AyA - APU - ETSIA - Aerodinámica II - Beneyto

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Escuela Técnica Superior de Ingenieros 
Aeronáuticos 
 
 
Aerodinámica II 
 
 
 
 
 
Curso 2012-2013 
Jaime Beneyto Gómez de Barreda 
 
jaimebeneyto@gmail.com 
Asignatura: AERODINAMICA II Código: 4141 
Curso 4 Nº de Créditos 6 Tipo: Prácticas (laboratorio, taller, etc.): NO 
 Semestre 1 Horas Semanales 4 
 
• PERFILES AERODINÁMICOS EN RÉGIMEN TRANSÓNICO. 
Fenómenos físicos. Números de Mach crítico y de divergencia de fuerzas. Cálculo de los números de 
Mach de divergencia de sustentación y de resistencia. Perfiles con distribución de presiones picuda, con 
borde de salida grueso y con sustentación retrasada. 
 
• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE CUERPOS ESBELTOS. 
Linealización del problema. Campo próximo y campo lejano. Empalme de las soluciones. 
 
• FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS. 
Formula de Ward. Campo axial y campo cruzado. Ejemplos de aplicación. Teoría de alas esbeltas. 
Soluciones para pequeños espesores y curvaturas. 
 
• FUERZAS LONGITUDINALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS. 
Cálculo de la resistencia de onda. Regla del área en régimen transónico. Optimización de la resistencia de 
onda. Regla del área de Hayes. 
 
• TEORÍA POTENCIAL (PEQUEÑAS PERTURBACIONES) DE CUERPOS ESBELTOS EN RÉGIMEN 
TRANSÓNICO. 
Planteamiento del problema. Campo próximo y campo lejano. Regiones de validez. Escalas. Regla de 
semejanza transónica. 
 
• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN INCOMPRESIBLE. 
Problema simétrico y sustentador. Límites de la formulación del problema sustentador para alargamientos 
grandes y para alargamientos pequeños. Teoría del plano de Trefftz. 
 
• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN SUPERSÓNICO. 
Manantial supersónico. Formula de Evvard. Formula de Evvard-Krasilshchilova. Solución para puntos 
influidos por un borde de salida subsónico. 
 
• ENTRADA EN PÉRDIDA Y COEFICIENTE DE SUSTENTACIÓN MÁXIMO DE ALAS A BAJAS 
VELOCIDADES. 
Entrada en pérdida tridimensional. Utilización de la información obtenida en régimen bidimensional. 
Influencia de la flecha en el comportamiento de la capa límite. Tipos de entrada en pérdida. Coeficiente 
de sustentación máximo. Efectos de los parámetros de forma, de los números de Reynolds y de Mach. 
Estabilidad del ala durante la entrada en pérdida. 
 
• AERODINÁMICA EXPERIMENTAL. 
Ensayos en túnel aerodinámico. Tipos de túneles. Leyes de semejanza. Tipos de medidas. 
Instrumentación. Visualización del flujo alrededor de un cuerpo. 
 
• MÉTODOS DE PREDICCIÓN DE LA RESISTENCIA AERODINÁMICA. 
Clasificación. Coeficientes de fricción. Efecto de la compresibilidad. Resistencias inducida y de onda. 
Factor de eficiencia. Resistencia de componentes. Resistencia de interferencia. 
Curso 09/10 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
• H. Ashley, M. Landahl. “Aerodynamics of Wings and Bodies”. Dover. 1985. 
• J. Katz y A. Plotkin. “Low-Speed Aerodynamics: from wing theory to panel methods”. Mc Graw-Hill. 1991. 
• R.T. Jones y D. Cohen. “High Speed Wing Theory”. Princeton University Press. 1960. 
• AGARD CP-124 “Aerodynamic drag”, 1973. 
• ESDU Data Sheets. 
 
 
Curso 09/10 
Asignatura(s) soporte(s): MECANICA DE FLUIDOS II 
AERODINAMICA I 
OPTATIVA (A1) 
 
Capítulo 3 51
CAPITULO 3 
 
TEORIA POTENCIAL LINEALIZADA DE CUERPOS ESBELTOS 
 
3.1. INTRODUCCION 
 
Un cuerpo esbelto está caracterizado geométricamente por el hecho de que las dimensiones 
máximas medidas paralelamente a los ejes y y z, son mucho menores que la dimensión máxima 
medida paralelamente al eje x. En otras palabras, a lo largo del cuerpo, de longitud l, la variable 
x varía entre cero y l, mientras que las variables y y z varían entre cero y valores del orden de 
εl (con ε <<1), tal como se esquematiza en la figura 3.1. 
 
U∞
z 
y 
x 
 
Fig. 3.1. Geometría de un cuerpo esbelto. 
 
Esta particularidad permite abordar el estudio del movimiento fluido alrededor de un cuerpo 
esbelto dividiendo el dominio fluido en dos regiones, una próxima al cuerpo o interior, en la que, 
como se verá, la solución obedece a una formulación similar a la obtenida para el movimiento 
bidimensional incompresible, y otra lejana o exterior, en la que la solución es axilsimétrica. 
Obviamente, existe una región intermedia donde han de coexistir ambas soluciones. Esta 
descomposición en dos zonas simplifica notablemente la resolución del problema en cada una de 
ellas. 
 
3.2. CUERPOS ESBELTOS AXILSIMÉTRICOS 
 
Se analizará en primer lugar el flujo alrededor de un cuerpo esbelto de revolución cuando, 
además, la corriente incidente no perturbada es paralela al eje de revolución del cuerpo. En este 
caso el cuerpo no sustentará y el flujo será axilsimétrico. Se empieza estudiando este caso 
simplificado para obtener con mayor facilidad el orden de magnitud de la perturbación 
introducida por el cuerpo esbelto. 
 
Para aprovechar la simetría de revolución se utiliza un sistema de coordenadas polares (x, r, θ) 
de forma que la el eje x es paralelo a la corriente incidente no perturbada. En dicho sistema de 
referencia la ecuación del cuerpo esbelto se puede escribir 
 
 ( ) ( ) ( ), 1, , 0c c cr r x R x R x l x lε ε= = ≤∼ ≤ 
 
dónde c ( )R x es una función tal que sus derivadas son de orden unidad y a la que se denominará 
como la forma dilatada del cuerpo esbelto. 
 
Como se comprobará más adelante, en el caso de los cuerpos esbeltos se obtiene una 
perturbación (efecto) de distinto orden que el de la causa, y no basta con hacer un desarrollo de 
 
 
 Capítulo 3 52 
perturbaciones regulares para obtener la solución linealizada, siendo necesario realizar un 
acoplamiento de desarrollos asintóticos. Se hará un desarrollo asintótico para el campo próximo 
al cuerpo, campo interior, y otro para el campo lejano, campo exterior. El primero debe cumplir 
con la condición de contorno sobre el cuerpo mientras que el segundo debe cumplir con la 
condición de contorno en el infinito, debiendo finalmente acoplarse ambos desarrollos en una 
zona de validez común. 
 
