AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica II - IDR Alas en Supersónico

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En la figura se ha representado el borde marginal de un ala plana que vuela en régimen supersónico 
a M

 = 2 con ángulo de ataque  << 1. 
Dentro del alcance de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, 
determine la variación con el ángulo 
(siendo 0    /2) de la velocidad de 
perturbación paralela al eje x en el punto 
señalado, u(c,0,0
+
). Escriba claramente, en 
cada caso, los límites de integración y los 
integrandos de las expresiones que 
determinan la velocidad pedida. 
 
SOLUCIÓN 
En lo que sigue se supone que (xo,yo,zo) y (x,y,z) son 
variables adimensionales que han sido adimensionalizadas 
con la cuerda c. Cuando ambos bordes de ataque son 
supersónicos el problema se resuelve empleando el método 
de Evvard, que queda reducido al cálculo de una integral de 
línea pues, al ser una placa plana, la integral de superficie es 
nula. Así pues, para el número de Mach dado ( = 1) la 
velocidad en un punto del plano z = 0 es 
 
 
   
B
A
2 2
( ), ,0 d1
( , ,0)
π ( )
y
ba o o o
y
ba o o
w x y y y
u x y
x x y y y

 
  
 . 
Llamando k1 = tan1, y k2 = tan2 (en el caso propuesto es 
k1 = 0), las ecuaciones de los bordes de ataque y las 
características que determinan los límites de la integral son 
 
 
1
A
11
o o
o o
x k y y x
y
x x y y k
   

   
 
 
2
B
21
o o
o o
x k y y x
y
x x y y k
  

   
 
y teniendo en cuenta que en los bordes de ataque la velocidad vertical es w(xba(yo),yo,0
+
) = –U, se 
tiene 
 
       
B
A
0
2 2 2 2
0
1 2
d dπ
y
o o
y
o o o o
y yu
U x k y y y x k y y y 
  
     
  
 
A A
0 0
2 2 2 2 2 2
2 21 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
d d1 1
1 1
2 2
1 1 1 1
o o
y y
o o o o
y y
k x y y k x k x y y k x
y y y y
k k k k
  
     
   
   
  
 1 2
2 2
1 21 2
1 π 1 π
arcsin arcsin
2 21 1
y k x y k x
x k y x k yk k
    
      
     
 
Si se considera ahora el caso de un borde de ataque supersónico y otro subsónico, como se indica en 
la figura, al problema se trata con el método de Evvard-Krasishchikova. 
También aquí desaparece la integral de superficie, quedando únicamente las integrales de línea a lo 
largo de parte del borde de ataque supersónico y a lo largo de la característica reflejada en el borde 
de ataque subsónico. 
 c 
c 
y 
x 
U

 
 
u(c,0,0
+
) 
 
M

 
xo 
yo 
P(x,y) 
yA 
yB 
2 
1 
 
 
   
 
 
   
B´ B
A B´
2 2 2 2
( ), ,0 d ( ), ,0 d1 1
( , ,0) 1 tan
π π( ) ( )
y y
ba o o o cr o o o
y y
ba o o cr o o
w x y y y w x y y y
u x y
x x y y y x x y y y

 
   
     
  
Llamando, al igual que antes k1 = tan1 < 1, k2 = tan2 > 1 (en el caso propuesto es k1 = 0), la 
ecuación del borde de ataque AB´ es xo = – k1yo, y la de la característica reflejada B´B 
xo = yo + (k2 – 1)(x + y)(k2 + 1), de modo que los límites de las integrales son 
 A
11
y x
y
k



,  2B´
1 2
1 1
1 1
k
y y x
k k

  
 
, B
21
y x
y
k



. 
De las dos integrales que contribuyen a la velocidad, para la primera se tiene 
 
   
   
  
B´
A
1 2 1 2 1 2AB´
2 2 2
2 111
1 2 2dπ 1 π
arcsin
1 21
y
o
y
o o
k k x k k k k yyu
U k x k ykx k y y y 
     
   
     
 
 y para la segunda 
 
   
B
B´
B´B 2
2
1 222
2
dπ 1
1
1
1
1
y
o
y
o o
yu k x y
U k x k y
k
x y x y y y
k
 
 
  
  
     
 
 
y así 
 AB´ B´B
1
( , ,0) 1 tan
π
u x y U u u      . 
 
