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AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica II - IDR Laboratorio

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AERODINÁMICA II S-1
EJERCICIO S01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un ala de cuerda c y envergadura 4c, cuyo perfil es una cuña de semiángulo δ (siendo 
δ << 1), que vuela en régimen supersónico (M∞ = 2 ) con ángulo de ataque nulo sobre un suelo 
plano situado en z = 0. Si es c la altura de vuelo sobre el suelo y u0 = u(c, 2c, c) la velocidad de 
perturbación paralela al eje x, medida sobre el ala en el punto medio del borde de salida (u0 << U∞), 
represente en los gráficos adjuntos la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo 
largo de dicho eje (línea AB, en el tramo 0 ≤ x ≤ 3c) y a lo largo de la línea paralela al eje x que 
pasa por el punto (0,0,c/4), línea CD, también en el tramo 0 ≤ x ≤ 3c. 
Explique las razones que justifican sus dibujos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Como todos los perfiles son iguales, y el ala es de forma en planta rectangular, sobre el ala, salvo en 
las zonas de influencia de los bordes marginales, la velocidad de perturbación pedida es u = u0, y 
justamente en los bordes marginales, con esta geometría se tiene u = u0/2. Esto es así tanto en el 
plano del ala como en las zonas perturbadas por el ala donde no se nota la influencia de los bordes 
marginales (donde es u = u0), y en los planos verticales que pasan por los bordes marginales, es 
decir y = 0 e y = 4c, en las porciones de plano comprendidas entre los conos de Mach que parten del 
borde de ataque y del borde de salida, como se indica en la figura, donde es u = u0/2. 
 
Para simular el suelo se ha de colocar un ala 
imagen en z = −c, para cumplir así las 
condiciones de contorno en z = 0. En 
consecuencia, a lo largo de las líneas pedidas, 
AB y CD, hay tramos no perturbados, otros 
donde únicamente llega la perturbación 
producida por una de las alas (como ocurre en 
el segmento 3c/4 ≤ x ≤ 5c/4 de la línea CD, 
donde sólo llega la perturbación producida por 
el ala situada en z = c), y otros donde llegan las 
perturbaciones debidas a ambas alas. La 
solución es pues como se indica en los gráficos 
adjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea AB 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea CD 
c 
c 
z 
x 
M∞ 
A B 
C D 
c 
c 
z 
x 
M∞ 
δ 
B A 
C D 
4c 
c 
M∞ 
y 
x A B 
C D 
AERODINÁMICA II S-2
 
EJERCICIO S02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Calcule la resistencia inducida de un ala de envergadura b y alargamiento Λ que vuela en régimen 
estacionario en el seno de un fluido incompresible de densidad ρ∞ a velocidad U∞, sabiendo que la 
velocidad vertical, w(∞,y,0±), en la estela viene dada por la expresión 
2( , ,0 ) cos 2cos cos 2w y A B CU θ θ θ
±
∞
∞ ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ 
donde cos2
by θ= , 0 θ π≤ ≤ , y A, B y C son constantes conocidas. 
 
Solución 
La resistencia inducida es la misma que la de un ala larga de la misma envergadura. La velocidad 
inducida en la estela (el doble que sobre el ala) es 
21
sin
( , ,0 ) cos 2cos cos 2sin
n
n
nA n
w y A B CU
θ
θ θ θθ
∞
+
=
∞
∞ ⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦
∑
 es decir 
2
1
sin sin cos (2cos cos 2 ) sin sin 2 sin 32n
n
BnA n A B C A Cθ θ θ θ θ θ θ θ
∞
=
⎡ ⎤= + + + = + +⎣ ⎦∑ 
Por lo tanto, 1 2 3; 2 ; 32
BA A A A C= = = . El coeficiente de resistencia inducida es 
2 22 2
4 4 8 3Di n
B CC nA Aπ π ⎡ ⎤Λ Λ= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 
 
EJERCICIO S03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un cuerpo esbelto de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes 
a(x) y ka(x), con a(x) << l y k < 1 de orden unidad e igual para todas las secciones. Calcule la 
distribución de fuerzas sobre el cuerpo Fz(x), que para cada x representa la fuerza desde el morro 
hasta la sección x, cuando el cuerpo vuela a ángulo de ataque α a través del aire en calma con 
velocidad U∞ en el seno de una atmósfera de densidad ρ∞. 
 
Solución 
1
d
2 d
g
Y Z
T
F iF U a U S xρ π∞ ∞ ∞
⎡ ⎤
+ = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
 
2bt τ τ= + 2
(1 )2
12
ar k
ab k
⎧ = +⎪
⎨
= −⎪⎩
 
2
( ) rF i U i U tτ α τ ατ∞ ∞
⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 2
1 ( )a i U r bα ∞= + 
gT i xα= − 
2 2 2 2 22 ( )zF U U b r U ka U aρ πα απ ρ απ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦ 
 
 
 
 
r 
a 
ka 
AERODINÁMICA II S-3
EJERCICIO S04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● En la figura se han representado (necesariamente de forma idealizada) las distribuciones de 
coeficiente presión en el extradós correspondientes a los tres efectos (espesor, curvatura y ángulo de 
ataque) que configuran un cierto perfil de ala. Supuesto que dichas distribuciones corresponden al 
caso incompresible, y supuesto que es aplicable la teoría linealizada, determine la variación con el 
ángulo de ataque α (0 ≤ α ≤ 0,04) del número de Mach crítico, Mcr, del perfil en consideración. 
Solución 
El coeficiente de presión en el extradós del perfil es la suma de los tres efectos considerados, y el 
mínimo de la distribución resultante depende, obviamente, del valor del ángulo de ataque. A la vista 
de las distribuciones es evidente que tal mínimo ocurrirá en el punto medio del perfil (si el ángulo 
de ataque es pequeño) y estará gobernado por la distribución de coeficiente de presión asociada a la 
curvatura, mientras que el mínimo ocurrirá en el borde de ataque del mismo (si el ángulo de ataque 
es grande), estando ahora gobernado por la distribución de coeficiente de presión asociada al ángulo 
de ataque. El valor límite que separa estas dos regiones se obtiene expresando la igualdad de ambos 
mínimos: cpe,esp,x/c=0 + cpe,curv,x/c=0 + cpe,ang,x/c=0 = cpe,esp,x/c=1/2 + cpe,curv,x/c=1/2 + cpe,ang,x/c=1/2, es decir: 
0,1 + 0 + 15α = 0,1 + 0,2 + 5α,, de donde resulta α = 0,02. 
En la tabla adjunta se muestran los valores de cpe,x/c=0 y cpe,x/c=1/2 para los valores del ángulo de 
ataque indicado, el valor mínimo de cada par y el valor del número de Mach crítico Mcr que se 
obtiene del gráfico correspondiente. 
 
 
 
 
α [radian] −cpe,x/c=0 −cpe,x/c=1/2 −cpe,min Mcr 
0 0,10 0,30 0,30 ≈0,795
0,01 0,25 0,35 0,35 ≈0,780
0,02 0,40 0,40 0,40 ≈0,760
0,03 0,55 0,45 0,55 ≈0,720
0,04 0,70 0,50 0,70 ≈0,685
 
 
 
 
 
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
α 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
Mcr 
−cpe 
0,2 
0 
0 1/2 1 
x/c 
curvatura 
−cpe 
0,1 
0 
0 1/2 1 
x/c 
espesor 
−cpe/α 
10 
0 
0 1/2 1 
x/c 
ángulo de ataque 
15 
5 
 
AERODINÁMICA II S-4
EJERCICIO S05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un ala esbelta de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes a y 
ka, con a<<l y k < 1 (k es igual para todas las secciones). Se quiere calcular el ala que produzca 
mínima resistencia de onda, que tenga un volumen V dado (ya que dentro del ala irá alojado el 
combustible) y que la distancia entre el centro de presiones y el centro de gravedad del ala, supuesta 
sólida y de densidad uniforme, sea l/20, como se muestra en la figura. Se pide: 
1. Calcule, en función de los coeficientes An, la distancia entre el centro de gravedad y el morro 
del ala (vea la nota al final del enunciado). 
2. Si la fuerza hasta una sección dada (cuando el ala vuela con ángulo de ataque α) se escribe 
como ( ) ( )2zF x U S xk
α ρ∞ ∞= , donde S(x) es la distribución de áreas, calcule la distancia a la 
que se encuentra el centro de presiones del morro del ala en función de los coeficientes An. 
3. Escriba la ligadura que expresa la distancia que debe existir entre el centro de presiones y el 
centro de gravedad en función de los coeficientes An. 
4. Escriba claramente las ecuaciones que hay que resolver para obtener los coeficientes An para 
que el ala tenga mínima resistencia de onda y cumpla las ligaduras. 
5. Indique cómo comprobaría que la solución obtenida es válida. 
Nota: recuerde que 
1
sinn
n
dS l A n
dx
θ
∞
=
= ∑ , donde S(x) es la 
distribución de áreas al cortar el cuerpo por secciones 
normales a su eje longitudinal. 
 
