P2-21-09-11-Ondas

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II Examen 21-09-2011
Un tubo horizontal semi-in�nito de área AT acaba en una tobera de área αAT (α < 1) que descarga a
la atmósfera de presión pa. A una distancia L �
√
AT aguas arriba de la tobera hay una bifurcación
con un tubo vertical (también semi-in�nito y de área AT ) donde hay aire a presión atmosférica. El
tubo horizontal semi-in�nito hasta la bifurcación es el tubo A, el tramo horizontal de la bifurcación a la
tobera es el tubo B y el vertical es el tubo C. En el régimen estacionario circula un líquido de densidad
ρ a la presión de remanso p0 por los tubos A y B que descarga al ambiente por la tobera, mientras en
el tubo C está en reposo salvo en una pequeña región cercana a la bifurcación que despreciamos. Se
supone que (p0 − pa) /pa ∼ 1 y que los efectos de la fricción son despreciables. Se pide:
1.- Velocidades (uAI , uBI) y presiones (pAI , pBI) en los tubos A y B en el régimen estacionario.
2.- Distribución de presiones, pCI , en el tubo C y altura H del líquido en este tubo.
A partir de un cierto instante, que consideraremos como inicial, la tobera se cierra instantáneamente,
generándose ondas que se propagan por el conjunto líquido-tubos a la velocidad efectiva c tal que
(p0 − pa) /ρc2 � 1. Supongan que en este periodo transitorio se conserva la presión de remanso en la
bifurcación. Se pide:
3.- Presión pBL y velocidad uBL en xB = L (en la tobera) inmediatamente después del cierre.
4.- En la bifurcación y tras llegar la primera onda generada por el cierre de la tobera, obtener la presión
pAL y la velocidad uAL en el extremo xAL del tubo A; la presión pBO y la velocidad uBO en el extremo
xBO (xB = 0) del tubo B; y la presión pCO y la velocidad uCO en el extremo xCO del tubo C.
5.- Cuando la onda que viaja por el tubo C alcanza la entrefase líquido-aire se transmite una onda por
el aire del tubo. Estimen el orden de magnitud de la velocidad del aire mostrando que su número de
Mach es pequeño. Utilicen las condiciones de salto a través de una onda de choque para mostrar que
el número de Mach de propagación de la onda es muy próximo a la unidad, de modo que el salto de
presiones es también muy próximo a la unidad y, como consecuencia, la presión del aire en la entrefase
se puede considerar constante e igual a pa.
ATENCIÓN: todas las respuestas deben quedar en función de p0, pa, α, ρ, ρa g y c.
Solución:
1.- Si la velocidad en la sección de salida de la tobera es us, tendremos que
p0 = pa +
1
2 · ρ · u
2
s; uBI ·A = α ·A · us
de donde obtenemos las velocidades pedidas
uAI = uBI = α ·
√
2·(p0−pa)
ρ
Las presiones se obtienen a partir de la presión de remanso
pBI = p0 − 12 · ρ · u
2
BI = p0 − α2 · (p0 − pa) =⇒ pBI − pa = pAI − pa = (p0 − pa) · (1− α2)
2.- Como el líquido en el tubo C está en equilibrio, y al ser
√
A� L ∼ H , la ecuación de la �uidostática
nos dirá que la presión motriz es constante e igual a
PCI = pCI + ρ · g · xC = constante; con pCI = pBIen xC = 0
por lo que la presión motriz será
PCI − pa = pCI − pa + ρ · g · xC = pBI − pa = (p0 − pa) · (1− α2)
y la presión pedida
pCI − pa = (p0 − pa) · (1− α2)− ρ · g · xC
La altura H se obtiene a imponer que pCI − pa = 0 en xC = H, resultando que
H = (p0−pa)·(1−α
2)
ρ·g
3.- Justo tras el cierre en la compuerta, tendremos que
pBL − pa + ρ · c · uBL = pBI − pa + ρ · c · uBI
uBL = 0
y la presión será
pBL − pa = (p0 − pa) · (1− α2) + ρ · c · α ·
√
2·(p0−pa)
ρ = (p0 − pa) · (1− α
2) ·
[
1 +
√
2·ρ·c2·α2
(p0−pa)·(1−α2)2
]
'
(p0 − pa) ·
√
2·ρ·c2·α2
(p0−pa)
ya que (p0 − pa)/(ρ · c2)� 1. Se hace notar que (p0 − pa) · (1− α2) ∼ 12 · ρ · u
2
BI que es del orden de la
presión dinámica, mientras que ρ · c ·α ·
√
2·(p0−pa)
ρ ∼ ρ · c · uBI que es la sobrepresión generada tras el
cierre.