 
 
 
M

 
xo 
yo 
P(x,y) 
yA 
yB 
2 
1 
yB’ 

 
Calcule y represente la distribución 
de velocidad de perturbación según 
el eje x, u(x,y,0), a lo largo de una 
línea paralela al borde de ataque de 
un ala simétrica, de forma en 
planta rectangular, cuerda c y 
envergadura 2c, borde de salida 
z = c[1 – (y/c)2], con <<1, 
como la representada en la figura. 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
En lo que sigue se supone que (xo,yo,zo) y (x,y,z) son variables adimensionales que han sido 
adimensionalizadas con la cuerda c. Para el número de Mach dado ( = 1) la velocidad en un punto 
del plano z = 0 es 
 
 
B
A
2 2
(0, ,0 )d1
( , ,0)
π ( )
y
o o
y o
w y y
u x y
x y y

 
 
 , 
 
y teniendo en cuenta que en el borde de ataque la velocidad vertical es w(0,y,0
+
) = U(1 – y
2
), se 
tiene 
 
 
B B
A A
2 2 2
2 2 2 2
(1 )d 1 2 ( ) ( )π
d( )
( ) ( )
y y
o o o o
o
y yo o
y y y y y y y yu
y y
U x y y x y y 
     
   
   
  = 
 
 
B B
A A
2
2 2
2 2 2
2 2
1 2
1 2
d d
1
1
o o
y
o
y
o
y y y y
y yx x
y y y yx xx x
xy y
x


 


    
               
   
  
 
  = 
 
B
A
2 2 2 21 11 arcsin 2 1
2 2
y x x xy


  
    
         
    
. 
 
Donde al escribir la última expresión se ha considerado que 
 
 
2
d
arcsin
1





 , 
 
 2
2
d
1
1
 


  

 , 
 
  
2
2
2
d 1
arcsin 1
21
 
  

  

 . 
 
x 
y 
z 
M 2  
M

 
xo 
yo 
P(x,y) 
Q 
zona 1 
zona 2 
zona 2 
yA 
yB 
1 
<Unknown User>
Highlight
<Unknown User>
Pencil
Para evaluar el resultado en las distintas zonas hay que tener en cuenta que en la zona 1, punto P, 
x < 1 – y, es yA = y – x, de modo que A = [y – (y – x)]/x = 1, y que yB = y + x, y en este otro límite 
resulta B = [y – (y + x)]/x = –1. Con estos valores se tiene: 
 
 2 2P
1
1
2
u
y x
U 
 
    
 
, para x < 1 – y. 
 
En la zona 2, punto Q, x  1 – y, también es yA = y – x, y por tanto A = [y – (y – x)]/x = 1, pero la 
otra característica llega al borde marginal, por tanto yB = 1, y ahora es B = (y – 1)/x, resultando: 
 
  
2
Q 2 21 1 1 π 1 11 arcsin 1 3 1
π 2 2 2
u y y
y x x y
U x x 
       
           
      
, para x  1 – y. 
 
En el gráfico siguiente se han representado las curvas de variación de la velocidad horizontal de 
perturbación, u/(U), con la coordenada y para distintos valores de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.0
0.5
1.0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
–u/(U) 
y 
x = 1 
x = 0 
x = 0.25 
x = 0.5 
x = 0.75 
En la figura se ha representado un ala, de cuerda c y envergadura 2c, que vuela en régimen supersónico a 
M

 = 2 con ángulo de ataque  << 1. El ala está formada por un cuerpo central y por dos planos sin 
espesor, como se indica en la figura. El contorno del ala al cortar por planos y = constante está formado 
por rectas (véase el esquema) y la ecuación del borde de salida del ala es. 
 ( , ) 0z c y  , para 
2
c
y c  , (1) 
 
