DFC y DMF

Vista previa del material en texto

FUERZAS EN VIGAS Y PÓRTICOS
CAPÍTULO 
7
Las vigas son elementos de una estructura cuyo fi n es soportar cargas a lo largo de su eje 
longitudinal. En general soportan cargas de techos.
7.1 Fuerzas internas: V, N, M
V → Fuerza cortante
N → Fuerza normal o axial
M → Momento fl exionante
V → Es generada por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento
N → Generadas por las fuerzas paralelas al eje longitudinal del elemento
M → Es generada por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento y los momentos
7.2 Tipos de cargas
Diagramas
En todo diagrama se debe indicar:
• Tipo de diagrama
• Unidades
• Signos
• Distancias
• Magnitudes
Puntual o
concentrada Momento Distribuida
WMP
R T
a
a
Q P
R T
a a
a aM M
N NV
V
Q P
Editorial Macro272 Estática - teoría y aplicaciones
D.F.C. (V)
(T)
D.F.N. (N)
(T)
D.M.F. (M)
(T  m)
Convención de signos
N → Tensión (+) Compresión (–)
V = ƩF ↑ (+) ↓ (–) ↓ (+) ↑ (–)
 i → d i ← d
M → ƩM (+) (–) (+) (–)
 i → d i ← d
Materiales
• Acero
• Madera
• Concreto armado
V1 V1
V2 V2
a b c
–
Eje+
N1 N1
N2 N2
e
d –
Eje+
M1
M2
f
g– Eje
+
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 273Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
7.3 Secciones transversales
Son secciones perpendiculares al eje longitudinal de la viga.
7.4 Tipos de viga
1. En voladizo 5. Con rótula
2. Simplemente apoyada 6. Apoyada - empotrada
 
3. Simplemente apoyada con un voladizo 7. Doblemente empotrada
Viga peraltada
Viga chata
“CONCRETO”
“ACERO”
“MADERA”
P
P
PP
P P
Editorial Macro274 Estática - teoría y aplicaciones
7.5 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento fl exionante
 
 ... (1)
 
 ... (2)
Las ecuaciones (1) y (2) nos permiten calcular las expresiones generales de la fuerza cortante y 
el momento fl exionante en vigas con cargas distribuidas con cualquier ley de variación.
dx
w
x
4. Simplemente apoyada con 2 voladizos 8. Continua
P P
Nota: Vigas isostáticas: 1 a 5
 Vigas hiperestáticas: 6 a 8
M
wdx
dx
M + dM
V + dV
CV
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 275Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
7.6 Estructura: Pórtico isostático
En este ejemplo la estructura está formada por 3 elementos: AB, CD, BC.
Se realiza un diagrama de cuerpo libre en cada elemento.
Por equilibrio en cada elemento se encuentran N, V, M.
Luego se pueden realizar los diagrama de N, V, M para cada elemento uniéndose al fi nal para un 
solo diagrama en cada caso; la convención de signos es igual que para las vigas.
B
A
VA VD
HD
P
b
a
e
c d C
D
Q
B
B B
B
b
A A
A
VA VD
HD
M2M1
M1 M2
P
b
a
dc
e
C
C
C
C
DD D
D
Q
Editorial Macro276 Estática - teoría y aplicaciones
Convención de signos
+
+
+ ++ +
–
–
– –– –
N y V M
Problema 207
Dibujar los diagramas de fuerza 
cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0; ΣMB = 0  VA(5) – 90(3) – 210 = 0  VA = 96 kg
ΣFV = 0  VB = 210 + 90 – 96 = 204 kg
Por semejanza de triángulos:
 =  y = 20x; F = = 10x2 . M = Fd = 10x2 
(V):
0 ≤ x ≤ 3  V = 96 – 10x2 
x = 0 V = 96
x = 3 V = 6
3 ≤ x ≤ 4  V = 96 – = 6
4 ≤ x ≤ 5  V = 96 – – 210 = – 204
x
A B
3 m 1 m 1 m
210 kg60 kg/m
x/3
F
y
x
3
60
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 277Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 208
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
96
(kg)
3 m 1 m1 m
204
204
6
M
(kg-m)
198
+
–
+
V
(M):
0 ≤ x ≤ 3  M = 96x – 10x2 
x = 0 M = 0
x = 3 M = 198
3 ≤ x ≤ 4  M = 96x – (x – 2) 
x = 3 M = 198
x = 4 M = 204
4 ≤ x ≤ 5  M = 96x – (x – 2) – 210(x – 4) 
x = 4 M = 204
x = 5 M = 0
100 kg
x
A B
2 m 2 m 2 m 2 m
500 kg
100 kg-m 100 kg-m
Editorial Macro278 Estática - teoría y aplicaciones
Solución:
ΣMB = 0  VA(4) – 100(6) – 500(4) + 100 + 100 = 0  VA = 600 kg
ΣFH = 0  HA = 0
ΣFV = 0  VB = 100 + 500 – 600 = 0
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = – 100
2 ≤ x ≤ 8  V = 0
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – 100x 
x = 0 M = 0
x = 2 M = –200
2 ≤ x ≤ 4  M = – 100x + 100(x – 2) 
x = 2 M = –200
x = 4 M = –200
4 ≤ x ≤ 8  M = – 100x + 100(x – 2) + 100 
x = 4 M = –100
x = 8 M = –100
2 m 2 m 2 m 2 m
200
100
100
–
–
V
(kg)
M
(kg-m)
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 279Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 209
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
Por semejanza de triángulos:
 = 
y = 4(x – 2)
F = (x – 2)  F = 2(x – 2)2
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(10) – 50(12) – = 0  VA = 126.67 kg
ΣFV = 0  VB = 50 + – 126.67 = 123.33 kg
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = – 50
2 ≤ x ≤ 12  V = – 50 + 126.67 – 
x = 2 V = 76.67
x = 12 V = –123.33
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – 50x 
x = 0 M = 0
x = 2 M = –100
2 ≤ x ≤ 12  M = – 50x + 126.67(x – 2) – (x – 2)2 
x = 2 M = –100
x = 8.19 M = 216.47
x = 12 M = 0
x
50 kg 40 kg/m
BA
2 m 10 m
F
y 40
10
x – 2
Editorial Macro280 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 210
76.67
3.81 m
123.33
216.47
+
+
6.19 m
2 m
V
(kg)
50 
M
(kg-m) 100
–
––
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(8) – 30(6.5) – 20(3) – 30(1) = 0  VA = 35.625 T
ΣFV = 0  35.625 + VB – 30 – 20 – 30 = 0  VB = 44.375 T
3 m 2 m
BA
10 T/m
20 T/m20 T
3 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 281Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
(V):
0 ≤ x ≤ 3  V = 35.625 – 10x 
x = 0 V = 35.625
x = 3 V = 5.625
3 ≤ x ≤ 5  V = 35.625 – 30 = 5.625
5 ≤ x ≤ 8  V = 35.625 – 30 – 20 – 
x = 5 V = – 14.375
x = 8 V = – 44.375
(M):
0 ≤ x ≤ 3  M = 35.625x – 
x = 0 M = 0
x = 3 M = 61.875
3 ≤ x ≤ 5  M = 35.625 – 30(x – 1.5) 
x = 3 M = 61.875
x = 5 M = 73.125
5 ≤ x ≤ 8  M = 35.625x – 30(x – 1.5) – 20(x – 5) – (x – 5)3 
x = 5 M = 73.125
x = 8 M = 0
