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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
EXAMEN DE ESTRUCTURAS - CTA 23 de octubre de 2014 
 
 
1.- Posición del centro de gravedad desde C: ( ) ( ), / 2,G Gx y a a′ ′ = . 
Momentos de inercia: 3 340 13,33
3x
I a t a t= = 3 322 7,33
3y
I a t a t= = 34xyI a t= − 
Esfuerzos normales: 
2 461 0,836
55
xy
x y
I
D
I I
= − = = 
y xy xyx x x x
z
x y x x y x y
M I IM M M My xy x y x
I I D I D I I D I I
σ
 
= + = ⋅ − = −  
 
 
Línea neutra: 6 0,545
11
xy
y
I
y x x x
I
= = − = − Recta de ángulo -28,6º. 
Máximo esfuerzo (tracción) en el punto A. Mínimo (compresión) en D. 
,
·10 2253 2,45
2 92
xy
z A
x y
IP a a P Pa
D I I at at
σ
  = + − − = + = +     
 
,
·10 3 150 1,63
2 92
xy
z D
x y
IP a a P Pa
D I I at at
σ
  = − − − = − = −     
 
 
 
 
2.- Por la simetría de la sección: q3 = q2 y q4 = q1. 
( )11 2
a
t
δ π= + 22 8
a
t
δ = 12 2
a
t
δ = 
2
12S aπ= 
2
22 8S a= 
Las 4 ecuaciones pueden reducirse a dos. 
1 2
2
2 2
2 8 2 8
q a a
q t
π π′+ −     
=     ′− −    
  1
2
3 8
1,2983 4
5 8 1,766
3 4
q
at at
q
π
π
π
π
+ 
 ′    += =     ′ +     
 + 
 
Rigidez: 
2
3 36 96 128·2 36,41
3 4i i
J q S a t a tπ π
π
+ +′= = =
+∑ 
Flujos: 1 1 2' 0,0356circ
T Tq G q q
J a
q= = = 2 20,0485rect
T Tq q
J a
= = 
 
 
3.- 
( )·2 2· 2 2 3 2 11,42
C eq
ds r r r r r
t t t t
π π π+ += = + =∫ 
( ) ( )
2 2
2 2 2
1
· 2
2 2 2 5 4 19,71
2 2tC
r rr ds S r r r
π π π
 
⋅ = = + + = + = 
  
∫ 
( ) ( )0 2
3 23 2 0,5797
2 5 45 4 ·Cref eq
T ds T r T T
S G t t Grt Grtr G
ππ
ππ
+
Ω = ⋅ = + = =
⋅ ++∫ 
 
Por simetría de la sección: ΩA=0 
0
1 1· 0,0213
3 2 5 4B
T
Grtπ π
 Ω = Ω − = + + 
 
0
1 2 2 2· 0,0254
3 2 5 4C
T
Grt
π π
π π
+ + Ω = Ω − = + + 
 
0
1 3 2 2 5 2· 0
3 2 5 4D
π π
π π
+ + Ω = Ω − = + + 
 
En los puntos B’ y C’ los valores del alabeamiento son iguales a los de B y C respectivamente, con signo negativo. 
 
A
BCD
G
x
y
LN
1q q2 3q q4
T
Estructuras. Soluciones 23.10.2014 2 / 3 
 
4.- La sección es simétrica con respecto al eje horizontal por los puntos AD, eje x. Los ejes son principales, es decir, Ixy = 0. 
Como la fuerza vertical Sy es antisimétrica, el flujo en el panel AD será nulo, por lo que la sección se comporta como 
unicelular. 
Se abre la sección por en punto D, intersección de los dos paneles semicirculares. 
a) y b) Distribución de flujos básicos, circulación y fuerzas horizontal y vertical en los paneles superiores: 
 
 
Tramo DC CB BA 
Variables 0 ≤ θ ≤ π 
y = a-a cosθ 
0 ≤ s ≤ a 
y = 2a 
0 ≤ s ≤ 2a 
y = 2a-s 
FLUJO BÁSICO 
( )b y xq S t I = 
( )
0
1 cos ·a a d
q
q q− − =∫ 
[ ]2 0a sen
qq q− − = 
( )2a senq q− − 
2
0
2
s
a a dsπ− − =∫ 
[ ]2 02
sa asπ− − = 
2 2a asπ− − 
( ) ( )2
0
2 2
s
a a s dsπ− + − − =∫ 
( )
2
22 2
2
sa asπ
 