2
2
( , ) 1
y
z c y c
c

  
    
   
, para 
2
c
y  , (2) 
con  << 1. En la expresión (2) el 
signo positivo corresponde al 
extradós y el negativo al intradós. 
Dentro del alcance de la teoría 
potencial linealizada de alas en 
régimen supersónico, determine la 
velocidad de perturbación paralela al 
eje x a lo largo de dicho eje x, 
u(x,0,0), tanto en el extradós como en 
el intradós del ala. Escriba 
claramente, en cada caso, los límites 
de integración y los integrandos de 
las expresiones que determinan la 
velocidad pedida. 
++++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se descompone el problema en dos: simétrico (S) y antisimétrico (A). En el problema simétrico la 
ecuación del borde de ataque es y = x/2, de modo que en una sección como la AA’ la cuerda vale 
c(y) = c – 2y, y el semi-ángulo de la sección 
  
 
1 2 / 1 2 /( , ) 2
( ) 1
( ) 1 2 /
c y c y cz c y y
y
c y c y c c

 
   
    
  
; 
por tanto la ecuación del cuerpo es z(x,y) = (y)x + constante, y la condición de contorno queda 
 ( , ) 1 2 /w x y U y c   . Como se pide la velocidad en el eje x, la intersección de la característica que 
parte de (x,0,0) conel borde de ataque ocurre en yA’ = x/3, y así 
 
/ 3
S
2 2
0
2
1
2
( ,0,0 ) d
2
ox
o
o o
y
U cu x y
x y y


 

 
 
 . 
 
Para el problema antisimétrico se tiene w(x,y) = –U

, yA’ = x/2, y por tanto 
 
/ 2
A
2 2
0
2 1
( ,0,0 ) d
x
o
o o
U
u x y
x y y


 
 
 . 
 
La velocidad pedida es pues S A( ,0,0 ) ( ,0,0 ) ( ,0,0 )u x u x u x    
 
 

z 
y 
x 
c 
c/2 
c/2 
c/2 
c/2 
U

 
A 
A’ 
A’ A 
S A 
w =U w =U 
w = 
= 
A B 
w = 
w = 
Considere un ala como la que se muestra en la figura que 
vuela con número de Mach M∞ = 2 a través del aire en 
calma; dentro de la aproximación de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, escriba la o las 
expresiones que permitirían calcular la velocidad de 
perturbación paralela al eje x a lo largo del borde de salida, 
u(c,y,0
+
), con |y| < c. Suponga  << 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El problema puede descomponerse en dos, como se 
muestra en la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A: Cuña de semiángulo  con  = 0 (problema simétrico) con velocidad w = 0 fuera de la forma en planta 
del ala. 
B: cuña de cuerda c/4 (chaflán resaltado como zona rayada) con semiángulo /2 y con  = /2, con w = 0 
en el resto del ala, que es un problema mixto. 
 
El problema B se descompone a su vez en dos: 
B1 : cuña de cuerda c/4 de semiángulo /2 con  = 0 (problema simétrico) 
B2: placa de cuerda c/4 a ángulo de ataque  = /2 (problema sustentador) con un borde marginal ocluido 
por el resto del ala (w = 0) y el otro libre (véase el problema del alerón). 
 
 
 
M∞ = 2 
c 
y 
x 
c 
c 
c/2 
c/4 
c 
M∞ = 2 
z 
x 
c/4 
c 



M∞ = 2 
z 
x 
y 
A
 A 
O
 A 
B
 A 
x
 A 
x
 A 
y
 A 
 
● Considere un ala de intradós y extradós planos tanto en y ≤ 0, como en y > 0, como se indica en la 
figura. Supuesto que el ala vuela en régimen supersónico a M∞ = 2
1/2
, de modo que la corriente 
incidente es paralela al suelo plano del intradós situado en y ≤ 0, y que los perfiles son cuñas de 
semiángulo . 
Dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, escriba 
las expresiones que determinan la velocidad de 
perturbación en el borde de salida, u(c,y,0), en los 
puntos y = –c, y = 0, e y = +c. Indique claramente, 
en cada caso, los integrandos y los límites de 
integración de las expresiones pedidas. Si en algún 
caso es capaz de decir la solución sin necesidad de 
realizar cálculos, explique claramente el 
razonamiento que le ha permitido obtener el 
resultado. 
 