35.625
V(T) 5.625
3 m
2 m
2 m
61.875
M(T-m)
73.125
14.375
44.375
3 m
3 m 3 m
(+)
+
–
Editorial Macro282 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 211
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(10) – + 20 = 0  VA = 12.67 T
ΣFV = 0  VB + VA – 20 = 0  VB = 7.33 T
(V):
0 ≤ x ≤ 4  V = 12.67 – 
x = 0 V = 12.67
x = 4 V = – 7.33
V = 0  x = 3.18
4 ≤ x ≤ 10  V = 12.67 – 20 = – 7.33
(M):
0 ≤ x ≤ 4  M = 12.67x – 
x = 0 M = 0
x = 3.18 M = 26.89
x = 4 M = 24
4 ≤ x ≤ 8  M = 12.67x – 20 
x = 4 M = 24
x = 8 M = –5.31
8 ≤ x ≤ 10  M = 12.67x – 20 + 20 
x = 8 M = 14.69
x = 10 M = 0
4 m 4 m 2 m
BA
10 T/m
20 T-m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 283Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 212
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(5) – 20(4) – 40(3) + 20 + 10(3) = 0  VA = 30 T
ΣFV = 0  30 + VB = 20 + 40 + 10  VB = 40 T
(V): 0 ≤ x ≤ 2  V = 30 – 10x 
x = 0 V = 30
x = 2 V = 10
2 ≤ x ≤ 5  V = 30 – 20 – 40 = – 30
5 ≤ x ≤ 8  V = 30 – 20 – 40 + 40 = 10
5.31
24
26.89
14.69
M(T-m)
3.18 m
12.67
V(T)
2 m
6 m
0.82 m
7.33
+
+
+
A
A
–
3 m2 m 2 m 1 m
B
A
10 T/m
20 T-m
40 T
10 T
Editorial Macro284 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 213
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
(M): 0 ≤ x ≤ 2  M = 30x – 
x = 0 M = 0
x = 2 M = 40
2 ≤ x ≤ 5  M = 30x – 20(x – 1) – 40(x – 2) 
x = 2 M = 40
x = 5 M = –50
5 ≤ x ≤ 7  M = 30x – 20(x – 1) – 40(x – 2) + 40(x – 5) 
x = 5 M = –50
x = 7 M = –30
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 1  M = –10x 
x = 0 M = 0
x = 1 M = –10
30
40
M
(T-m)
30
30
10
10 10
V(T)
50
2 m
2 m 2 m 1 m
2 m 1 m3 m
3 m
+
+ +
–
2 m 2 m 2 m 4 m8 m
BA
5 T/m
20 T10 T
6 T-m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 285Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(12) – 10(14) – 40(8) + 6 + 20(4) = 0 VA = 31.17 T
ΣFV = 0  VA + VB – 10 – 40 – 20 = 0  VB = 38.33 T
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = – 10
2 ≤ x ≤ 10  V = – 10 + 31.17 – 5(x – 2) 
x = 2 V = 21.17
x = 10 V = – 18.33
10 ≤ x ≤ 14  V = – 10 + 31.17 – 5(8) = – 18.33 
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 4  V = 20
Para: 
2 ≤ x ≤ 10  V = 0  x = 6.23
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – 10x 
x = 0 M = 0
x = 2 M = – 20
2 ≤ x ≤ 10  M = – 10x + 31.17(x – 2) – 5(x – 2) 
x = 2 M = –20
x = 6.23 M = 24.81
x = 10 M = –10.64
10 ≤ x ≤ 12  M = – 10x + 31.17(x – 2) – 40(x – 6) 
x = 10 M = –10.64
x = 12 M = –48.3
12 ≤ x ≤ 14  M = – 10x + 31.17(x – 2) – 40(x – 6) + 6 
x = 12 M = –42.3
x = 14 M = –80
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 4  M = – 20x 
x = 0 M = 0
x = 4 M = – 80
Editorial Macro286 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 214
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(3) – 10 – 20(5) – 15(4)(1) = 0  VA = 56.67 T
ΣFV = 0  VA + VB – 20 – 15(4) = 0  VB = 23.33 T
2 m
2 m
24.81
M
(T-m)
2 m
–
+
++
– –
–
2 m
4 m
21.17 20
20
10
V(T)
4.23 m
18.83
10.64
48.3
42.3
80
3.77
3 m2 m 1 m
BA
10 T-m
15 T/m
20 T
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 287Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
(V): 
 0 ≤ x ≤ 2  V = – 20
2 ≤ x ≤ 5  V = – 20 + 56.67 – 15(x – 2) 
x = 2 V = 36.67
x = 5 V = –8.33
V = 0  x = 4.44
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 1  V = 15x 
x = 0 V = 0
x = 1 V = 15
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – 10 – 20x 
x = 0 M = –10
x = 2 M = –50
2 ≤ x ≤ 5  M = – 10 – 20x + 56.67(x – 2) – 15 
x = 2 M = –50
x = 4.44 M = –5.17
x = 5 M = –7.5
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 1  M = – 15 
x = 0 M = 0
x = 1 M = –7.5
36.67
V(T) +
15
+
–
–
2.44 m
2 m
0.56 m
8.33
1 m
20 50
5.17 7.5
M
(T-m)
10
–
Editorial Macro288 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 215
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣFV = 0  VA – – 6(0.4) – 4 = 0  VA = 8.2 T
ΣMA = 0  – (2.1) – 6(0.4)(1.7) + 12 – 4(0.5) – MA = 0  MA = 2.14 T-m
(V): 
 0 ≤ x ≤ 0.6  V = – 
x = 0 V = 0
x = 0.6 V = –1.8
0.6 ≤ x ≤ 1  V = – – 6(x – 0.6) 
x = 0.6 V = –1.8
x = 1 V = –4.2
1 ≤ x ≤ 2  V = – – 6(0.4) = – 4.2
2 ≤ x ≤ 2.5  V = – – 6(0.4) – 4 = – 8.2
(M):
0 ≤ x ≤ 0.6  M = – 
x = 0 M = 0
x = 0.6 M = –0.36
0.6 ≤ x ≤ 1  M = – 1.8(x – 0.4) – 
x = 0.6 M = –0.36
x = 1 M = –1.56
0.6 m 0.4 m 0.5 m0.5 m0.5 m
MA
VA
A
12 T-m
6 T/m 4 T
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 289Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 216
1 ≤ x ≤ 1.5  M = – 1.8(x – 0.4) – 2.4(x – 0.8) 
x = 1 M = –1.56
x = 1.5 M = –3.66
1.5 ≤ x ≤ 2  M = – 1.8(x – 0.4) – 2.4(x – 0.8) + 12 
x = 1.5 M = 8.34
x = 2 M = 6.24
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 0.5  M = 2.14 + 8.2x 
x = 0 M = 2.14
x = 0.5 M = 6.24
0.6 m 0.4 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m
8.2
2.14
6.24
8.34
0.36
1.56
3.66
1.8
V(T)
4.2
M(T-m)
+
Dibujar los diagramas de fuerza 
cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣFH = 0  HA = 0
ΣMB = 0  VA(5) – = 0  VA = 666.67 kg
ΣFV = 0  VA + VB – = 0  VB = 1333.33 kg
2 m 5 m 1 m
BA
500 kg/m
–
–
Editorial Macro290 Estática - teoría y aplicaciones
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = – 62.5 
x = 0 V = 0
x = 2 V = –125
2 ≤ x ≤ 7  V = – 62.5 + 666.67 
x = 2 V = 541.67
x = 7 V = 864.58
V = 0  x = 4.62
7 ≤ x ≤ 8  V = – 62.5 + 666.67 + 1333.33 
x = 7 V = 468.75
x = 8 V = 0
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – 62.5 
x = 0 M = 0
x = 2 M = – 83.33
2 ≤ x ≤ 7  M = – 62.5 + 666.67(x – 2) 
x = 2 M = –83.33
x = 4.62 M = 719.48
x = 7 M = –239.56
7 ≤ x ≤ 8  M = – 62.5 + 666.67(x – 2) + 1333.33(x – 7) 
x = 7 M = –239.56
x = 8 M = 0
V (kg)
541.67 468.75
239.56
83.33
719.48
M
(kg-m)
864.58
2 m 2.38 m
2.62 m125
1 m
+ +
+
–
–
–
–
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 291Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 217
