Aer14Jul-AB_es

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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS 3 de julio de 2014 
 
La figura muestra la sección bicelular idealizada de un ala recta, formada por 5 paneles de chapa de espesor t constante, que 
soportan únicamente esfuerzos cortantes, y 4 cordones que soportan los esfuerzos normales. El panel que forma el borde de 
ataque tiene una longitud l12e y encierra con el larguero 21 una célula de área SI. Las otras dimensiones están referenciadas en 
la figura. 
 
 
 
 
Se pide determinar para los siguientes valores de los parámetros de la figura: 
Áreas de los cordones: A1 = A2 = 1200 mm2 A3 = A4 = 800 mm2 Célula I: SI=65000 mm2. 
Longitudes: b = 600 mm h1=160 mm h2=200 mm l12e=800 mm t=1mm 
1.- Flexión. Momento de inercia de la sección Ix 
2.- Torsión. Constante de rigidez J. 
3 y 4.- Cortadura. Distribución de flujos cortantes para una carga vertical Sy= 1000 N aplicada en el centro elástico de la 
sección. 
5.- Distancia del centro de cortadura al panel central. 
6.- Área reducida en cortadura Ay. 
La figura siguiente superior representa un ala de envergadura 2L+2a, simplemente apoyada en los anclajes A, B, A’ y B’, que 
únicamente dan reacciones verticales para las dos cargas P aplicadas en las secciones extremas. 
En la figura de la izquierda se muestra la sección transversal del ala, de la que se conocen sus rigideces a flexión, torsión y 
cortadura, así como la distancia horizontal “d” del centro de cortadura al larguero anterior. La distancia entre largueros (y entre 
apoyos) tiene un valor “b”, siendo c=b - d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se pretende determinar qué longitudes L debe tener el ala para soportar las dos cargas P, aplicadas en los centros de cortadura 
de las secciones extremas, con la condición de que los desplazamientos debidos a la flexión en los puntos de aplicación de las 
cargas sean 4 veces los desplazamientos por cortadura de dichos puntos. 
Para los siguientes valores de los parámetros: 
13 23,0·10xE I Nmm= ; 
13 21,0·10GJ Nmm= ; 66,0·10yG A N= ; 25000P N= , 
a = 1000 mm b = 700 mm d = 150 mm 
Se pide determinar los valores siguientes: 
7.- Reacción en el apoyo A 
8.- Longitud L de los voladizos del ala que cumplan la condición , ,4·flexion E cortadura Eδ δ= para las cargas P aplicadas en los 
centros de cortadura de las secciones extremas. 
9.- Desplazamiento total del punto E de aplicación de las cargas. 
10.- Giro de torsión del extremo del ala si las dos cargas P se aplicaran en los largueros anteriores de las secciones extremas. 
b
1
2 3
4
h1 h2SI
l12e
t
t
B
A
A'
L
L
B' a
a
P
P
E
d c
b
P
1 / 2 
ESTRUCTURAS AERONÁUTICAS. Solución Ex. 3 de julio de 2014 
 
A.- Propiedades de la sección. Los cordones son simétricos con respecto al eje horizontal. Momento de inercia: 
( )2 2 2 7· 2 1200·100 800·80 3,424·10x i iI y A= = + =∑ Ix=3,424·107 mm4 
Comportamiento en cortadura. Saltos de flujo en los cordones: · ·yi i i
x
S
q y A
I
∆ = − 
3
2 17
10 12·100·1200 3,505
3,4243,424·10
q q∆ = + = + = + =− ∆ 
3
3 47
10 6,4·80·800 1,869
3,4243,424·10
q q∆ = + = + = + =− ∆ 
La sección en bicelular. El procedimiento de resolución consiste en abrir las dos celdillas (por los paneles 12e y 14) y 
determinar los flujos básicos en la sección abierta resultante. Posteriormente se añaden dos flujos q1 y q2, que se calculan 
imponiendo el giro nulo de las células, mediante el sistema de ecuaciones: 
1, 1 , , 1 1· · · ·i i i i i i i i i biq q q qδ δ δ δ− − + +− + − = −∑ 
La posición del centro elástico se determina posteriormente planteando la equivalencia de los momentos de los flujos y de 
la carga aplicada. Si se toman momentos con respecto al cordón 2, se calculan las áreas barridas respecto a este punto 
·2 ·qb i i yM q S d S+ =∑ ∑ 
Estos cálculos pueden organizarse mediante la tabla siguiente: 
 
