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En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en calma con velocidad U y ángulo de ataque << 1. La forma en planta del ala está definida por las expresiones: 1 0( )b x b , 0 0, 2( )b x b , 0 1, con = x/L. Dentro de la validez de la teoría de alas esbeltas, determine, en función de 0 (0 0 1), la posición del centro de presiones del ala. SOLUCIÓN Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección es proporcional al cuadrado de b(), de modo que F1() = kb 2 0, 0 0, F2() = kb 2 2 , 0 1, Tomando momentos respecto a = 0, se tiene 0 0 0 0 0 0 1 1 11 2 2 1 1 2 20 0 0 d ( ) d ( ) (1) d d ( ) ( )d ( ) ( )d d d cp F F F F F F F 0 0 1 2 3 0 0 0 1 1 d d 4 6 cp y 0 b b b(x) 1 U Primer ejercicio Considere un ala esbelta cuya forma en planta está definida por la expresión 2 3 1 ( ) (3 2 ) ( 2) 2 x x x b x l a a a l l l , Con << 1, 0 ≤ x ≤ l, y 0 ≤ a ≤ 1. Sabiendo que la sección máxima del ala se alcanza en x = l, indique si el ala cumple o no la hipótesis de Kutta en el borde de salida. Determine la posición del centro de presiones del ala en función del parámetro a. Para que se cumpla la hipótesis de Kutta ha de ser db/dx = 0 en x = l, es decir 2 2 3 2(3 2 ) 3( 2) d ( ) 0 d (3 2 ) ( 2) x l x x a a a b x l l x x x x a a a l l l lo que se cumple cualquiera que sea al valor de a. Para el cálculo del centro de presiones se ha de calcular el momento respecto a x = 0 de la sustentación, de modo que, eliminando las constantes que aparecen en uno y otro miembro, como b(l) = 2l, se tiene 2 32 2 0 0 1 d ( ) d 2(3 2 ) 3( 2) d (6 ) d 12( ) l l cp b x x x x l x x x a a a x a x l l lb l Considere una familia de alas esbeltas planas de cuerda máxima l cuya forma en planta está definida por la expresión 2 2 ( ) (2 ) ; / ; 0 1 ; 1 l b k x l k determine el valor de k para que se cumpla la condición de Kutta en la sección final (borde estacionario), y para este valor de k, considerando que el ala vuela con ángulo de ataque a través del aire en calma, determine el coeficiente de sustentación del ala. 2 d 2 0 1 d x l b x k k x lk 2 0 4 2 ( )d 3 l S b x x l ; 2 2 2 2 4 ( ) 4 3 4 3 b l l S l ; 3 2 2 Lc . AII Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), cuya forma en planta queda definida por la expresión 2y b a a , siendo = x/L, con 0 1, y a un parámetro adimensional (1/2 a 1) que identifica a los distintos miembros de la familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la posición del centro de presiones. SOLUCIÓN Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en = a (x = La), y dicho máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación entre el morro y la sección x vale F(x) = ky 2 , con 2k U , de modo que tomando momentos con respecto a x = 0, llamando = x/(La) = /a, se tiene 1 1 0 0 d 1 d 1 d d cp F F F F , 1 1 2 3 4 0 0 7 1 d 1 4 4 d 1 15 cp F F , y por tanto 7 15 cpx La . y x b L U y x b U Considere un cuerpo esbelto de longitud L formado por una ojiva cónica de longitud cL (1/5 c 1) y un cuerpo cilíndrico de radio L, con << 1. En la parte cilíndrica del cuerpo hay unas alas planas de forma en planta triangular, siendo 2b la envergadura del conjunto, con b << L. Supuesto que el cuerpo vuela con ángulo de ataque ( << 1) y velocidad U a través de una atmósfera en calma de densidad . Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de cuerpos esbeltos calcule, en función del parámetro c la sustentación producida por el cuerpo así como y la posición del centro de presiones. La ecuación del cuerpo es ( ) , ( ) ( ) si 0bRb x x b x R x x Lc y ( ) , ( ) siRb x L b x Ax B cL x L donde y (1 ) 1 b L L bcA B L c c . La fuerza de sustentación total sólo depende de la sección final, x = L, 4 4 2 2 2 ( ) ( ) ( )z b L L b F L K b con 2K U . La posición del centro de presiones xcpestá dada por 1 2 1 2 0 0 ( ) d d d L cL L cp z z z z cL x F L x F x F x F I I , donde la fuerza lateral Fz esta definida por tramos 2 1 ( ) si 0z xF x K x cL c y 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) si ( ) z L F x K Ax B L cL x L Ax B siendo 2 31 1 0 2d 3 cL zI x F K cL , e 4 4 2 2 3 2d 2( ) d ( ) L L z cL cL L AI x F K x Ax B A x Ax B 2 3 3 2 2 3 2 (1 ) (1 ) 3 K A L c ABL c I con 4 4 4 43 3 3 32 d 2 d( ) ( ) ( ) L L cL cL Ax Ax B BI L x L x Ax B Ax B Ax B 2 2 2 4 5 2 3 2 2 2 12 2 ( ) ( ) c L cbL L AL B ALc B b z y z x cL L L U y b b x cL G:\2011\2011 Pepe\DOCENCIA\AII ejercicios seleccionados\03 ce masa y centro dados S.doc 1 Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x) esté dada por la ley d ( ) ( ) ( ) d o S xlx S x x donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo. Compruebe la validez de la solución obtenida. La masa, M, es 3 1 1 3 0 0 