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMA = 0  V(4) – 10(4)(2) = 0  V = 20 T
ΣFV = 0  V + VA – 10(4) = 0  VA = 20 T
ΣMB = 0  – 20(6) – 2(3) + MB = 0  MB = 126 T-m
ΣFV = 0  VB – V – 2 = 0  VB = 22 T
(V): 
 0 ≤ x ≤ 4  V = 20 – 10x 
x = 0 V = 20
x = 4 V = –20
4 ≤ x ≤ 7  V = 20 – 10(4) = – 20
7 ≤ x ≤ 10  V = 20 – 40 – 2 = – 22
Para 0 ≤ x ≤ 4  V = 0  x = 2
3 m 3 m4 m
BA
10 T/m
Rótula
2 T
3 m 3 m4 m
BA
V
V
VA VB
MB
10 T/m
2 T
Editorial Macro292 Estática - teoría y aplicaciones
V(T)
M
(T-m)
20
20 –
–
+
+
20
60
22
126
2 m
2 m
2 m
2 m
3 m
3 m
3 m
3 m
Problema 218
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Rótula
3 T 3 T 3 T
A B
C
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
(M):
0 ≤ x ≤ 4  M = 20x – 10 
x = 0 M = 0
x = 2 M = 20
x = 4 M = 0
4 ≤ x ≤ 7  M = 20x – 10(4)(x – 2) 
x = 4 M = 0
x = 7 M = –60
7 ≤ x ≤ 10  M = 20x – 10(4)(x – 2) – 2(x – 7) 
x = 7 V = –60
x = 10 V = –126
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 293Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
ΣMA = 0  V(4) – 3(2) = 0  V = 1.5 T
ΣFV = 0  V + VA – 3 = 0  VA = 1.5 T
ΣMC = 0  – 1.5(8) – 3(6) + VB(4) – 3(2) = 0  VB = 9 T
ΣFV = 0  9 – 1.5 – 3 – 3 – VC = 0  VC = 1.5 T
(V): 
 0 ≤ x ≤ 2  V = 1.5
 2 ≤ x ≤ 6  V = 1.5 – 3 = – 1.5
 6 ≤ x ≤ 8  V = 1.5 – 3 – 3 = – 4.5
 8 ≤ x ≤ 10  V = 1.5 – 3 – 3 + 9 = 4.5
10 ≤ x ≤ 12  V = 1.5 – 3 – 3 + 9 – 3 = 1.5
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = 1.5x 
x = 0 M = 0
x = 2 M = 3
2 ≤ x ≤ 6  M = 1.5x – 3(x – 2) 
x = 2 M = 3
x = 4 M = 0
x = 6 M = –3
6 ≤ x ≤ 8  M = 1.5x – 3(x – 2) – 3(x – 6) 
x = 6 M = –3
x = 8 M = –12
8 ≤ x ≤ 10  M = 1.5x – 3(x – 2) – 3(x – 6) + 9(x – 8) 
x = 8 M = –12
x = 10 M = –3
3 T
VA
VB VCV
A B C
2 m 2 m 2 m2 m 2 m 2 m
V 3 T 3 T
Editorial Macro294 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 219
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMA = 0  V(3) – 12(2)(1) = 0  V = 8 T
ΣFV = 0  V + VA – 12(2) = 0  VA = 16 T
12 T/m 6 T 8 T
MB
VB
V B
V
VA
2 m 1 m 1 m 1 m 1 m
12 T/m
Rótula
6 T 8 T
BA
2 m 1 m 1 m 1 m 1 m
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 2  M = 1.5x 
x = 0 M = 0
x = 2 M = –3
V(T)
1.5
1.5
1.5
3
3
3
12
4.5
4.5
4 m 2 m
2 m 2 m2 m
M
(T-m) 2 m 2 m
2 m 2 m 2 m 2 m
+
+
+
–
–
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 295Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
ΣMA = 0  V(3) – 12(2)(1) = 0  V = 8 T
ΣFV = 0  V + VA – 12(2) = 0  VA = 16 T
ΣMB = 0  – 8(3) – 6(2) – 8(1) + MB = 0  MB = 44 T-m
ΣFV = 0  – 8 – 6 – 8 + VB = 0  VB = 22 T
(V): 
0 ≤ x ≤ 2  V = 16 – 12x 
x = 0 V = 16
x = 2 V = –8
V = 0  x = 1.33
2 ≤ x ≤ 4  V = 16 – 12(2) = – 8
4 ≤ x ≤ 5  V = 16 – 12(2) – 6 = – 14
5 ≤ x ≤ 6  V = 16 – 12(2) – 6 – 8 = – 22
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = 16x – 12 
x = 0 M = 0
x = 1.33 M = 10.67
x = 2 M = 8
2 ≤ x ≤ 4  M = 16x – 12(2)(x – 1) 
x = 2 M = 8
x = 3 M = 0
x = 4 M = –8
4 ≤ x ≤ 5  M = 16x – 12(2)(x – 1) – 6(x – 4) 
x = 4 M = –8
x = 5 M = –22
5 ≤ x ≤ 6  M = 16x – 12(2)(x – 1) – 6(x – 4) – 8(x – 5) 
x = 5 M = –22
x = 6 M = –44
+
–
–
8
8
8
16
22
22
44
14
+
10.67
1.33 m
0.67 mV(T)
M
(T-m)
3 m
1 m 1 m 1 m 1 m
3 m
Editorial Macro296 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 220
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(5) + 20 + 4(1) – – 10(3)(0.5) = 0  VA = 25.2 T
ΣFV = 0  VB + VA – – 10(3) – 4 = 0  VB = 53.8 T
(V):
0 ≤ x ≤ 3  V = 25.2 – 5x2 
x = 0 V = 25.2
x = 2.24 V = 0
x = 3 V = –19.8
3 ≤ x ≤ 5  V = 25.2 – 45 – 10(x – 3) 
x = 3 V = –19.8
x = 5 V = –39.8
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 1  V = 4 + 10x 
x = 0 V = 4
x = 1 V = 14
(M):
0 ≤ x ≤ 3  M = 25.2x – 
x = 0 M = 0
x = 2.24 M = 37.71
x = 3 M = 30.6
3 ≤ x ≤ 4  M = 25.2x – 45(x – 2) – 
x = 3 M = 30.6
x = 4 M = 5.8
4 ≤ x ≤ 5  M = 25.2x – 45(x – 2) – 5(x – 3)2 + 20 
x = 4 M = 25.8
x = 5 M = –9
30 T/m
10 T/m
4 T
BA
3 m 1 m 1 m 1 m
20 T-m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 297Ing. LuisGamio Arisnabarreta
Problema 221
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(6) – 12 – 6(5) – 20(3)(1.5) = 0  VA = 22 T
ΣFV = 0  VB + VA – 6 – 20(3) = 0  VB = 44 T
V(T)
25.2
+
2.24 m
0.76
19.8
37.71
30.6 25.8
39.8
5.8
9
14
4
M
(T-m)
2 m
1 m
+
+
–
–
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 1  M = – 4x – 10 
x = 0 M = 0
x = 1 M = –9
2 m 3 m1 m
BA
20 T/m
6 T
12 T-m
Editorial Macro298 Estática - teoría y aplicaciones
(V):
0 ≤ x ≤ 1  V = 22
1 ≤ x ≤ 3  V = 22 – 6 = 16
3 ≤ x ≤ 6  V = 22 – 6 – 20(x – 3) 
x = 3 V = 16
x = 3.8 V = 0
x = 6 V = –44
(M):
0 ≤ x ≤ 1  M = 22x 
x = 0 M = 0
x = 1 M = 22
1 ≤ x ≤ 3  M = 22x – 6(x – 1) – 12 
x = 1 M = 10
x = 3 M = 42
3 ≤ x ≤ 6  M = 22x – 6(x – 1) – 12 – 20 
x = 3 M = 42
x = 3.8 M = 48.4
x = 6 M = 0
V(T)
22
16
2.2 m
1 m
10
M
(T-m)
22
42
44
+
–
+
48.4
2 m 0.8 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 299Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 222
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(5) – 5(4) + 6 + (1) = 0  VA = – 0.2 T
ΣFV = 0  – 0.2 – 5 – + VB = = 0  VB = 20.2 T
(V): 0 ≤ x ≤ 1  V = – 0.2
 1 ≤ x ≤ 5  V = – 0.2 – 5 = – 5.2
De derecha a izquierda: 0 ≤ x ≤ 3  V = x2 
x = 0 V = 0
x = 3 V = 15
(M): 0 ≤ x ≤ 1  M = – 0.2x 
x = 0 M = 0
x = 1 M = –0.2
1 ≤ x ≤ 3  M = – 0.2x – 5(x – 1) 
x = 1 M = –0.2
x = 3 M = –10.6
3 ≤ x ≤ 5  M = – 0.2x – 5(x – 1) + 6 
x = 3 M = –4.6
x = 5 M = –15
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 3  M = – 
x = 0 M = 0
x = 3 M = –15
10 T/m
5 T 6 T-m
A
B
1 m 2 m 2 m 3 m
Editorial Macro300 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 223
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(9) – 9(4) – 3(8)(8) = 0  VA = 25.33 T
ΣFV = 0  VA + VB – 9 –3(8) = 0  VB = 7.67 T
(V): 0 ≤ x ≤ 3  V = – 3x 
