Estabilidade em Reticulados Espaciais

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ESTABILIDAD
ESFUERZOS INTERNOS EN ESFUERZOS INTERNOS EN 
RETICULADOS ESPACIALESRETICULADOS ESPACIALES
Profesor Titular Esp. Ing. Miriam Lopez
Profesor Adjunto Dr. Ing. Gustavo Gioacchini
RETICULADOS ESPACIALES
• Son aquéllos cuyas barras no están 
contenidas en un plano y tienen 
capacidad para soportar fuerzas 
dirigidas en cualquier dirección del 
espacio.
• Son aquéllos cuyas barras no están 
contenidas en un plano y tienen 
capacidad para soportar fuerzas 
dirigidas en cualquier dirección del 
espacio.
RETICULADOS ESPACIALES
• Se presentan en grúas, cúpulas reticulares, 
agujas, etc... .-
RETICULADOS ESPACIALES
RETICULADOS ESPACIALES
RETICULADOS ESPACIALES
ESTRUCTURAS
DESARMABLES
ESTRUCTURAS
DESARMABLES
• Las hipótesis para determinar los 
esfuerzos que se originan en sus barras 
al ser solicitada la estructura por un 
sistema de fuerzas dado, son las 
mismas que se formularon para 
reticulados planos:
1. nudos articulados sin rozamiento y 
2. fuerzas aplicadas en los nudos.
RETICULADOS ESPACIALES
• Las hipótesis para determinar los 
esfuerzos que se originan en sus barras 
al ser solicitada la estructura por un 
sistema de fuerzas dado, son las 
mismas que se formularon para 
reticulados planos:
1. nudos articulados sin rozamiento y 
2. fuerzas aplicadas en los nudos.
• Por su proceso de generación 
se clasifican en:
1. simples, 
2. compuestos y 
3. complejos.
RETICULADOS ESPACIALES
• Por su proceso de generación 
se clasifican en:
1. simples, 
2. compuestos y 
3. complejos.
RETICULADOS ESPACIALES
SIMPLES
RETICULADOS ESPACIALES
SIMPLES
• Tres barras rígidas 
articuladas entre sí 
formando un triángulo 
1.2.3, constituyen un 
conjunto plano 
indeformable, Fig. 1.
RETICULADOS ESPACIALES
• Tres barras rígidas 
articuladas entre sí 
formando un triángulo 
1.2.3, constituyen un 
conjunto plano 
indeformable, Fig. 1.
Fig. 1
• Si en los tres nudos 
articulamos tres 
nuevas barras no 
coplanares que, a su 
vez, se articulan entre 
sí formando un nuevo 
nudo 4, éste quedará 
rígidamente vinculado 
a los otros tres.
RETICULADOS ESPACIALES
• Si en los tres nudos 
articulamos tres 
nuevas barras no 
coplanares que, a su 
vez, se articulan entre 
sí formando un nuevo 
nudo 4, éste quedará 
rígidamente vinculado 
a los otros tres.
Fig. 1
• El tetraedro obtenido 
se comportará como 
un cuerpo rígido.
• Tendrá en 
consecuencia seis 
grados de libertad 
en el espacio.
RETICULADOS ESPACIALES
• El tetraedro obtenido 
se comportará como 
un cuerpo rígido.
• Tendrá en 
consecuencia seis 
grados de libertad 
en el espacio.
Fig. 1
• Si en tres nudos del 
tetraedro, 1.2.4, 
articulamos tres 
nuevas barras no 
coplanares que 
articuladas entre sí 
forman un nuevo 
nudo (5), se obtiene 
un poliedro también 
rígido y con seis 
grados de libertad.
RETICULADOS ESPACIALES
• Si en tres nudos del 
tetraedro, 1.2.4, 
articulamos tres 
nuevas barras no 
coplanares que 
articuladas entre sí 
forman un nuevo 
nudo (5), se obtiene 
un poliedro también 
rígido y con seis 
grados de libertad.
Fig. 2 
• Si en tres nudos del 
tetraedro, 1.2.4, 
articulamos tres 
nuevas barras no 
coplanares que 
articuladas entre sí 
forman un nuevo 
nudo (5), se obtiene 
un poliedro también 
rígido y con seis 
grados de libertad.