La ecuación diferencial del potencial de velocidades (la ecuación general, escrita en coordenadas 
cilíndricas, y con θ∂ ∂ =0) es: 
 
 ( ) ( )
2
2 2 2 2 2x xx r rr r x r xr
aa a
r
− Φ Φ + − Φ Φ + Φ − Φ Φ Φ = 0 (3.1) 
 
siendo la condición de contorno sobre el cuerpo 
 
 ( )d en
d
cr
c
x
r r r x
x
Φ
= =
Φ
 (3.2) 
 
y la condición de contorno en el infinito 
 
 . (3.3) enU x x∞Φ → → −∞
 
Finalmente la velocidad del sonido local viene dada por la ecuación de Euler-Bernoulli: 
 
 2 2 2 2 21
2 x r
a a Uγ∞
− ⎡= − Φ + Φ −⎣ ∞ ⎤⎦ . (3.4) 
 
Se tomará un desarrollo asintótico para el campo interior, que se denota con el superíndice i, y 
otro para el campo exterior, que se denota con el superíndice o, de la forma 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
1 2
2
1 2
, , 0
, , 0
i i i
o o o
U x x R x R
U x x r x r 3
εϕ ε ϕ ε
εϕ ε ϕ
∞
∞
Φ = + + +
Φ = + + + ε
 
 
dónde para estudiar la zona cercana al cuerpo se ha dilatado la variable radial R r ε= de forma 
que las variaciones de la variable R serán de orden l, el mismo que las variaciones en la variable 
x al movernos sobre el cuerpo esbelto. 
 
Para el caso en que el cuerpo esbelto sea una aguja alineada con la corriente incidente, ε=0, debe 
cumplirse , y como ( )
0
lim , 0ir x rε → Φ =
 
 ( ) ( ) ( )21 2, , 0
i i
i i
R Rx R x Rr R
ϕ εϕ ε
ε
∂Φ ∂Φ
= = + +
∂ ∂
 
 
será y por tanto ( )1 ,iR x Rϕ = 0 ( )1 1i g xϕ = 
 
 
Capítulo 3 53
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
1 2
2
1 2
, 0
, , 0
i i
o o o
U x g x x R
U x x r x r
ε ε ϕ ε
3εϕ ε ϕ
∞
∞
Φ = + + +
Φ = + + + ε
 (3.5) 
 
3.2.1. Campo interior 
 
Escribiendo las ecuaciones (3.1) y (3.4) en términos de las variables próximas, introduciendo el 
desarrollo en serie de potencias (3.5) y despreciando términos de orden superior se tiene: 
 
 
 2 2
1 0i iRR RR
ϕ ϕ+ = . (3.6) 
 
Asimismo la condición de contorno expresada por la ecuación (3.2) se aplica al campo interior y 
se escribe en función de las variables interiores como sigue 
 
 
( )( )2 , d
d
i
R c c
x R x RU x
ϕ
∞
= . (3.7) 
 
Se observa que falta una condición de contorno en el infinito, R→∞, para el campo próximo y 
una condición de contorno en r→0 para el campo lejano, estas condiciones se imponen forzando 
el acoplamiento de las soluciones interior y exterior. 
 
La solución de las ecuaciones (3.6) y (3.7) es 
 
 ( ) ( )2 2, lni c cx R U R R R g xϕ ∞ ′= + 
 
dónde ( )2g x es la constante de integración. La expresión del desarrollo asintótico para el campo 
interior se puede escribir finalmente 
 
 ( ) ( )( ) ( )21 2ln 0i c cU x g x U R R R g x 3ε ε∞ ∞ ′Φ = + + + + ε (3.8) 
 
3.2.2. Acoplamiento de las soluciones interior y exterior 
 
Se realiza el acoplamiento forzando que la velocidad radial en la zona más alejada del campo 
próximo sean igual a la velocidad radial en la zona más interior del campo lejano usando las 
expresiones de los desarrollos asintóticos 
 
 
( ) ( )
( )
2
1 2
2 2
2
, , ...
, ... ...
o o o
r r r
i i c c
r r
x r x r
R Rx R U
r
εϕ ε ϕ
ε ϕ ε ∞
⎫Φ = + +
⎪
⎬′
Φ = + = + ⎪
⎭
 (3.9) 
 
se obtienen las condiciones de contorno para los términos del desarrollo de en r→0 oΦ
 
 
 
 Capítulo 3 54 
 
( )
( )
10
20
lim , 0
lim ,
o
rr
o c c
rr
x r
R Rx r U
r
ϕ
ϕ
→
∞→
=
′
=
 (3.10) 
 
que junto a las condiciones de contorno en el infinito cierran el problema del campo exterior 
 
 (3.11) 
1 1
2 2
lim 0 lim 0
lim 0 lim 0
o o
rx x
o
r xx x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
= =
= =
x
o
 
Introduciendo el desarrollo asintótico del campo exterior en la ecuación (3.1) y reteniendo el 
término de primer orden se obtiene la ecuación diferencial 
 
 ( )2 1 1 111 0o o oxx r rrM rϕ ϕ ϕ∞− + + = , 
 
que junto a las condiciones de contorno (3.10) y (3.11) nos proporciona la solución de primer 
orden del campo exterior . 1 0
oϕ =
 
Finalmente, haciendo el acoplamiento de los potenciales interior y exterior se obtiene ( )1 0g x = 
y los potenciales son 
 
 
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
2 3
2
2 20
ln 0
, 0
con lim , ln ln
i
c c
o o
o
c c c cr
U x U R R R g x
U x x r
g x x r U R R r U R R
ε ε
ε ϕ ε
ϕ ε
∞ ∞
∞
∞ ∞→
′Φ = + + +
Φ = + +
⎡ ⎤′ ′= − +
⎣ ⎦
. (3.12) 
 
Una vez obtenido el orden de la perturbación puede definirse el potencial de perturbación del 
campo interior 2 2
i iϕ ε ϕ= , y del campo exterior 2 2
o oϕ ε ϕ= , volviendo a las variables físicas, 
para obtener 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
0
d, ln ;
2 d
dcon lim , ln
2π d
i c
o c
r
sUx r r g x M
x
sUg x x r r
x
ϕ
π
ϕ
∞
∞
∞
→
= +
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
 (3.13) 
 
dónde se ha tenido en cuenta que 
 
 d d2π
d d
c c
c
s rr
x x
= . 
 
El primer término del potencial de perturbación interior representa un manantial bidimensional 
incompresible en el plano transversal, cuya intensidad depende de la variación del área 
transversal del cuerpo esbelto. En el segundo término se encuentra la dependencia de la solución 
del número de Mach, y como se verá más adelante en dicho término influye la forma de todo el 
cuerpo esbelto. 
 
Capítulo 3 55
 
3.2.3. Campo exterior 
 
La ecuación diferencial y condiciones de contorno para el término del potencial de perturbación 
del campo exterior son 
 
 
( )
( )
2
0
0
11 0
dlim
2π d
lim 0
lim 0
o o o
xx r rr
o c
r c cr
o
rr
o
xr
M
r
sUr U r r
x
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∞
∞
∞→
→∞
→
− + + =
⎧ ′= =⎪
⎪⎪ =⎨
⎪
=⎪
⎪⎩
 (3.14) 
 
dónde sc(x) es el área de la sección transversal del cuerpo esbelto. 
 
La solución de este problema puede obtenerse fácilmente mediante la superposición de 
manantiales de intensidad ( )f x por unidad de longitud a lo largo del eje x 
 
( )
[ ]
,
2 2 2 2 2
0 0
Distribución de manantiales subsónicos Distribuc
 de intensidad a lo largo del eje
 de revolución, 0,
1 ( ) 1 ( )( , ) ó 
4 2( ) ( )
l x rl
o
f x
x l
f d f dx r
2x r x
βξ ξ ξ ξϕ
π πξ β ξ β
−
∈
= − −
− + − −
∫ ∫
( )
[ ]
ión de manantiales supersónicos 
 de intensidad a lo largo del eje de 
 revolución, 0,
f x
x l∈
r
 (3.15) 
 
dónde 2 1 2Mβ ∞= − . La intensidad de los manantiales debe ser tal que cumpla con la condición 
de contorno para , por tanto será 0r → ( ) ( )cf x U s x∞ ′= . 
 