x = 0 V = 0
x = 3 V = –9
3 ≤ x ≤ 8  V = – 3x + 25.33 
x = 3 V = 16.33
x = 8 V = 1.33
1 m 4 m
0.2
0.2
M
(T-m)
5.2
15
10.6
4.6
2 m 2 m 3 m1 m
V(T)
3 m
+
–
–
15
9 T
3 T/m
A B
3 m 5 m 4 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 301Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 224
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
De derecha a izquierda: 0 ≤ x ≤ 4  V = – 7.67
(M): 0 ≤ x ≤ 3  M = – x2 
x = 0 M = 0
x = 3 M = –13.5
3 ≤ x ≤ 8  M = – x2 + 25.33(x – 3) 
x = 3 M = –13.5
x = 8 M = 30.68
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 4  M = 7.67x 
x = 0 M = 0
x = 4 M = 30.68
10 T
10 T/m
12 T/m
A
B
5 m 3 m3.6 m1 m
V(T)
16.33
1.33
7.67
13.5M
(T-m)
3 m
4 m
30.68
9
4 m3 m
5 m–
–
–
+
+
Editorial Macro302 Estática - teoría y aplicaciones
Solución:
ΣMB = 0  VA(9.6) – 12(6)(6.6) – 10(4.6) – (1.2) + (1) = 0  VA = 54.98 T
ΣFV = 0  VA + VB – 12(6) – 10 – – = 0  VB = 60.02 T
(V):
0 ≤ x ≤ 5  V = 54.98 – 12x 
x = 0 V = 54.98
x = 4.58 V = 0
x = 5 V = –5.02
5 ≤ x ≤ 6  V = 54.98 – 12x – 10 
x = 5 V = –15.02
x = 6 V = –27.02
6 ≤ x ≤ 9.6  V = 54.98 – 12(6) – 10 – 
x = 6 V = –27.02
x = 9.6 V = –45.02
De derecha a izquierda: 
0 ≤ x ≤ 3  V = x2 
x = 0 V = 0
x = 3 V = 15
(M): 
0 ≤ x ≤ 5  M = 54.98x – x2 
x = 0 M = 0
x = 4.58 M = 125.95
x = 5 M = 124.09
5 ≤ x ≤ 6  M = 54.98x – x2 – 10(x – 5) 
x = 5 M = 124.9
x = 6 M = 103.88
6 ≤ x ≤ 9.6  M = 54.98x – 72(x – 3) – 10(x – 5) – 
x = 6 M = 103.88
x = 9.6 M = –15
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 3  M = – x3 
x = 0 M = 0
x = 3 M = –15
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 303Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 225
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(12) – (10) = 0  VA = 6 T
ΣFV = 0  VA + VB – 12(1.2) – = 0  VB = 15.6 T
1.2 T/m
A B
6 m 6 m 6 m 6 m
V(T)
+
+
+
–
–
54.98
4.58 m 5.02 3 m
15 m
27.02
15.02
45.02
M
(T-m)
125.95 124.4
103.88
15
1 m 3.6 m
0.42 m
Editorial Macro304 Estática - teoría y aplicaciones
(V): 0 ≤ x ≤ 6  V = – 
x = 0 V = 0
x = 6 V = –1.8
6 ≤ x ≤ 12  V = – + 6 
x = 6 V = 4.2
x = 10.95 V = 0
x = 12 V = –1.2
12 ≤ x ≤ 18  V = – + 6 – 1.2(x – 12) 
x = 12 V = –1.2
x = 18 V = –8.4
De derecha a izquierda: 0 ≤ x ≤ 6  V = 1.2x 
x = 0 V = 0
x = 6 V = 7.2
(M):
0 ≤ x ≤ 6  M = – 
x = 0 M = 0
x = 6 M = –3.6
6 ≤ x ≤ 12  M = – + 6(x – 6) 
x = 6 M = –3.6
x = 10.95 M = 7.82
x = 12 M = 7.2
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 6  M = – 1.2 
x = 0 M = 0
x = 6 M = –21.6
6 ≤ x ≤ 12  M = – 1.2 + 15.6(x – 6) 
x = 6 M = –21.6
x = 12 M = 7.2
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 305Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 226
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(7) – 1 (9) – 1(2)(6) – (3) + 0.6 = 0  VA = 4.2 T
ΣFV = 0  VA + VB – 1 – 1(2) – = 0  VB = 1.8 T
V(T) 6 m
1.8 1.2
4.2
8.4
21.6
6 m
7.82
3.6
M
(T-m)
7.2
7.2
4.95
6 m1.05 m
1.05 m
6 m
+
+
+
–
–
–
–
1 T/m
2 T/m
2 m 2 m 2 m3 m
A
B
0.6 T-m
1 T
Editorial Macro306 Estática - teoría y aplicaciones
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = – 1 
2 ≤ x ≤ 4  V = – 1 + 4.2 – 1(x – 2) 
x = 2 V = 3.2
x = 4 V = 1.2
4 ≤ x ≤ 7  V = – 1 + 4.2 – 1(2) – (x – 4) 
x = 4 V = 1.2
x = 5.9 V = 0
x = 7 V = –1.8
De derecha a izquierda: 0 ≤ x ≤ 2  V = – 1.8
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – x 
x = 0 M = 0
x = 2 M = –2
2 ≤ x ≤ 4  M = – x + 4.2(x – 2) – 
x = 2 M = –2
x = 4 M = 2.4
4 ≤ x ≤ 7  M = – x + 4.2(x – 2) – 1(2)(x – 3) – (x – 4)3 
x = 4 V = 2.4
x = 5.9 V = 3.92
x = 7 V = 3
De derecha a izquierda: 
0 ≤ x ≤ 2  M = – 0.6 + 1.8x 
x = 0 M = –0.6
x = 2 M = 3
M
(T-m)
2 m 2 m
3.2
V(T) 1.1 m
2 m
+
+2.4
2
1
0.6
1.8
3.0
3.92
––
–
1.9 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 307Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 227
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
Solución:
ΣMB = 0  VA(6) – 3.15 + 2 + 2.25 – 4(2) + 1.2(1) – 2.4(6)(5) = 0  VA = 12.95 T
ΣFV = 0  VA + VB – 4 – 1.2 – 2.4(6) = 0  VB = 6.65 T
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = – 2.4x 
x = 0 V = 0
x = 2 V = –4.8
2 ≤ x ≤ 6  V = – 2.4x + 12.95 
x = 2 V = 8.15
x = 6 V = –1.45
V = 0  x = 5.40
De derecha a izquierda: 
0 ≤ x ≤ 1  V = 1.2
1 ≤ x ≤ 3  V = 1.2 – 6.65 = – 5.45
(M): 
0 ≤ x ≤ 2  M = – 3.15 – 2.4 
x = 0 M = –3.15
x = 2 M = –7.95
2 ≤ x ≤ 6  M = – 3.15 – 2.4 + 12.95(x – 2) 
x = 2 M = –7.95
x = 5.40 M = 5.89
x = 6 M = 5.45
3.15 T-m
2.25 T-m2 T-m
BA
2.4 T/m
2 m 4 m 2 m 1 m
4 T 1.2 T
Editorial Macro308 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 228
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante.
2 T/m
6 T/m
BA
2 m 2 m1 m 1 m
V(T)
8.15
2 m
2 m 1 m
1.2
5.45
1.45
3.40 m
3.15
5.89
7.45
2.25
3.45
5.45
7.95
4.8
M
(T-m)
0.60 m+
+
+
–
–
–
–
De derecha a izquierda:
0 ≤ x ≤ 1  M = – 2.25 – 1.2x 
x = 0 M = –2.25
x = 1 M = –3.45
1 ≤ x ≤ 3  M = – 2.25 – 1.2x + 6.65(x – 1) 
x = 1 M = –3.45
x = 3 M = 7.45
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 309Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
ΣMB = 0  VA(4) – 2(3)(3.5) = 0  VA = 5.25 T
ΣFV = 0  VA + VB – 2(3) – 6 = 0  VB = 9.75 T
(V):
0 ≤ x ≤ 1  V = – 2x 
x = 0 V = 0
x = 1 V = –2
1 ≤ x ≤ 3  V = – 2x + 5.25 
x = 1 V = 3.25
x = 2.625 V = 0
x = 3 V = –0.75
3 ≤ x ≤ 5  V = – 6 + 5.25 – (x – 3)2 
x = 3 V = –0.75
x = 5 V = –4.75
5 ≤ x ≤ 6  V = – 6 + 5.25 – (x – 3)2 + 9.75 
x = 5 V = 5.0
x = 6 V = 0
(M): 
 
0 ≤ x ≤ 1  M = – 2 
x = 0 M = 0
x = 1 M = –1
1 ≤ x ≤ 3  M = – x2 + 5.25(x – 1) 
x = 1 M = –1
x = 2.625 M = 1.64
x = 3 M = 1.5
3 ≤ x ≤ 5  M = – 6(x – 1.5) + 5.25(x – 1) – 
x = 3 M = 1.5
x = 5 M = –2.66
5 ≤ x ≤ 6  M = – 6(x – 1.5) + 5.25(x – 1) – + 9.75(x – 5) 
x = 5 M = –2.66
x = 6 M = 0
EditorialMacro310 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de fuerza 
cortante y momento fl exionante.