 
Solución 
 
1) 
32
14 32
1
20 1
11
8 2 81 11( )d 16 8 2 8 2 2
l
cg cg
AAl AAAlx xS x x x AV V AA
π
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= → = − − =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ . 
2) ( ) 2
1
0
d ( ) 12 2
l
z cp z cp
AlF l x x F x x A
⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ . 
3) 2 21 1 2 1 3 219 22 5 10 020cp cg
lx x A A A A A A− = → − − + = . 
4) Hay que minimizar Donda cumpliendo las siguientes ligaduras: 
3
2
18 2
AlV Aπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (1) 
2 2
1 1 2 1 3 219 22 5 10 0A A A A A A− − + = . (2) 
Como en las ligaduras sólo aparecen los coeficientes A1, A2 y A3, el resto debe ser cero para que 
Donda sea mínima, por tanto hay que minimizar las función: 
2 2 2
1 2 32 3A A A+ + 
cumpliendo las ligaduras (1) y (2). 
Para ello se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange: 
32 2 2 2 22
1 2 3 1 1 1 2 1 3 2( 2 3 ) (19 22 5 10 )8 2
AlA A A A V A A A A A Aπλ μ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + − − + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
L 
3
1 1 2 3
1
0 2 (38 22 5 ) 08
lA A A AA
πλ μ∂ = → + + − − =∂
L 
CG CP 
l/20 
AERODINÁMICA II S-5
3
2 1 2
2
0 4 ( 22 20 ) 016
lA A AA
πλ μ∂ = → − + − + =∂
L 
3 1
3
0 6 5 0A AA μ
∂ = → − =∂
L 
3
2
1 08 2
Al A Vπ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 2
1 1 2 1 3 219 22 5 10 0A A A A A A− − + = 
Este sistema de ecuaciones no lineales proporciona los valores de A1, A2 y A3 que dan mínima 
resistencia de onda. 
5) Revisamos las hipótesis empleadas a lo largo del ejercicio: 
a) Para que el modelo empleado para el cálculo del momento sea válido: 
 d 0 (0, )d
S x lx ≥ ∈ . 
b) Hipótesis hecha para el cálculo de la resistencia de onda. A simple vista se comprueba que 
se cumple: 
 d 0 (0, )d
S x lx = = . 
c) Para que la teoría de cuerpos esbeltos sea aplicable: 
 
2 2 2 11 12
( ) ( ) ( )4 4 2( ) ( )
l AS l A l lA ka l a l lkS l ka l
π π π
π
⎫⎪= → = → = <<⎬
= ⎪⎭
. 
 
EJERCICIO S06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), 
cuya forma en planta queda definida por la expresión 
 2y b
a a
ξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
siendo ξ = x/L, con 0 ≤ ξ ≤ 1, y a un parámetro adimensional 
(1/2 ≤ a ≤ 1) que identifica a los distintos miembros de la 
familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque 
pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la 
posición del centro de presiones. 
 
Solución 
Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en ξ = a (x = La), y dicho 
máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente 
que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación 
entre el morro y la sección x vale F(x) = ky2, con 2k Uαπρ∞ ∞= , de modo que tomando momentos 
con respecto a x = 0, llamando η = x/(La) = ξ/a, se tiene 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
d
1 d 1 d
dcp
F
F F F
η
η η η η η
η
= = −∫ ∫ , 
( )
( ) ( )
1 1
2 3 4
0 0
71 d 1 4 4 d
1 15cp
F
F
η
η η η η η η= − = − − + =∫ ∫ , y por tanto 
7
15cp
x La= . 
 
 
 
y 
x 
b 
L 
U∞ 
y 
x 
b U∞ 
AERODINÁMICA II S-6
EJERCICIO S07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en 
calma con velocidad U∞ y ángulo de ataque α << 1. La forma en planta del ala está definida por las 
expresiones: 
 1 0( )b x b ξ ξ= , 0 ≤ ξ ≤ ξ0, 
 2 ( )b x bξ= , ξ0 ≤ ξ ≤ 1, 
con ξ = x/L. Dentro de la validez de la 
teoría de alas esbeltas, determine, en 
función de ξ0 (0 ≤ ξ0 ≤ 1), la posición 
del centro de presiones del ala. 
 
Solución 
Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección ξ es proporcional al 
cuadrado de b(ξ), de modo que 
 F1(ξ) = kb2ξ0ξ, 0 ≤ ξ ≤ ξ0, 
 F2(ξ) = kb2ξ2, ξ0 ≤ ξ ≤ 1, 
Tomando momentos respecto a ξ = 0, se tiene 
0 0
0
0
0 0
1 1
11 2
2 1 1 2 20
0 0
d ( ) d ( )(1) d d ( ) ( )d ( ) ( )d
d dcp
F FF F F F F
ξ ξ
ξ
ξ
ξ ξ
ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
= + = − + −∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
0
0
1
2 3
0 0
0
11 d d 4
6cp
ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − − = −∫ ∫ 
EJERCICIO S08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere el ala plana, cuya forma en planta está representada en la figura, volando a través del 
aire en calma con ángulo de ataque α (α << 1) en régimen supersónico (M∞ = √2) El ala tiene 5a de 
cuerda y una envergadura de 8a, y en variables adimensionalizadas con la longitud a, ξ = x/a, 
η = y/a, los bordes de ataque oblicuos responden a la expresión η = ±(1 + 3ξ/5). Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones 
que determinan la velocidad de perturbación paralela al eje ξ a lo largo de dicho eje, u(ξ,0,0+), 
dentro del ala, 0 ≤ ξ ≤ 5. Exprese claramente los valores del o de los integrados y de los límites de 
integración. Indique cómo resolvería el problema si, manteniendo la forma del borde de ataque, la 
cuerda del ala fuera mayor (haga un esquema indicando los manantiales que contribuyen a la 
velocidad en el punto). 
 
Solución 
En 0 ≤ ξ ≤ 1 la solución es la bidimensional: u(ξ,0,0+) = αU∞, mientras que en 1 ≤ ξ ≤ 5, como el 
ala es plana, w = constante, la integral de superficie es nula, y teniendo en cuenta la simetría del 
recinto de integración cuando se calcula la velocidad en el eje, se tiene 
B' B
B'
2 2 2 2
0
( ( ), ,0 )d ( ( ), ,0 )d1 ( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
y y
ba o o o cr o o o
ba o o cr o oy
w x y y y w x y y yu x y
x x y y x x y y
π γ
+ +
+− = + −
− − − −∫ ∫ , 
con w = –αU∞ en todo el ala. Dividiendo por a queda 
B' B
B'
2 2 2 2
0 00
d d( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
o o
ba o cr o
u
U
η η
η
η ηπ ξ η γ
α ξ ξ η η ξ ξ η η
+
∞
= + −
− − − −∫ ∫ 
ξ 
y 
ξ0 
b 
b 
b(x) 
1 
U∞ 
AERODINÁMICA II S-7
con ( )B'
1 5
4
η ξ= − , ( )B
1 5 3
8
η ξ= + , ( ) 0ba oξ η = , B'( )cr o oξ η η η= − , y 
3 1tan tan atan
4 5 4
πγ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Si el ala tuviese mayor cuerda las características reflejadas se cruzarían, que dando el esquema de 
manantiales de la segunda figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO S09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Un ala plana de forma en planta rectangular, envergadura b y superficie S, vuela a través del aire 
en calma (de densidad ρ) con velocidad U∞ y ángulo de ataque α << 1. La velocidad inducida a lo 
largo de la huella de la estela del ala en el plano de Trefftz vale w(∞,y,0) = kU∞, donde k es una 
constante (k << 1). Determine la sustentación del ala. 
 
Solución 
En el plano de Trefftz, si fuera un ala elíptica que dejara la misma huella se tendría 
w(∞,y,0) = kU∞ = A1U∞, luego A1 = k, y cL = πΛA1/2 = πb
2A1/(2S) = πb2k/(2S), por tanto 
2 2 21
2 L
L U Sc U b kρ πρ∞ ∞= = 
 
EJERCICIO S10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● En la figura se ha representado la forma en 
planta genérica de una familia de alas planas 
esbeltas (ε << 1). Supuesto que vuelan a 
través del aire en calma con ángulo de 
ataque α << 1, determine la sustentación y la 
posición del centro de presiones en los casos 
k = 2, 1, 0 y –1. 
 
Solución 
Cuando –1 ≤ k ≤ 0 la zona posterior del ala 
(1/2 ≤ x/l ≤ 1) no sustenta pues db/dx ≤ 0, entonces 
( )221
4
F U lαρ ε∞= , xCP = l/3. 
(+) 
(–)
η 
ξ 
U∞ 
ξ 
η η = 1 + 3ξ/5 
B' 
B 
A' 
A 
l/2 l/2 
εl(1+k)/2 
εl/2 
x 
y 
AERODINÁMICA II S-8
 
Cuando es k >0 se tiene ( )221
4
F U k lαρ ε∞= ,y el momento respecto a (0,0) es 
( ) ( )
/ 2
2 22
0 1 2
0 / 2
d d( ) d ( ) d
d d
l l
l
M U x b x x x b x x
x x
αρ ∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − + +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , 
con 1( )b x xε= y ( )2
1( ) 1
2
b x k x l kε ε= + − . En el caso k = 1 el ala es triangular y por tanto 
xCP = 2l/3, mientras que para k = 2 resulta xCP = 20l/27. 
 
EJERCICIO S11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere la familia de alas planas esbeltas, de cuerda máxima l y de sección final 2b0 cuya 
forma en planta está dada por la expresión 
 0 (2 )( ) ; / ,
2 1
b kb x l
k
ξ ξξ ξ−= =
−
 0 ≤ ξ ≤ 1, 
dondeb(ξ) es la semienvergadura en la sección ξ = constante. El parámetro de la familia toma 
valores en el intervalo 2/3 ≤ k ≤ 2. Se pide 
1) Calcule la posición del centro de presiones en función del parámetro k de la familia. 
2) Determine la posición del centro de presiones en el ala de la familia que tiene borde de salida 
estacionario. 
 
Solución 
Como es bien sabido, un ala esbelta sólo sustenta en la parte del ala donde db(ξ)/dξ > 0; así pues, de 
db(ξ)/dξ = 0 resulta ξmax = k, siendo ξmax el punto donde b(ξ) alcanza su valor máximo, que es: 
 1) 
2
0
max 2 1
b kb
k
=
−
 si k ≤ 1 (en este caso el ala sólo sustenta en el intervalo 0 ≤ ξ ≤ k) 
 2) bmax = b0 si k ≥ 1 (ahora sustenta toda la superficie del ala, 0 ≤ ξ ≤ 1) 
Por tanto, será: 
 ( )
max
2
max 2
max 0
1 dcp bb
ξ
ξ ξ ξ ξ= − ∫ , 
donde ξcp es la posición del centro de presiones, resultando 
 ( )224
0
1 72 d
15
k
cp
kk k
k
ξ ξ ξ ξ= − − =∫ , en el caso 1) y 
 
( )
( )
( )
1 222
2 2
0
1 20 15 31 2 d 1
2 1 15 2 1
cp
k kk
k k
ξ ξ ξ ξ − += − − = −
− −∫ , en el caso 2). 
Obviamente para el borde de salida estacionario es ξcp =7k/15, con k = 1. 
 