Introduciendo la solución del campo exterior en la expresión para ( )g x dada por la ecuación 
(3.13) se obtiene la solución completa para el campo interior. Para ello se debe desarrollar la 
expresión del potencial exterior para , lo haremos escribiendo r = εR con R≈l y haciendo 
el límite de las expresiones cuando ε → 0. Hay que tener presente que dichas expresiones 
contienen una singularidad cuando r → 0 (inevitablemente el valor de ξ coincidirá, en un punto, 
con el de x) y hay que manejar esta singularidad analíticamente. 
0r →
 
3.2.3.1. Caso subsónico 
 
En el caso subsónico, M∞ < 1, se tiene: 
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
( )d d ( ) ( )( ) d
( ) ( ) ( )
l l l
f ff x
x r x r x r
ξ ξ ξ ξx f ξ
ξ β ξ β ξ β
−
= −
− + − + − +∫ ∫ ∫ . 
 
El primer sumando del segundo miembro es integrable analíticamente, mientras que el segundo 
sumando no es singular cuando r = εR → 0 (cuando x − ξ → 0 también lo hace f(x) − f(ξ)). 
Integrando el primer sumando resulta: 
 
 
 
 Capítulo 3 56 
 
2
2 2 2 2
0 0
0
ln 1
( )
1
l
l l
xd
rd x
r rx r x
r
ξ
βξ ξ
β βξ β ξ
β
⎛ ⎞−
x ξ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎛ ⎞− −⎝ ⎠ ⎢ ⎥= − = − + +⎜ ⎟⎢ ⎥− + ⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎣ ⎦+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ , 
 
de modo que el potencial de perturbación vale: 
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
( )d ( ) ( )( ) ln ln d
( ) ( )
1 1
l l
r
l xf fl xf x
xx r x rr
x
β
ξ ξ ξx f ξ
ξ β ξ ββ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎜ ⎟−⎢ ⎥ −⎝ ⎠−= − + −⎢ ⎥
− + − +⎢ ⎥⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ . 
 
Para estudiar el comportamiento de esta expresión cuando r ∼ εR, se desarrolla en serie esta 
última expresión y, teniendo en cuenta que 
 
 
2 2
411 1
2
R R
l x l x
βε βε 0( )ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 . 
 
 1 1 2
2
2+ 0FHG
I
KJ + = +
βε εR
x
( ) , 
 
si se desprecian términos de orden superior se obtiene 
 
 2
2 2 2
0 0
( )d ( ) ( )2 ( ) ln ln ln d 0( )
2 ( )( )
l lf ff x R
xx l xx r
ξ ξ β ξx fε ξ ε
ξξ β
⎡ ⎤ −
= − + + − +⎢ ⎥
−−− + ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
introduciendo esta expresión en la ecuación (3.15) se obtiene en función de las variables físicas 
 
( )
2 2 20
0 0
( )d ( ) ( ) ( )lim , ln ln d ...
4π 2π 4π2 ( )( )
l l
o c c c c
r
s U s x s x sU Ur x r
xx l xx r
ξ ξ ξβϕ ξ
ξξ β
∞∞ ∞
→
′ ′ ′ ′⎡ ⎤ −
= − = + + +⎢ ⎥
−−− + ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
 
y por tanto con (3.13) 
 
 
2
0
d ( )( ) ln d
4 d 4 ( ) 4π
l
c cs s xU Ug x
x x l x x
ξβ ( )cs ξ
π ξ
∞ ∞
′ ′−
= +
− −∫ . (3.16) 
 
Integrando por partes en la expresión anterior y suponiendo sc’(0) = sc’(l) = 0 se tiene 
 
 ( ) ( )
0
( )( ) ln ( ) ln d ( ) ln d
2 2 4 4
x l
c
c c
x
U s x U Ug x s x s xβ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
π π π
∞ ∞ ∞
′
′′ ′′= − − + −∫ ∫ 
 
 
3.2.3.2. Caso supersónico 
 
Capítulo 3 57
 
Si el cuerpo esbelto vuela en régimen supersónico, M∞ > 1, se tiene: 
 
 
,
2 2
0
1 ( )d( , )
2π ( )
l x r
o fx r
2x r
β ξ ξϕ
ξ β
−
= −
− −
∫ 
 
donde ahora es . Utilizando el mismo procedimiento que en el caso subsónico se 
desarrolla la integral en potencias de ε 
β 2 2 1= −∞M
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
( )d d ( ) ( )( ) d
( ) ( ) ( )
x r x r x rf ff x
x r x r x r
β β βξ ξ ξ ξx f ξ
ξ β ξ β ξ β
− − − −
= −
− − − − − −
∫ ∫ ∫ , 
 
(hay que observar que el límite superior es siempre x−βr porque estamos considerando ahora 
puntos en los que 0 < x < l), 
 
 
2
2 2 2 2
0 0
0
d
d ln 1
( )
1
x r
x r x r
x
x xr
r rx r x
r
β
β β
ξ
ξ ξβ
β βξ β ξ
β
−
− − ξ
−
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥= − = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎣ ⎦−⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ , 
 
de modo que el potencial de velocidades de perturbación será 
 
 
2
2 2 2 2 2 2
0 0
( )d ( ) ( )( ) ln ln 1 1 d
( ) ( )
x r x r
f rxf x
r xx r x r
β β
ξ ξ β ξf x f ξ
βξ β ξ β
− −⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠− − − −⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
y haciendo r = εR, teniendo en cuenta que 
 
 1 1 2 0
2
2+ − FHG
I
KJ = +
βε εR
x
( ) 
 
se tiene finalmente, para ε→0, 
 
 
,
2 2 2
0 0
( )d d ( ) ( )1( , ) ln ln d ...
2π 2π d 2 2π( )
l x r x
o c c c cU s s s x sU Ux r rx x xx r
β ξ ξ ξβϕ ξ
ξξ β
−
∞ ∞ ∞
′ ′ −⎡ ⎤= − = + + +⎢ ⎥ −⎣ ⎦− −
∫ ∫
′
 
 
y por tanto con (3.13) 
 
 ( )
0
( ) ( ) ( )ln d
2π 2 2π
x
c cU s x s x sUg x
x x
ξβ c ξ
ξ
∞ ∞
′ ′ −
= +
−∫
′
 (3.17) 
 
Integrando por partes en la expresión anterior y suponiendo (0) 0cs ′ = , se tiene 
 
 
 
 Capítulo 3 58 
 ( ) ( )
0
( ) ln ( ) ln d
2π 2 2π
x
c
c
U s x Ug x s xβ ξ ξ ξ∞ ∞
′
′′= + −∫ 
 
Por tanto, tan sólo conociendo sc(x) es posible calcular f(x) y g(x). Hay que observar que g(x) 
tiene singularidades aparentes tanto en el caso subsónico como en el supersónico. 
 
Caso subsónico 
 
1. Existe una singularidad en x = 0 en el término f(x)lnx, siempre que f(0) ≠ 0, o lo que es lo 
mismo sc´(0) ≠ 0. Para cuerpos de revolución dsc/dx = 0 equivale a rc(x)drc/dx = 0, que se 
cumple en x = 0 siempre que el cuerpo no sea romo (fig. 3.2a). Esta condición debe cumplirse 
además para que los desarrollos asintóticos hechos sean válidos. 
 
2. Existe una singularidad en x = l dada por el término f(x)ln(l−x) siempre que f(l) ≠ 0, es decir, 
sc´(l) ≠ 0 (fig. 3.2b). 
 