RETICULADOS ESPACIALES
• Si en tres nudos del 
tetraedro, 1.2.4, 
articulamos tres 
nuevas barras no 
coplanares que 
articuladas entre sí 
forman un nuevo 
nudo (5), se obtiene 
un poliedro también 
rígido y con seis 
grados de libertad.
Fig. 2 
RETICULADOS ESPACIALES
• La estructura que se 
engendra se llama 
armadura
(o genéricamente 
reticulado)
espacial simple.
Fig. 2 
• La estructura que se 
engendra se llama 
armadura
(o genéricamente 
reticulado)
espacial simple.
RETICULADOS ESPACIALES
• La estructura que se 
engendra se llama 
armadura
(o genéricamente 
reticulado)
espacial simple.
Fig. 2 
• La estructura que se 
engendra se llama 
armadura
(o genéricamente 
reticulado)
espacial simple.
RETICULADOS ESPACIALES
• b = 6
• v = 4
• b= 6 + 3n
• v = 4 + n
Fig. 3
RETICULADOS ESPACIALES
• b = 6
• v = 4
• b= 6 + 3n
• v = 4 + n
Fig. 3
RETICULADOS ESPACIALES
• b = 6
• v = 4
• b= 6 + 3n
• v = 4 + n
Fig. 3
RETICULADOS ESPACIALES
• b = 6
• v = 4
• b= 6 + 3n
• v = 4 + n
Fig. 3
• b= 6 + 3n
• v = 4 + n
RETICULADOS ESPACIALES
Despejando “n” de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, 
b = 6 + 3 ( v - 4 ) = 3v - 6
Despejando “n” de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, 
b = 6 + 3 ( v - 4 ) = 3v - 6
b = 3v - 6resulta:
Esta ecuación expresa la condición de rigidez del reticulado en base a la 
relación que debe existir entre la cantidad de barras y de nudo que posee. 
RETICULADOS ESPACIALES
b = 3v - 6
Si el reticulado espacial es simple esta condición es 
necesaria y suficiente.
Para fijarlo a tierra debemos colocarle tantos vínculos 
simples  como grados de libertad posea, es decir 
seis.
Si el reticulado espacial es simple esta condición es 
necesaria y suficiente.
Para fijarlo a tierra debemos colocarle tantos vínculos 
simples  como grados de libertad posea, es decir 
seis.
• El sistema reticular espacial simple 
caracterizado por:
b = 3v - 6 y por
 = 6, 
lo que constituye un sistema estáticamente 
determinado. 
• Efectivamente el número de incógnitas que se 
presentan en el sistema es:
I = b +  = 3v - 6 + 6 = 3v
I = 3 v
RETICULADOS ESPACIALES
• El sistema reticular espacial simple 
caracterizado por:
b = 3v - 6 y por
 = 6, 
lo que constituye un sistema estáticamente 
determinado. 