SOLUCIÓN 
El borde de ataque del ala propuesta es supersónico para y < 0 y sónico para y > 0. El caso sónico 
puede ser analizado como el caso límite de un borde de ataque supersónico o el de uno subsónico 
(obviamente el resultado es el mismo). Si se considera el límite supersónico, extradós e intradós del 
ala están desacoplados, de modo que no hace falta descomponer el problema en simétrico y 
antisimétrico. 
En el intradós, como la corriente incidente está alineada con el mismo, en ejes viento es w = 0 en 
todo el intradós, de modo que u(c,–c,0
–
) = 0, u(c,0,0
–
) = 0,y u(c,c,0
–
) = 0. 
En el extradós la velocidad vertical vale w = 2U∞ en toda el ala, y las velocidades pedidas son 
u(c,–c,0
+
) = ubidimensional, 
0 /2
2 2 2 2
0
d d2
( ,0,0 )
( )
c
o o
c o o o
y yU
u c
c y c y y


 

 
   
    
  
u(c, c,0
+
) = 0, 
 
 
 
 
c 
 
c 
 
x 
 
z 
 
y 
 M∞ 
 
En la figura se ha representado un ala plana que vuela a través del aire en calma en régimen 
supersónico, M 2  . Escriba las expresiones que, dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, permitirían determinar la velocidad de perturbación u en 
los puntos A(c,0,0) y B(c,7c/8,0). 
 
 
 
 
En el punto 1, como el ala es plana, la velocidad viene dada 
por la fórmula de Evvard-Krasilshchikova, que en este caso, 
aprovechando la simetría de la configuración, se puede 
escribir 
2 2
OB'
( ( ), )2
( ,0,0)
( ( ))
ba o o o
ba o o
w x y y dy
u c
c x y y
  
 
 
BB'
2 2
B'BB'B
( ( ), )2
(1 tan )
( ( ))
o o o
o o
w x y y dy
c x y y


 
 
 
con xba(yo) = 0, w= –U, xBB'(yo) = yo – c/2, yB' = c/2, 
yB = 3c/4, y 
tan tan
14tan tan
4 3
1 tan tan
4



 



 
    
  
 
de modo que 
 
/ 2 3 / 4
2 2 2 2
0 / 2
2 2
( ,0,0)
3 3 / 2
c c
o o
o c o o
dy dyU
u c
c y c y y



 
  
     
  . 
 
En el punto 2, como B es un borde marginal queda 
 
/ 8
22
/8
( ,7 /8,0)
7 /8
c
o
c o
dyU
u c c
c c y





 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
2 
B' 
A 
U

 
O 
x 
y 
c 
B 
B' 
A' 
A 
1 

U

 
O 
x 
y 
c 

Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x) 
esté dada por la ley 
d ( )
( )
( ) d
o
S xlx
S x x
  
donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga 
resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas 
situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo. 
Compruebe la validez de la solución obtenida 
 
 
 
 
La masa, M, es 
 
3
1 1 3
0 0
4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ;
( ) 4
l l
o o o
o
l l MM x S x x S x x l S l S A A
S x l
   
 
       
La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 
4 4
2
1
0 0 0
d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )d
d 4 2 4 2 2
l l
cm o o n o
S x Al lx M x S x x l x x A n A
x

              
  
   
Sustituyendo el valor de A1 se obtiene 
2 3
2
o
MA
l 
  
Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x)  0, es decir 
d ( )
0
d
S x
x
 
2
1 2 1 1
1
d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos )
d
S x AA A A A
x A
           
que se anula en  = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la 
condición. 
 