Estas singularidades en g(x) no afectarán al cálculo (capítulo 4) de las fuerzas transversales ya 
que no dependen de esta función. 
 
Caso supersónico 
 
Existe una singularidad en x = 0 en el término f(x)lnx del mismo tipo que la vista en el caso 
subsónico. La singularidad en x = l no aparece. 
 
 
 
 
a b 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.2. Análisis de las singularidades de la solución. 
 
 
3.2.4. Coeficiente de presión sobre el cuerpo 
 
El coeficiente de presión sobre el obstáculo se obtiene introduciendo el desarrollo del potencial 
interior en la ecuación (3.4) y siguiendo un procedimiento análogo al utilizado para obtener la 
expresión para Cp en la teoría potencial linealizada de alas, obteniéndose finalmente: 
 
 
( )2
2
2
2
1
2
ii
rx
p
p pC
U UU
ϕϕ
ρ
∞
∞ ∞
∞ ∞
⎡ ⎤− ⎢ ⎥= = − +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 . 
 
 
 
Capítulo 3 59
3.3. CUERPOS ESBELTOS NO AXILSIMÉTRICOS 
 
Para estudiar el campo de velocidades en las proximidades del obstáculo utilizaremos 
coordenadas cartesianas de forma que el eje x sea paralelo a la corriente incidente no perturbada. 
La ecuación de la superficie del cuerpo en dicho sistema de referencia se puede escribir en la 
forma , siendo las dimensiones del cuerpo esbelto en las direcciones y, z mucho 
menores que la dimensión en la dirección x, y utilizando la longitud del cuerpo esbelto como 
longitud característica se tiene 
( ), , 0F x y z =
 
 , 1x l y z lε ε∼ ∼ . 
 
De forma análoga a lo hecho en el caso de cuerpos esbeltos de revolución, se buscará un 
desarrollo en serie del parámetro ε para obtener la aproximación de primer orden a la solución. 
 
La ecuación diferencial para el potencial de velocidades es: 
 
 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2x xx y yy z zz x y xy x z xz y z yza a a− Φ Φ + − Φ Φ + − Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ = 0 
 (3.18) 
 
siendo la condición de contorno sobre el cuerpo 
 
 (3.19) 0F∇Φ ⋅∇ =
 
y la condición de contorno en el infinito 
 
 . (3.20) enU x x∞Φ → → −∞
 
La velocidad del sonido local viene dada por la ecuación de Euler-Bernoulli: 
 
 2 2 2 2 2 21
2 x y z
a a Uγ∞
−
∞⎡ ⎤= − Φ + Φ + Φ −⎣ ⎦ . (3.21) 
 
Teniendo en cuenta el resultado obtenido en el caso de cuerpos esbeltos de revolución, parece 
lógico que el primer término no nulo para el desarrollo asintótico del campo interior sea de la 
forma 
 
 ( ) ( )2 2 , , 0i iU x x Y Z 3ε ϕ∞Φ = + + ε (3.22) 
 
siendo Y = y/ε, Z = z/ε las variables próximas definidas de forma que su variación en el campo 
interior sea de orden l. Esto será cierto siempre que la forma del cuerpo varíe "suavemente" con 
x, Y, y Z. 
 
3.3.1. Campo interior 
 
Escribiendo las ecuaciones (3.18) y (3.21) en términos de las variables próximas se tiene: 
 
 
 
 Capítulo 3 60 
 ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
Y YY Z ZZ
x xxa a a
ε ε ε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ Φ Φ Φ
− Φ Φ + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 2 2 4
2 2 2 0x Y xY x Z xZ Y Z YZ
ε ε ε
− Φ Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ = , (3.23) 
 
 
2 2
2 2 2 2
2 2
1
2
Y Z
xa a U
γ
ε ε
∞ ∞
⎡ ⎤Φ Φ−
= − Φ + + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 . (3.24) 
 
Introduciendo en las ecuaciones anteriores el desarrollo en serie de potencias (3.22) se obtiene la 
ecuación diferencial que debe cumplir el primer término del desarrollo 
 
 (3.25) 2 2 0
i i
YY ZZϕ ϕ+ =
 
La ecuación obtenida indica que el campo próximo está gobernado por la ecuación 
bidimensional de Laplace, en la que no aparece M∞. Esta peculiaridad indica que el campo 
próximo de un cuerpo esbelto es muy independiente del régimen de vuelo (sea subsónico o 
supersónico). Obsérvese que lo que en realidad diferencia esta ecuación de la que se obtiene en 
la teoría linealizada de alas es que aquí ha desaparecido el término ( )1 2− ∞M xxϕ debido a que las 
otras dos derivadas (respecto de y y z) son mucho mayores. Otra manera de que dicho término no 
apareciese sería que M∞ estuviese muy próximo a la unidad (régimen transónico). Todo esto 
indica que los cuerpos esbeltos están especialmente bien adaptados para el vuelo en transónico 
ya que el campo próximo es insensible al número de Mach (sólo hasta cierto punto, ya que, 
como se verá posteriormente, y cómo ocurría en el caso axilsimétrico, aparece en la solución una 
función g(x) que sí depende de M∞) y no se producirán cambios bruscos en el flujo al pasar por 
la zona transónica. 
 
Una vez impuestas las condiciones de contorno, será posible encontrar la solución salvo una 
función aditiva g(x) que depende del campo lejano (puesto que en la ecuación no aparecen 
derivadas con respecto a x), pero que no va a influir ni en las fuerzas transversales ni en los 
momentos de tales fuerzas, puesto que provocará el mismo cambio de presión en todos los 
puntos de una sección dada. 
 
No se necesita la expresión (3.24) para calcular el potencial de velocidades, al menos en primera 
aproximación; sí se necesita en cambio, para calcular el campo de presión. Por ahora no es 
posible saber cuál de los términos entre corchetes es dominante en dicha expresión (de hecho, se 
comprueba posteriormente que ambos resultan ser del mismo orden). 
 
Para completar la formulación del campo interior es preciso establecer las condiciones de 
contorno sobre el obstáculo que, para el potencial de perturbación escrito en variables interiores 
y despreciando términos de orden superior, se convierte en: 
 
 . 2 2 0
i i
x Y Y Z ZU F F Fϕ ϕ∞ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ =
 
Se considera en cada punto de la superficie un sistema de coordenadas local x, N, Σ, tal que N es 
la dirección de la normal exterior a la intersección de la pared del obstáculo con planos x = cte 
 
Capítulo 3 61
(que, en general, no coincide con la normal a la superficie), Σ es tangente a las curvas 
intersección de la pared con planos x = cte. (figura 3.3). Sobre la superficie FΣ = 0, por lo tanto: 
 
 , 2 0
i
x N NU F Fϕ∞ + =
 
 
 
 
Fig. 3.3. Definición del sistema de coordenadas x,N,Σ. 
 
 2
d
d
i
N x cF N
x
=
NU F
ϕ
∞
= −
), ,i
 (3.26) 
 
donde N = Nc(x) describe la curva intersección de la superficie del cuerpo con el plano Σ=0, 
como se muestra en la figura 3.3. La expresión (3.26) recuerda a la que se obtuvo al desarrollar 
la teoría potencial linealizada de alas. Allí zp jugaba el papel que en este caso juega Nc. 
 
Nótese que, contrariamente a lo que se hizo en el caso de los perfiles y alas delgados, no está 
justificado transferir las condiciones de contorno al esqueleto (la aguja) debido a que la solución 
es más “singular” en el esqueleto (aparece un manantial y no una distribución superficial de 
ellos). 
 