4.-Para el tubo B tenemos que
pB0 − pa − ρ · c · uB0 = pBL − pa − ρ · c · uBL = (p0 − pa) ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa (4.1)
Para el tubo A tenemos que
pAL−pa+ρ ·c ·uAL = pAI−pa+ρ ·c ·uAI = (p0−pa) ·(1−α2)+ρ ·c ·α ·
√
2·(p0−pa)
ρ ' (p0−pa) ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa
(4.2)
Para el tubo C tenemos que
PC0 − pa − ρ · c · uC0 = PCI − pa − ρ · c · uCI = (p0 − pa) · (1− α2) (4.3)
donde P es la presión motriz, uCI = 0 es la velocidad inicial en el tubo C, y la coordenada xC0 = 0 en
el origen del tubo por lo que PC0 = pC0. Nótese que (p0 − pa) · (1−α2) es del orden de los cambios de
presión debidos a la gravedad en el tubo C, que a su vez es del mismo orden que la presión dinámica,
y despreciable frente a las sobrepresiones que genera la onda.
Las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.3) tienen como incógnitas a pB0, pAL, PC0, uB0, uAL y uC0, por lo que
necesitamos tres ecuaciones más. La ecuación de continuidad aplicada a la bifurcación nos dice que
−uAL + uC0 + uB0 = 0 (4.4)
mientras que la conservación de la presión total a la bifurcación nos da dos ecuaciones más
(pAL − pa) + 1/2 · ρ · u2AL = (pB0 − pa) + 1/2 · ρ · u2B0 = (pC0 − pa) + 1/2 · ρ · u2C0 (4.5 y 4.6)
Como
pAL − pa ∼ pB0 − pa ∼ pC0 − pa ∼ (p0 − pa) ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa � (p0 − pa) ∼ 1/2 · ρ · u
2
las ecuaciones 4.5 y 4.6 se reducen a
(pAL − pa) = (pB0 − pa) = (pC0 − pa) (4.7 y 4.8)
De la ecuación 4.1 obtenemos que
uB0 =
pB0−pa
ρ·c −
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa (4.9)
donde hacemos notar que pB0−paρ·c ∼
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa . De la ecuación 4.2 obtenemos que
uAL =
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa −
pAL−pa
ρ·c (4.10)
con el mismo comentario que en la ecuación 4.9. De la ecuación 4.3 obtenemos que
uC0 =
pC0−pa
ρ·c − (1− α
2) · p0−paρ·c (4.11)
donde hacemos notar que pC0−paρ·c � (1 − α
2) · p0−paρ·c . Introduciendo (4.9), (4.10) y (4.11) en (4.4)
teniendo en cuenta la igualdad de presiones indicada en (4.7) y (4.8), obtenemos que
pC0−pa
ρ·c − (1− α
2) · p0−paρ·c −
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa +
pAL−pa
ρ·c +
pB0−pa
ρ·c −
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa = 0
3 · pC0−paρ·c − (1− α
2) · p0−paρ·c − 2 ·
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa = 0
que como se dijo en (4.11) se simpli�ca a
3 · pC0−paρ·c − 2 ·
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa = 0
por lo que la presión en la bifurcación queda como
pAL − pa = pB0 − pa = pC0 − pa = 23 · (p0 − pa) ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa
y las velocidades de (4.9), (4.10) y (4.11)
uAL =
1
3 ·
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa
uB0 = −13 ·
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa
uC0 =
2
3 ·
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa − (1− α
2) · p0−paρ·c '
2
3 ·
p0−pa
ρ·c ·
√
2·ρ·c2·α2
p0−pa
5.- El orden de magnitud de la velocidad del aire será uC0, por lo que
u2aire
pa/ρa
∼ u
2
C0
pa/ρa
∼ (p0−pa)
2
(ρ·c)2·pa/ρa ·
ρ·c2·α2
p0−pa ∼ α
2 · ρaρ ·
p0−pa
pa
∼ ρaρ � 1
La ecuación que relaciona las velocidades relativas a una onda de choque con el Mach relativo incidente
normal es
u2n
u21n
=
2+(γ−1)·M21n
(γ+1)·M21n
⇒ D/aa−uaire/aaD/aa =
2+(γ−1)·(D/aa)2
(γ+1)·(D/aa)2
donde aa es la velocidad del sonido en el aire en el estado inicial, D es la velocidad de propagación de
la onda de choque en el aire y que debe ser D ≥ aa. La ecuación anterior nos proporciona
2 · (D/aa)2 − uaire/aa · (γ − 1) · (D/aa)− 2 = 0
que al ser uaire/aa ∼ ρa/ρ � 1 se reduce a D/aa ≈ 1, es decir, el Mach relativo incidente normal es
muy cercano a la unidad, por lo que el incremento de presión en el aire es pequeño frente a pa, que
justi�ca que la condición de contorno en la entrefase es que la presión es igual a la presión atmosférica
pa.