2 T
2 T/m
Rótulas
3 T/m
BA
2 m 2 m 2 m 2 m
Problema 229
3.25
V(T)
M
(T-m)
0.375
1.625
1.5
1.64
0.75
2.66
4.75
1 m
1 m
2 m
+
+
– –
–
–
+
5
2
1
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 311Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
ΣMD = 0  V(2) – 4(1) = 0  V = 2 T
ΣFV = 0  V + Q = 4  Q = 2 T
ΣMA = 0  V(4) + 2(2) – M A = 0  MA = 12 T-m
ΣFV = 0  VA – 2 – V = 0  VA = 4 T
ΣMB = 0  Q(2) + 3 – MB = 0  MB = 6 T-m
ΣFV = 0  Q + 3 = VB = 5 T
(V):
0 ≤ x ≤ 2  V = 4
2 ≤ x ≤ 4  V = 4 – 2 = 2
4 ≤ x ≤ 6  V = 4 – 2 – 2(x – 4) 
x = 4 V = 2
x = 6 V = –2
V = 0  x = 5
6 ≤ x ≤ 8  V = 4 – 2 – 2(2) – (x – 6)2 
x = 6 V = –2
x = 8 V = –5
VA VB
V
V Q
Q
C D
MA MB
A
2 m 1 m2 m 1 m
2 T 3 T
 m m
4 T
Editorial Macro312 Estática - teoría y aplicaciones
(M):
0 ≤ x ≤ 2  M = – 12 + 4x 
x = 0 M = –12
x = 2 M = –4
2 ≤ x ≤ 4  M = – 12 + 4x – 2(x – 2) 
x = 2 M = –4
x = 4 M = 0
4 ≤ x ≤ 6  M = – 12 + 4x – 2(x – 2) – 2 
x = 4 M = 0
x = 5 M = 1
x = 6 M = 0
6 ≤ x ≤ 8  M = – 12 + 4x – 2(x – 2) – 2 – 
x = 6 M = 0
x = 8 M = –6
Dibujar los diagramas de V, N y M.
2 m
3 m
B
C
A
2 TProblema 230
2 m 2 m
2
2
5
6
M (T-m)
V (T)
4
4
12
1 m
1 m 2 m
–
–
–
+
+
1
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 313Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
D.C.L.:
2 T
2 m
3 m
M = 4
V = 2
A B
B
C
2
4
4
2
A A B A
2 2
2
2
B
C C C
B
4
4
4
–
–
– –
N T V T M T-m
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Problema 231
2 m
3 m
B
C
A
2 T-m
Editorial Macro314 Estática - teoría y aplicaciones
Solución:
D.C.L.:
M = 2
A B
B
C2
2
2
A
2 2
2
2C
T-m
B–
–
M
Problema 232
2 m
3 m
B
C
A
2 T/m
A B B
4 4
4
4
4
C
M = 4
V = 4
1 m 1 m
3 m
No hay fuerza cortante 
ni fuerza normal
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
D.C.L.:
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 315Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Problema 233
A
A B A4
4
4
B
C C C
B
4
4
4
–
–
– –
TN TV T-mM
2 m
2 m
1 m1 m B
C
4 T
2 T
A
Solución:
D.C.L.:
1 m
2 m
2 2
2
4
4 C
210
1 m
A B B
V = 2
M = 2
Editorial Macro316 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Problema 234
A A A2
2 2 m
2
2
2
10
4
42
N V MT T T-m
B B B
C C C
2 m
1 m
1 m 1 m
2 m
2 m
1 m
–
–
–
– –
–
2 m
2 m
4 m
4 m
2 T/m
B
C
D
5 T
2 T
A
Solución:
D.C.L.:
V = 2
V = 3.5
3.5
M = 2
N = 22 2
B B 2
D3
2
5
C C
A
4 m
4 m
2 m
2 m
4.5
4.5
3.5
2 T/m
N = 4.5
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 317Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
B B BC C C– –
+ +
+
+
– –
–
2 2
3
2 2
2
2 6
3D D DA A A
4.5
4.5
3.5
3.5
3.5
4.5
2.25
2.25 m1.75
5.06
4 m 4 m
2 m
N V MT T T-m
Dibujar los diagramas de V, N y M.
B: Rótula
Solución:
D.C.L.:
Problema 235
6 T
8 T2 T
2 m 2 m
1 m 1 m
1 m 1 m
CB
DA
N = 4.5
V = 1.5
1.5
1.5
M = 6
N = 1
4.5
V = 11 m
4.5
2 m
1 m
1 m
2 mB
B
6
6
8
D
C
1
7A
2
1
1
Editorial Macro318 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Problema 236
2 m
4 m
2 m
3 m
2.5 m
2.5 m
8 T
4 T
B
C
A
α
α
N T V T
1.5
1.5
1.51.5
4.5 4.5 4.5
4.5
B
B
C
C
A
1 1
1 1
1
1
7
7
1 A
1 m 1 m
2 m
D
D
–
–
+
–
–
–
–
+
+
M T-m
C
9
A
6
1
6B
7 1 m
1 m
1 m
2 m
D
+
+
+
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 319Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
D.C.L.:
4 5
3
0.86 sen α = 0.69
α
0.86
A
8
7.14 V = 0.86 V = 0.52
M = 12.56 12.56
N = 0.69
B B
4
C
2 m
2.5 m
2.5 m
4.52 0.69
2 m
0.86 cos α = 0.52
α
A
A B
+
–
–
2 m
2 m 2 m
2.5 m
2 m
7.14
0.52
4.52
4.52
0.86
7.14
B
C
C
+
+
A B
–
0.69
14.28
11.26
12.56
12.
56
2.5 m
0.69
N T V T
M T-m
Editorial Macro320 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
 ΣMC = 0  VA ↑ = 2.91 T ΣFV = 0  VC ↑ = 3.09 T
 cos α = = sen α = = 
Para los diagramas de V y M se plantean las ecuaciones con cargas perpendiculares al eje 
longitudinal del elemento.
D.C.L.:
Problema 237 2 T
4 T
8 m
3 m 2 m 2 m 4 m
A
B
C
α
α
α
2 T
B BA
x
M = 10.55 T-m M = 10.55 T-m
V’ = 0.55 T
V = 0.91 T2.91 T
0.73 T
3.33 m 2.4 T
3.2 T
1.85 T 2.47 T
C
x
3 m 2 m
4 cos α = 4 = 2.4 T
3.09 cos α = 1.85 T
En el punto B: Vcos α = V’  0.91 = 0.55 
AB
0 ≤ x ≤ 3 V = 2.91 T
 M = 2.91x 
0
8.73
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 321Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
3 ≤ x ≤ 5 V = 2.91 – 2 = 0.91 T
 M = 2.91x – 2(x – 3) 
8.73
10.55
BC
0 ≤ x ≤ 3.33 V = 0.55
 M = 10.55 + 0.55x 
10.55
12.38
3.33 ≤ x ≤ 10 V = 0.55 – 2.4 = – 1.85
 M = 10.55 + 0.55x – 2.4(x – 3.33) 
12.38
0
A B
0.73
0.73
2.47
2.47
5 m
5 m
5 m
+
C
–
N T
3 mA
C
B2 m
1.85
1.85
3.33 m
6.67 m
2.91 0.91+
+
–
V T
3 mA B2 m
8.73
10.55
10.55
12.38
+
M T-m
+
Editorial Macro322 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 238
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
ΣMD = 0 VA ↑ = 500 kg ΣFV = 0 VD ↑ = 700 kg ΣFH = 0 HA ← = 200 kg
200 kg/m
10
0 
kg
/m 400 kg
6 m
6 m
A
B C
D
3 m
3 m
M = 600 M = 600 M = 1200
400 kg
V = 400
M = 1200
10
0 
kg
/m
200 kg/m
V = 400 400
VA = 500
VA = 500
500
6 m
6 m
700
700
3 m
3 m
V = 0
700
x400
x
x
A
B
B C
C
D200
AB
0 ≤ x ≤ 6 V = 200 – 100x 
200
–400
 V = 0  x = 2 m
 M = 200x – 100 
0
200
–600
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 323Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
BC
0 ≤ x ≤ 6 V = 500 – 200x 
500
–700
 V = 0  x = 2.5 m
 M = – 600 + 500x – 200 
–600
25
–1200
CD
0 ≤ x ≤ 3 V = 400
 M = – 1200 + 400x 
–1200
0
3 ≤ x ≤ 6 V = 400 – 400 = 0
 M = – 1200 + 400x – 400(x – 3) 
0
0
500
200
25
600
1200
1200600
200
700
400
400 400
700500
400
400
2 m
2 m
2 m
3 m
3 m
3 m
3 m
4 m
2.5 m 3.5 mB
B
B
A
A
A
D
D
D
C
C
C
+
+
+
+
–
–
–
– –
–
–
– N kg
V kg
M kg-m