Dado que en la solución del campo próximo aparece una función aditiva g(x) que depende del 
campo alejado, antes de seguir conviene analizar el comportamiento del campo próximo a gran 
distancia. 
 
No se puede esperar que la solución del problema del campo próximo valga muy lejos del 
obstáculo, puesto que las ecuaciones correspondientes se han obtenido suponiendo que tanto y 
como z son del orden de ε (estamos muy cerca del cuerpo).Además, hay que observar que en la 
ecuación diferencial han desaparecido todas las derivadas con respecto a x, llegándose a una 
ecuación degenerada. En alguna región del campo deberán reaparecer términos que contengan 
derivadas con respecto a x. Para analizar cómo se comporta la solución interior para valores 
grandes de Y y de Z (que no significa necesariamente valores grandes de y = εY y z = εZ), hay 
que tener en cuenta que 2 ( x Y Zϕ , la expresión del potencial de perturbación válida en el 
campo próximo, es solución de la ecuación bidimensional de Laplace y, por tanto, se puede 
obtener una solución formal empleando el teorema de Green en dos dimensiones como se hizo 
en teoría de paneles 
 
ϕN
ϕ Y
ϕZ
U∞
Σ = 0 
tan−1(dNc/dx) 
FY
F ϕN N
FZ
Z 
Y x = cte 
 
 
 Capítulo 3 62 
 ( )2 2 2
1 ln d
2π
i i i
N 2R g xN σ σ
ϕ ϕ ϕ Σ∂⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (3.27) 
 
dónde el subíndice σ indica que la variable se evalúa sobre la superficie del cuerpo, y siendo 
 
 ( ) ( )2 2R Y Y Z Zσ σ= − + − σ . 
 
Para obtener el comportamiento del potencial dado por la ecuación (3.27) lejos del cuerpo (Y2 + 
Z2 → ∞) conviene recordar que el segundo término de la integral corresponde a dobletes sobre el 
contorno del cuerpo y que su contribución al potencial lejano es despreciable frente al primer 
término del integrando, que representa manantiales situados sobre el contorno del cuerpo. Con 
esto se puede escribir el comportamiento lejano del campo interior como 
 
 ( )2 2
1lim ln d
2π
i i
NR 2
R g xσϕ ϕ Σ→∞ = ∫ + (3.28) 
 
esta expresión representa un manantial bidimensional situado en el origen del sistema de 
referencia y de intensidad la suma de las intensidades de los manantiales distribuidos sobre la 
superficie de la sección del cuerpo. Para calcular la intensidad del manantial sólo se requiere el 
valor de 2
i
Nϕ sobre la superficie de la sección, que es conocida sobre el contorno del cuerpo, 
ecuación (3.26), por tanto 
 
 2
d dd d
d d
i c c
N
N SU U
x xσ σ
ϕ Σ Σ∞ ∞= =∫ ∫ 
 
En resumen, a gran distancia del cuerpo esbelto será: 
 
 ( ) 2 22 2
dlim ( , , ) ln , donde 
2π d
i c
R
SU 2x Y Z R g x R Y Z
x
ϕ ∞
→∞
= + = + , 
 
que es la expresión matemática del llamado principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune, que 
establece que: 
 
a) El campo alejado de un cuerpo esbelto es axisimétrico e idéntico al que produciría un cuerpo 
de revolución con la misma ley de áreas Sc(x) (cuerpo esbelto de revolución equivalente). 
 
b) En el campo próximo la corriente alrededor del cuerpo dado difiere de la del cuerpo de 
revolución equivalente en un término que representa un campo bidimensional incompresible. 
 
Hay que recordar, una vez más, que en la primera aproximación del problema interior (campo 
próximo) la variable x aparece como parámetro y no como variable independiente. A la solución 
obtenida para 2
iϕ (x,Y,Z) ha habido que sumarle una función ( )2g x que coincide con la calculada 
en el caso axilsimétrico. 
 
En resumen, definiendo el potencial de perturbación del campo interior como se hizo en el caso 
axilsimétrico 2 2
i iϕ ε ϕ= , el potencial de velocidades obedece al desarrollo Φ(x,Y,Z) = U∞x + 
( , ,i )x Y Zϕ , y las ecuaciones y condiciones de contorno correspondientes al potencial de 
perturbación del campo interior son: 
 
Capítulo 3 63
 
Ecuación diferencial para el potencial de perturbación: 
 
 . 0
i i
YY ZZϕ ϕ+ =
 
Condiciones de contorno: 
 
 1) En la superficie del obstáculo: d
d
i
n cn
U x
ϕ
∞
= 
 
 2) Lejos del cuerpo ( )R Y Z= + → ∞2 2 : d( , , ) ( , ) ln ( )
2π d
i i csUx Y Z x r r g x
x
ϕ ϕ ∞→ = + 
 
dónde , y la relación entre ( ) ( )c cn x N xε= ( )g x y ( )2g x es fácil de obtener. 
 
El coeficiente de presión sobre el obstáculo se obtiene de la ecuación (3.24) siguiendo un 
procedimiento análogo al utilizado al obtener la expresión para Cp en la teoría potencial 
linealizada de alas, obteniéndose finalmente: 
 
 
( ) ( )2 2
2
2
2
1
2
i ii
y zx
p
p pC
U UU
ϕ ϕϕ
ρ
∞
∞ ∞
∞ ∞
⎡ ⎤+− ⎢ ⎥= = − +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 . (3.29) 
 
Una interpretación alternativa del resultado anterior es la siguiente: Considérese el movimiento 
como bidimensional (en los planos x = cte) y la variación con x como si fuera la variación con el 
tiempo que ve un observador que se mueve a velocidad U∞, es decir, t = x/U∞; entonces, 
aplicando la ecuación de Bernoulli para movimiento incompresible no estacionario, se obtendría 
 
 ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 22 21 1 12 2 2
i i
t xp p U V W Uρ ρ ρ ε ρϕ ρε ϕ ϕ∞ ∞ ∞ ∞
⎛ ⎞− = − Φ − + + − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
i
Y Z 
 
(ya que en el problema bidimensional la velocidad incidente V W∞ ∞+j k es nula y 
, expresión que conduce a 2 22 2
i i
t t xUε ϕ ε ϕ ∞Φ = = (3.29). 
 
 
Como ejemplo de aplicación de lo analizado en este Capítulo consideremos un cono esbelto, de 
semiángulo δ (δ << 1) que vuela a través del aire en calma en régimen supersónico (M∞ > 1, 
β = ∞M
2 1− ) con ángulo de ataque nulo, tal como se indica en la figura 3.4. 
 
U∞ δ 
 
Fig. 3.4. Cono esbelto de semiángulo δ. 
 
 
 
 Capítulo 3 64 
Teniendo en cuenta que 
 
 rc(x) = δx , sc = πδ2x2 , dsc/dx = 2πδ2x 
 
el comportamiento lejano del potencial de velocidades de perturbación correspondiente al campo 
próximo será 
 
 ϕi(x,R) = U∞xδ2lnr + g(x). 
 
La función g(x) vale, de acuerdo con la expresión (3.17) 
 
 2( ) ln 1
2
g x U x
x
βδ∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
de modo que 
 
 ln 1
2
i rU x
x
βϕ ∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 21 1 ln
2
i rU x
x
βδ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞Φ = + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 . 
 
Si se desea ahora calcular el valor de las componentes de la velocidad sobre el cono, será 
 
 2 ln
2
i ru U U
x x
βδ∞ ∞
∂Φ
= = +
∂
 , 
 
y sobre la superficie del cono, r = δx, se tiene: 
 
 u U U= +∞ ∞δ
δβ2
2
ln , 
 
mientras que 
 
 2 xw U
r
δ ∞= , 
 
de modo que sobre la superficie del cono es 
 
 w U= ∞δ . 
 