• Efectivamente el número de incógnitas que se 
presentan en el sistema es:
I = b +  = 3v - 6 + 6 = 3v
I = 3 v
RETICULADOS ESPACIALES
• Si se separa un nudo, 
cortando las barras que lo 
vinculan al resto del sistema 
reticular, y se aplican las 
fuerzas externas que en él 
actúan y los esfuerzos internos 
correspondientes a las barras 
seccionadas, se estará ante un 
sistema de fuerzas espaciales 
concurrentes a un nudo que, 
por encontrarse en equilibrio, 
cumplirá las tres siguientes 
condiciones: 
•  X = 0 
•  Y = 0
•  Z = 0
• Si se separa un nudo, 
cortando las barras que lo 
vinculan al resto del sistema 
reticular, y se aplican las 
fuerzas externas que en él 
actúan y los esfuerzos internos 
correspondientes a las barras 
seccionadas, se estará ante un 
sistema de fuerzas espaciales 
concurrentes a un nudo que, 
por encontrarse en equilibrio, 
cumplirá las tres siguientes 
condiciones: 
•  X = 0 
•  Y = 0
•  Z = 0
Fig. 5
RETICULADOS ESPACIALES
• Si se separa un nudo, 
cortando las barras que lo 
vinculan al resto del sistema 
reticular, y se aplican las 
fuerzas externas que en él 
actúan y los esfuerzos internos 
correspondientes a las barras 
seccionadas, se estará ante un 
sistema de fuerzas espaciales 
concurrentes a un nudo que, 
por encontrarse en equilibrio, 
cumplirá las tres siguientes 
condiciones: 
•  X = 0 
•  Y = 0
•  Z = 0
• Si se separa un nudo, 
cortando las barras que lo 
vinculan al resto del sistema 
reticular, y se aplican las 
fuerzas externas que en él 
actúan y los esfuerzos internos 
correspondientes a las barras 
seccionadas, se estará ante un 
sistema de fuerzas espaciales 
concurrentes a un nudo que, 
por encontrarse en equilibrio, 
cumplirá las tres siguientes 
condiciones: 
•  X = 0 
•  Y = 0
•  Z = 0
Fig. 5
RETICULADOS ESPACIALES
• Si se separa un nudo, 
cortando las barras que lo 
vinculan al resto del sistema 
reticular, y se aplican las 
fuerzas externas que en él 
actúan y los esfuerzos internos 
correspondientes a las barras 
seccionadas, se estará ante un 
sistema de fuerzas espaciales 
concurrentes a un nudo que, 
por encontrarse en equilibrio, 
cumplirá las tres siguientes 
condiciones: 
•  X = 0 
•  Y = 0
•  Z = 0
• Si se separa un nudo, 
cortando las barras que lo 
vinculan al resto del sistema 
reticular, y se aplican las 
fuerzas externas que en él 
actúan y los esfuerzos internos 
correspondientes alas barras 
seccionadas, se estará ante un 
sistema de fuerzas espaciales 
concurrentes a un nudo que, 
por encontrarse en equilibrio, 
cumplirá las tres siguientes 
condiciones: 
•  X = 0 
•  Y = 0
•  Z = 0
Fig. 5
• Para el total de los nudos se dispondrá de:
E = 3v
ecuaciones de equilibrio,
que es igual al de incógnitas,
I = 3v
RETICULADOS ESPACIALES
Resulta: E = I
El planteo de un sistema de 3v (3 ecuaciones 
por nudo), permite determinar las incógnitas. 
Resulta: E = I
RETICULADOS ESPACIALES
Determinación de
Esfuerzos Internos
METODOS DE RESOLUCIÓN
1- DE LOS NUDOS
2- DE LAS SECCIONES
3- HENNEBERG
4- COMPUTACIONALES
RETICULADOS ESPACIALES
METODOS DE RESOLUCIÓN
1- DE LOS NUDOS
2- DE LAS SECCIONES
3- HENNEBERG
4- COMPUTACIONALES
METODOS DE RESOLUCIÓN
1- NUDOS
El método de los nudos va resolviendo 
nudo a nudo en forma similar al expuesto 
para los sistemas planos.
RETICULADOS ESPACIALES
METODOS DE RESOLUCIÓN
1- NUDOS
El método de los nudos va resolviendo 
nudo a nudo en forma similar al expuesto 
para los sistemas planos.
• Se comienza fijando una terna de ejes 
ortogonales (x,y,z) al cual se refieren los 
nudos y los puntos de aplicación de las 
cargas, estableciendo sus coordenadas. 
RETICULADOS ESPACIALES
• Se comienza fijando una terna de ejes 
ortogonales (x,y,z) al cual se refieren los 
nudos y los puntos de aplicación de las 
cargas, estableciendo sus coordenadas. 
 Xi = F1 cos a1+ F2 cos a2 + F3 cos a3 + X = 0
 Yi = F1 cos b1 + F2 cos b2 + F3 cos b3 + Y = 0
 Zi = F1 cos g1 + F2 cos g2 + F3 cos g3 + Z = 0
• Se calculan los cosenos directores de 
todas las barras y rectas de acción de las 
fuerzas externas, activas y reactivas; 
estas últimas quedan fijadas por el tipo de 
vínculos que enlazan la estructura a tierra.
