa =
tp
t0
.
1e.- Ninguna
2a.- upaa = −
2
γ−1
(
tp
t0
)
y upaa = −
2
γ−1 .
2b.- upaa = −
(
tp
t0
)2
y upaa = −
2
γ−1 .
2c.- upaa = −
2
γ−1
(
tp
t0
)2
y upaa = −
(
tp
t0
)
.
2d.-upaa = −
(
tp
t0
)2
y upaa = −
2
γ−1
(
tp
t0
)
.
2e.- Ninguna
3a.- xpaat0 = −
1
γ−1
(
tp
t0
)2
y xpaat0 =
1
γ−1 −
2
γ−1
(
tp
t0
)
.
3b.- xpaat0 = −
1
γ−1
(
tp
t0
)
y xpaat0 =
1
γ−1
(
tp
t0
)
− 2γ−1 .
3c.- xpaat0 = −
(
tp
t0
)2
y xpaat0 = −
2
γ−1
(
tp
t0
)
3d.- xpaat0 = −
(
tp
t0
)2
y xpaat0 =
1
γ−1 −
(
tp
t0
)
.
3e.- Ninguna
4a.- uaa = −
2√
γ(
√
γ+1)
; aaa =
1√
γ .
4b.- uaa = −
2√
γ+1 ;
a
aa
=
√
γ.
4c.- uaa = −
2
√
γ√
γ+1 ;
a
aa
= 1√γ .
4d.- uaa = −
2√
γ+1 ;
a
aa
= 1√γ .
4e.- Ninguna