Así pues, sobre el cono será: 
 
 w
u
U
U U
=
+
= +∞
∞ ∞
δ
δ δβ
δ δ
2
3
2
0
ln
( lnδ) , 
 
de modo que, como tiene que ser, se cumple la condición de contorno. Compruebe que el 
coeficiente de presión sobre el cono vale: 
 
Capítulo 3 65
 
 cp = − +
L
NM
O
QPδ
δβ2 1 2
2
ln . 
 
Observe que ln(βδ/2) > 1, es decir, se produce una deceleración del fluido y por lo tanto una 
compresión. 
 
 
EJERCICIOS 
 
3.1. Se pretende calcular el efecto que produce en tierra el paso de un avión que vuela a 
M∞ = 2 y altura h constante. Para calcular el campo lejano se puede suponer el aparato de 
revolución y con longitud l, con una distribución de áreas: 
 
 , ε << 1 , 0 ≤ x ≤ 1 ( ) 2 2 2 33 2S x l x xπ ε ⎡= −⎣ ⎤⎦
]
 
 Calcule y dibuje en forma esquemática la distribución de cp a lo largo de la recta proyección 
de la trayectoria sobre el suelo (supuesta la tierra plana). Al esquematizar cp, discuta en qué 
se distingue del correspondiente a un avión bidimensional que tenga la misma silueta que el 
considerado. Interesa en particular discutir la expresión para valores grandes de x. 
 
********** 
 
3.2. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, 
de velocidad U∞, presión p∞ y densidad ρ∞. El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de 
longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga 
que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al 
flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide: 
 
 1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. 
Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 
 2) Calcule el error, E = 1−Um/U∞,que se comete en la determinación de la velocidad debido 
a este efecto, en función de le/d. Um es la velocidad medida, definida como 
, y p[ 1/ 22( ) /m o eU p p ρ∞= − o es la presión de remanso de la corriente incidente. 
 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la nariz. 
 
 r 
x 
l 
e 
U∞
p∞
ρ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
**********Capítulo 3 66 
 
3.3. Un cuerpo esbelto cuya superficie viene dada por la expresión: 
 
 r x R x x ko , , sin
/θ ε θ ε ε θa f a f e j= = −1 1 2
 
 vuela a ángulo de ataque nulo y velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal. 
 
 a) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial 
de velocidades (sin linealizar). 
 b) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial 
de perturbación correspondiente al campo próximo. 
 c) A la vista de la forma del obstáculo, desarrolle el potencial de perturbación del campo 
próximo en serie de potencias de ε1/2: ϕ = ϕo + ε
1/2ϕ1 + ... Transfiera la condición de 
contorno a la circunferencia R = x y escriba la ecuación diferencial y las condiciones de 
contorno para ϕo y ϕ1. 
 d) Calcule ϕo. Compare con la solución para el cono. 
 e) Calcule ϕ1. Para ello ensaye soluciones del tipo ϕ1(r,θ) = F(θ)/rn. Discuta la influencia de 
k. 
 f) Indique cómo calcularía la función g(x). 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 67
CAPITULO 4 
 
FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS 
 
4.1. INTRODUCCION 
 
Aunque en la solución correspondiente al campo próximo aparece una función de x, g(x), que es 
desconocida en tanto no se haga el acoplamiento con el campo alejado, no es necesario conocerla 
para calcular las fuerzas transversales y los momentos correspondientes, porque la contribución 
de g(x) al campo de presiones en cada plano x = cte es uniforme y no da resultante en dicho 
plano. 
 
Para calcular las fuerzas transversales (sustentación y fuerza lateral) consideraremos el elemento 
fluido de la figura 4.1 limitado por: 
 
a) La sección 1, situada en un plano perpendicular a la corriente no perturbada (que está alineada 
con el eje x), y suficientemente lejos corriente arriba como para no estar influida por el 
obstáculo. 
b) La sección 3, paralela a la anterior. 
c) La superficie cilíndrica de revolución 2, situada en la parte exterior del campo próximo, de 
radio suficientemente grande como para que en ella tengamos exclusivamente la componente 
axilsimétrica de la perturbación. 
d) La superficie del obstáculo, Σ. 
 
 
x 
Z Y 
3 
2 
1 
U∞ Σ 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.1. Elemento de control para calcular las fuerzas transversales sobre la porción de un cuerpo contenida entre el 
morro y el plano 3 (x = x3). 
 
Aplicando el teorema de conservación de cantidad de movimiento, en las direcciones Y y Z, al 
elemento considerado, se obtiene la fuerza lateral, FY, y la sustentación, FZ, que actúan sobre la 
parte de cuerpo contenida entre el morro y la sección 3, es decir. 
 
3 3
3 3
d d dY x yF U U U Y Z oY
( )ϕρ σ ε ρ ε∞ ∞
∂
− = = +
∂∫∫ ∫∫ , (4.1a) 
3 3
3 3
d d dZ x zF U U U Y Z oZ
( )ϕρ σ ε ρ ε∞ ∞
∂
− = = +
∂∫∫ ∫∫ . (4.1b) 
 
donde se ha tenido en cuenta que ρ = ρ∞ + ..., Ux = U∞ + ..., Uy = ε2ϕy = εϕY, U = ε2ϕ = εϕz z Z y 
dσ = dydz = ε2dYdZ, se ha eliminado el superíndice i del potencial interior para simplificar la 
escritura. 
 
 
 Capítulo 4 68 
 
Para calcular las integrales que aparecen en los segundos miembros de (4.1a) y (4.1b) 
consideremos los esquemas representados en la figura 4.2. Ambos representan la sección 3. Al 
integrar en dicha sección, bien sea por bandas paralelas al eje Y o paralelas al eje Z, son posibles 
dos casos, según la banda de integración intersecte o no al cuerpo. En el primer caso la integral 
en dicha banda valdrá ϕ − ϕ3 A + ϕB − ϕ = −(ϕB 4 A − ϕBB), mientras que en el segundo valdrá ϕ − ϕ1 2 
= 0 (teniendo en cuenta que en la circunferencia exterior el potencial tiene un valor constante). 
Así pues, las expresiones (4.1a) y (4.1b) valdrán: 
Z 
Y Y 
Z 
2 1 
4 
2 
B A 3 
1 
3 
A 
B 
4 
Y1 
Y2 
Z2 
Z1 
Fig. 4.2. Integración por bandas horizontales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1a) e integración 
por bandas verticales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1b). 
 
2
3 1
d d ( )d d
Z
A B
Z C
Y Z Z Z
Y
ϕ ϕ ϕ ϕ∂ = − − = −
∂∫∫ ∫ ∫
2
3 1
d d ( )d d
Y
A B
Y C
Z Y Y
Z
ϕ ϕ ϕ∂ = − − =
∂∫∫ ∫ Yϕ∫
, )dT
 , , 
 
y combinando estas expresiones se deduce que, salvo términos de orden superior: 
 
 , donde T = Y + iZ (4.2) 
3 3
3i (d id ) i ( ;Y Z
C C
F F U Z Y U x Y Zε ρ ϕ ε ρ ϕ∞ ∞ ∞ ∞+ = − = −∫ ∫
 
y la integral está, en principio, calculada a lo largo de la línea de intersección de la superficie del 
obstáculo con el plano 3. 
 