 
EJERCICIO S12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Calcule la sustentación producida por un ala esbelta 
de forma en planta triangular cuyas secciones al cortar 
por planos y = constante son arcos de circunferencia 
(figura S12-1), de modo que el ala está recortada 
sobre un cilindro circular de radio R (véase la figura 
S12-2). 
 
 
Plano ω = t−tg 
αU∞ 
Fig. S12-1 
AERODINÁMICA II S-9
Solución 
Una vez definido el problema en el plano ω (un arco de circulo con los extremos en (−b,0) y (b,0) y 
su punto medio en (0,kb), la transformación de Yukovski, 2 /(4 )bω τ τ= + , convierte el contorno 
inicial en una circunferencia de centro en (0, kb/2) y radio R = (1+k2)½b/2 y sometida a una 
corriente incidente de intensidad αU∞ paralela al eje z. El potencial complejo en el plano τ es: 
 
2
i
i 2
RU
kb
α τ
τ∞
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 
de forma que en el plano ω el potencial complejo de perturbación vale: 
 
2
( ) i i
i 2
Rf U U
kb
ω α τ α ω
τ∞ ∞
⎛ ⎞
= − − +⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 
Para calcular el residuo de f(ω), que es igual al residuo del problema escrito en la variable t, se 
calcula el residuo de cada uno de los tres sumandos que aparecen en el segundo miembro de esta 
expresión. Así pues: 
 τ ω
ω
ω
ω
ω
ω
= + −
F
HG
I
KJ
= − +
F
HG
I
KJ = − +
1
2
1 1 1
2
2
2 4
2
2
2
2
2b b b... .. ., 
 
2 2 2
2 ...ii 2 ...
2 4
R R R
kb bkbτ ωω
ω
= = +
− − − +
, 
de modo que 
 
2 2
( ) i ...
4
b Rf Uω α ω ω
ω ω∞
⎛ ⎞
= − − − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
En consecuencia el residuo vale: 
 
2 2
2 2
1
2i i
4 4
b ka U R U bα α∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+
= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
y la fuerza vertical sobre el ala: 
 
2
2 2
12π 1 π .2
kF a U U bρ αρ∞ ∞ ∞ ∞
⎛ ⎞
= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Como se ve en el límite de k<<1 la sustentación no cambia (en primer orden) con respecto de la que 
habría con k=0. 
 
Cálculo de la posición del centro 
 kb f R b
f R
f R kb f R b= + −
+
+ − + − =( ) , ( )
2
2
2
4 4
0a f a f 
 kb f R b
f R
f R kb f R b= − −
−
− − − − =( ) , ( )
2
2
2
4 4
0a f a f 
Restando 
 f R f R kbR f R f R f R f R kbR fR kbR+ − − − = + + − + − − − = − =a f a f a f a fb g a f a fb g2 2 2 2 4 2 0 
y por tanto f=kb/2. 
 
 
 
 
 
 
Fig. S12-2 
AERODINÁMICA II S-10
EJERCICIO S13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de 
velocidad U∞, presión p∞ y densidad ρ∞. El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l 
de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios 
de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez 
de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos: 
Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. 
Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, 
E = 1−Um/U∞,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función de 
le /d. Um es la velocidad medida, definida como [ ]1/ 22( ) /m o eU p p ρ∞= − , y po es la presión de 
remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la 
nariz. 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es: 
 
( ) 0
( ) ( )( , ) 2 ( ) ln d
2
l
r f x fx r f x
xx l x
ξϕ ξ
ξ
−
= − −
−− ∫ , con 
d( )
4 d
Uf x
xπ
∞= −
S . 
Como ( )( ) 2
2
dr x x l x
l
= − en 0 ≤ x ≤ l, y r(x) = d/2 en x ≥ l, resulta ( )
2
2( ) 8
U df x l x
l
∞= − − o 
f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l. 
 
Cuando 0 ≤ x ≤ l se tiene: ( )
( )
2
2
0
( , ) 2 ln d
8 2
l
U d r xx r l x
xl x l x
ξϕ ξ
ξ
∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥= − −
−⎢ ⎥−⎣ ⎦
∫ , (1) 
y cuando x ≥ l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 
2
2
0
( , ) d
8
l
U d lx r
xl
ξϕ ξ
ξ
∞ −= −
−∫ , y como 
( )
2
0 0
d 1 d ln 1
2
l l
l l x l ll l x
x x x x
ξ ξ ξ
ξ ξ
⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= + = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ , se obtiene 
2
16
U d
x
ϕ ∞= − , de modo que 
2
216x
U d
x
ϕ ∞= y por tanto 
2 2
2 2
2
8 8
x
pe
e
d dc
U x l
ϕ
∞
= − = − = − . El error es 
2
21 1 16pe e
dE c
l
= − − − . 
 
Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta 
que
0 0
d d d 2
l x l
x
x x l
x
ξ ξ ξ ξ
ξ
−
= − = −
−∫ ∫ ∫ , se tiene ( ) ( )
2
2( , ) 2 ln 28 2
U d rx r l x l x
l x l x
ϕ ∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − + −
⎢ ⎥−⎣ ⎦
, y 
de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida. 
r 
x 
l 
e 
U∞ 
p∞ 
ρ∞ 
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, indique las 
integrales que se deberían calcular (especificando claramente el integrando y los límites de 
integración) para determinar el valor de la velocidad horizontal de perturbación en el extradós del 
ala plana cuya forma en planta está representada en la figura, que vuela con ángulo de ataque α<<1 
y número de Mach 2M∞ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( )3
I 2
22( )
1 dπ
( )2
y x
o
oy x
o
Uu y
yx y y
α
+
∞
−
−= −
 − − − 
 
∫ 
 
 
2( )0 3
II 2 2
2 22 0( )3
1 1d dπ π
( ) ( )2 2
y x
o o
o oy x o o
U Uu y y
y yx y y x y y
α α
+
∞ ∞
−
− −= − −
   + − − − − −   
   
∫ ∫ 
 
2(4 )
III 2
22( )
1 dπ
( )2
c x y
o
oy x
o
Uu y
yx y y
α
− −
∞
−
−= −
 − − − 
 
∫ 
 
2(4 )0
IV 2 2
2 22 0( )3
1 1d dπ π
( ) ( )2 2
c x y
o o
o oy x o o
U Uu y y
y yx y y x y y
α α
− −
∞ ∞
−
− −= − −
   + − − − − −   
   
∫ ∫ 
M∞ 
I 
M∞ 
II
M∞ 
III
M∞ 
IV
 
G:\users\6 libros\0 viejos\07 AII\a edicion 1\cap_2_alas_sup\Evvard_Krasish_final.doc 
1
Fórmula de Evvard-Krasílshchikova 
1 2
1 2( , ,0 ) d d d d
o o o
o o o o
S S S
w w w
x y x y y y I I
r r r
 

        
para calcular la componente u de velocidad de perturbación hay que derivar respecto de x, 
consideramos dos sumandos, u1 y u2, que corresponden a las contribuciones de las áreas S1 y S2 
respectivamente 
1 1 d d
B H
A ba
xy
o
o o
y x
w
u I y x
x x r

 
        
  
  
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
d d ( ) d ( ) d
B H H B H A
A ba ba B ba A
y x x x y x y
o o o
o o B o A o
y x x x y x y
a a
w w w
y x y x x y x x
x r r r
 


   
    
 
2 2 d d
B H
B R
y x
o
o o
y x
w
u I y x
x x r


 
      
    
  
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
d d ( ) d ( ) d
B H B H B H B
B R B R B R B
y x x y x y x y
o o o
o o B o B o
y x x y x y x y
b b
w w w
y x y x x y x x
x r r r

 

   
    
Las integrales 2a (en u1, donde ( ) ( )ba A H Ax y x y ) y 1b (en u2, donde ( ) ( )H B R Bx y x y ) son nulas 
y la 1a y 2b se cancelan entre sí (tienen el mismo límite superior e inferior en B’, 
( ) ( )ba B R Bx y x y  . En u1 queda un término que es equivalentea aplicar la fórmula de Evvard a la 
región S1 
1
1
d d
B H
o baA ba
y x
o o
o o
x xy x
w w
u y x
r x r



 
   
  
  
En cuanto al término que queda en u2, no se puede aplicar la fórmula de Evvard directamente pues 
la posición de la característica R no permanece fija sino que es función de x 
0 0
0 0
2 0
0 0
0
d d
1
d d
B H
H RB R
B H
R RB R
y x
o o oH R
o
x x x xy x
y x
o o oR
x x x xy x
w w wx x
u y x
x r x r x r
w w wx
y x
r x r x r



 
 
               
  
   
   
 
 
 
donde se ha tenido en cuenta que 1H
x
x



 , 
o
r r
x x
 
 
 
, y que se cancelan los términos en 
0
0
Hx x
w
r

. 
En realidad es la fórmula de Evvard más un término adicional, el tercero, que es una integral de 
línea a lo largo de la característica reflejada R multiplicada por el factor R
x
x


, el límite de la 
relación entre ΔxR y Δx cuando Δx tiende a cero, donde ΔxR es el desplazamiento de la característica 
reflejada R al mover el punto P una distancia Δx según el eje x. Finalmente se obtiene 
 
0
0 0 0
1 2 0 0 0 0
0
1
d 1 d d d
B B
A Bba
y y
R
y yx x
w w wx
u u u y y x y
r x r x r
  


              
 
G:\users\6 libros\0 viejos\07 AII\a edicion 1\cap_2_alas_sup\Evvard_Krasish_final.doc 
2
 
 
 
Nota 
0 0
0
0
0
0 0 0
2 0 0
0 0
0
0 0
0
d d
1
d d
1
d d
B H
H RB R
B H
HB R
R
H H
R H RR
y x
o o oH R
x x x xy x
y x
o oR
o
x xy x x x
x x x
o o o oR
x x x x x xx
w w wx x
u y x
x r x r x r
w wx
y w x
x r r x r
w w w wx
y x
r x r r x r



 
 

  
               
             
  
    
  
 
 

0 0
0 0
0
1
d d
B
B
B H
R RB R
y
y
y x
o o oR
x x x xy x
w w wx
y x
r x r x r

  


 
   
   

 
 
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
COMENTARIOS SOBRE ALAS ESBELTAS 
 
La teoría de ala esbeltas expuesta es válida para alas de pequeño alargamiento que vuelan a ángulos de 
ataque pequeños. No es de esperar por tanto que los resultados que proporciona esta teoría sean 
correctos si falla alguno de los condicionantes señalados. Por ejemplo, en la figura 4.18 se muestra la 
variación con el ángulo de ataque del coeficiente de sustentación y del coeficiente de momento 
respecto al vértice de un ala delta de alargamiento Λ = 0.75 medida en régimen supersónico a número 
de Mach M∞ = 1.75. Hay que decir que el ala tiene intradós plano pero también cierto espesor, lo que 
implica también cierto efecto de curvatura en los cortes del ala por planos x = constante, razón por la 
cual, para ajustar mejor a los datos experimentales, las rectas del coeficiente de sustentación y del 
coeficiente de momento no pasan por el origen y aparecen en el grafico levemente desplazadas. El 
acuerdo entre teoría y experimentos es bastante bueno en el intervalo de ángulos de ataque 
considerado, si bien se observa que para |α| > 1.5º (0.03 radianes), las diferencias empiezan a ser 
apreciables. El intervalo de validez es limitado, estando en 5º ó 7º el límite superior del ángulo de 
ataque para el que la aproximación teórica es aceptable. 
 
