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ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS (VA) 2 de julio de 2013 
 
 
 
La figura representa la línea media de una sección cerrada de pared delgada, formada 
por un tubo semicircular ACB de radio “r” y su diámetro AB, ambos de espesor 
constante “t”. 
Se pretende determinar el comportamiento del tubo frente a distintas solicitaciones. 
Como valores de los parámetros de la figura se tomarán r=30 mm y t=1 mm. 
 
Se pide: 
1.- Esfuerzo normal máximo en la sección cuando se aplica un momento de eje 
horizontal Mx=200 N·m. 
 
2.- Si se aplica una fuerza cortante vertical Sy = 1000 N en su centro elástico, máximo 
flujo cortante en el panel circular. 
 
3.- Flujo cortante máximo en el panel vertical recto para esa solicitación. 
 
4.- Distancia del centro elástico de la sección al punto O. 
 
5.-Esfuerzo cortante máximo en la sección cuando se aplica un par de torsión de valor T=200 N·m. 
 
 
 
 
 
En el tubo abierto de pared delgada de la figura actúa un 
momento torsor T=2 N·m. 
 
6.- Se pide el máximo esfuerzo cortante que aparece en la sección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabiendo que en una estructura semimonocasco el flujo cortante en un panel es 
constante, se deduce que en un tubo cerrado unicelular de tres cordones y tres paneles 
existirán tres incógnitas asociadas a los flujos cortantes que podrán ser determinadas a 
partir de tres ecuaciones de equilibrio. 
De acuerdo con esto se pretende calcular los flujos cortantes en los paneles del tubo 
de radio a mostrado en la figura, cuando se aplica un momento T= π·Va y una fuerza 
cortante de valor V=40a (en N). 
 
Se pide: 
7.- El flujo cortante qAB. 
 
8.- El flujo cortante qCA. 
 
 
 
r
O
A
B
C
t
r
V
A
B
C T
100 mm
100 mm
100 mm
t=1 mm
02.07. 13 2 / 2 
La figura representa un marco lateral de una mesa, formado por dos vigas 
AB y BC, de igual longitud a, y una tercera CD de longitud c, formando un 
ángulo de 120º con la BC. Los puntos A y D están situados en el plano 
horizontal. Todas tienen las mismas propiedades. 
Se supone que la estructura está inmovilizada mediante un apoyo fijo en A 
y otro deslizante en D, y que está sometida a una carga vertical de valor P 
en el punto C. 
Para determinar el desplazamiento del punto C, se suponen despreciables 
las contribuciones de las deformaciones axiales y cortantes. 
Se utiliza como valor de a = 1 m. 
 
 
 
 
 
9.- El desplazamiento vertical del punto C puede expresarse mediante la relación: , ·V C
P
E I
δ α= . 
Se pide el valor del parámetro α, en m3. 
 
10.- El desplazamiento horizontal hacia la derecha del punto C será , ·H C
P
E I
δ β= . 
Se pide el valor de β (en m3). 
 
11.- El giro antihoracio de C será de la forma , ·H C
P
E I
ϕ γ= . 
Se pide el valor de γ (en m2). 
 
 
12.- Suponiendo que la sección es un tubo circular de pared delgada, de radio 15 mm y 2 mm de espesor, se pide el máximo 
esfuerzo normal de flexión, para una carga P= 300 N. 
 
30o
A
B C
D
a
a
c
d
P
ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS 2 de julio de 2013 
 
Soluciones 
 
 
1.- 3,
1
2x ACB
I r tπ= ( )3 3,
1 22
12 3x BOA
I r t r t= = 
3 43 4 60412
6x
I r t mmπ += = 
,max 99,3
x
z
x
M
r MPa
I
σ = = 
 
2.- Distribución de flujos: 
Básicos: 
2
,
y
b BCA
x
S tr
q sen
I
θ= ( )2, 2yb BOA
x
S t
q rs s
I
= − 
Circulación: 
3
2yBCA
x
S tr
C
I
= 
3 2
3
y
BOA
x
S tr
C
I
= 
Hiperestático: 
2 2
0 ,
4 0,259
3 6
y y
BCA B
x x
S tr S tr
q q
I Iπ
= = − = −
+
 
 
Flujo máximo, en C: 
3 2
,
10 30 0,741 11,0
60412s C
Nq
mm
⋅
= ⋅ = 
 
3.- Flujo en O: 
3 2
,
10 30 0,759 11,3
60412s O
Nq
mm
⋅
= ⋅ = 
 
4.- Distancia del centro elástico al punto O: ( )
( )( )
4 4 62 6 0,5298 15,9
3 2 2 3 4x
r td r r mm
I
ππ
π π π
++
= ⋅ ⋅ = = =
+ + +
. 
 
5.- Esfuerzo cortante : 2 70,72
q T T MPa
t A t r t
τ
π
= = = =
⋅
 
 
 
 
6.- Constante de rigidez a torsion: 3 41 100
3
J t ds mm= ⋅ =∫ 
Máximo esfuerzo cortante: 2·10001 20
100
T t MPa
J
τ = ± = = 
 
 
 
7. y 8.- Ecuaciones de equilibrio: 
( )
1 2 3
1 2
2
1 2 3
3 3 32 0
2 2 2
3 3
2 2
2
3
a a aq q q
a aq q V
a q q q Tπ
− − + =
+ − =
+ + =
  
1 2 3
1 2
1 2 3
2 0
2
3
3
2
q q q
Vq q
a
Vq q q
a
+ + − =
+ − =
+ + + =
 
Solución: 
1 33,3 /ABq q N mm= = + 
2 6,67 /BCq q N mm= = + 
3 20,0 /CAq q N mm= = + 
 
O
A
B
C
S tr
I
y 2
x
1,00,5
0,759 O
A
B
Cd
Sy
0,741
0,259
V
A
B
C
T
3a/2q1q2
3q
a 3/2
Estructuras Aeronáuticas - 02.07.13 2 / 2 
Cálculo de desplazamientos. Estados real y virtuales de la estructura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reacciones: 
Estado real: Est. virtual 1. 
Desplaz. vertical 
Est. virtual 2. 
Desplaz. horiz. 
Est. virtual 3. 
Giro 
2
A
cR P
d
= + ⋅ 21A
cr
d
= + ⋅ 1A
ar
d
′ = − ⋅ 1Ar d
′′= + 
D
aR P
d
= + ⋅ 1D
ar
d
= + ⋅ 1D
ar
d
′ = + ⋅ 1Dr d
′′ = − 
0AH = 0Ah = 1Ah′ = 0Ah′′ = 
 
Momentos flectores. Signo de momentos: orientación de ejes en el punto C. Variable: en el sentido BC, DC y AB. 
 Estado real Est. virtual 1. 
Desplaz. vertical 
Est. virtual 2. 
Desplaz. horiz. 
Est. virtual 3. 
Giro 
AB. Mx 0 0 ·Ah ξ′− 0 
BC. Mx ·AR s− ·Ar s− · ·A Ah a r s′ ′− − ·Ar s′′− 
DC. Mx ( )2 ·DR η− ( )2 ·Dr η− ( )2 ·Dr η′− ( )2 ·Dr η′′− 
 
( )( )
3 3
,
0 0 2 2 3 12
a c
D D
x V C A A A A D D
R r a cEI R s r s ds d R r R rδ η η η  ⋅ = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = +  
  ∫ ∫ 
2 23 3 2 3 2 3
, 22 3 12 12V C x x
P c a a c P c a a c
EI d d EI d
δ
  +   = ⋅ + ⋅ = ⋅    
     
 
( )( )
2 3 3
,
0 0
0
2 2 2 3 12
a c
D D
x H C A A A A A D D
R r a a cEI R s a r s ds d R a R r R rδ η η η
′  ′ ′ ′⋅ = + − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = + +  
  ∫ ∫ 
23 3 3 3 4 2 3
, 2 2
1
2 2 2 3 12 4 6 12H C x x
P c a c a a a c P ca ca a c
EI d d d d EI d d d
δ
          = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = − +          
           
 
( )( )
3 3
0 0 2 2 3 12
a c
D D
x C A A A A D D
R r a cEI R s r s ds d R r R rϕ η η η
′′  ′′ ′′ ′′⋅ = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = +  
  ∫ ∫ 
3 3 3 3
2
1 1 2
2 3 12 12C x x
P c a a c P ca ac
EI d d d d EI d
ϕ
  −       = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅        
        
 
 
Para 1a m= , los otros parámetros valen 2 / 3 1,1547c a m= ⋅ = y 2 2 / 3 1,574d a c a m= + = ⋅ = 
Los desplazamientos pedidos son: 
9.- , 0,0962V C
x
P
EI
δ = ⋅ 10.- , 0,1572H C
x
P
EI
δ = ⋅ 11.- 0,0258C
x
P
EI
ϕ = ⋅ 
 
 
12.- Momento máximo: Momento inercia sección: Sigma máximo 
109,8
2máx A
acM R a P Nm
d
= = = 3 421206xI r t mmπ= = max 77,7
x
M r MPa
I
σ = = 
 
HA
RA RD
30o
A
B C
D
a
a
c
d
P
s
η
30o
A
B C
D
a
a
c
d
s 1
h'A
r'A
ξ η
r'D r''Dr''A
30o
A
B C
D
a
a
c
d
s m=1
η
h''A
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