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AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica II - IDR Cuerpos Esbeltos

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En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en 
calma con velocidad U

 y ángulo de ataque  << 1. La forma en planta del ala está definida por las 
expresiones: 
 1 0( )b x b   , 0    0, 
 2( )b x b , 0    1, 
con  = x/L. Dentro de la validez de la 
teoría de alas esbeltas, determine, en 
función de 0 (0  0  1), la posición 
del centro de presiones del ala. 
 
SOLUCIÓN 
Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección  es proporcional al 
cuadrado de b(), de modo que 
 F1() = kb
2
0, 0    0, 
 F2() = kb
2

2
, 0    1, 
Tomando momentos respecto a  = 0, se tiene 
0 0
0
0
0 0
1 1
11 2
2 1 1 2 20
0 0
d ( ) d ( )
(1) d d ( ) ( )d ( ) ( )d
d d
cp
F F
F F F F F
 


 
 
            
 
         
 
0
0
1
2 3
0 0
0
1
1 d d 4
6
cp


            

y 
0 
b 
b 
b(x) 
1 
U

 
Primer ejercicio 
Considere un ala esbelta cuya forma en planta está definida por la expresión 
 
2 3
1
( ) (3 2 ) ( 2)
2
x x x
b x l a a a
l l l

   
       
   
, 
Con  << 1, 0 ≤ x ≤ l, y 0 ≤ a ≤ 1. 
Sabiendo que la sección máxima del ala se alcanza en x = l, indique si el ala cumple o no la 
hipótesis de Kutta en el borde de salida. Determine la posición del centro de presiones del ala en 
función del parámetro a. 
 
 
Para que se cumpla la hipótesis de Kutta ha de ser db/dx = 0 en x = l, es decir 
 
2
2 3
2(3 2 ) 3( 2)
d ( )
0
d
(3 2 ) ( 2)
x l
x x
a a a
b x l l
x x x x
a a a
l l l


 
     
 
 
   
      
   
 
lo que se cumple cualquiera que sea al valor de a. Para el cálculo del centro de presiones se ha de 
calcular el momento respecto a x = 0 de la sustentación, de modo que, eliminando las constantes 
que aparecen en uno y otro miembro, como b(l) = 2l, se tiene 
 
2 32
2
0 0
1 d ( )
d 2(3 2 ) 3( 2) d (6 )
d 12( )
l l
cp
b x x x x l
x x x a a a x a
x l l lb l
    
           
     
  
Considere una familia de alas esbeltas planas de cuerda máxima l cuya forma en planta está definida por la 
expresión 
2
2
( ) (2 ) ; / ; 0 1 ; 1
l
b k x l
k

          
determine el valor de k para que se cumpla la condición de Kutta en la sección final (borde estacionario), y 
para este valor de k, considerando que el ala vuela con ángulo de ataque  a través del aire en calma, 
determine el coeficiente de sustentación del ala. 
 
2
d 2
0 1
d
x l
b x
k k
x lk


 
     
 
 
2
0
4
2 ( )d
3
l
S b x x l  ; 
2 2 2
2
4 ( ) 4
3
4
3
b l l
S
l



    ; 
3
2 2
Lc
 
 

  . 
 
 
 
AII 
Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), cuya 
forma en planta queda definida por la expresión 
 2y b
a a
  
  
 
, 
siendo  = x/L, con 0    1, y a un parámetro adimensional 
(1/2  a  1) que identifica a los distintos miembros de la 
familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque 
pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la 
posición del centro de presiones. 
 
SOLUCIÓN 
Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en  = a (x = La), y dicho 
máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente 
que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación 
entre el morro y la sección x vale F(x) = ky
2
, con 2k U  , de modo que tomando momentos 
con respecto a x = 0, llamando  = x/(La) = /a, se tiene 
 
 
 
   
1 1
0 0
d
1 d 1 d
d
cp
F
F F F

    

    , 
 
 
 
1 1
2 3 4
0 0
7
1 d 1 4 4 d
1 15
cp
F
F

             , y por tanto 
7
15
cpx La . 
 