Panel Δs t δ δcel qb qb·δ 2S 2Scel qb·2S qy 
12 e 800 1 800,00 1000,00 0 0 130000 130000 0 -0,667 
21 i 200 1 200,00 200,00 3,505 700,93 0 0 2,666 
23 600,33 1 600,33 1560,67 0 0 0 216000 0 0,172 
34 160 1 160,00 1,869 299,07 96000 1,794E+5 2,041 
41 600,33 1 600,33 0 0 120000 0 0,172 
 1,794E+5 
Flujos básicos y flujos hiperestáticos q1 y q2. Flujos totales: 
 
 
 
 
 
Comprobación de las resultantes de los flujos básicos: 3,505·200 1,869·160 1000+ = 
Flujos hiperestáticos. Sistema de ecuaciones: 
1 1
2 2
1000 200 700,93 0,667
200 1560,67 401,87 0,172
q q
q q
− −        
= − ⇒ =        − − +        
 
Posición horizontal del centro de cortadura. Momentos con respecto al cordón 2: 
 ( )51,794·10 0,667 ·130000 0,172·216000 1000·d+ − + = 
 d = 130 mm 
El centro de cortadura está situado a 130 mm del larguero anterior, hacia el borde de salida. 
Área reducida en cortadura 26
1 1 · ·
10 yy
q
A
δ= ∑ 
Multiplicando las columnas correspondientes de la tabla anterior: 
 Ay = 403,36 mm2 
 
1
2 3
4
2,666 2,041
0,172
0,172
0,667 Ed
1
2 3
4
q2q1
3,505 1,869
2 / 2 
4.- Rigidez a torsión. Sistema de ecuaciones: 1, 1 , , 1 1· · · 2i i i i i i i i i iq q q Sδ δ δ− − + +′ ′ ′− + − = 
1 1
2 2
1000 200 130000 161,83
200 1560,67 216000 159,14
q q
q q
′ ′−         
= ⇒ =         ′ ′−        
 
 
·2i iJ q S′=∑ J = 5,541·107 mm4 
 
B.- Ala. Reacciones en los apoyos 
 
Se tienen 4 incógnitas de reacción en los apoyos. Como la 
estructura y cargas presentan simetría con respecto al plano central, las 
reacciones son iguales dos a dos, por lo que sólo hay dos incógnitas. 
Teniendo en cuenta la carga, se suponen las reacciones hacia abajo. 
 
 
Momentos en BB’: 2· · 2 ·AR b P c= 
550· 25000· 19643
700A
cR P N
b
= = = 
Momentos en AA’: 2· · 2 ·BR b P d= 
150· 25000· 5357
700B
dR P N
b
= = = 
Suma de fuerzas: ( )2 2· 2· 2 25000 19643 5357 0A BP R R− − = − − = 
Determinadas las reacciones, se pueden representar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. El momento 
de torsión es nulo en todas las secciones del ala. 
Para determinar los desplazamientos se utiliza el método de la carga unitaria, por lo que deben calcularse los estados real 
y virtual. Debido a la simetría basta hacerlo sobre la mitad de la estructura. Las distribuciones se presentan en la tabla siguiente. 
 
ESTADO REAL (semiala) Virtual 
Extremo - AB; 0 ≤ s ≤ L 
Sy = +P 1 
Mx = - Ps -s 
T = 0 0 
AB – Secc. Central: L ≤ s ≤ L+a 
Sy = 0 0 
Mx = - Ps+(RA+RB)(s-L)=-PL -L 
T = 0 0 
 
Desplazamiento debido a la cortadura: 
0
· ·1·
L
y CORGA P ds PLδ = =∫ 
Desplazamiento de flexión: ( )( ) ( )( )
3
2
0
· ·
3
L L a
x FLX
L
PLEI Ps s ds PL L ds PL aδ
+
= − − + − − = +∫ ∫ 
Condición: 
3
21 · 4·
3x y
PL PLPL a
EI GA
 
+ = 
 
  
2
4
3
x
y
EIL La
GA
+ =  2 3 12 0L aL k+ − = 
Solución: 
23 9 4·12
2
a a kL − + +=  L = 6390 mm 
Desplazamientos. Cortadura: 26,62CORδ = ; Flexión: 106,50FLXδ = Total: 133Total mmδ = 
Giro en su plano del extremo del ala si las cargas se aplican en el larguero anterior: 
( ) ( )
2
0
1 · ·
L Pd LPd d ds
GJ GJ
θ = − − =∫ 32, 40·10 radθ −= 
2RB2RA
E
d c
b
2P
P
R +RA BR +RA B
Sy
Mx
P
P
P
PL
LaaL
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