RETICULADOS ESPACIALES
• Se calculan los cosenos directores de 
todas las barras y rectas de acción de las 
fuerzas externas, activas y reactivas; 
estas últimas quedan fijadas por el tipo de 
vínculos que enlazan la estructura a tierra.
COSENOS DIRECTORES
i
A
i
A
AiAiAi
A
i
A
AB
z
AB
y
zzyyxx
xx









i
i
i
i
222
ii
i
z cosycos
)()()(
x
AB
xcos
gb
a
• Se determinan las seis componentes 
rectangulares de las reacciones externas 
utilizando las seis ecuaciones generales 
de equilibrio de la estructura total.
RETICULADOS ESPACIALES
• Se determinan las seis componentes 
rectangulares de las reacciones externas 
utilizando las seis ecuaciones generales 
de equilibrio de la estructura total.
 Xi = 0
 Yi = 0
 Zi = 0
 Mx = 0
 My = 0 
 Mz = 0
ESTRUCTURA ESPACIAL
CARGAS 
EN 
NUDOS
REACCIONES
Fig. 4
 X = 0 
 Y = 0
 Z = 0
 MX = 0 
 MY = 0
 MZ = 0
• Se inicia el cálculo de las fuerzas internas 
en las barras en un nudo al cual concurren 
sólo tres barras empleando las tres 
ecuaciones de equilibrio del nudo.
RETICULADOS ESPACIALES
• Se inicia el cálculo de las fuerzas internas 
en las barras en un nudo al cual concurren 
sólo tres barras empleando las tres 
ecuaciones de equilibrio del nudo.
 X = 0 
 Y = 0
 Z = 0
RETICULADOS ESPACIALES
• Conviene suponer las 
barras traccionadas 
en forma similar a la 
aplicada en los 
reticulados planos.
 X = 0 
 Y = 0
 Z = 0
• Conviene suponer las 
barras traccionadas 
en forma similar a la 
aplicada en los 
reticulados planos.
RETICULADOS ESPACIALES
 X = 0 
 Y = 0
 Z = 0
P3
S1
S2
NUDO 3
P3X + S1 COS a1+ S2 COS a2+ S3 COS a3 = 0
P3Y + S1 COS b1+ S2 COS b2 + S3 COS b3 = 0
P3Z + S1 COS g1 + S2 COS g2 + S3 COS g3 = 0
S2
S3
RETICULADOS ESPACIALES
• Se prosigue con nudos 
(preferentemente 
adyacentes) en los que 
sólo se desconozca el 
esfuerzo en tres barras
utilizando los resultados 
obtenidos en el paso 
anterior.
• Continuando de esta 
forma se resuelven 
todos los nudos del 
reticulado.
 X = 0 
 Y = 0
 Z = 0
• Se prosigue con nudos 
(preferentemente 
adyacentes) en los que 
sólo se desconozca el 
esfuerzo en tres barras
utilizando los resultados 
obtenidos en el paso 
anterior.
• Continuando de esta 
forma se resuelven 
todos los nudos del 
reticulado.