Fig. 4.18. Variación con el ángulo de ataque, a, del coeficiente 
de sustentación, cL, y del coeficiente de momento, cMy, de un 
ala esbelta plana de forma en planta triangular (ala delta). De 
Jones (1946). 
 
Respecto a la influencia del alargamiento, el rango de validez 
de los resultados teóricos queda claramente expuesto en la 
figura 4.20, donde se comparan datos experimentales relativos 
a la dependencia de la pendiente de la curva de coeficiente de 
sustentación del ala con el alargamiento, con la predicción de 
la teoría de alas esbeltas, dcL/dα = πΛ/2. Como se puede 
apreciar el acuerdo entre teoría potencial y resultados medidos 
en túnel es excelente hasta valores de la esbeltez de orden 
unidad, pero las discrepancias resultan demasiado grandes para valores de la esbeltez mayores (para 
Λ = 2 la predicción teórica es casi un 50% superior a los resultados experimentales). 
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
-2 -1 0 1 2
α [º] 
cMy 
cL 
 
Fig. 4.20. Variación con la esbeltez, Λ, de la pendiente 
de la curva de sustentación, dcL/dα, de alas esbeltas 
planas de forma en planta triangular. La línea continua 
corresponde expresión, dcL/dα = πΛ/2, los símbolos 
representan resultados experimentales de dos fuentes 
distintas y la línea de trazos la curva de ajuste de los 
datos experimentales. Los datos experimentales son de 
Ashley & Landahl (1985). 
 
Finalmente en las figuras 4.22, 4.23 y 4.24 se presentan 
los resultados medidos en el túnel A9 de IDR/UPM con 
un ala esbelta como la definida en la figura 4.21. Para 
estos ensayos se ha empleado el método de las imágenes, de modo que en realidad sólo se ensaya 
media ala montada perpendicularmente a una placa plana de forma circular que actúa como superficie 
aerodinámicamente especular. Ala y chapa especular están separadas de la pared del túnel para evitar 
que la capa límite de este incida sobre el ala, Entre la chapa especular y le pared del túnel existe un 
cuerpo carenado que permite que el ala, articulada a la chapa especular en el morro, se pueda ocultar 
en el cuerpo carenado, variando así la porción de ala expuesta a la corriente, definida por el ángulo θm 
(o por la flecha del borde de ataque, σ = π/2 – θm), y por tanto su envergadura. Las tomas están 
 1
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
dispuestas a lo largo de tres arcos de circunferencia con centro en el morro del ala, cuyos radios valen 
0.50L, 0.65L y 0.80L, con L = 0.5 m. La separación angular entre dos tomas adyacentes en un mismo 
arco es ∆θ = 40/26 grados (1.5385º) o un múltiplo de este ángulo. 
 
Se han ensayado tres alas con flechas diferentes, correspondientes a los valores σ = 60º (θm = 30º), 
σ = 50º (θm = 40º), y σ = 40º (θm = 50º), que equivalen a valores de la esbeltez de 1.91, 2.37 y 2.69, 
respectivamente, habiéndose medido las distribuciones de presión sobre extradós e intradós de cada ala 
para valores del ángulo de ataque de 0º a 20º en incrementos de 2º. 
 
Fig. 4.21. Definición del modelo de ala 
empleado en los ensayos de medida del 
coeficiente de presión en el túnel A9 de 
IDR/UPM. La línea A-A´ representa el plano 
especular. Las tomas están dispuestas sobre 
arcos de circunferencia en los radios indicados, 
equiespaciadas angularmente. 
 
Para comparar los coeficientes de presión 
medidos con los que proporciona la teoría 
potencial linealizada de alas esbeltas es preciso 
considerar que aquí sí se deben retener los términos cuadráticos en la expresión del coeficiente de 
presión al calcular éste, que se cancelan en el cálculo del coeficiente de sustentación; calculando la 
velocidad conjugada en cada plano x = constante se tiene 
 
2 2
d ( ) i i
d ( )
Cf t tv w U
t b x t
α ∞
⎛ ⎞
⎜= − =
⎜ −⎝ ⎠
∓ ⎟
⎟
, (4.1) 
de modo que sobre el ala es 
 
2
,
( )
c c yw U v U
z y b x y2
ϕ ϕ
α α∞ ∞
∂ ∂
= = − = =
∂ ∂ −
∓ , (4.2) 
y así, el coeficiente de presión sobre el ala vale 
 
2
2
22 2
d ( )( )
d( , ) 2 1
( )( )
p
b xb x yxc x y
b x yb x y
α α
⎛ ⎞
= + +⎜
−− ⎝ ⎠
∓ 2 ⎟ . (4.3) 
Según se puede apreciar en las figuras 4.22, 4.23 y 4.24, el acuerdo entre los resultados teóricos y 
experimentales es bueno si el ángulo de ataque es pequeño, independientemente de la flecha del ala, 
siendo mejor la concordancia entre teoría y experimentos en el extradós del ala que en el intradós. Ello 
es debido a que en cada sección x = constante del extradós del ala aparece un pico de succión a lo largo 
del borde de ataque mientras que en el intradós lo que se tiene es un punto de remanso. Obviamente 
para alas como las ensayadas, donde db(x)/dx es constante, la expresión (4.3) indica que en términos 
de la variable y/b(x) (en cierto sentido equivalente a la variable θ/θm empleada para representarlos 
resultados medidos) los resultados teóricos no dependen de la sección x considerada. Ciertamente esto 
es no es así en los resultados experimentales, donde se observa una dependencia de los valores de los 
coeficientes de presión con la distancia al vértice del ala, debida sin duda a los cada vez más 
importantes efectos asociados al crecimiento de la capa límite. 
 
Es importante observar que conforme aumenta el ángulo de ataque la solución experimental cerca del 
borde de ataque se modifica debido a la formación del torbellino característico de estas alas a ángulos 
de ataque elevados. Esto se manifiesta en las medidas por la presencia de una zona próxima al borde 
donde el coeficiente de presión en vez de crecer se mantiene constante o incluso disminuye muy cerca 
del borde del ala. El torbellino aparece para ángulos de ataque tanto menores cuanto mayor es la flecha 
 2
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
(alas más esbeltas). Como el torbellino va creciendo en tamaño con la distancia al vértice del ala, a la 
par que su núcleo se va separando del extradós del ala, es lógico que para alas más esbeltas (figura 
4.22) las cargas de presión sean más intensas y 
repartidas en una zona menor cuanto más cerca 
se esté del vértice del ala; es ilustrativo comparar 
el comportamiento que muestran los datos 
experimentales correspondientes al extradós en la 
figura 4.22 para α = 12º y α = 16º: el torbellino 
ha ido creciendo en intensidad como era de 
esperar, y la intensidad del pico de succión 
aumenta con el ángulo de ataque. 
 
 
Fig. 4.22. Distribuciones de coeficiente de 
presión, cp, medidas a lo largo de arcos de 
circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós 
de un ala con forma de sector circular tal como la 
representada en la figura 4.21. Los resultados 
corresponden a un ala de flecha σ = 60º y 
alargamiento Λ = 1.91; los símbolos identifican 
el radio del arco de circunferencia donde están 
dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente 
clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) 
y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a 
los resultados de la teoría potencial linealizada de 
alas esbeltas (expresión (4.3)) 
 
Fig. 4.23. Distribuciones de coeficiente de 
presión, cp, medidas a lo largo de arcos de 
circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós 
de un ala con forma de sector circular tal como la 
representada en la figura 4.21. Los resultados 
corresponden a un ala de flecha σ = 50º y 
alargamiento Λ = 2.37; los símbolos identifican 
el radio del arco de circunferencia donde están 
dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente 
clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) 
y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a 
los resultados de la teoría potencial linealizada de 
alas esbeltas (expresión (4.3)). 
 
Al disminuir la flecha la aparición del torbellino 
de borde de ataque se retrasa, aparece para 
ángulos de ataque mayores (figuras 4.23 y 4.24), 
y el comportamiento se asemeja cada vez más al 
de las alas de alargamiento grande: existe 
desprendimiento de la capa límite en el borde de 
ataque, ya que el ala es de pequeño espesor y el 
radio de curvatura en el borde también lo es, pero ahora los efectos de barrido de la capa límite hacia el 
borde son menores y el aumento del valor del ángulo de ataque se traduce en un notable crecimiento de 
la zona desprendida. 
0 0.4 0.8 0 0.4 0.8
0 
2 
0 
2 
0 
θ
2 
/θm θ/θm
cp 
α = 2º α = 8º 
cp 
cp 
α = 4º 
α = 6º 
α = 12º 
α = 16º 
= 60º σ
0 
2 
0 0.4 0.8 0 0.4 0.8
0 
2 
0 
2 
θ/θm θ/θm
cp 
α = 2º α = 8º 
cp 
cp 
α = 4º 
α = 6º 
α = 12º 
α = 16º 
σ = 50º 
 3
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
 
Fig. 4.24. Distribuciones de coeficiente de 
presión, cp, medidas a lo largo de arcos de 
circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós 
de un ala con forma de sector circular tal como la 
representada en la figura 4.21. Los resultados 
corresponden a un ala de flecha σ = 40º y 
alargamiento Λ = 2.69; los símbolos identifican 
el radio del arco de circunferencia donde están 
dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente 
clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) 
y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a 
los resultados de la teoría potencial linealizada de 
alas esbeltas (expresión (4.3)). 
 