 
y 
x 
b 
L 
U

 
y 
x 
b U

 
Considere un cuerpo esbelto de longitud L formado por una ojiva cónica de longitud cL 
(1/5  c  1) y un cuerpo cilíndrico de radio L, con  << 1. En la parte cilíndrica del cuerpo hay 
unas alas planas de forma en planta triangular, siendo 2b la envergadura del conjunto, con b << L. 
Supuesto que el cuerpo vuela con ángulo de ataque  ( << 1) y velocidad U

 a través de una 
atmósfera en calma de densidad 

. Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de 
cuerpos esbeltos calcule, en función del parámetro c la sustentación producida por el cuerpo así 
como y la posición del centro de presiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación del cuerpo es ( ) , ( ) ( ) si 0bRb x x b x R x x Lc
    y 
( ) , ( ) siRb x L b x Ax B cL x L     donde y
(1 ) 1
b L L bcA B
L c c
   
 
. La fuerza de 
sustentación total sólo depende de la sección final, x = L, 
4 4 2 2
2
( ) ( )
( )z
b L L b
F L K
b
  
 con 
2K U  . La posición del centro de presiones xcpestá dada por 
1 2 1 2
0 0
( ) d d d
L cL L
cp z z z z
cL
x F L x F x F x F I I       , donde la fuerza lateral Fz esta definida por tramos 
 
2
1 ( ) si 0z
xF x K x cL
c
   y  
4
2 2
2 2
( )
( ) ( ) si
( )
z
L
F x K Ax B L cL x L
Ax B


 
      
 
 
siendo 2 31 1
0
2d
3
cL
zI x F K cL  , e 
4 4
2 2 3
2d 2( ) d
( )
L L
z
cL cL
L AI x F K x Ax B A x
Ax B
      
 
  
 2 3 3 2 2 3
2 (1 ) (1 )
3
K A L c ABL c I     
  
 
con 4 4 4 43 3 3 32 d 2 d( ) ( ) ( )
L L
cL cL
Ax Ax B BI L x L x
Ax B Ax B Ax B
 
       
   
  
 
2 2 2
4 5 2 3
2 2 2
12 2
( ) ( )
c L cbL L
AL B ALc B b
 
       
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
z 
x 
cL 
L 
L 
U

 

y 
b 
b 
x 
cL 
 
G:\2011\2011 Pepe\DOCENCIA\AII ejercicios seleccionados\03 ce masa y centro dados S.doc 
1 
 
Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x) 
esté dada por la ley 
d ( )
( )
( ) d
o
S xlx
S x x
  
donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga 
resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas 
situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo. 
Compruebe la validez de la solución obtenida. 
 
 
La masa, M, es 
 
3
1 1 3
0 0
4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ;
( ) 4
l l
o o o
o
l l MM x S x x S x x l S l S A A
S x l
   
 
       
La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 
4 4
2
1
0 0 0
d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )d
d 4 2 4 2 2
l l
cm o o n o
S x Al lx M x S x x l x x A n A
x

              
  
   
Sustituyendo el valor de A1 se obtiene 
2 3
2
o
MA
l 
  
Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x)  0, es decir 
d ( )
0
d
S x
x
 
2
1 2 1 1
1
d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos )
d
S x AA A A A
x A
           
que se anula en  = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la 
condición. 
 
Considere un cuerpo esbelto de revolución de longitud l, con área final no nula y volumen 
V = l
3
k/16. Determine el valor de la sección final que define el cuerpo óptimo (resistencia de onda 
mínima) que satisface estas ligaduras. 
 
De la condición del volumen resulta k = 2A1 – A2, de manera el cuerpo de resistencia de onda 
mínima ha de ser el que tenga A1 y A2 no nulos y el resto de los términos del desarrollo nulos. Dicha 
resistencia es por tanto  2 21 22ondaD H A A  , con 2 2 / 8H U l  ; expresando por ejemplo A2 en 
función de A1, de la condición de resistencia mínima se obtiene 
2 2
1 1
1 1
d d
2(2 ) 0
d d
ondaD H A A k
A A
      , 
es decir 1 14(2 ) 0A A k   , o bien A1 = 4k/9, y como A1 = 4S(l)/(l
2
), resulta S(l) = l2k/9.Considere un cuerpo esbelto de revolución, de 
longitud total l y radio de la sección final l, con 
 << 1. Supuesto que la densidad del cuerpo es 
uniforme, de valor c, y sabiendo que el volumen del 
cuerpo, V, y que el momento de inercia respecto al 
eje r, Ir, valen 
 2 3
1
2
V l , 2 5r cI k l  , 
determine el cuerpo de resistencia de onda mínima 
que cumple las ligaduras dadas. Represente, en 
función de x/l, el radio del cuerpo r(x/l). 
 