4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ; ( ) 4 l l o o o o l l MM x S x x S x x l S l S A A S x l La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 4 4 2 1 0 0 0 d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )d d 4 2 4 2 2 l l cm o o n o S x Al lx M x S x x l x x A n A x Sustituyendo el valor de A1 se obtiene 2 3 2 o MA l Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x) 0, es decir d ( ) 0 d S x x 2 1 2 1 1 1 d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos ) d S x AA A A A x A que se anula en = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la condición. Considere un cuerpo esbelto de revolución de longitud l, con área final no nula y volumen V = l 3 k/16. Determine el valor de la sección final que define el cuerpo óptimo (resistencia de onda mínima) que satisface estas ligaduras. De la condición del volumen resulta k = 2A1 – A2, de manera el cuerpo de resistencia de onda mínima ha de ser el que tenga A1 y A2 no nulos y el resto de los términos del desarrollo nulos. Dicha resistencia es por tanto 2 21 22ondaD H A A , con 2 2 / 8H U l ; expresando por ejemplo A2 en función de A1, de la condición de resistencia mínima se obtiene 2 2 1 1 1 1 d d 2(2 ) 0 d d ondaD H A A k A A , es decir 1 14(2 ) 0A A k , o bien A1 = 4k/9, y como A1 = 4S(l)/(l 2 ), resulta S(l) = l2k/9.Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud total l y radio de la sección final l, con << 1. Supuesto que la densidad del cuerpo es uniforme, de valor c, y sabiendo que el volumen del cuerpo, V, y que el momento de inercia respecto al eje r, Ir, valen 2 3 1 2 V l , 2 5r cI k l , determine el cuerpo de resistencia de onda mínima que cumple las ligaduras dadas. Represente, en función de x/l, el radio del cuerpo r(x/l). SOLUCIÓN En variables dilatadas la variación de la ley de áreas se expresa como 1 d sin d n n l A n x S , con x l 2 1( cos ) , y con estos cambios la ley de áreas y el volumen dilatados son 2 1 2 sin 2 sin( 1) sin( 1) ( ) ( ) 4 2 1 1 n n l n n A A n n S , 3 2 1 8 2 Al V A , y la resistencia de onda vale 2 2 2 18 ONDA n n U l D nA . Con los datos del enunciado, en la sección final, = 0, se cumple l 2 = l 2 A1/4, de modo que A1 = 4; del volumen V = l 3 (A1 – A2/2)/8 = l 3 /2, se obtiene A2 = 0, y para el momento de inercia 5 2 3 3 0 0 0 1 1 1 d ( ) d ( ) d 3 3 d l l l r c I k l x x x x x x x x S S S 5 35 10 1 1 sin 1+cos sin d 3 3 16 n n l l A n ; 2 3 10 16 1 3 sin 1+3cos +3cos +cos sin dn n k A n 10 7 7 3 1 sin sin sin2 sin3 sin4 d 4 4 4 8 n n A n 1 3 4 7 3 1 2 4 4 8 A A A de donde se obtiene A4 = –6A3 + 8[32(1 – 3k) – 7] = –6A3 + 8(25 – 96k); introduciendo A1 = 4, A2 = 0 y A4 en función de A3 en la expresión de la resistencia de onda, haciendo dDONDA/dA3 = 0, se obtiene 3 64 25 96 49 A k , y 4 8 25 96 49 A k . r x l l 1. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de velocidad U, presión p y densidad . El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide: 1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, E = 1Um/U,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función de le /d. Um es la velocidad medida, definida como 1/ 2 2( ) /m o eU p p , y po es la presión de remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la nariz. SOLUCIÓN: El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es: 0 ( ) ( ) ( , ) 2 ( ) ln d 2 l r f x f x r f x xx l x , con d ( ) 4 d U f x x S . Como ( ) 2 2 d r x x l x l en 0 x l, y r(x) = d/2 en x l, resulta 2 2 ( ) 8 U d f x l x l o f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l. Cuando 0 x l se tiene: 2 2 0 ( , ) 2 ln d 8 2 l U d r x x r l x xl x l x , (1) y cuando x l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 2 2 0 ( , ) d 8 l U d l x r xl , y como 2 0 0 d 1 d ln 1 2 l l l l x l l l l x x x x x , se obtiene 2 16 U d x , de modo que 2 216 x U d x y por tanto 2 2 2 2 2 8 8 x pe e d d c U x l . El error es 2 2 1 1 16 pe e d E c l . Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta que 0 0 d d d 2 l x l x x x l x , se tiene 2 2 ( , ) 2 ln 2 8 2 U d r x r l x l x l x l x , y de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida. r x l e U p Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud l, que vuela con ángulo de ataque nulo a M∞ = 2 , cuya ley de áreas está dada por la expresión 2 2 2 3( ) (3 2 )S l , = x/l, 0 1; 1 . Determine el campo de velocidades sobre el cuerpo. 2 0 ( ) ( ) ( ) ln d 2 x r f x f U x f x x x , 3d ( ) 1 2 d U US x f x x x l ; 2 2 0 0 0 0 3 3 3( ) ( ) / ( / ) 1 3 d d d ( )d 1 2 x x x x U U Uf x f x x l l x x x x x l l 2 3 31 ln 1 2 2 U x r x U x x l x l ; únicamente falta derivar y particularizar en la superficie del cuerpo
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