Ala con ba parabólico 
 
Utilizando variables adimensionalizadas con la cuerda c, 
 = x/c y  = y/c la ecuación del borde de ataque es  = 
2
/2, 
cuya derivada d/d = 1/(d/d) vale la unidad en  = 1 y 
 = 1/2, de modo que para ||  1/2 el borde de ataque es 
supersónico, y subsónico cuando || > 1/2. 
 
La ecuación de las características que parten de un punto 
genérico del borde de salida (1,) son o –  = m(o – 1), con 
m = ±1. Sustituyendo en esta expresión la ecuación del borde 
de ataque, ba = 
2
o /2, y dando a la pendiente m los valores 
apropiados se obtienes los puntos A (m = 1) y B (m = –1): 
 
A
B
1 3 2
1 3 2
 
 
   

    
. (1) 
Nótese que si  = 0 es A = – B, con A < 0 y B > 0. 
 
Si es || > 1/2 hay calcular también el punto de corte con el borde de ataque de la característica reflejada, 
B', cuya ecuación es o – B = o – B, o bien cr = o – B + B, y escribiendo B en función de B 
(ecuación del borde de ataque) y éste en función de h según la segunda de (2) 
 2B B
1
3 2 3 2
2
cr o o              , (2) 
en el punto B' es 2B' B' / 2cr    , de modo que sustituyendo en (2) se obtiene la ecuación de segundo 
grado 2B' B'/ 2 (3 2 3 2 ) 0         cuya solución es 
 B' 1 7 2 4 3 2       , (3) 
cuyo valor es la unidad para  = 1/2, como debe ser. 
 
Falta por determinar el ángulo  entre la tangente al borde de ataque en el punto B y la característica 
reflejada (cuya pendiente es 1). La pendiente en el punto B del borde de ataque es 
do/do|B = 1/(do/do)|B = 1/B, se modo que 
 
B
d 1
d 1 3 2
o
o

 

  
. (4) 
 
Por tanto, como la velocidad vertical de perturbación es constante w = wo = – U, para ||  1/2 se tiene 
 
   
B
A
2 2
d
(1, ,0)
1 ( )
o
ba o o
U
u




   

  
 
y para || > 1/2 el resultado es 
 
   
B'
A
2 2
d
(1, ,0)
1 ( )
o
ba o o
U
u




    
 
  
 
  
   
B
B'
2 2
d
1 tan
1 ( )
o
cr o o
U




    
 
  
 
A 
B 
A 
B 
B` 


|| > 1/2 
||  1/2 
con ba = 
2
o /2, y A, B, B, y cr dados por (1), (2) y (3). 
Considere un ala de cuerda c y envergadura 4c, cuyo perfil es una cuña de semiángulo  (siendo 
 << 1), que vuela en régimen supersónico (M∞ = 2 ) con ángulo de ataque nulo sobre un suelo 
plano situado en z = 0. Si es c la altura de vuelo sobre el suelo y u0 = u(c, 2c, c) la velocidad de 
perturbación paralela al eje x, medida sobre el ala en el punto medio del borde de salida (u0 << U∞), 
represente en los gráficos adjuntos la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo 
largo de dicho eje (línea AB, en el tramo 0  x  3c) y a lo largo de la línea paralela al eje x que 
pasa por el punto (0,0,c/4), línea CD, también en el tramo 0  x  3c. 
Explique las razones que justifican sus dibujos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como todos los perfiles son iguales, y el ala es de forma en planta rectangular, sobre el ala, salvo en 
las zonas de influencia de los bordes marginales, la velocidad de perturbación pedida es u = u0, y 
justamente en los bordes marginales, con esta geometría se tiene u = u0/2. Esto es así tanto en el 
plano del ala como en las zonas perturbadas por el ala donde no se nota la influencia de los bordes 
marginales (donde es u = u0), y en los planos verticales que pasan por los bordes marginales, es 
decir y = 0 e y = 4c, en las porciones de plano comprendidas entre los conos de Mach que parten del 
borde de ataque y del borde de salida, como se indica en la figura, donde es u = u0/2. 
 