 
SOLUCIÓN 
En variables dilatadas la variación de la ley de áreas se expresa como 
1
d
sin
d
n
n
l A n
x



 
S
, con 
x
l
 
2
1( cos ) , y con estos cambios la ley de áreas y el volumen dilatados son 
 
2
1
2
sin 2 sin( 1) sin( 1)
( ) ( )
4 2 1 1
n
n
l n n
A A
n n
  
  


   
      
   
S , 
3
2
1
8 2
Al
V A
 
  
 
, 
y la resistencia de onda vale 
2 2
2
18
ONDA n
n
U l
D nA
  

  . 
Con los datos del enunciado, en la sección final,  = 0, se cumple l
2
 = l
2
A1/4, de modo que 
A1 = 4; del volumen V = l
3
(A1 – A2/2)/8 = l
3
/2, se obtiene A2 = 0, y para el momento de inercia 
5 2 3 3
0
0 0
1 1 1 d
( ) d ( ) d
3 3 d
l l
l
r
c
I k l x x x x x x x
x


     
S
S S
 
5
35
10
1 1
sin 1+cos sin d
3 3 16
n
n
l
l A n

    


 
  
 
 ; 
   2 3
10
16 1 3 sin 1+3cos +3cos +cos sin dn
n
k A n

      


 
   
 
 
10
7 7 3 1
sin sin sin2 sin3 sin4 d
4 4 4 8
n
n
A n

     


  
      
  
 1 3 4
7 3 1
2 4 4 8
A A A
  
   
 
 
de donde se obtiene A4 = –6A3 + 8[32(1 – 3k) – 7] = –6A3 + 8(25 – 96k); introduciendo A1 = 4, 
A2 = 0 y A4 en función de A3 en la expresión de la resistencia de onda, haciendo dDONDA/dA3 = 0, se 
obtiene  3
64
25 96
49
A k  , y  4
8
25 96
49
A k  . 
 
 
 
 
r 
x 
l 
l 
1. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de 
velocidad U, presión p y densidad . El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l 
de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios 
de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez 
de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide: 
1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. 
Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, 
E = 1Um/U,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función 
de le /d. Um es la velocidad medida, definida como  
1/ 2
2( ) /m o eU p p   , y po es la presión de 
remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad 
sobre la nariz. 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es: 
 
 
0
( ) ( )
( , ) 2 ( ) ln d
2
l
r f x f
x r f x
xx l x

 


  
 
, con 
d
( )
4 d
U
f x
x
 
S
. 
Como  ( ) 2
2
d
r x x l x
l
  en 0  x  l, y r(x) = d/2 en x  l, resulta  
2
2
( )
8
U d
f x l x
l
   o 
f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l. 
 
Cuando 0  x  l se tiene:  
 
2
2
0
( , ) 2 ln d
8 2
l
U d r x
x r l x
xl x l x

 


 

   
 
 
 , (1) 
y cuando x  l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 
2
2
0
( , ) d
8
l
U d l
x r
xl

 

  
 , y como 
 
2
0 0
d 1 d ln 1
2
l l
l l x l l
l l x
x x x x

 
 
    
        
     
, se obtiene 
2
16
U d
x
   , de modo que 
2
216
x
U d
x
  y por tanto 
2 2
2 2
2
8 8
x
pe
e
d d
c
U x l


      . El error es 
2
2
1 1
16
pe
e
d
E c
l
    . 
 
Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta 
que
0 0
d d d 2
l x l
x
x
x l
x

  


   
   , se tiene    
2
2
( , ) 2 ln 2
8 2
U d r
x r l x l x
l x l x
 
 
    
  
, y 
de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida. 
r 
x 
l 
e 
U 
p 
 
Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud l, que vuela con ángulo de ataque nulo a M∞ = 2 , 
cuya ley de áreas está dada por la expresión 2 2 2 3( ) (3 2 )S l     ,  = x/l, 0 1; 1   . 
Determine el campo de velocidades sobre el cuerpo. 
 
2
0
( ) ( )
( ) ln d
2
x
r f x f
U x f x
x x

 


 
     
 
 
 , 
3d
( ) 1
2 d
U US x
f x x
x l 
        
 
; 
2 2
0 0 0 0
3 3 3( ) ( ) / ( / ) 1 3
d d d ( )d 1
2
x x x x
U U Uf x f x x l l x
x x
x x l l
  
    
    
  
              
     
 
    
2 3 31 ln 1
2 2
U x r x
U x x
l x l




    
         
    
; únicamente falta derivar y particularizar en la superficie del 
cuerpo

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