La ventaja de escribir (4.2) en forma compleja reside en que, siendo ϕ solución de la ecuación de 
Laplace, el cálculo de las integrales en el plano T se simplifica mucho. La parte real de la 
integral será la fuerza transversal, y la parte imaginaria de la integral será la sustentación. Ambas 
fuerzas corresponden a la parte del obstáculo comprendida entre el morro y la sección 3, y ambas 
son perpendiculares a la corriente incidente no perturbada, que coincide con el eje x. Hay que 
señalar que las fuerzas calculadas sólo dependen de lo que ocurre en la sección 3: los valores de 
la fuerza son independientes de la forma anterior del obstáculo, siempre que éste sea esbelto. 
 
Aunque en lo que sigue no se precisa imponer condición alguna sobre dSc/dx, considerar 
aplicables los resultados a cuerpos con dSc/dx < 0 conduce a resultados absurdos. Lo que ocurre 
es que en las zonas donde dSc/dx < 0 la corriente se desprende (aparece la estela de las secciones 
anteriores), las presiones se uniformizan y dichas zonas dejan de sustentar. 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 69
 
4.2. FORMULA DE WARD 
 
Ya se dijo en el Capítulo anterior que ϕ(x; Y, Z) obedece a la ecuación 0YY ZZϕ ϕ+ = y, por tanto, 
es la parte real de una función analítica, W(T), de la variable compleja T, cuya expresión general 
es: 
 
0
1
( ) ( ; , ) i ( ; , ) ( ) ln ( ) nnW T x Y Z x Y Z A x T A x Tϕ ψ
∞
−= + = + ∑ 0 d( ) 2 d c
SUA x xπ
∞= , donde .(4.3a) 
 
Por lo tanto: 
 
0
1
( ; , ) ( ) ln ( ) i ( ; , )nnx Y Z A x T A x T x Y Zϕ ψ
∞
−= + −∑ ; (4.3b) 
 
introduciendo la expresión (4.3) en la integral que aparece en (4.2), se tiene: 
 
3 0 3 1 3 3
d( ; , )d ( ) ln d ( ) i ( ; , )d
C C C C
Tx Y Z T A x T T A x x Y Z TTϕ ψ= + −∫ ∫ ∫ ∫ , (4.4) 
 
donde se han omitido los términos de W(T) que no contribuyen a la integral. El último término 
del segundo miembro se puede integrar por partes como sigue (obsérvese que T es uniforme pero 
ψ no lo es): 
 
[ ] 33 3
( ; , )( ; , )d ( ; , ) d d
C C C
x Y Zx Y Z T T x Y Z S T S
S S
ψψ ψ ∂∂= −
∂ ∂∫ ∫ ∫ , 
 
y, con esta transformación, la ecuación (4.4) se reduce a: 
 
3 3
3 0 3 1 3
( ; , ) ( ; , )( ; , )d ( ) ln d 2πi ( ) i d i d
C C C C
x Y Z x Y Zx Y Z T A x T T A x T S T SS S
ψ ψϕ ∂ ∂= + − +
∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ . 
 (4.5) 
 
Es fácil comprobar que el primer y el tercer término del segundo miembro son iguales y se 
contrarrestan. En cuanto al último término, teniendo en cuenta las condiciones de Cauchy–
Riemann y las condiciones de contorno (ecuación (3.11) del Capítulo anterior), se convierte en: 
 
( )d d dd d d d
c
g c
C C C
N ST S T S U T U T SS N x x
ψ ϕ
∞ ∞
∂ ∂= = =
∂ ∂∫ ∫ ∫ (4.6) 
 
donde Tg es el afijo del centro de gravedad de la sección del cuerpo considerada. El último paso 
en la expresión (4.6) se justifica comprobando que la parte real de TdNcdS es el momento del 
elemento de área dNcdS respecto del eje Z, y que el coeficiente de la parte imaginaria es el 
momento respecto al eje Y. 
 
 
 
 Capítulo 4 70 
Llevando la expresión (4.6) a la (4.5) y ésta a la (4.2) resulta finalmente la fórmula de Ward: 
 
( )3 1 d2π dY Z g cF iF U A U T Sxε ρ∞ ∞ ∞⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦ , (4.7) 
 
donde A1 es el residuo de la función de variable compleja W(T) que aparece en la solución del 
problema próximo correspondiente a x = x3, y TgSc representa los momentos del área de la 
sección considerada respecto a los ejes Z e Y, todo ello medido en coordenadas próximas. 
 
Hay que recordar, una vez más, que FY y FZ son las fuerzas entre el morro y la sección x3; las 
fuerzas en una rebanada de espesor unidad en la dirección axial serán:( )23 1 2
d d d di 2d d d d
Y Z
g c
F F AU U Tx x x x
ε ρ π∞ ∞ ∞
⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
S , 
 
de modo que los momentos respecto al morro, de guiñada y cabeceo, respectivamente, valdrán: 
 
3 3
3
3 1
0 0
d di i d ( i ) 2π ( )d ( ) ( )d d 2π
x x
Y Z
Z Y Y Z g c
F F U
3 3M M x x x F F U A x x T x S xx x ε ρ
∞
∞ ∞
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥− = + = + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠
⎣ ⎦
∫ ∫ . (4.8) 
 
Obsérvese que mientras que el valor de la fuerza depende exclusivamente de la sección x3, la 
posición de la resultante depende de la forma del cuerpo entre el morro y x = x3. 
 
 
4.3. FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS 
 
 
Antes de presentar un ejemplo de aplicación de la fórmula de Ward, conviene precisar algunos 
detalles relativos al campo próximo. Para calcular A1 hay que analizar el problema bidimensional 
correspondiente al plano x = x3. Como el problema es lineal, su solución se puede expresar como 
la suma de la de dos problemas que llamaremos problema axial y problema cruzado, y que 
corresponden a las configuraciones de la figura 4.3, donde el eje x' coincide con la línea de 
sustentación nula del cuerpo, de esta forma el problema axial no contribuye a las fuerzas y 
bastará con resolver el problema cruzado para calcularlas. 
 
Capítulo 4 71
Fig. 4.3. Descomposición del problema en axial y cruzado. 
 
 
La expresión del potencial de perturbación se escribe como 
 
 ϕ ϕ ϕx Y Z x Y Z x Y Za c, , , , , ,a f a f a f= ′ ′ ′ + ′ ′ ′ 
 
Nótese que expresamos la solución de estos dos problemas (axial y cruzado) en las variables de 
los ejes cuerpo (x′,Y′,Z′) en lugar de las de los ejes viento (x,Y,Z) originales. 
 
Introduciendo esta expresión en la formulación del problema del campo próximo, es decir, ϕYY + 
ϕZZ = 0, con ϕ tendiendo a la solución del campo alejado cuando Y2 + Z2 → ∞ y ϕN = U∞dNc/dx 
sobre el obstáculo, se obtienen los siguientes problemas: 
 
• Problema axial: ϕaY'Y' + ϕaZ'Z' = 0, con ϕa tendiendo a la solución del campo alejado cuando 
′ + ′ → ∞Y Z2 2 y con una condición de contorno sobre el obstáculo aún por determinar. 
 
• Problema cruzado: ϕcY'Y' + ϕcZ'Z' = 0, con ϕc → 0 cuando ′ + ′ → ∞Y Z2 2
∞U x z a ccos sinα α ε ϕ ϕa f b g2 z a c∞ ′ + ′ + +α ε ϕ ϕa f b g2
Φ + Φ =
, e igual que en el 
caso anterior con una condición de contorno sobre el obstáculo a determinar. 
 