Editorial Macro324 Estática - teoría y aplicaciones
Solución:
D.C.L.:
2 K/pie
50’C
42 58
400 B
100 Klb
25’25’
10’
20’
A
C
20
20
B
VC = 58
VA = 42
42
42
BC
A
–
42
21’
29’
20’ 58
20
20
B
V = 42 – 2x = 0  x = 21
C
A
–
+
+
29’
20’
10’
400
400
400
841
BC
A
+
N Klb
V Klb
M Klb-pie
Problema 239
Dibujar los diagramas de V, N y M. BC
A
50’
20’
10’
2 kip/pie
20 kip
10’
20’
A
C
20
42
42
20
400
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 325Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
D.L.C.:
N Kip
V Kip M Kip-pie
Problema 240
–
+
+
20
20
6’
A
7
B C
23
3.5’
11.5’
+
+
6’
6’
A
120
120
132.25
120
B C
3.5’ 11.5’
B C
–
7
7
A
2 Kip/pie120
B
C
7
23
15’
20 Kip
20 Kip
120 Kip-pie
7 Kip
7 Kip
6’
6’
A
B
2 Kip/pie
20 Kip 23 Kip
20 Kip
7 Kip
6’
15’
6’
A
B
C
Editorial Macro326 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
D.C.L.:
Problema 241
2
C
D
2
8
8
C
–
–
–
B
A D
8
8
8
2 T 2 T
B
A
D
C
8 T-m
4 m
B
A
2
2
2
2
8CB 4 m
N T
V T
M T-m
A
+ –
D2 2
22 B C
A D
2 2
B C
–
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 327Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
D.C.L.:
Problema 242
N TV T
1 m 1 m
1 m1 m
1 m
A
C
B
D
1 m
3 T
4 T
2 T
2 T
0.5 T2.5 T
2 2
–
– –
2.5
2.5A B
0.5
0.5
C D1 m1 m
1 m 1 m
1 m 1 m
2
2
2
2
2
DC
2
A B
+
+
–
–
–
2.5 2.5
0.5 0.5
1 m
D
B
1 m
2 T
2 T
4 T
0.5 T
0.5 T
1 m
1 m
2 T
2 T
2.5 T
A
2.5 T
2 T-m
1 m 1 m 2 T2 T
0.5 T3 T
2.5 T
2 T-m C D
Editorial Macro328 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
D.C.L.:
M T-m
1 m
1 m 1 m
1 m 1 m
0.8 m
2 m
2
2
2
–
+
+
–
A B
0.5
C D
Problema 243
C
D
88
88
30’
15’
15’
B
A
40 K
52 K600 K-pie
40 K
52 K
10’ 30’ 10’ CB
600 K-pie
52 K 88 K
80 K60 K
15’
15’
VD = 88VA = 52
10’
B C
A D10’
60 K 80 K
30’
40
40
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 329Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
M Kip-pie
B
52
52
– –
88
88
30’ 30’
C
A D
B
52
88
8840
40
30’ 10’
10’
8
15’
15’
+
–
+
C
A D
B 10’ 10’30’
15’
15’
30’
+
+
+
1120
880
600
600
600 C
A D
N Kip
V Kip
Editorial Macro330 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V, N y M.
Solución:
D.C.L.:
720
111
10 m90
15
90 360
39
B
C
4 m
4 m
90
90360
39
39
C
D
720
111
111
90
90
B
A
8 m
N KN
Problema 244 15 Kn/m
90 KN8 m
4 m
4 m
10 m
A D
B C
111
111
39
39
9090
–
– –
B
A
C
D
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 331Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 245
A simple vista indicar en qué sección del 
pórtico el momento es nulo.
Solución:
 M A = 0
 M = 0 (De D a )
P P
P E
A D
Pa
P
B F C
4 m
8 m
4 m
7.4 m 2.6 m
309.3
720 360
720 360
–
–
–
A D
CB
M KN-m
90
90
90
39
90
4 m
4 m
7.4 m
2.6 m
111
+
+
–
–B
A
C
D
V KN
Editorial Macro332 Estática - teoría y aplicaciones
Problema 247
Problema 248
A simple vista indicar en qué sección de 
la viga el momento es nulo.
Solución:
M = 0 (De A a B)
A simple vista indicar en qué sección de 
la viga el momento es nulo.
Solución:
MA = 0
P
A B
P
A B C
Problema 246
A simple vista indicar en qué sección del 
pórtico el momento es nulo.
Solución:
M A = 0
MB = 0
MD = 0
E
A
D
Pa
P
P
P
P
B
F
C
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 333Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 250
Problema 251
A simple vista indicar en qué sección de 
la viga el momento es nulo.
Solución:
MA = 0
MC = 0
A simple vista indicar en qué sección del 
arco el momento es nulo.
Solución:
Arco biarticulado
MA = 0
MB = 0
P P
A B
E
D C
P
A
B C
Problema 249
A simple vista indicar en qué sección de 
la viga el momento es nulo.
Solución:
Ninguna sección
A B
Pa
Editorial Macro334 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V y M.
Problema 253
Problema 254
A simple vista indicar en qué sección de 
la viga, el momento es nulo.
Solución:
 M = 0 (De A a B)
 M = 0 (De C a D)
3 m2 m1 m
8 KN
20 KN-m 15 KN/m
B
2 m
Problema 252
A simple vista indicar en qué sección del 
arco el momento es nulo.
Solución:
Arco triarticulado
MA = 0
MB = 0
MC = 0
P
A B
E
DC
P
A
B
D C
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 335Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
ΣMB = 0 = A(5) + 20 – 8(2) + 15(3)1.5 ↓ A = 14.3 KN
ΣFV = 0 = – A + B – 8 – 15(3) ↑ B = 67.3 KN
i → d
0 ≤ x ≤ 3 V = – 14.3
3 ≤ x ≤ 5 V = – 14.3 – 8 = – 22.3
i ← d
0 ≤ x ≤ 3 V = 15x 
0
45
0 ≤ x ≤ 2 M = – 14.3x 
0
–28.6
2 ≤ x ≤ 3 M = – 14.3x + 20 
–8.6
–22.9
3 ≤ x ≤ 5 M = – 14.3x + 20 – 8(x – 3) 
–22.9
–67.5
i ← d
0 ≤ x ≤ 3 M = – 
0
–67.5
3 m
28.6 22.9
8.6
67.5
2 m
–
–
1 m2 m
M KN-m
3 m
3 m
2 m
14.3
22.3
–
+
45
V KN
Editorial Macro336 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de V y M.
Solución:
D.C.L.:
ΣMB = 0 = A(16) – 400 (20) – 1200(10) – 800(4) 
↑ A = 1450 lb
ΣFV = 1450 + B – 400 – 1200 – 800 = 0
↑ B = 950
0 ≤ x ≤ 4
V = – 400
M = – 400x 
0
–1600
4 ≤ x ≤ 16
V = – 400 + 1450 – 100(x – 4) 
1050
V = 0  x = 14.50
–150
M = – 400x + 1450(x – 4) – 100 
–1600
3912.5
3800
 i ← d 0 ≤ x ≤ 4
V = – 950
M = 950x 
0
3800
Problema 255
400 lb 800 lb
100 lb/pulg
12”4” 4”
A
B
400 8001200
4 6 6 4A B
400
x
x
100
1450
800
950
x
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 337Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar diagramas de V y M.
Solución:
↑ A = 30 T ; ↑ B = 30 T ; MB = 110 T-m
0 ≤ x ≤ 3 V = 30 – 20x 
30
V = 0  x = 1.5
–30
3 ≤ x ≤ 7 V = 30 – 60 = – 30 
0 ≤ x ≤ 3 M = 30x – 20 
0
x = 1.5  M = 22.5
0
Problema 256
20 T/m 10 T-m
2 m 2 m3 m C
A B
1050
3800
1600
3912.5
1.5”
10.5”
4” 4”
950
950
150
+
+
––
–
400
M lb-pulg
V lb
Editorial Macro338 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar diagramas de V y M.
