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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS 18 de enero de 2014 
 
PARTE A.- La figura muestra la sección transversal de una viga 
formada por chapa de espesor uniforme t, que es capaz de soportar 
tanto los esfuerzos cortantes como los esfuerzos normales originados 
por flexión. 
Se toman los valores de los parámetros: a=100 mm, t= 1 mm 
Se pide: 
1.- Flexión. Valor del momento de inercia de la sección Ix. 
Comportamiento en cortadura. Se considera una carga vertical Sy= 
1.000 N aplicada en el centro de cortadura de la sección. Se supone 
que se abren las celdillas por los puntos del eje A y E. Se pide: 
2.- Valor del flujo básico en C, del panel horizontal BC, qb,C. 
3.- Valor del flujo básico en D, qb,D. 
4.- Valor del flujo total en el punto A, qs,A. 
5.- Valor del flujo total en el punto E, qs,E. 
6.- Valor del flujo total en el punto D, qs,D. 
7.- Distancia del centro de cortadura al punto A. 
 
 
PARTE B.- La figura muestra la línea media de una viga formada por 
dos tramos rectos AB y BC, perpendiculares entre sí y situados en un 
plano horizontal. Los dos tramos tienen la misma sección transversal, 
siendo la longitud L = 3m. 
La estructura está empotrada en A, simplemente apoyada en C, y tiene 
aplicada una carga perpendicular de valor P en B. 
Para resolver la estructura, se toma como incógnita hiperestática la 
reacción vertical X en el apoyo C. El desplazamiento de la estructura 
en este punto de apoyo C puede expresarse en función de la carga, 
rigideces y parámetros mediante la relación: 
C
x y x y
X P
E I GA GJ E I GA GJ
α β γ η λ µδ
   
= + + + + +   
      
 
Utilizando m como unidad, se pide calcular los valores siguientes: 
1.- Valor del coeficiente α. 
2.- Valor del coeficiente β. 
3.- Valor del coeficiente γ. 
4.- Valor del coeficiente η. 
5.- Valor del coeficiente λ. 
6.- Valor del coeficiente μ. 
Se toman los siguientes valores de los parámetros: 
11 21,4·10xE I Nmm= ; 
10 27,2·10GJ Nmm= ; 65,4·10yG A N= ; P = 2000 N 
Se pide determinar los valores siguientes: 
7.- Reacción en el apoyo C. 
8.- Desplazamiento del punto B. 
9.- Giro de la sección B alrededor del eje CB. 
10.- Giro de la sección B alrededor del eje BA. 
A
B a
B'
C
2a
2a
2a
C'
DE
A
B
C
P
L
L
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS 18 de enero de 2014 
 
Solución. Parte A 
 
1.- ( )3 2 3, '
1 44 ·
12 3x CDC
I t a sen a tα= = ( )3 3, ' , '
1 22
12 3x BB x CC
I I t a a t= = = 
3 3 2 3 6 44 2 142· 2· · 4,667·10
3 3 3x
I a t a t at a a t mm= + + = = 
 
Distribución de flujos básicos y circulación en los paneles superiores: 
 
Tramo AB BC EC CD 
Variables 0 ≤ s ≤ a 
y = s 
0 ≤ s ≤ a 
y = a 
Igual AB 
 
0 ≤ s ≤ 2a 
y = a-s/2 
FLUJO BÁSICO 
( )b y xq S t I = 
 
2 2s− 
 
( )2 2a as− + 
 
2 2s− 
 
( )2 22 4a as s− + − 
EN EXTREMO 2 2a− 23 2a− 2 2a− 23a− 
CIRCULACIÓN 
( )y xC S t I = 
 
3 6a− 
 
3a− 
 
3 6a− 
 
( )3 16 3a− 
 
Valores pedidos para a=100 mm, en N/mm. Representación de los flujos básicos ( )2b y xq S ta I . 
2.- 2, 1,5· 3,214
y
bBC C
x
S
q ta
I
= − = − 
3.- 2, 3,0· 6,429
y
bCD D
x
S
q ta
I
= − = − 
Flujos hiperetáticos q1 y q2. Coeficientes. 
11 6
a
t
δ = 
3 3
1
1 12· 1 2
6 6
y y
b
x x
S a S adsq
t I I
 = − − − + = + 
 ∫ 
22 6
a
t
δ = 
3 3
2
1 162· 11
6 3
y y
b
x x
S a S adsq
t I I
 = − − − = + 
 ∫ 
12 2
a
t
δ = 
Ecuaciones. Solución. 
2
1
2
6 2 2
2 6 11
y
x
S taq
q I
−     
=    −    
 