A la vista de los diferentes resultados 
experimentales es claro que la teoría potencial 
linealizada de alas esbeltas tiene un rango de 
ángulos de ataque de validez muy limitado, entre 
–5º y 5º aproximadamente. No es de esperar por 
tanto que esta teoría sirva para explicar el 
comportamiento aerodinámico de las alas esbeltas 
en entornos de maniobra reales, donde en 
ocasiones es preciso volar con ángulos de ataque 
grandes. Si se tiene en cuenta que este tipo de alas se emplean, salvo excepciones, en aviones de uso 
militar a los que se exige alta maniobrabilidad, lo que implica respuestas seguras de la aeronave en un 
amplio margen de valores del ángulo de ataque, se entiende que se haya dedicado un esfuerzo 
considerable a la aerodinámica de alas para vuelo a velocidad elevada a altos ángulos de ataque (Rom, 
1992). A grandes rasgos, de acuerdo con este autor, para alas esbeltas sin guiñada se pueden distinguir 
hasta seis regiones de características fluidas distintas según sea el valor del ángulo de ataque: 
0 0.4 0.8 0 0.4 0.8
0 
2 
0 
2 
0 
2 
θ/θm θ/θm
cp 
cp 
cp 
α = 2º 
α = 4º 
α = 6º 
α = 8º 
α = 12º 
α = 16º 
σ = 40º 
 
1- Para valores muy pequeños del ángulo de ataque el flujo sobre el ala es estacionario y la capa límite 
permanece adherida. El coeficiente de sustentación del ala varía linealmente con el ángulo de 
ataque (esta es la zona de validez de la teoría potencial linealizada de alas esbeltas). 
2- Para valores pequeños la variación del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es casi 
lineal, el flujo sigue siendo estacionario, simétrico respecto al plano medio del ala, y aunque la 
capa límite se desprende cerca del borde de ataque, la capa de cortadura se readhiere pronto, 
formando burbujas de recirculación todavía poco importantes. 
3- Cuando el valor del ángulo de ataque se puede calificar de entre moderado y alto, la capa límite está 
claramente desprendida, con formación de dos torbellinos. El flujo continúa siendo simétrico y 
estacionario, y la variación del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es 
marcadamente no lineal. 
4- Si los valores del ángulo de ataque son grandes la característica que diferencia el flujo del descrito 
en el punto 3 es la aparición de asimetrías en la configuración turbillonaria. Por supuesto la 
dependencia de la sustentación con el ángulo de ataque sigue siendo no lineal. 
5- Para valores todavía mayores se produce la rotura o explosión de los torbellinos ligados a los bordes 
del ala, lo que genera la pérdida de sustentación y la aparición de condiciones no estacionarias en el 
flujo. 
6- A valores muy elevados del ángulo de ataque la corriente está completamente desprendida en el 
extradós, lo que da lugar a una estela turbillonaria no estacionaria. En este rango de valores el ala 
está en pérdida. 
 
 4
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
TORBELLINOS DE BORDE DE ATAQUE EN ALAS ESBELTAS 
 
Como se ha dicho, las alas en delta con bordes de ataque subsónicos para vuelo supersónico son una 
solución con notables ventajas desde el punto de vista aerodinámico y estructural, pues dichas alas 
generan al lo largo del borde de ataque fuerzas de succión que disminuyen la resistencia aerodinámica 
de la aeronave. Sin embargo estas alas ofrecen características aerodinámicas aparentemente pobres a 
bajas velocidades, pues a bajas velocidades el ángulo de ataque ha de ser elevado, lo que trae consigo 
el desprendimiento de la capa límite cerca del borde de ataque del ala, situación que ocurre incluso 
para valores no demasiado altos de este ángulo. Esta desventaja, el desprendimiento de la capa límite, 
essólo aparente, pues normalmente el desprendimiento de la capa límite viene acompañado con la 
posterior readhesión de la capa de cortadura resultante, dando lugar a la aparición de torbellinos que 
discurren paralelamente a los bordes de ataque del ala, cuyo efecto es beneficioso si el flujo resultante 
resulta ser estable y controlable. Ciertamente la formación de estos torbellinos va aparejada de un 
aumento de la resistencia a causa de la disminución de la succión de borde de ataque, efecto hasta 
cierto punto compensado por el aumento de sustentación generado por el pico de succión ocasionado 
por los torbellinos. 
 
En la figura 4.27 se presenta el esquema de la sección de un torbellino de borde de ataque, donde se 
suelen distinguir tres regiones diferentes. Existe una capa de cortadura que alimenta al núcleo 
rotacional, capa que se inicia en el borde de ataque y cuyo espesor crece con la distancia a dicho borde; 
existe también un núcleo rotacional cuyo diámetro viene a ser del orden del 30% del tamaño del 
torbellino, donde la vorticidad se supone distribuida de forma continua, y finalmente está el sub-núcleo 
viscoso, con dimensiones típicas del orden del 5% del tamaño del torbellino, en el los gradientes de 
presión (de remanso y estática) y de velocidad son muy acusados. El sub-núcleo viscoso gira como un 
sólido rígido, alcanzando su velocidad axial hasta el triple del valor de la velocidad de la corriente 
incidente. 
 
Fig. 4.27. Esquema de la sección de un torbellino de 
borde de ataque. C) capa de cortadura, R) núcleo 
rotacional, y V) sub-núcleo viscoso; de Nelson & 
Pelletier (2003). 
C R 
V 
 
Un ejemplo típico de ala delta diseñada con el criterio 
de aprovechar los torbellinos de borde de ataque es la 
del Concorde (figura 4.28), la única aeronave 
supersónica de uso civil en servicio durante varias 
décadas. En régimen subsónico bajo (en las 
maniobras de despegue y aterrizaje) la configuración 
fluida sobre las alas del Concorde está fuertemente condicionada por dos intensos torbellinos de borde 
de ataque, muy estables, mientras que en régimen de vuelo supersónico, donde no son precisos valores 
altos del coeficiente de sustentación y el ángulo de ataque es por tanto pequeño, la corriente permanece 
adherida sobre el ala, normalmente sin ondas de choque. 
 
Fig. 4.28. Avión Concorde 
 
Otro tipo de aeronaves donde las alas en delta tienen una 
amplia aplicación es en los aviones de combate. En los 
primeros aviones supersónicos de uso militar equipados 
con este tipo de alas el mayor interés estuvo en mejorar 
sus características de vuelo en supersónico, de modo que 
fueron equipados con alas delta con bordes de ataque 
angulosos. Sin embargo muchas de estas aeronaves 
 5
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
presentaban prestaciones demasiado pobres en las maniobras realizadas a menores velocidades, en los 
regímenes subsónico y transónico, así como en las de despegue y aterrizaje, y en general en todas 
aquellas en las que eran necesarios ángulos de ataque elevados, siendo la razón de este 
comportamiento que tales alas no fueron diseñadas para utilizar los posibles efectos beneficiosos que 
indefectiblemente aparecen cerca del borde de ataque al aumentar el valor del ángulo de ataque. 
 
Con los años se hizo necesario aumentar las prestaciones de los aviones de combate en los regímenes 
subsónico y transónico, sin reducir, por supuesto, de forma apreciable las prestaciones de las aeronaves 
en vuelo supersónico. Fue entonces cuando, en los años setenta, cuando se incorporan al diseño 
dispositivos como los llamados extensiones de borde ataque (EBA, o en inglés Leading Edge 
Extensions, LEX), que son prolongaciones sustentadoras de las alas que nacen del fuselaje con flechas 
muy elevadas (figura 4.29). La finalidad de estas extensiones es la generación de torbellinos para 
estabilizar el flujo en el extradós del ala hasta valores muy elevados del ángulo de ataque. También se 
suelen añadir flaps de borde de ataque cuya deflexión ayuda a mantener la succión de borde de ataque 
y mantener acotada la resistencia aerodinámica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.29. Dos aeronaves de uso militar equipadas con alas en delta modificadas con los dispositivos 
conocidos como extensiones de borde de ataque: F-16 a la izquierda y Su-27 a la derecha. 
 
Así pues, el diseño de las alas de los aviones de combate está condicionado por muchos aspectos que 
implican limitaciones, como se esboza en la figura 4.30 para el caso de una ala típica de avión de 
combate, destacando la necesidad de valores altos del coeficiente de sustentación (lo que implica 
valores elevados del ángulo de ataque) en subsónico y transónico, y valores moderados de tal 
coeficiente en supersónico. En la figura 4.30 se indican también los diferentes tipos de flujo sobre el 
ala, desde capa límite completamente adherida en el extradós del ala hasta corriente totalmente 
desprendida, y en cada caso con y sin ondas de choque. Sea cual sea el caso el comportamiento de las 
alas en delta depende fuertemente de la aparición de los torbellinos de borde de ataque, lo que 
combinado con la existencia o no de ondas de choque da lugar a una amplia variedad de 
configuraciones fluidas sobre el ala (véase, por ejemplo, Yegna Narayan & Seshadri, 1996). 
 
Fig. 4.30. Situaciones de 
diseño a considerar en el plano 
ángulo de ataque, α, versus 
número de Mach de vuelo, M, 
en el proceso de diseño de un 
ala para un avión supersónico 
de combate, de Yegna Narayan 
& Seshadri (1996). 
 