S3
RETICULADOS ESPACIALES
Formulación Matricial del análisis 
de un reticulado
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
A
B
C x
z
o
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
1
A
B
C2
3
x
z
o
4
5
6
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
b = 3v - 6
b = 3*4 - 6
Barras b
1
A
B
C2
3
x
z
o
4
5
6b = 3*4 - 6
b = 12 - 6= 6
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
Vínculos 
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Vínculos 
 = 6
ESTRUCTURA ESPACIAL
CARGAS 
EN 
NUDOS
REACCIONES
Fig. 4
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
ESFUERZOS S S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
ESFUERZOS S
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
ESFUERZOS S S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
ESFUERZOS S
S1
S1
A
D
CS2
S3
y
D
S4
S5
S6 PDX
PDZ
PDY
RETICULADOS ESPACIALES
B
S3
x
z
o
A
S4
PAX
PAZ
PAY
NUDO A
S X = 0
PAX + S1 . COS a1A = 0
S Y = 0
PAY + S1 . COS b1A = 0
S Z = 0
PAZ + S1 . COS g1A = 0
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO A
S X = 0
PAX + S1 . COS a1A = 0
S Y = 0
PAY + S1 . COS b1A = 0
S Z = 0
PAZ + S1 . COS g1A = 0
NUDO D
S X = 0
PDX + S1 . COS a1D = 0
S Y = 0
PDY + S1 . COS b1D = 0
S Z = 0
PDZ + S1 . COS g1D = 0
NUDO A
PAX + S1 . COS a1A = 0
PAY + S1 . COS b1A = 0
PAZ + S1 . COS g1A = 0
PAX COS a1A 
PAY + COS b1A . S1 = 0
PAZ COS g1A
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO D
PDX + S1 . COS a1D = 0
PDY + S1 . COS b1D = 0
PDZ + S1 . COS g1D = 0
PDX COS a1D 
PDY + COS b1D . S1 = 0
PDZ COS g1D
NUDO A
PAX + S1 . COS a1A = 0
PAY + S1 . COS b1A = 0
PAZ + S1 . COS g1A = 0
PAX COS a1A 0
PAY + COS b1A . S1 = 0
PAZ COS g1A 0
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO A
PAX + S1 COS a1A+ S2 COS a2A+ S3 COS a3A = 0
PAY + S1 COS b1A+ S2 COS b2A + S3 COS b3A = 0
PAZ + S1 COS g1A + S2 COS g2A + S3 COS g3A = 0
PAX COS a1A COS a2A COS a3A S1 0
PAY + COS b1A COS b2A COS b3A . S2 = 0
PAZ COS g1A COS g2A COS g3A S3 0
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO A
PAX COS a1A COS a2A COS a3A S1 0
PAY + COS b1A COS b2A COS b3A . S2 = 0
PAZ COS g1A COS g2A COS g3A S3 0
Para n barras S1
PAX COS a1A COS a2A COS a3A .... .... COS anA S2 0
PAY + COS b1A COS b2A COS b3A …. …. COS bnA . S3 = 0
PAZ COS g1A COS g2A COS g3A …. .… COS gnA . 0
.
Sn
Para n barras S1
PAX COS a1A COS a2A COS a3A .... .... COS anA S2 0
PAY + COS b1A COS b2A COS b3A …. …. COS bnA . S3 = 0
PAZ COS g1A COS g2A COS g3A …. .… COS gnA . 0
.
Sn
Para una estructura completa P + T . I = 0
Despejando -1
I = - T . P 
RETICULADOS ESPACIALES
Expresión matricial: -1
I = - T . P 
La matriz T se denomina “matriz de transformación”
(deesfuerzos en las barras en fuerzas nodales)
Cada columna representa una Barra.
Está formada por los cosenos directores de las barras.
En ella se toma a las componentes de las reacciones como esfuerzos en bielas 
que reemplazan a los vínculos
Cada fila representa una ecuación de equilibrio en el nudo y en la dirección 
correspondiente.
Dy
RETICULADOS ESPACIALES
PD
Datos:
Carga PDX, PDY, PDZ
Coordenadas A, B, C, D
Vínculos
S1
A
B
CS2
S3
x
z
o
S4
S5
S6
RAX
RAZ
RAY
RBY
RBX
RCY
Nudos Comp. P
X 0
A Y 0
Z 0
X 0
B Y 0
VECTOR P
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
B Y 0
Z 0
X 0
C Y 0
Z 0
X PX
D Y PY
Z PZ
Nudos Comp. P
X 0
A Y 0
Z 0
X 0
B Y 0
VECTOR P
RETICULADOS ESPACIALES
I
S1
S2
S3
S4
S5
VECTOR I-1
I = - T . P 
B Y 0
Z 0
X 0
C Y 0
Z 0
X PX
D Y PY
Z PZ
S5
S6
RAX
RAY
RAZ
RBX
RBY
RCY
• Matriz T
RETICULADOS ESPACIALES
Cada columna representa una Barra.
Está formada por los cosenos directores de las barras.
Cada fila representa una ecuación de equilibrio en el nudo y en la dirección 
correspondiente.