2
1
2
17 16
35 16
y
x
S taq
q I
   
=   
  
 
Valores pedidos y representación de los flujos totales ( )2y xq S ta I . 
4.- 217 2,227
16
y
A
x
S
q ta
I
= = 
5.- 218 2,411
16
y
A
x
S
q ta
I
= = 
6.- 213 1,741
16
y
C
x
S
q ta
I
= = 
 
 
7.- Momentos con respecto al punto D, sentido horario. Condición de equivalencia de los flujos cortantes y la fuerza: 
( ) 1 1 2 22· · 1 3 · · 3 2 2 ·AB BC EC y DC a C a C a q S q S S d + + + + + =  
446 89 3 1,787
24D x
tad a
I
+
= = dA = 0,055 a = 94,5 mm 
 
D
2
3
0,5 1,5
0,5B
A E
C
1q 2q
D
B
A E
C
1,062 1,125 0,812
0,562 0,187
0,437
0,625
18.01.2014 2 / 2 
Parte B 
 
El empotramiento A proporciona 3 reacciones. El apoyo C una reacción vertical, que se supone dirigida hacia arriba. Como se 
dispone de 3 ecuaciones de equilibrio, la estructura es hiperestática de grado 1. Se toma RC=X. 
Para resolver la estructura se determinan las fuerzas internas en el caso real y en cuatro estados virtuales, que se representan a 
continuación, con los ejes de referencia representados en el primero y en función de las variables s indicadas. 
 
ESTADO REAL Virtual 1: Cálculo de la incógnita X. Estado real particularizado para X=1 y P=0. 
 Virtual 2: Cálculo del desplazamiento de B. Idem X=0 y P=1. 
 
 Virtual 3: Giro de B de eje CB. Virtual 4: Giro de B de eje BA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTADOS 
FUERZAS 
REAL 
Cargas P y X 
Virtual 1. Hiper. 
E.Real,X=1;P=0 
Virtual 2 
Desplaz. B 
Virtual 3 
Giro B, Eje CB 
Virtual 4 
Giro B, Eje BA 
TRAMO CB 0 < s < L 
Sy X 1 0 0 0 
Mx -X s -s 0 0 0 
T 0 0 0 0 0 
TRAMO BA 0 < s < L 
Sy X – P 1 -1 0 0 
Mx (P-X) s -s s 1 0 
T -X L -L 0 0 -1 
 
Cálculo del desplazamiento del punto C, que debe ser nulo. 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
0 0 0
1 1 1· · 1 · 0
L L L
C
x y
Xs P X s s ds X X P ds XL L ds
EI GA GJ
δ = − + − − + + − + − − =      ∫ ∫ ∫ 
3 3 32 2 1 0
3 3x y x y
L L L L LX P
EI GA GJ EI GA
   
+ + + − − =   
      
  
3
3 3
3
·
2 2
3
x y
x y
L L
EI GA
X P
L L L
EI GA GJ
+
=
+ +
 
1 a 6.- Para L=3m, los coeficientes tienen los valores siguientes: 
 18α = 6β = 27γ = 9η = − 3λ = − 0µ = 
7.- Reacción en el apoyo C: ·0,1285 257X P N= = 
8.- Desplazamiento de B: ( )
3
113
3B x y
L LP X mm
EI GA
δ
 
= − + = 
  
 
9.- Giro de B, CB: ( )
2
0,0560 3,21º
2B x
LP X rad
EI
ϕ = − = = 
10.- Giro de B, BA: 
2
0,0321 1,84ºB
XL rad
GJ
θ = = = 
A
B
C
P
L
s
xy
z
x
y
z
s
X
A
B
C
L
s
xy
z
1
0
A
B
C
L
s
xy
z
1
0
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