Solución:
↑ VA = 12.88 KN
↑ VB = 4.98
0 ≤ x ≤ 1.5 V = – 3.3x 
0
–4.95
M T-m
V T
2 m 2 m
22.5
1.5 m
1.5
30
30
60
50
30
110
–
–
+
+ 4 m
3 ≤ x ≤ 5 M = 30x – 60(x – 1.5) 
0
–60
5 ≤ x ≤ 7 M = 30x – 60(x – 1.5) + 10 
–50
–110
Problema 257
1.5 m 1.5 m
3.3 KN/m 4.5 KN-m
2.25 KN-m
3.3 KN
B
A
3 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 339Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
 M = – 2.25 – 3.3 
–2.25
–5.96
1.5 ≤ x ≤ 4.5 V = – 3.3x + 12.88 
7.93
V = 0  x = 3.90
–1.98
M = – 2.25 – 3.3 + 12.88(x – 1.5) 
–5.96
3.55
2.96
4.5 ≤ x ≤ 6 V = – 3.3(4.5) + 12.88 – 3 = – 4.97
 M = – 2.25 – 3.3(4.5)(x – 2.25) – 3(x – 4.5) + 4.5 + 12.88(x – 1.5) 
7.46
0
7.93
+
+
–
–
–
1.51.5
2.4
1.98
4.98
4.95
5.96
3.55
2.96
7.46
2.25
0.6
M KN-m
V KN
Editorial Macro340 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar diagramas de V y M.
Solución: VA(8) – 5 – 5 – 5(6) – 5(2) – 32(6) = 0
VA = 30.25 VB = 11.75
0 ≤ x ≤ 2 V = 30.25 – 8x 
30.25
14.25
2 ≤ x ≤ 4 V = 30.25 – 5 – 8x = 25.25 – 8x 
9.25
x = 3.15
–6.75
4 ≤ x ≤ 6 V = 30.25 – 5 – 32 = – 6.75
6 ≤ x ≤ 8 V = –6.75 – 5 = – 11.75
0 ≤ x ≤ 2 M = 30.25x – 4x2 
0
44.5
2 ≤ x ≤ 4 M = 30.25 – 4x2 – 5 – 5(x – 2) 
39.5
44.85
42
4 ≤ x ≤ 6 M = 30.25x – 32(x – 2) – 5 – 5(x – 2) 
42
28.5
6 ≤ x ≤ 8 M = 30.25x – 32(x – 2) – 5 – 5(x – 2) – 5 – 5(x – 6) 
23.5
0
Problema 258
5 KN
5 KN-m
8 KN/m
5 KN-m
A B
5 KN
2 m 2 m 2 m 2 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 341Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar diagramas de V y M.
Solución:
RA(8) – 5(6) – 5(2) – 5 + 5 – 8(4)(6) = 0 ↑ RA = 29
RB + RA – 5 – 5 – 8(4) = 0 ↑ RB = 13
Problema 259
x
A
5 KN
5 KN
B
8 KN/m
5 KN-m
2 m 2 m 2 m 2 m
5 KN-m
M KN-m
V KN
44.85
30.25
14.25
6.75
11.75
9.25
39.5
42
28.5
23.5
44.25
2 m
4 m3.15 m 6 m 8 m
+
+ +
–
–
Editorial Macro342 Estática - teoría y aplicaciones
0 ≤ x ≤ 2 V = 29 – 8x 
29
13
2 ≤ x ≤ 4 V = 29 – 5 – 8x 
8
V = 0  x = 3
–8
4 ≤ x ≤ 6 V = 29 – 32 – 5 = – 8 
6 ≤ x ≤ 8 V = 29 – 32 – 5 – 5 = – 13
 0 ≤ x ≤ 2 M = 29x – 
0
42
2 ≤ x ≤ 4 M = 29x – 5(x – 2) – + 5 
47
M = 51
47
4 ≤ x ≤ 6 M = 29x – 5(x – 2) + 5 – 32(x – 2) 
47
31
6 ≤ x ≤ 8 M = 29x – 5(x – 2) + 5 – 32(x – 2) – 5 – 5(x – 6) 
26
0
29
13
8
2
+
+ +
–
3
4 6 8
– 8
13
31
26
51
42
47 47
M KN-m
V KN
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 343Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar diagramas de V y M.
Solución:
D.C.L:
ΣMB = 0 = – 20 – 6(12) + VA(6) – 24(3) + 12(2) 
 0 = – 20 – 72 + 6VA – 72 + 24
 140 = 6VA
 = VA = 23.33
 ΣFV = 0 = 23.33 – 6 – 24 – 12 + VB  VB = 18.67
0 ≤ x ≤ 6 V = – 6
 M = – 6x – 20 
–20
–56
6 ≤ x ≤ 12 V = – 6 + 23.33 – 4(x – 6) 
17.33
V = 0  x = 10.33
–6.67
 
Problema 260
20
6 24 12
6 m 3 m 3 m 2 4 m
V A V B
20 KN-m
4 KN/m6 KN
6 m 6 m
A B
6 m
Editorial Macro344 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar diagramas de V y M.
M = – 6x – 20 + 23.33(x – 6) – 2(x – 6)2 
–56
–18.45
–24.00
i ← d 
0 ≤ x ≤ 6 V = 
0
12
 M = – 
0
–24
6 m
6
6
56
18.45
20
17.33
10.33 m
12
18 m
12 m
6.67
24
–
–
–
+ +
M KN-m
V KN
Problema 261
16 KN/m 3.2 KN
1.6 m 1.6 m 1.6 m
A
B
C
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 345Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Solución:
D.C.L:
ΣMB = 0 = A(3.2 m) + 3.2(1.6 m) – 25.6(2.4 m)
↑ A = = 17.6 KN
ΣFV = 0 = 17.6 + B – 3.2 – 25.6
↑ B = 11.2 KN
(V):
0 ≤ x ≤ 1.6 V = 17.6 – 16x 
17.6
V = 0  x = 1.10 m
–8
1.6 ≤ x ≤ 3.2 V = 17.6 – 25.6 = – 8
3.2 ≤ x ≤ 4.8 V = – 8 + 11.2 = 3.2
(M):
0 ≤ x ≤ 1.6 M = 17.6 – 
0
9.68
7.68
1.6 ≤ x ≤ 3.2 M = 17.6x – 25.6(x – 0.8) 
7.68
M = 0  x = 2.56 m
– 5.12
i ← d
0 ≤ x ≤ 1.6 M = – 3.2x 
0
–5.12
25.6 KN
2.4 m0.8 1.6 m
3.2 KN
A B
Editorial Macro346 Estática - teoría y aplicaciones
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento fl exionante en la viga mostrada.
Solución:
ΣMB = 0 = A(20) – 4(15) – 2(10)5  A = 8 Kip
ΣFV = 0 = 8 – 4 – 2(10) + B  B = 16 Kip
0 ≤ x ≤ 5 V = 8
 M = 8x 
0
40
5 ≤ x ≤ 10 V = 8 – 4 = 4
 M = 8x – 4(x – 5) 
40
60
+++
1.10 m
1.10 m 1.6 m
1.6 m
1.6 m
5.12
3.23.217.6
8 8
0.64 m
0.96 m
9.68
7.68
0.5 m
0.5 m
–
–M KN-m
V KN
Problema 262
2 Kip/pie4 Kip
A B
5’ 5’ 10’
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 347Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar los diagramas de V y M.
10 ≤ x ≤ 20 V = 8 – 4 – 2(x – 10) 
4
V = 0  x = 12
–16
 M = 8x – 4(x – 5) – 
60
64
0
M Kip-pie
V Kip
8 8
8’
5’ 5’ 2’
16
40
60
64
4 4+
+ + +
–
Problema 263
w
x
A C
B
Editorial Macro348 Estática - teoría y aplicaciones
Solución:
ΣMBd = 0 = C – w  ↑ C = 
ΣFV = 0 = A + – w  ↑ A = 
ΣMBi = 0 = – w – MA  MA = 
0 ≤ x ≤  V = – + wx 
– 
V = 0  x = 
 M = x – 
0
– 
+
+
CB
A
–
–
M
V
x =  M = 0
rótula
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 349Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar los diagramas de V y M.
Solución:
x = 2
qx = 6
 K =  qx = x
2
F = = = 4 kg
4 = = = = 6 kg-m
 = m ΣMB = 0  A = 1 kg
 = = = – 
V = VA – = 1 – 
 = = = x – 
Mx = x – 
Problema 264
qx = Kx
2
6 kg/m
BA
x
2 m
F
A B
x
0
2
1.26
0.63
V
1
– 3
0
0.87
x
0
2
1.26
M
0
0
0.94
4
B = 3A = 1
Editorial Macro350 Estática - teoría y aplicaciones
Solución:
 = = – 
 Vx = – 
 
 = – = 
 Mx = 
Problema 265
Dibujar los diagramas de V y M.
x
w = wocos 
L
A
x
0
L
M
0
– 0.40 woL
– 0.12 woL
x
0
L
V
0
– 0.63 woL
– 0.44 woL
+
+
–
0.94
2 m
3
1
1.26 m
M Kg-m
V Kg
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 351Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 266
Dibujar los diagramas de V y M.