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO A
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X
A Y
Z
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z
X
B Y
Z
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X 0 0 0 0 0 0 0 0
A Y 0 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z 0 0 0 0 0 0 0 0
X
B Y
Z
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X
B Y
Z
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X
B Y
Z
X
C Y
Z
X
D Y
Z
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO B
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X
B Y
Z
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 0 0 0 0 0 0
B Y 0 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X
C Y
Z
X
D Y
Z
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO C
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X
C Y
Z
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X 0 0 0 0 0 0 0 0 0
C Y 0 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X 0 0 0 0 0 0 0 0 0
C Y 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X 0 COS a2C 0 COS a4C 0 COS a6C 0 0 0 0 0 0
C Y 0 COS b2C 0 COS b4C 0 COS b6C 0 0 0 0 0 1
Z 0 COS g2C 0 COS g4C 0 COS g6C 0 0 0 0 0 0
X
D Y
Z
RETICULADOS ESPACIALES
NUDO D
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X 0 COS a2C 0 COS a4C 0 COS a6C 0 0 0 0 0 0
C Y 0 COS b2C 0 COS b4C 0 COS b6C 0 0 0 0 0 1
Z 0 COS g2C 0 COS g4C 0 COS g6C 0 0 0 0 0 0
X
D Y
Z
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X 0 COS a2C 0 COS a4C 0 COS a6C 0 0 0 0 0 0
C Y 0 COS b2C 0 COS b4C 0 COS b6C 0 0 0 0 0 1
Z 0 COS g2C 0 COS g4C 0 COS g6C 0 0 0 0 0 0
X 0 0 0 0 0 0 0 0 0
D Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N EC S1 S2 S3 S4 S5 S6 RAX RAY RAZ RBX RBY RCY
X COS a1A COS a2A COS a3A 0 0 0 1 0 0 0 0 0
A Y COS b1A COS b2A COS b3A 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
MATRIZ T
RETICULADOS ESPACIALES
-1
I = - T . P 
Z COS g1A COS g2A COS g3A 0 0 0 0 0 1 0 0 0
X 0 0 COS a3B COS a4B COS a5B 0 0 0 0 1 0 0
B Y 0 0 COS b3B COS b4B COS b5B 0 0 0 0 0 1 0
Z 0 0 COS g3B COS g4B COS g5B 0 0 0 0 0 0 0
X 0 COS a2C 0 COS a4C 0 COS a6C 0 0 0 0 0 0
C Y 0 COS b2C 0 COS b4C 0 COS b6C 0 0 0 0 0 1
Z 0 COS g2C 0 COS g4C 0 COS g6C 0 0 0 0 0 0
X COS a1D 0 0 0 COS a5D COS a6D 0 0 0 0 0 0
D Y COS b1D 0 0 0 COS b5D COS b6D 0 0 0 0 0 0
Z COS g1D 0 0 0 COS g5D COS g6D 0 0 0 0 0 0
COS 
a1A
COS 
a2A
COS 
a3A
0 0 0 1 0 0 0 0 0
COS 
b1A
COS 
b2A
COS 
b3A
0 0 0 0 1 0 0 0 0
COS 
g1A
COS 
g2A
COS 
g3A
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 COS a3B
COS 
a4B
COS 
a5B
0 0 0 0 1 0 0
-1
I = - T . P 
S1
S2
S3
S4
0
0
0
0
I T PCOS 
a3B
COS 
a4B
COS 
a5B
0 0 COS b3B
COS 
b4B
COS 
b5B
0 0 0 0 0 1 0
0 0 COS g3B
COS 
g4B
COS 
g5B
0 0 0 0 0 0 0
0 COS a2C 0
COS 
a4C
0 COS a6C 0 0 0 0 0 0
0 COS b2C 0
COS 
b4C
0 COS b6C 0 0 0 0 0 1
0 COS g2C 0
COS 
g4C
0 COS g6C 0 0 0 0 0 0
COS 
a1D
0 0 0 COS a5D