Cuando el valor del ángulo de 
ataque de un ala en delta es 
muy elevado, α > 20º, el eje 
del torbellino de borde de 
 6
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
ataque conforme se aleja del vértice del ala lo hace también del extradós, en dirección perpendicular al 
plano del ala. A estos valores elevados del ángulo de ataque suele ocurrir además que, transcurrida una 
cierta distancia desde su nacimiento, el torbellino pierda su estructura regular y hasta cierto punto 
ordenada. Inicialmente el torbellino se percibe con una estructura fluida estable, de forma casi 
cilíndrica (el torbellino crece en sentido radial lentamente), con un núcleo o eje rectilíneo alrededor del 
cual se produce el movimiento de las partículas fluidas, con distribuciones de velocidades axiales, 
radiales y tangenciales bien definidas. Sin embargo, es frecuente que tras recorrer una cierta distancia, 
bajo condiciones que son bien conocidas pero de acuerdo con un mecanismo todavía no comprendido 
plenamente, el movimiento de giro relativamente lento de las partículas fluidas alrededor del núcleo se 
transforme súbitamente en otra estructura fluida de tamaño mucho mayor, dando lugar a un 
movimiento altamente fluctuante (figura 4.31) en el que tanto la velocidad de giro como la longitudinal 
se reducen drásticamente en la parte central del flujo turbillonario. Al producirse esta expansión el 
tamaño de la zona disipativa del flujo aumenta, afectando al resto del flujo sobre el cuerpo, y dado que 
los efectos disipativos aumentan lo hacen en consecuencia las pérdidas. Este fenómeno de transición es 
conocido como crisis o colapso del torbellino (en inglés vortex breakdown) y su existencia puede tener 
efectos perniciosos o beneficiosos sobre la aerodinámica del ala dependiendo de su aplicación. Por ello 
se ha dedicado bastante esfuerzo para entender y controlar el fenómeno de la crisis turbillonaria, bien 
para prevenir su ocurrencia o bien para provocarla, habiéndose dedicado desde los años cincuenta 
considerables recursos para poder disponer de técnicas de control del flujo sobre el ala capaces de 
alterar el punto donde se produce el colapso del torbellino en alas en delta que vuelan a ángulos de 
ataque elevados. 
 
Fig, 4.31. Visualización en túnel hidrodinámico de los 
torbellinos de borde de ataque sobre un ala en delta a 
ángulo de ataque elevado. Como se observa, cerca del borde 
de salida del ala se pierde la forma regular del torbellino,apareciendo otra estructura turbillonaria de tamaño bastante 
mayor. La transición de una a otra estructura del torbellino 
es conocida como crisis o colapso del torbellino; de 
Mitchell & Délery (2001) 
 
Aunque hay muchas teorías que con mayor o menor acierto 
explican el fenómeno del colapso turbillonario, ninguna está completamente aceptada. Desde el punto 
de vista experimental mucha de la información disponible proviene de ensayos con torbellinos aislados 
en el interior de tubos, y de estos ensayos ha sido posible identificar una amplísima variedad de 
tipologías en el colapso de torbellinos. Si se trata específicamente de alas esbeltas en delta a ángulos de 
ataque elevados, la variedad se reduce, siendo posible identificar dos tipos básicos de crisis 
turbillonaria, conocidos como crisis turbillonaria de burbuja y de espiral, representando cada uno los 
extremos de un conjunto de tipos de colapso que varía de modo continuo de uno a otro. En la figura 
4.32-A se presenta un esquema de la crisis de torbellino del tipo de burbuja; el núcleo del torbellino 
parece expandirse y abrirse sobre una superficie de forma ovalada, dando lugar posteriormente a 
anillos turbillonarios que se alejan convectivamente corriente abajo. En el modo espiral (figura 4.32-B) 
el núcleo turbillonario no se dispersa, sino que inicia un movimiento espiral adoptando una forma 
parecida a la de un sacacorchos. Hay que decir que lo normal es que el tipo espiral evolucione 
rápidamente hacia el de burbuja. 
 
Fig. 4.32. Esquemas de la forma del núcleo turbillonario durante el 
fenómeno de la crisis del torbellino en los casos de A) transición de tipo 
burbuja y anillos turbillonarios, y B) transición con deformación del 
núcleo en espiral; esquemas dibujados según la información disponible en 
Rom (1992). 
 
 7
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
Parece bien establecido que la crisis turbillonaria depende básicamente de la relación entre los perfiles 
de velocidad tangencial, Vθ, y los de velocidad axial, Va, de manera que para evitar que este fenómeno 
de crisis ocurra en ningún punto del torbellino el cociente Vθ/Va ha de ser mayor de un cierto valor 
crítico situado en torno a 1.3, esto significa que el ángulo de la hélice del torbellino, γ = tan–1(Vθ/Va) no 
debe ser superior a 50º, y si por cualquier circunstancia se sobrepasa este valor, γ > 50º, se produce el 
colapso del torbellino (Mitchell & Délery, 2001). Esta respuesta del torbellino resulta condicionada 
también por el campo de presiones que el torbellino encuentra durante su avance; un gradiente de 
presiones adverso puede adelantar la aparición de la crisis, pues un gradiente tal actúa 
fundamentalmente sobre la componente axial de la velocidad , frenándola, de modo que el cociente 
Vθ/Va aumenta. En sentido contrario, un gradiente favorable tiene un efecto estabilizador, pudiendo 
incluso, si ya ha ocurrido la crisis turbillonaria, forzar la posterior reordenación del flujo y formación 
de un torbellino regular. 
 
Respecto a los parámetros de forma del ala y de la actitud de la misma, en la figura 4.33 se presenta la 
variación con el ángulo de ataque del punto donde tiene lugar la crisis del torbellino para alas en delta 
sin guiñada pero con diferentes alargamientos, y para un ala de 65º de flecha y varios ángulos de 
guiñada. Para un ángulo de ataque dado, al aumentar la flecha del ala (disminuir por tanto el 
alargamiento) el punto donde se produce el colapso turbillonario se retrasa, siendo la explicación que 
el barrido del torbellino hacia el borde de salida es tanto mayor cuanto más grande es la flecha del 
borde de ataque. Con relación a la guiñada, como cuando el ala tiene guiñada es como si un borde de 
ataque disminuye su flecha mientras que el otro la aumenta, es de esperar que la crisis del torbellino se 
presente antes (más cerca del vértice del ala) en el borde de ataque adelantado que en el retrasado; así 
lo indican los datos experimentales representados en la figura 4.33, que muestran un comportamiento 
consistente con los condicionantes geométricos ya que en el borde adelantado el barrido de la corriente 
hacia el borde de salida es menos intenso que el otro borde de ataque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.33. Relación entre el ángulo de ataque del ala, α, y la distancia adimensional hasta el vértice del 
ala, medida paralelamente al eje x, donde se produce la crisis turbillonaria, x/L. Los resultados del 
gráfico A corresponden a alas sin guiñada con distintas flechas, y los del gráfico B a un ala de 65º de 
flecha con diferentes ángulos de guiñada; los datos son de Nelson & Pelletier (2003). 
 
Entre las posibles aplicaciones de la crisis del torbellino está la disipación de los intensos torbellinos 
que emanan de los bordes marginales de las alas de las aeronaves, y en particular de las aeronaves 
comerciales, y también su uso en dispositivos que mejoren el mezclado de aire y combustible en 
cámaras de combustión. Como efectos desfavorables, sobre todo en las alas en delta de aviones de 
combate, hay que contabilizar la pérdida de sustentación unida a la aparición de vibraciones 
 8
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
indeseables, e incluso, dado que el colapso turbillonario raramente se produce simultáneamente en los 
dos torbellinos del ala (uno en cada borde de ataque), la diferencia de sustentación entre una y otra 
semiala induce un momento de balanceo que puede comprometer la estabilidad lateral de la aeronave 
(aunque también se ha sugerido que esta asimetría, de poder ser plenamente controlada, podría ser un 
modo de aumentar la velocidad de maniobra del vehículo). En cualquier caso, dado que la estabilidad 
del torbellino depende principalmente del valor de la relación Vθ/Va, cualquier acción que disminuya la 
componente tangencial o incremente la componente axial es estabilizadora, tendente a retrasar la 
aparición de la crisis del torbellino. 
 
Dado que parece inevitable la formación de torbellinos de borde de ataque en las alas en delta cuando 
el ángulo de incidencia es elevado, los esfuerzos realizados para mejorar las prestaciones de estas alas 
a altos ángulos de ataque se centran en la puesta a punto de dispositivos capaces de fijar por una parte 
la posición del torbellino respecto al borde de ataque del ala, y por otra controlar la aparición del 
fenómeno de la crisis turbillonaria. Tales dispositivos se pueden clasificar en dos grandes grupos: 
neumáticos y mecánicos. En los primeros se actúa sobre el flujo próximo al borde de ataque del ala, 
succionando a través de ranuras o superficies porosas dispuestas a lo largo del borde de ataque, o 
soplando en el borde de salida del ala. Los dispositivos mecánicos consisten principalmente en flaps de 
borde de ataque de distintos tipos (Marchmann, 1981 a, 1981 b; Rao 1979, Rao & Johnson 1981), dos 
de los cuales se muestran en la figura 4.34. Cuando el flap está plegado y el ángulo de ataque es grande 
el torbellino se forma en el extradós del ala, generando una fuerza de sustentación adicional debida a la 
succión del torbellino (normal al plano del ala), si bien en esta situación se pierde en gran medida la 
succión de borde de ataque (en el plano de ataque) existente cuando no se ha formado el torbellino al 
rebordear la corriente el borde de ataque del ala. Al desplegar el flap el torbellino se forma sobre la 
superficie deflectada, de manera que se modifica la dirección de la resultante de la fuerza de succión 
generada por el torbellino, resultando ahora inclinada respecto al plano del ala. 
 
Fig. 4.34. Esquemas de dos tipos diferentes de flaps de borde de 
ataque: flap normal (A) y flap plegado (B); de Rao (1979). 
 
Dentro de los dispositivos mecánicos pueden ser incluidas también 
las extensiones de borde de ataque, cuyo desarrollo se remonta a la 
década de los setenta (Luckring, 1977; Lamar 1980), apéndices del fuselaje con gran ángulo de ataque 
(véase la figura 4.29) cuyo objetivo es la formación de un torbellinoprevio que comunique energía 
cinética al del borde de ataque del ala. En Mitchell & Délery (2001) se puede encontrar una 
descripción detallada del estado del conocimiento en relación con los diferentes dispositivos 
empleados para el control de torbellinos de borde de ataque en alas en delta. 
 