M
V
L
L
0.44 woL
0.12 woL
2
0.40 woL
2
0.63 woL
–
–
Solución:
↑ VA = 31 N ; ↑ VB = 219 N
0 ≤ x ≤ 0.1 V = 31
 M = 31x 
0
3.1
200 N/m
100 N/m
0.1 m 0.2 m 0.2 m
0.3 m 0.2 m 0.5 m
100 N/m 200 N
BA
Editorial Macro352 Estática - teoría y aplicaciones
0.1 ≤ x ≤ 0.4 V = 31 – (x – 0.1)2 
31
1
 M = 31x – (x – 0.1)3 
3.1
9.4 
0.4 ≤ x ≤ 0.6 V = 31 – 30 – 100(x – 0.4) 
1
V = 0  x = 0.41
–19
 
M = 31x – 30(x – 0.3) – 50(x – 0.4)2 
9.40
9.405
7.6
0.6 ≤ x ≤ 1 V = 31 – 30 – 20 = – 19
0.6 ≤ x ≤ 0.8 M = 31x – 30(x – 0.3) – 20(x – 0.5) 
7.6
3.8
0.8 ≤ x ≤ 1 M = 31x – 30(x – 0.3) – 20(x – 0.5) – 100 
–96.2
–100
i ← d
0 ≤ x ≤ 0.5 V = 200
 M = – 200x 
0
–100
x – 0.1
y
200
0.3
 = 
y = 
F = 
M = 
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 353Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 267
Dibujar los diagramas de V y M.
Solución:
↑ VA = 6.92 T ; ↑ VB = 5.08 T
0 ≤ x ≤ 2 V = – 2x 
0
–4
 M = – 
0
–4
31
+
+
+
–
1
0.1 m 0.4 m
0.41 m 0.6 m
19
1.0 m 1.5 m
100
200
96.2
3.8
7.6
9.4
3.1
9.405
–
M N-m
V N
2 T/m
2 m 3 m 4 m 2 m 4 m
2 T/m4 T-m
10 T
3 T-m
B
A
Editorial Macro354 Estática - teoría y aplicaciones
2 ≤ x ≤ 5 V = – 2x + 6.92 
2.92
V = 0  x = 3.46
–3.08
 
 M = – x2 + 6.92(x – 2) 
–4
–1.86
–4.24
5 ≤ x ≤ 9 V = – 10 + 6.92 = – 3.08
 M = – 10(x – 2.5) + 6.92(x – 2) 
–4.24
–16.56
9 ≤ x ≤ 11 V = – 10 + 6.92 + 10 = 6.92
 M = – 10(x – 2.5) + 6.92(x – 2) – 4 + 10(x – 9) 
–20.56
–6.68
11 ≤ x ≤ 15 V = – 10 + 6.92 + 10 – 3(x – 11) 
6.92
V = 0  x = 13.3
–5.08
 
 M = –10(x – 2.5) + 6.92(x – 2) – 4 + 10(x – 9) – (x – 11)2 
–6.68
1.3
–3
2 m
2 m
3.08
2.3 m
4 m1.54
6.92 6.92
1.7 m
5.08
2.92 +
+
+
–
–
– –
4
4 3
– –
20.56
4.24
16.56
1.46
1.86
6.68
1.3
M T-m
V T
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 355Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Dibujar los diagramas de V y M.
Solución:
↑ VA = 47.625 ; ↑ VB = 76.375
0 ≤ x ≤ 3 V = 47.625 – 10x 
47.625
17.625
 M = 47.625x – 5x2 
0
97.875
3 ≤ x ≤ 6 V = 47.625x – 10x – (x – 3)2 
17.625
V = 0  x = 4.245
–42.375
 M = 47.625x – 5x2 – (x – 3)3 
97.875
109.923
75.75
i ← d
0 ≤ x ≤ 1 V = 4 + 10x 
4
14
 M = – 4x – 5x2 
0
–9
1 ≤ x ≤ 3 V = 4 + 10x – 76.375 
–62.375
–42.375
Problema 268
10 T/m
3 m 3 m 1 m 1 m 1 m
A B
10 T/m 4 T
30 T/m
20 T/m
 = 
F = 
M = 
20
y
3
x – 3
Editorial Macro356 Estática - teoría y aplicaciones
47.625
17.625
4.245 m
42.375
62.375
48.375
28.375
75.7597.875
109.923
3 m
6 m
8 m
8 m
7 m3 m
9 m
14
4
9
+
+ +
–
+
+
–
M T-m
V T
1 ≤ x ≤ 2 M = – 4x – 5x2 + 76.375(x – 1) 
–9
48.375
2 ≤ x ≤ 3 M = – 4x – 5x2 + 76.375(x – 1) – 20 
28.375
75.75
9 m
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 357Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Calcular “a” si 
 |MMAX
(–)| = |MMAX
(+)|
Luego dibujar los diagramas de V y M.
Solución:
ΣFV = 0 = 2V – 2(6 – 2a)
 V = 6 – 2a
ΣMA = 0 = (6 – 2a)a + – M
 –M = 6a – a2
M+ = = 
4(6a – a2) = 36 + 4a2 – 24a = 24a – 4a2
8a2 – 48a + 36 = 0
2a2 – 12a + 9 = 0
a = = 
a = 5.12 m... No
a = 0.88 m... Conforme
Problema 269
2 T/m
6 – 2aC D
VV
2 T/m
6 – 2a
CA aM
6
2 T/m
a aDC
C y D: rótulas
A B
6 m
Editorial Macro358 Estática - teoría y aplicaciones
La viga fallará cuando el momento máximo sea superior a 5 Kip-pie. Calcular la carga 
máxima w (kip/pie) que la viga soportará.
Solución:
0 ≤ x ≤ 10 V = 5w – wx 
5w
V = 0  x = 5’
–5w
 M = 5wx – 
0
M = 25w – 12.5w = 12.5w
0
Problema 270
5’ 5’
12.5w
+
5’
5w
5w
5’
+
–
10 pies
A B
w
M Kip-pie
V Kip
M T-m
V T
6
6
3 m
3 m
4.500.88 m 0.88 m
4.50 4.50
+
+
–
– –
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 359Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Suponer la reacción del suelo uniforme. Dibujar los diagramas de V y M.
Solución:
 ΣFV = 0
 w(16) = 9000(8)
 w = 4500 N/m
0 ≤ x ≤ 4 V = 4500x 
0
18000
 M = 4500 
0
36000
4 ≤ x ≤ 12 V = 4500x – 9000(x – 4) 
18000
V = 0  x = 8
–18000
 M = 4500 – 9000 
36000
72000
36000
Problema 271
9000 N/m
4 m 8 m 4 m
9000
w = 4500
x x x
Simetría: VA = VB = 5w
M = 5w(5’) – 5w = 12.5w
12.5w = 5
w = 0.40 Kip/pie < > 400 lb/pie
Editorial Macro360 Estática - teoría y aplicaciones
La viga fallará cuando la fuerza cortante máxima sea superior a V = 800 lb o el momento 
máximo sea superior a M = 1200 lb-pie. Calcular la carga máxima w (lb/pie) que la viga 
soportará.
Solución:
V = = 9w = 800  w = 99.88 lb/pie
M = = 54w = 1200  w = 22.22 lb/pie
Problema 272
 = 18 pies
A B
w
d → i
0 ≤ x ≤ 4 V = – 4500x 
0
–18000
 M = 4500 
0
36000
18000
18000
3600036000
72000
+
+
–4
8 12 16 m
++
M N-m
V N
Capítulo 7: Fuerzas en vigas y pórticos 361Ing. Luis Gamio Arisnabarreta
Problema 273
Determinar la razón a/b para la cual la fuerza cortante será cero en el punto medio C de la 
viga.
Solución:
D.C.L.:
ΣMB = = 0
 x = 
 x + a = (2a + b)
 + a = 
 = – = 
 =  = 
 A = 
↑ A = 
a b/2
w/2
A
a ab/2 b/2
B
w
C
A B
B
b
x
 = 2a + b
A
A
Editorial Macro362 Estática - teoría y aplicaciones
Calcular si la fuerza cortante 
en el centro de luz es cero.
Solución:
D.C.L:
F1 = 4( + 2a)
F2 = ( + 2a) = 3( + 2a)
d = ( + 2a) – a
d = ( – a) (implica > a)
ΣMB = 0  A() – 4( + 2a) – 3( + 2a) ( – a) = 0
A = 3 + 5a – 
Centro de luz :
ΣFV = 0
A – 4 – = 0
3 + 5a – – = 0
2 – 2a – 8a2 = 0
 = 
 = 4a  = 
Problema 274
A
a + /2
4 V = 0
4 kg/m
10 kg/m
a  a
A B
D.C.L:
A
A
d
B
4( + 2a) 3( + 2a)
B
a
/2
/2
a