COS 
a6D
0 0 0 0 0 0
COS 
b1D
0 0 0 COS b5D
COS 
b6D
0 0 0 0 0 0
COS 
g1D
0 0 0 COS g5D
COS 
g6D
0 0 0 0 0 0
S5
S6
RAX
RAY
RAZ
RBX
RBY
RCY
0
0
0
0
0
PX
PY
PZ
COS 
a1A
COS 
a2A
COS 
a3A
0 0 0 1 0 0 0 0 0
COS 
b1A
COS 
b2A
COS 
b3A
0 0 0 0 1 0 0 0 0
COS 
g1A
COS 
g2A
COS 
g3A
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 COS a3B
COS 
a4B
COS 
a5B
0 0 0 0 1 0 0
-1
I = - T . P 
S1
S2
S3
S4
0
0
0
0
I T P
SIGNO
COS 
a3B
COS 
a4B
COS 
a5B
0 0 COS b3B
COS 
b4B
COS 
b5B
0 0 0 0 0 1 0
0 0 COS g3B
COS 
g4B
COS 
g5B
0 0 0 0 0 0 0
0 COS a2C 0
COS 
a4C
0 COS a6C 0 0 0 0 0 0
0 COS b2C 0
COS 
b4C
0 COS b6C 0 0 0 0 0 1
0 COS g2C 0
COS 
g4C
0 COS g6C 0 0 0 0 0 0
COS 
a1D
0 0 0 COS a5D
COS 
a6D
0 0 0 0 0 0
COS 
b1D
0 0 0 COS b5D
COS 
b6D
0 0 0 0 0 0
COS 
g1D
0 0 0 COS g5D
COS 
g6D
0 0 0 0 0 0
S5
S6
RAX
RAY
RAZ
RBX
RBY
RCY
0
0
0
0
0
PX
PY
PZ
RETICULADOS 
ESPACIALES
RETICULADOS 
ESPACIALES
Continúa Práctica
RETICULADOS ESPACIALES 
COMPUESTOS
PROXIMO TEMA:
RETICULADOS ESPACIALES 
COMPUESTOS
RETICULADOS ESPACIALES
COMPLEJOS
RETICULADOS ESPACIALES 
COMPUESTOS
RETICULADOS ESPACIALES 
COMPUESTOS
• Otro modo de engendrar estructuras 
reticulares en el espacio consiste en unir 
entre sí , mediante seis barras 
cinemáticamente eficientes, dos 
armaduras simples de modo que se forme 
un único reticulado compuesto.
RETICULADOS ESPACIALES
• Otro modo de engendrar estructuras 
reticulares en el espacio consiste en unir 
entre sí , mediante seis barras 
cinemáticamente eficientes, dos 
armaduras simples de modo que se forme 
un único reticulado compuesto.
RETICULADOS ESPACIALES
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
COMPUESTO
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
Fig. 6
RETICULADOS ESPACIALES
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
COMPUESTO
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
Fig. 6
RETICULADOS ESPACIALES
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
COMPUESTO
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
Fig. 6
RETICULADOS ESPACIALES
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
COMPUESTO
• La Fig. 6 
representa dos 
estructuras en 
forma de tetraedro 
unidas por las 
barras
2-5, 2-7, 3-5,
3-6, 4-6, 4-7
Fig. 6
RETICULADOS ESPACIALES
b1 = 3v1 - 6
b2 = 3v2 - 6
sumando:
b1 + b2 = 3(v1 + v2)-12
Añadiendo las seis barras de 
enlace:
b = b1 + b2 + 6 =
= 3(v1 + v2 ) - 6 = 3v - 6
b =3v - 6
COMPUESTO
b1 = 3v1 - 6
b2 = 3v2 - 6
sumando:
b1 + b2 = 3(v1 + v2)-12
Añadiendo las seis barras de 
enlace:
b = b1 + b2 + 6 =
= 3(v1 + v2 ) - 6 = 3v - 6
b =3v - 6
Fig. 6
RETICULADOS ESPACIALES
Resolución por el método de la 
secciones.
Se corta la estructura en dos 
partes con un plano  que no 
corte más de seis barras.
Se considera el equilibrio de una 
de las partes de la estructura en la 
cual se ponen en evidencia los 
esfuerzos en las barras 
seccionadas que se suponen 
traccionadas.