 
INESTABILIDAD DE BALANCEO DE LAS ALAS ESBELTAS 
 
Una inestabilidad de balanceo característica de las alas esbeltas con flechas muy acusadas 
(alargamientos pequeños) es la que se puede llamar de ciclo límite de balanceo (en inglés wing rock). 
Tal inestabilidad está muy estrechamente ligada a los torbellinos de borde de ataque del ala, y aparece 
cuando estos torbellinos tienen un papel dominante en la aerodinámica del ala, como ocurre cuando el 
ala vuela con ángulos de ataque elevados. Lo más llamativo de esta inestabilidad de balanceo es que el 
movimiento de giro alrededor del eje longitudinal del ala permanece acotado; el ala sigue un 
movimiento de vaivén en balanceo y aunque en los extremos de cada ciclo el ángulo de balanceo 
pueda ser muy grande, hasta ±40º, la misma interacción de los torbellinos de borde de ataque con el 
extradós del ala genera los momentos aerodinámicos necesarios para que el fenómeno no sea 
divergente, de manera que el ala gira alternativamente en un sentido y en sentido contrario alrededor 
de su eje longitudinal de simetría. 
 
 9
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
El fenómeno no fue detectado hasta que en los albores y desarrollo inicial de las aeronaves para vuelo 
supersónico se empezó a dotar a estas con alas en gran flecha para aprovechar así las ventajas de los 
bordes de ataque subsónicos. Probablemente la primera aeronave en sufrir este tipo de inestabilidad de 
balaceo fue el avión experimental Handley Page 115 (figura 4.36), provisto de un ala en delta con un 
ángulo de flecha de 75º (Ross, 1972, 1979). Pronto se pudo demostrar que este tipo de movimiento 
indeseado no era únicamente propio de esta aeronave, sino una característica intrínseca de las 
aeronaves con alas en delta y alargamientos pequeños. Hay dos configuraciones de vuelo donde la 
probabilidad de que este fenómeno de vaivén en balanceo aparezca, una es el ciclo límite de balanceo 
que se produce a ángulos de ataque relativamente pequeños en régimen transónico debido al 
desprendimiento y readherencia de la corriente a causa del movimiento oscilatorio del ala, la otra 
configuración ha sido observada principalmente en régimen subsónico con altos valores del ángulo de 
ataque, y se explica generalmente al considerar la interacción dinámica de los torbellinos de borde de 
ataque con el ala (Ericsson, 1995; Guglieri & Quaglotti, 1997; Katz. 1999). 
 
Fig. 4.36. Avión experimental Handley Page 115, 
desarrollado en los años sesenta. 
 
Para analizar el fenómeno del ciclo límite de 
balanceo ligado a los torbellinos de borde de ataque, conviene tener presente la diferente morfología 
del flujo turbillonario sobre el ala según sea el ángulo de ataque, α, y el alargamiento del ala, Λ (o, lo 
que es lo mismo, la flecha σ, pues Λ = 4/tanσ). En la figura 4.37 se muestran las diferentes 
posibilidades en el plano Λ-α para alas en delta sin guiñada, plasmándose en esta figura la experiencia 
adquirida en un buen número de ensayos estáticos en túneles aerodinámicos e hidrodinámicos. Existe 
una amplia región central cuando los ángulos de ataque son pequeños, que se va estrechando conforme 
aumenta el ángulo de ataque, donde los torbellinos de borde de ataque son simétricos respecto al plano 
de simetría del ala. En la parte izquierda del diagrama, para ángulos de ataque grandes, la evidencia 
experimental muestra que la configuración de torbellinos es asimétrica, un torbellino está más cerca 
del ala que otro, lo que afecta a las fuerzas de succión creadas por cada uno de ellos y da lugar a un 
momento de balanceo. En el otro extremo, en la zona de la derecha del diagrama, para alargamientos 
mayores y ángulos de ataque grandes, el flujo sobre el ala se caracteriza por la aparición del colapso o 
crisis turbillonaria, que ocurre tanto más cerca del vértice del ala cuanto mayor es el ángulo de ataque 
(la línea de separación dibujada en la figura 4.37 corresponde a la situación en la que la crisis 
turbillonaria tiene lugar en el borde de salida del ala). 
 
Fig. 4.37. Regiones donde se aprecia 
simetría, asimetría o crisis turbillonaria en 
el plano Λ-α (alargamiento versus ángulo 
de ataque) para el caso de alas en delta sin 
guiñada; de Ericsson (1995) y Katz (1999). 
 
Tomando como referencia los resultados 
estáticos de la figura 4.37, resulta patente 
que para que exista movimiento de 
balanceo del ala ha de haber asimetría en 
los torbellinos de borde de ataque, de 
modo que la sustentación adicional 
generada por uno y otro sea diferente en 
cada semiala. Sin tener en cuenta otros 
efectos distintos de los torbellinos, en la figura 4.38 se muestran distintos esquemas de la 
configuración turbillonaria sobre el extradós de un ala en delta con 80º de flecha y 30º de ángulo de 
ataque. En los esquemas se ha representado la traza del ala al cortar por un plano x = constante, vista 
 10
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
desde el borde de salida, y los torbellinos de borde de ataque; los distintos dibujos corresponden a 
instantes sucesivos dentro de un ciclo de balanceo, de modo que en el instante inicial, t = 0. la semiala 
de la izquierda está subiendo. 
 
Considérese que al inicio del ciclo el ángulo de balance es nulo (φ = 0º), el ala izquierda está subiendo 
y la derecha bajando, en razón de lo cual el torbellino de la izquierda está más próximo al ala que el de 
la derecha; existe por tanto diferente succión en ambas semi-alas, dando lugar a un momento de 
balance que tiende a acentuar todavía más el movimiento. Conforme transcurre el tiempo y el ángulo 
de guiñada aumenta, el torbellino de la derecha se va acercando al ala, mientras que el de la izquierda 
se aleja, y así llega un momento, φ ≈ 45º, en que el torbellino de la derecha está tan cerca del ala (y a la 
vez el torbellino de la izquierda tan lejos) que las fuerzas adicionales sobre el ala debidas a los 
torbellinos dan lugar a un momento de balanceo negativo, de manera que, de ser este momento 
suficiente, el movimiento de giro alrededor del eje longitudinal del ala se invierte, comenzando a 
disminuir el ángulo de balanceo. Este movimiento en sentido contrario se mantiene hasta que se 
alcanza una situación análoga en el otro extremo del ciclo, de modo que se obtiene una oscilación en 
balanceo sostenida (ciclo límite). 
 
Fig. 4.38. Descripción esquemática de la 
posición a lo largo de un ciclo de balanceo 
de los torbellinos de borde de ataque de un 
ala con flecha σ = 80º y ángulo de ataque 
α = 30º. En cada esquema se indica, 
además del tiempo, t, el valor del ángulo 
de balanceo, φ, y entre paréntesis el signo 
del momento de balanceo debido a la 
sustentación adicional generada por los 
torbellinos; de Katz (1999). 
 
Hay que añadir, finalmente, que esta 
inestabilidad de balanceo no es únicamente 
propia de las alas en delta con 
alargamientos pequeños, si bien en estas 
alas la inestabilidad es tanto más 
improbable cuanto mayor es el alargamiento (el alargamiento aumenta el amortiguamiento del ala): En 
el caso de aeronaves, donde además del ala existe un fuselaje, la inestabilidad de balanceo puede tener 
lugar también, incluso con aviones con alas de alargamientos grandes, habiéndose identificado dos 
causas para este movimiento de vaivén en balanceo; una de ellas es la interacción con las alas de los 
torbellinos que se desprenden de la proa del fuselaje (Ericsson, 1989), como se indica en la figura 4.39. 
La otra causa es la interacción con las alas de los torbellinos que se forman en las extensiones de borde 
de ataque si el avión está equipado con estos dispositivos (figura 4.39), o en las superficies de mando 
delanteras en aeronaves tipo canard. En la figura 4.40 se presentanlas plantas de algunos aviones de 
combate propensos a este tipo de inestabilidad. 
 
Fig. 4.39. Esquemas de los torbellinos 
que se forman en la proa de un avión a 
bajos y a altos ángulos de ataque, y 
esquema de la distribución de 
torbellinos concentrados sobre una 
aeronave equipadas con extensiones 
de borde de ataque; de Nelson & 
Pelletier (2003). 
 11
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.40. Algunos aviones con alas no esbeltas propensos a la inestabilidad de vaivén en balanceo; de 
Katz (1999). 
 
REFERENCIAS 
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Amplitude Maneuvers, Progress Aerospace Sci., 39, 185-248, 2003. 
▪ Rao, D.M. & Johnson, T.D., Investigation of Delta Wing Leading-Edge Devices, J. Aircraft, 18, 161-167, 
1981. 
▪ Rao, D.M., Leading-Edge Vortex Flaps Experiments on a 74º Delta Wing, NASA CR 159161, 1979. 
▪ Rom, J., High Angle of Attack Aerodynamics, Springer-Verlag, New York, N.Y., USA, 1992. 
▪ Ross, A.J., Investigation of Nonlinear Motion Experienced on a Slender-Wing Research Aircraft, J. Aircraft, 
9, 625-631, 1972. 
▪ Ross, A.J., Lateral Stability at High Angle of Attack, Particularly Wing Rock, AGARD CP-260, Paper 10, 
May 1979. 
▪ Walchner, O., Sytematic Wind-Tunnel Measurements of Missiles, NACA TM 1122, Washington, U.S.A., 
1947. 
▪ Yegna Narayan, K. & Seshadri, S.N., Types of Flow on the Lee Side of Delta Wings, Progress Aerospace 
Sci., 33, 167-257, 1997. 
 12
CUERPOS ESBELTOS (empalme de las soluciones interior y exterior): El comportamiento a gran 
distancia del campo cercano es 
2( , ) ln ( )
2
U d 2x R U x R g x
dx
ε
π
∞
∞Φ = + +
S ε , mientras que el 
comportamiento cercano al eje del campo exterior es, dependiendo del régimen de vuelo: 
Si M∞<1: 
0
( ) ( )( , ) ( ) 2 ( ) ln 2 ( ) ln 2 ( ) ln
2 ( )
l
e
f x fx R U x f x R f x f x d
xx l x
β ξδ ε ε
ξ∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥Φ = + − − − −
−⎢ ⎥−⎣ ⎦
∫ ξ , 
y si M∞>1: 
0
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ln
2
x
e
f x fx R U x f x R f x f x d
x x
β ξΦ δ ε ε
ξ∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥= + − − − −
⎢ ⎥−
⎣ ⎦
∫ ξ . 
Expresando que ambas soluciones han de ser válidas en una región intermedia, se tiene 
M∞<1: ( ) 4
U df x
dxπ
∞= −
S , 
0
( ) ( )( ) 2 ( ) ln 2 ( ) ln
2 ( )
l
f x fg x f x f x d
xx l x
β ξε ξ
ξ
−
= − − −
−− ∫ 
M∞>1: ( ) 2
U df x
dxπ
∞= −
S , 
0
( ) ( )( ) ( ) ln ( ) ln
2
x
f x fg x f x f x
x x
β ξ dε ξ
ξ
−
= − − −
−∫ 
 