Para simular el suelo se ha de colocar un ala 
imagen en z = c, para cumplir así las 
condiciones de contorno en z = 0. En 
consecuencia, a lo largo de las líneas pedidas, 
AB y CD, hay tramos no perturbados, otros 
donde únicamente llega la perturbación 
producida por una de las alas (como ocurre en 
el segmento 3c/4  x  5c/4 de la línea CD, 
donde sólo llega la perturbación producida por 
el ala situada en z = c), y otros donde llegan las 
perturbaciones debidas a ambas alas. La 
solución es pues como se indica en los gráficos 
adjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea AB 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea CD 
c 
c 
z 
x 
M∞ 
A B 
C D 
c 
c 
z 
x 
M∞ 

B A 
C D 
4c 
c 
M∞ 
y 
x A B 
C D 
 
Considere un ala de forma en planta triangular, que vuela en régimen supersónico (M

= 2 ) a 
través del aire en calma con ángulo de ataque nulo. Los perfiles del ala son cuñas de semiángulo  
definido por la expresión (y) = h(y)/c(y), siendo 
 h(y)=oc[1 – (2y/c)
2
], 
 c(y)=c(1 – |2y/c|), 
con – c/2yc/2 y o<<1. 
Determine la distribución de coeficiente de presión a lo largo del eje x, en el intervalo 0xc; 
indique claramente el integrando y los límites de integración de la o las expresiones resultantes. 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
Se trata de un problema simétrico, cuya 
solución, teniendo en cuenta que y = 0 es un 
plano de simetría, resulta ser 
 
 
 
 
 
 
B B
A
2 22 2
0
( ), ,0 ( ), ,01 2
( ,0,0) d d
( ( )) ( ( ))
y y
ba o o ba o o
o o
y
ba o o ba o o
w x y y w x y y
u x y y
x x y y x x y y 
   
   
  , 
 
donde, de acuerdo con la figura, en yo ≥ 0 es 
 
yB = x/3, xba(yo) = 2yo, w = (yo)U∞, con 
 
 
2 2
1 1
2
( ) 1
2
1
o o
o
o o o
o
y y
yc c
y
y c
c
  
  
   
      
 
, 
 
de modo que 
 
 
 
/3
2 2
0
2 1 2 /
( ,0,0) d
( 2 )
x
o o
o
o o
U y c
u x y
x y y


  
 
 . 
 
M

 
z 
y 
c 
c/2 
c/2 
x 
h 
yo 
xo 
(x,0,0) 
c/2 
c(yo) = c – 2yo 
xba(yo) = 2yo 
yB 
Considere el ala plana, cuya forma en planta está representada en la figura, volando a través del aire 
en calma con ángulo de ataque  ( << 1) en régimen supersónico (M = 2) El ala tiene 5a de 
cuerda y una envergadura de 8a, y en variables adimensionalizadas con la longitud a,  = x/a, 
 = y/a, los bordes de ataque oblicuos responden a la expresión  = (1 + 3/5). Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones 
que determinan la velocidad de perturbación paralela al eje  a lo largo de dicho eje, u(,0,0
+
), 
dentro del ala, 0    5. Exprese claramente los valores del o de los integrados y de los límites de 
integración. Indique cómo resolvería el problema si, manteniendo la forma del borde de ataque, la 
cuerda del ala fuera mayor (haga un esquema indicando los manantiales que contribuyen a la 
velocidad en el punto). 
 
Solución 
En 0    1 la solución es la bidimensional: u(,0,0
+
) = U, mientras que en 1    5, como el 
ala es plana, w = constante, la integral de superficie es nula, y teniendo en cuenta la simetría del 
recinto de integración cuando se calcula la velocidad en el eje, se tiene 
B' B
B'
2 2 2 2
0
( ( ), ,0 )d ( ( ), ,0 )d1
( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
y y
ba o o o cr o o o
ba o o cr o oy
w x y y y w x y y y
u x y
x x y y x x y y
 
 
   
   
  , 
con w = –U en todo el ala. Dividiendo por a queda 
B' B
B'
2 2 2 2
0 00
d d( , ,0 )
(1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
o o
ba o cr o
u
U
 