− + + − 
 
 
EN EXTREMO 
 
2aπ− ( ) 22 aπ− + ( ) 24 aπ− + 
CIRCULACIÓN 
( )y xC S t I = 
( )2
0
·a sen a d
π
q q q− − =∫ 
3 2
0
2 cosa
π
q q − + =  
( )3 2 2 2a π− − 
( )2
0
2
s
a as dsπ− + =∫ 
2 2
0
s
a s asπ − + =  
( )3 1a π− + 
( )
2
2
0
2 2
2
s sa as dsπ
 
− + + − = 
 ∫ 
( ) 22 2 3
0
2 6
a
a s as sπ − + + − = 
( )3 2 20 3a π− + 
F. HORIZONTAL 
( )y y xR S t I = 
(centro elástico) 
( )2
0
·cos ·a sen a d
π
q q q q− − =∫ 
( )3 2
0
· cos 1 2a sen sen
π
q q q q − + − =  
( )3 2a+ 
 
 
 
( )3 1a π− + 
 
 
 
0 
F. VERTICAL 
( )y y xR S t I = 
(comprobación) 
( )2
0
· ·a sen sen a d
π
q q q q− − =∫ 
3
0
1 1·cos 2
2 2
a sen sen
π
q q q q q  − − + − − =    
 
( ) ( )3 32 2a aπ π π− − = − 
 
 
 
0 
 
 
3 202
3
a π − + 
 
 
 
 
 
Distribución de flujos básicos, con valores en los extremos de los paneles A, B, 
C y D, y equivalentes de esos flujos en los centros O y O’. 
 
Suma de resultantes verticales: 
( )
3 320 402 ·2 3
2 3 3
y y
yy
x x
S ta S ta
F S
I I
π π π   ∑ = − + + = + =   
   
 
 
 
 
 
 
 
Flujo hiperestático q0, en sentido antihorario. 
 
2
2 2
0
1732· 2 3· 3,261
2· 3
b
y yDCBA
DCBA x x
dsq S ta S taCtq
ds L I I
t
π π
π
+ +
= − = − = =
+
∫
∫


 
 
 
 
C'B'
O'
DA
O
CB
3,14
5,14
7,14
S ta
I
y 2
x
oM
xR
yR
oM
xR
yR
q
Estructuras. Soluciones 23.10.2014 3 / 3 
 
c) Distribución de flujos cortantes totales, con valores absolutos en 
los puntos D, C, B y A. 
 
2
2 2
0
173
2 3· 3,261
3
y y
D
x x
S ta S ta
q q
I I
π π
π
+ +
= = =
+
 
2
2 2
17
2 3· 0,119
3
y y
C
x x
S ta S ta
q
I I
π
π
− +
= =
+
 
2
2 2
102
2 3· 1,881
3
y y
B
x x
S ta S ta
q
I I
π π
π
+ +
= =
+
 
2
2 2
194
2 3· 3,881
3
y y
A
x x
S ta S ta
q
I I
π π
π
+ +
= =
+
 
 
 
d) Para determinar la posición horizontal del centro elástico, si se toman 
momentos con respecto al punto D (sentido antihorario), y se utilizan las 
expresiones integradas de las resultantes de los flujos básicos, : 
 
( ) 02· · ·2 · ·2 ·O x CB BA yM R a C a C a q S S d− + + + = +   
 
( ) ( ) ( )
3 22
2202· · 2 2 2· 1 2 3,261 ·2 4 ·
2 3
y y
y
x x
S ta S ta
a a S d
I I
π π π π
    − − − − + − + + + = +    
   
 
( )
3 3
· 52,336 46,574 5,762·y y
x x
S ta S tad
a I I
= − + = − 
 
Momento de inercia de la sección: 
2
2 3
,
2 · 3· ·
4 2x CD
at aI at a a tπ π π= + = 
( ) ( )2 33 3 3,
3 1 402· · 2· · 2 4 3 22,758
2 12 3x CD
I a t at a t a a t a tπ π = + + = + = 
 
 
 
5,762 0,253
22,758
d
a
= − = −  0, 253·d a= − Está situado a la izqda. del punto D. 
 
C'B'
O'
DA
O
CB
3,26
3,88
0,121,88 S ta
I
y 2
x
	ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO