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ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS (VA) 7 de noviembre de 2013 
 
 
La figura representa la sección transversal de un tubo bicelular de pared delgada, 
constituido por cinco paneles de igual longitud “2a”. Los paneles BC, CD y BD 
tienen un espesor “e”, mientras que los otros dos, BA y AD, tienen un espesor 
doble “2e”. Todas las chapas son de la misma aleación. 
 
Como valores de los parámetros de la figura se tomarán a=100 mm y t=1 mm. 
 
Se pide calcular: 
 
1.- El momento de inercia Ix de la sección. 
 
2.- La constante de rigidez a torsión J. 
 
3.- El flujo cortante en el panel AB cuando se aplica a la sección un par de torsión T=500 N·m. 
 
 
 
La sección transversal de un tubo bicelular de pared delgada de la figura está 
constituida por cinco paneles de igual longitud “2a” y espesor “t”. 
Se supone aplicada una fuerza cortante vertical Sy en el centro elástico de la 
sección. 
 
Se pide: 
4.- Si se se abren las celdillas por los puntos A y C, de intersección con el eje de 
simetría, el flujo cortante básico ( )2b y xq S ta I en el punto O del panel vertical. 
5.- El flujo cortante total ( )2s y xq S ta I en el punto C. 
6.- El flujo cortante total ( )2s y xq S ta I en el punto O. 
 
 
 
La figura representa una viga de longitud 2L, inmovilizada 
mediante los apoyos A, B y C. La sección transversal es un 
triángulo equilátero de lados “2a" y espesor “t”. 
La viga está sometida a una carga puntual P aplicada en el 
punto D de la sección del extremo. 
 
Los valores de las rigideces de la sección y parámetros son: 
EIx=3,2·1012 Nmm2 GJ=1,12·1012 Nmm2 GAy=3,8·107 N. 
L= 2 m P=5000 N a=200 mm t=1mm 
 
Se pide: 
7.- El desplazamiento del punto de aplicación de la carga D debido a las deformaciones originadas por flexión. 
 
8.- El desplazamiento de dicho punto D debido a las deformaciones cortantes. 
 
9.- El giro en su plano de la sección del extremo. 
 
10.- El esfuerzo normal máximo que se presenta en la viga. 
2a
2a2a
e
e
e2e
2e
A
B
C
D
60º 60º
2a2a
A
B
C
D
60º 60ºO
tt
t t
t2a
A
B
C
D
L L
2a
t
P
ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUICAS (VA) 7 de noviembre de 2013 
 
 
Solución: 
 
1.- ( ) ( ) ( )3 3 32 2 31 1 1 14· 4 · 30 2 2 · 4 · 30
12 12 12 3x
I e a sen e a e a sen a e= + + + = 6 44,667·10xI mm= 
2.- 11
2 22· 4
2
a a a
e e e
δ = + = 22
23· 6a a
e e
δ = = 12
2a
e
δ = 
 21 2
1 3·2 · 2 · 3
2 2
S S a a a
 
= = =  
 
 
 1 2
2
4 2 1
2 3
2 6 1
qa a
qe
′−     
=     ′−    
 1
2
4 3 5
3 3 5
q
ae
q
 ′   =   ′    
 
 342·2 ·
5i i
J q S a e′= =∑ 6 48, 40·10J mm= 
3.- 1 1 1 2
4 3· · ·
42
T Tq q G q
J a
θ′ ′ ′= = = 2 2
3 3 ·
42
Tq
a
= 8, 25ABq N mm= 
 
 
 
4.- Distribución de flujos básicos y circulación en los paneles superiores: 
 
Tramo CB BO 
Variables 0 ≤ s ≤ 2a 
y = s/2 
0 ≤ s ≤ a 
y = a-s 
FLUJO BÁSICO 
( )b y xq S t I = 
 
2 / 4s− 
 
( )2 22 2a as s− + − 
EN EXTREMO 2a− 22,5a− 
CIRCULACIÓN 
( )y xC S t I = 
 
( )3 2 3a− 
 
( )3 7 3a− 
 
 
5 y 6.- Flujos totales 
Condición de giro nulo: 1 0
2 ·
sq ds
S G t
θ ′ = =∫ ; 
3
0
2 2 2 73· · ·2
3 3
y
x
S taa aq
t t I
   + = + +   
   
 
2
0
3
4
y
x
S ta
q
I
= + 
 
Representación de flujos básicos y totales: 
2
y
s
x
S ta
q
I
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
C
D
O
2
1
qo
1
2,5qo A
B
C
D
O 1
0,25
0,75
0,50
7.11.2013 2 / 2 
Desplazamiento y giro. Problema isostático. 
 
Reacciones: 2CR P= 
 BR P= − 
 0AR = 
 
 
 
Tramo 
DC 
Estado Real Estado virtual 
desplazamiento 
Estado virtual 
giro 
Sy -P -1 0 
Mx +P s +s 0 
T +P·a +a 1 
 
Tramo AB-C: igual comportamiento que el DC, por lo que es suficiente integrar en un solo tramo y multiplicar por 2. 
( ) ( )
3 3
0 0
· ·
3 3
LL
x FLX
s PLEI Ps s ds Pδ = + + = =∫ 
( ) ( )
0
· · 1
L
y CORGA P ds P Lδ = − − =∫ 
( ) ( ) 2
0
· ·
L
TORGJ Pa a ds P a Lδ = =∫ 
Desplazamiento total del punto D: 
3 2
2·
3·D x y
P L P L P a L
EI GA GJ
δ
 
= + + 
  
 
7.- Contribución de las deformaciones por flexión: 
32
3FLX x
PL
EI
δ = 8,33FLX mmδ = 
 
8.- Contribución de las deformaciones cortantes: 
22 2
TAU
y
P L P a L
GA GJ
δ = + 1, 24TAU mmδ = 
 
 
9.- Giro: ( ) ( )
0
· 2· · 1 2
L
GJ Pa ds PaLθ = =∫ 
 
 
 
 
 
Directamente: T
GJ
θ ′ = ( )
2
0
1 2·
L PaLPa ds
GJ GJ
θ = =∫ 33,57·10 radθ −= 
 
 
 
10.- El momento máximo se presenta en la sección C, con un valor P·L. 
El punto más alejado de la línea neutra se encuentra en el vértice inferior, a una distancia max
2 3·
3
y a= − 
El momento de inercia de la sección es 32xI a t= 
 
max
,max max 3 2
2 3 3·
3 32z x
M P L P Ly a
I a t a t
σ
 
= = − = −  
 
 max 144,3MPaσ = 
 
P
A
B
C
D
L L
P
2P
x
y
z s
A
B
C
D
m=1
1/2a
1/2a
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