   

        


  
   
  
con  B'
1
5
4
   ,  B
1
5 3
8
   , ( ) 0ba o   , B'( )cr o o     , y 
3 1
tan tan atan
4 5 4


 
   
 
 
Si el ala tuviese mayor cuerda las características reflejadas se cruzarían, que dando el esquema de 
manantiales de la segunda figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(+) 
(–) 


U 


 = 1 + 3/5 
B' 
B 
A' 
A 
 
 
Considere un ala de forma en planta rectangular, de cuerda c y envergadura 2c, cuyos perfiles son 
cuñas de semiángulo , con  << 1, volando con ángulo de ataque nulo en régimen supersónico a 
M

 = 2 a través del aire en calma en presencia de otra ala igual, de modo que la distancia entre los 
bordes marginales adyacentes es c. Calcule y dibuje la variación de la velocidad de perturbación 
paralela al eje x a lo largo de la línea A-B, u(c,y,0
+
). 
 
 
 
 
 
 
El problema de calcular la velocidad de perturbación sobre una cuña de semiángulo  es bien 
conocido, de solución: u(c,y,0
+
) = U

[/2 – arcsin[y/c – 1)], y > 0, si los ejes están centrados en el 
punto medio del borde de ataque de la cuña. Esta solución, desplazada convenientemente 
proporciona la solución pedida, cuya representación gráfica es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M

 
2c 2c c 
c 
x 
y 
A B 
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
2u/(U

) 
y/c 
 
Considere la configuración formada por 
dos alas planas, A, y B, ambas de forma 
en planta triangular, colocadas con 
ángulo de ataque  y – en un túnel 
supersónico ( << 1). Las alas están 
unidas rígidamente mediante una varilla 
(que no tiene efectos aerodinámicos) a un 
punto O equidistante entre ambas. 
Determine los momentos según los ejes x 
y z, Mx y Mz respectivamente, que las 
alas ejercen en el punto O. 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
El ala B tiene un comportamiento 
bidimensional en todos los puntos de la 
forma en planta, de modo que, como es 
plana y el número de Mach tal que b = 1, resulta cLB = –4 y cDB = 4
2
, estando las fuerza de 
sustentación y de resistencia aerodinámica aplicadas en el un punto sobre el ala en la línea y = –c/2. 
Se podría argumentar que en virtud del teorema del flujo inverso (cap. 2, p. 60) los valores 
correspondientes para el ala A son, en módulo, los mismos, si bien conviene calcularlos dada la 
extrema sencillez del cálculo. Este cálculo está hecho en el ejercicio 2.1 para alas condos bordes de 
ataque supersónicos, pero los resultados obtenidos no son directamente aplicables aquí, pues al ser 
los bordes sónicos los resultados de 2.1 presentan singularidades. La solución es 
       
0 2
2 2 2 2
0
2
d dπ
y x
o o
y x o o o o
y yu
U x y y y x y y y

 
  
     
 
0 2
2 2
0
2
d d1 1 2
2( ) 2( )
2 2
y x
o o
y x
o o
y y x y x y x
x y x yy x y x y x y x x yy y


 
    
      
  , 
de modo que, como clA(x,y) = 4u/U, el coeficiente de sustentación del ala vale 
 
2 2 22 2 2
. . 0 0 0
8 2 d d 16 d( / ) 16
d d 4
2
1
c x c
LA
F P
x x y y x
c x x x x
c c cx y y
x
   

  
 
 
 
   
   
   
  
    , 
y en consecuencia, como el ala es plana con bordes de ataque no subsónicos cDA = 4
2
. Así pues 
como los coeficientes de resistencia son iguales es Mz = 0, y el coeficiente de momento de balanceo 
Mx = 4LAc, con 
 2 2 2 2
1
2
2
A LAL U c c U c     
 
 
 
 
 
M 2  
c 
c 
c 
c 
c 
c 
c 
c 
y 
O 
x 
A 
B 
M 2  
x 
z 
O 
A 
M 2  
x 
z 

O 
B