CUERPOS ESBELTOS (fuerzas transversales) 
Fórmula de Ward: F i F U a x U x
dT
dxY Z
g+ = +
L
NM
O
QP∞ ∞ ∞ ∞ε πρ ρ
3
1 3
2
32 ( ) ( )S
z 
y 
x L 
b 
Rb 
Aplicación al caso de un cuerpo con alas 
F F U
b R b R
b
Y Z
b b= =
+ −
+ ∞ ∞0
2
4 4 2
2, ALA FUSELAJE απρ
2
 
 
ALAS ESBELTAS 2 2( , ) 4 ( )lc x y b x yx
∂α
∂
= − , 
2L
C πΛα= , C . 
C
Di
L= =
2
2
4πΛ
πΛα
 
CUERPOS ESBELTOS. Resistencia de onda: D f x
f x
x x
dxONDA
ll
=
−
R
S|
T|
U
V|
W|
∞ z zπρ ε 4 1 21 20 10 ( )
( )
x
d
. 
Haciendo x l= +
2
1( cos )ω , y 
1
( ) sin
2 2 n
n
U d Uf x l
dx
A nω
π π
∞
∞ ∞
=
= − = − ∑S , se tiene: 
D
U l
A n
nA n
dONDA n
n
nn
=
−
R
S|
T|
U
V|
W|
=∞ ∞
=
∞
=
∞
∑z∑zε ρ π ω ω ωω ω ω ω
ππ
4
2 2
1
2 2
2 110
1 1
10
4
sin
cos
cos cos
sinx
d 2 24 2
1
8 n
n
U l nAπρε
∞
∞ ∞
=
∑ ,
S( ) sin sinω ξ ξ ξ
ω
π
= − z∑
=
∞
l A nn
n
2
1
2
d
2
1
2
sin 2 sin( 1) sin( 1)( )
4 2 1n
n
l nA A
n n 1
nω ω ωπ ω
∞
=
⎡ ⎤+ −⎛ ⎞= − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ,
V l A A l A
A
= − − = −FH
I
Kz3 1 2
0
3
1
2
8 8
( ) sin sinπ ω ω ω ω π
2
π
d . 
 
 
 
 
 
 
Manantial que representa un ala simétrica: ( , ) d 2 d
2
B B
A A
y y
p
i p
y y
zU Uf x y
x x
θ
π π
∞ ∞∂ ∂= − = −
∂ ∂
z y∫ ∫ . 
ALAS EN RÉGIMEN INCOMPRESIBLE 
Problema simétrico: 
( )
2 2 2
( ), ,0
2 ( , , ) d
( ( )) ( )
yB
bs o o
o
bs o oyA
w x y y
u x y z y
x x y y y z
π
+
= −
− + − +∫ 
( )
2 2 2 2 2
. .
( ), ,0 ( , ,0 ) d dd
( ( )) ( ) ( ) ( )
yB
ba o o o o o o
o
oba o o o oy F PA
w x y y w x y x yy
x 2x x y y y z x x y y z
+ +∂
− −
∂− + − + − + − +∫ ∫∫ . 
Problema sustentador: w x y
u x y
y y
x x
x x y y
x yo o
o
o
o o
o o
F P
( , , )
( , , )
( ) ( ) ( )
d d/
. .
0 1
2
0
12 2 2 1 2
=
−
+
−
− + −
R
S|
T|
U
V|
W|
+zzπ . 
 
ALAS EN RÉGIMEN SUPERSÓNICO 
 
Evvard: 
u x y z
w x
x x y zba oyA
yB o o
( , , ) = −
−
y y dy
y y z
w x y
x dx dy
x x y y
ba o o o
o
o o
o
o o
( ),
( ) ( )
( , )
( )− − − −
−
− − −
z zz1 12 2 2 2 2 2 2 2β β π 2 2π
∂
∂g
b g b g β β
b 
 
Evvard-Krasilshchikova. Presiones en la zona influida por un borde de ataque parcialmente subsónico: 
 
π
∂
∂
β β
u x y
w x y
x dx dy
x x y y
w x y y dy
x x y y y
P P
o o
o
o o
o o
ba o o o
ba o o
( , ,0)
( , )
( ) ( )
( ( ), )
( ( )) ( )
= −
− − −
−
− − −
−zz z2 2 2 2 2 2
AB'
 − −
− − −z(1 tan ) ( ( ), )( ( )) (γ βw x y y dyx x y y yo o oo oBB'B'BB'B 2 2 2) 
 
Presiones en la zona influida por un borde de salida parcialmente subsónico 
 
2 2 2 2 2 2 2
AB'BP AB'
( , )
( ( ), )
( , ,0)
( ) ( ) ( ( )) (
o o
o o
o ba o
P P
P o P o P ba o P o
w x y
dx dy
x w x y y
u x y
x x y y x x y y y )
o ody
∂
∂
π
β β
− = +
− − − − − −∫∫ ∫ 
x, xo 
y, yo 
r, ro 
s, so 
U∞ 
B C 
O 
B' 
A 
P 
1
Erratas advertidas (octubre 2012). Aerodinámica de altas velocidades (2ª ed.,)
Capítulo 1
página línea dice debe decir
1 -7 ... EYukon esta teoría ... ... En esta teoría ...
33 15 ... de vorticidades muy ... ... de vorticidad es muy ...
35 9, 10 ... , u = ∂ϕ/∂x = 0, v = ∂ϕ/∂y, w = ∂ϕ/∂z, ... ... , u = ε∂ϕ/∂x = 0, v = ε∂ϕ/∂y, w = ε∂ϕ/∂z, ...
Capítulo 2
página línea dice debe decir
57 ec. (2.20) ... w(xo, yB, 0
+)
r(x, y, z, xo, yo)
... ...
w(xo, yo, 0+)
r(x, y, z, xo, yo)
...
58 ec. (2.22) ...+ w(xo, yo, 0
+)
r(x, y, z, xo, yo)
∣∣∣∣∣
xo=xba(yo)
− ...+ w(xo, yo, 0
+)
r(x, y, z, xo, yo)
∣∣∣∣∣
xo=xba(yo)
+
−
xH(yo)∫
xba(yo)
∂w(xo, yo, 0+)/∂xo
r(x, y, z, xo, yo)
dxodxo+ +
xH(yo)∫
xba(yo)
∂w(xo, yo, 0+)/∂xo
r(x, y, z, xo, yo)
dxo+
58 ec. (2.23) −
xH(yo)∫
xba(yo)
∂w(xo, yo, 0+)/∂xo
r(x, y, z, xo, yo)
dxodxo, +
xH(yo)∫
xba(yo)
∂w(xo, yo, 0+)/∂xo
r(x, y, z, xo, yo)
dxo,
68 -9 ..., aunque su valor ... ..., aunque su salto ...
70 ec. (2.23) = − 12πβ ... = −
1
2π ...
2
Capítulo 3
página línea dice debe decir
101 -6 ... de velocidades de perturbación ... ... de velocidades del problema ...
103 18 contiene a ∂2φ/∂x2, donde ... contiene a ∂2ϕ/∂x2, donde ...
110 8 ... el coeficiente A0 es por tanto ... ... el coeficiente A0 es por tanto ...
110 ec. (3.29) 2πiAo = 2πiA0 =
115 ec. (3.45) y (3.47) dŜ
dx
dŜ
dx
Capítulo 4
página línea dice debe decir
133 7 ... perturbación, ∂ϕ/∂N = U∞dNc/dx, ... ... perturbación, ∂ϕ/∂N =U∞dNb/dx, ...
144 -15 ... sección transversal de ala, el potencial ... ... sección transversal del ala, el potencial ...
145 -10 ... , es x = x′ + αz′ = x′. El ... ... , es x ∼= x′ + αz′ ∼= x′. El ...
149 -2 ... de un ala esbelta, en esta ... de un ala esbelta. En esta
155 ec. (4.76) cp(x, y, 0±) = ∓α... cp(x, y, 0±) = ∓
α
2 ...
175 ec. (4.81) = R
2
t + ... =
R2
t
+ ...
175 -1 ... de una plana plana ... ... de una placa plana ...
3
Capítulo 5
página línea dice debe decir
190 -3, -2 S(x) se desarrolla en serie de senos de la variable ω, es decir, se desarrolla en serie de senos de la variable ω, es decir,
S(x) = l
∑
An sinnω, de modo que dS(x)/dx = l
∑
An sinnω, de modo que
191 ec. (5.33) ...
∞∑
m=0
... ...
∞∑
m=1
...
193 4 corpuscular de Newton , ... corpuscular de Newton, ...
Capítulo 6
página línea dice debe decir
219 -4 ... de la zona supersonic, ... ... de la zona supersonica, ...
Capítulo 7
página línea dice debe decir
259 10 ... (la presión PD es mayor que PI) ... (la presión PD es mayor que PI)
264 3 ... , apartado 4.6) ... ... , apartado 4.7) ...
265 1 ... las alas cortas .. ... las alas en delta ..

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