Se tiene a disposición un sistema 
de seis ecuaciones con seis 
incógnitas que resuelven el 
problema.
COMPUESTO
Resolución por el método de la 
secciones.
Se corta la estructura en dos 
partes con un plano  que no 
corte más de seis barras.
Se considera el equilibrio de una 
de las partes de la estructura en la 
cual se ponen en evidencia los 
esfuerzos en las barras 
seccionadas que se suponen 
traccionadas.
Se tiene a disposición un sistema 
de seis ecuaciones con seis 
incógnitas que resuelven el 
problema.
Fig. 6
RETICULADOS ESPACIALES
COMPLEJOS
RETICULADOS ESPACIALES
COMPLEJOS
• Se llaman complejas las estructuras 
reticulares que no están engendradas ni 
por tetraedros sucesivos ni ligando entre 
sí dos estructuras simples. 
• Usualmente pueden considerarse 
obtenidas de estructuras simples 
sustituyendo una o varias barras por otras 
dispuestas de distinto modo.
RETICULADOS ESPACIALES
• Se llaman complejas las estructuras 
reticulares que no están engendradas ni 
por tetraedros sucesivos ni ligando entre 
sí dos estructuras simples. 
• Usualmente pueden considerarse 
obtenidas de estructuras simples 
sustituyendo una o varias barras por otras 
dispuestas de distinto modo.
RETICULADOS ESPACIALES
a) SIMPLE
b) COMPLEJO
RETICULADOS ESPACIALES
a) SIMPLE
b) COMPLEJO
RETICULADOS ESPACIALES
a) SIMPLE
b) COMPLEJO
RETICULADOS ESPACIALES
a) SIMPLE
b) COMPLEJO
RETICULADOS ESPACIALES
RETICULADOS ESPACIALES
• Sustituyendo la barra 
2-4 por una nueva 
barra en la posición 
4-6.
• El octaedro (b) es un 
reticulado complejo.
• Sustituyendo la barra 
2-4 por una nueva 
barra en la posición 
4-6.
• El octaedro (b) es un 
reticulado complejo.
(b)
RETICULADOS ESPACIALES
•El número de barras que posee 
este reticulado, de acuerdo a su 
proceso de generación , queda 
dado por la expresión: b = 3v 
siendo v el número de nudos sin 
incluir como tales los puntos de 
vinculación a tierra.
Si designamos como m el número 
de estos últimos, y ellos consisten 
en articulaciones esféricas (o sea 
enlaces de tercera especie) el 
número  de vínculos simples 
externos, será:  = 3m
b +  = 3 (v+m)
I = b+ = 3v + 3m = 3(v+m)= 3 v’
I = 3 v’ 
E = 3 v’
•El número de barras que posee 
este reticulado, de acuerdo a su 
proceso de generación , queda 
dado por la expresión: b = 3v 
siendo v el número de nudos sin 
incluir como tales los puntos de 
vinculación a tierra.
Si designamos como m el número 
de estos últimos, y ellos consisten 
en articulaciones esféricas (o sea 
enlaces de tercera especie) el 
número  de vínculos simples 
externos, será:  = 3m
b +  = 3 (v+m)
I = b+ = 3v + 3m = 3(v+m)= 3 v’
I = 3 v’ 
E = 3 v’
(b)
RETICULADOS ESPACIALES
SIMPLE
COMPLEJOS
RETICULADOS ESPACIALES
SIMPLE
COMPLEJOS
RETICULADOS ESPACIALES
SIMPLE
COMPLEJOS
RETICULADOS ESPACIALES
SIMPLE
COMPLEJOS
RETICULADOS ESPACIALES
• Frecuentemente, las 
estructuras complejas 
no tienen ningún 
nudo en el que 
concurran sólo tres 
barras que permita 
comenzar el cálculo.
• Emplear el método de 
Henneberg.
• Frecuentemente, las 
estructuras complejas 
no tienen ningún 
nudo en el que 
concurran sólo tres 
barras que permita 
comenzar el cálculo.
• Emplear el método de 
Henneberg.
TORRE EIFFEL