Para calcular las condiciones de contorno que deben cumplir ϕa y ϕc sobre el cuerpo esbelto 
conviene expresar ésta en términos del potencial de velocidades, ∇Φ.∇F=0, donde F(x′,y′,z′) = 0 
es la ecuación de la superficie del cuerpo en los nuevos ejes y el potencial de velocidades es 
 
 ( ) ( )2 , , , ,a cU x x y z x y zε ϕ ϕ∞ ′ ′ ′ ′ ′ ′Φ = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦
 = U x . ′ + ′ + + ≈
 
Así pues, en el nuevo sistema de coordenadas ligado al cuerpo, la condición de contorno sobre el 
obstáculo, Φ + , se escribirá 0x x y y z zF F F′ ′ ′ ′ ′ ′
 
 U F F U Fx aY cY Y aZ cZ Z∞ ′ ′ ′ ′ ∞ ′ ′ ′+ + + + +ε ϕ ϕ =ε
α ε ϕ ϕ
ε
b g b g 0 , 
 
o bien, poniendo ϕ ϕ ϕaY Y aZ Z aN NF F F′ ′ ′ ′ ′ ′+ = , ϕ ϕ ϕcY Y cZ Z cN NF F F′ ′ ′ ′ ′ ′+ = , 
 
α 
x´ 
z´ z 
x U∞
α 
x´ 
z´ z 
x 
U∞sin
α 
x´ 
z´ z 
x 
U∞cosα
α
 
 
 Capítulo 4 72 
U F U F Fx Z aN cN N∞ ′ ∞ ′ ′ ′ ′+ + + =
α
ε ϕ ϕc h 0 , 
 
y teniendo en cuenta que F FZ N′ ′= cosθ , donde θ es el ángulo que forma la normal a la curva 
corte del cuerpo esbelto por un plano x = cte con el eje Z′, se tiene 
 
 U F U Fx aN cN∞ ′ ∞ ′ ′ ′+ + + N =
α
ε θ ϕ ϕcose j 0 , 
 
− = + +′
′
′
∞
′
∞
F
F U
x
UN
aN cNα
ε
θ ϕ ϕcos . 
 
/F = dN'Teniendo en cuenta que –Fx′ N′ c/dx', donde N' = N'c(x') es la ecuación de la superficie del 
obstáculo en los nuevos ejes, resulta: 
 
d
cos
d
aN cN cN
U U x
ϕ ϕα θ
ε
′ ′
∞ ∞
′
+ + =
′
 , 
 
condición de contorno que ahora separamos en dos condiciones, una para ϕ y otra para ϕa c: 
 
d
d
a cNU
N x
ϕ
∞
′∂
=
′ ′∂
 
 
ε
ϕ
α θ
∂
∂ ′
+ =∞
c
N
U cos 0 . 
 
El problema axial es complicado de resolver, salvo si la forma del obstáculo permite el uso de 
determinados sistemas de coordenadas que facilitan la resolución de la ecuación de Laplace. Una 
de estas formas es el cuerpo de revolución, en cuyo caso en la solución sólo aparece el primer 
término (el logarítmico). La solución general de este problema se puede escribir de todas formas 
como: 
 
( )
( )1 1
d dRe ln Re ln
2π d 2π d
a a
c n c n
a Sn n
SN
S a S aU UT T T
x xT T T
ϕ
∞ ∞
∞ ∞
N
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥′⎢ ⎥= + = − +
′ ′′ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑ . 
 
donde son coeficientes (función de x) desconocidos y Tana SN = −αxi. 
 
Respecto al campo cruzado, la condición de contorno obtenida sobre el obstáculo puede resultar 
inicialmente poco familiar. Se puede obtener un problema mucho más reconocible definiendo 
una nueva función relacionada con la solución del problema cruzado en la forma 
 
~ϕ εϕ αc c U Z= + ′∞ 
 
de modo que esta función cumple también la ecuación de Laplace, ~ ~ϕ ϕcY Y cZ Z′ ′ ′ ′+ = 0, y las 
condiciones de contorno 
 
 sobre el cuerpo: 
∂
∂ ′
=
~ϕ c
N
0 , 
 
 
Capítulo 4 73
′ + ′ → ∞ → ′∞Y Z U Zc
2 2 : ~ϕ α . 
 
Nótese que ~ϕ c obedece a una formulación análoga a la de la determinación del potencial del 
problema bidimensional que resulta al cortar el cuerpo por el plano x´ = x3 con velocidad normal 
nula sobre el obstáculo y velocidad vertical αU∞ en el infinito (figura 4.4). Resuelto este último 
problema se podrá escribir la solución en la forma 
 
( )
( )1
1 Re
c
n
c c n
SN
aU Z
T T
ϕ ϕ α
ε
∞
∞
⎡ ⎤
′ ⎢ ⎥= − =
⎢ ⎥−⎣ ⎦
∑ , 
 
de modo que el potencial de velocidades de perturbación del campo próximo resulta: 
 
( )
( )1
dRe ln
2π d
a c
c n
SN n
SN
S aU T T
x T T
ϕ
∞
∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥= − +
⎢ ⎥−⎣ ⎦
∑ na 
 
o bien, llamando a a an n
a
n
c= +
 
1
d( ) ln( )
2π d ( )
c n
SN n
SN
S aUW T T T
x T T
∞
∞= − +
−∑ , 
 
 
Fig. 4.4. Las condiciones de contorno que debe satisfacer el potencial de velocidades de perturbación del campo 
próximo en el caso de un cuerpo esbelto como el representado (problema 1) se pueden expresar como suma 
de las correspondientes al campo axial (problema 2) y las del campo cruzado (problema 3), si bien a la hora 
de resolver este último es más conveniente analizar el problema del campo cruzado modificado (problema 
4). 
 
Ahora bien, 
α 
δ 
x 
y 
z 
U∞
αU∞
ϕN=0 
ϕN=0 
ϕN=0 ϕN=0 4
(α−δ)U∞
(α+δ)U∞
δU∞δU∞ 1 δU∞ δU∞
δU∞ αU∞
2
αU∞
30 0 
δU∞
 
 
 Capítulo 4 74 
 
ln( ) ln SNSN
TT T T T− = − +… 
 
de modo que 
 
1
d d1( ; ) ln ( )2π d 2 d
c c
SN
S SU UW x T T a Tx T xπ
∞ ∞= + − … + 
 
De aquí se deduce que el residuo, A1, que interviene en la fórmula de Ward vale: 
 
1
d
2π d
c
SN
SU
1A T ax
∞= − + (4.9) 
 
y la fórmula de Ward se puede escribir en la forma 
 
3
1 1
d di 2π( ) (d d
a c c
Y Z SN g c
SF F U a a U T U T Sx xε ρ∞ ∞ ∞ ∞ )
⎡ ⎤+ = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
 . (4.10) 
 
Si la corriente no perturbada incide según la línea de sustentación nula del cuerpo será TSN = 0 y 
 = 0, por lo que de la fórmula de Ward se tendrá: 1
ca
 
1
d ( )2π d
a
g c
Ua Tx
∞ ′= − S 
 
como no depende del ángulo de ataque la ecuación (4.10) se puede escribir 1
aa
 
3
1
di 2π d
c SN
Y Z c
TF F U a U S xε ρ∞ ∞ ∞
⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
 (4.10) 
 
En general, será difícil conocer la línea de sustentación nula del cuerpo, salvo casos particulares 
como el de cuerpos de revolución o cuerpos con planos de simetría. 
 
 
4.4. EJEMPLO DE APLICACION 
 
Como ejemplo de aplicación de la formula de Ward, consideremos cualquiera de los dos cuerpos 
esbeltos representado en la figura 4.5, formados por un ala plana y un fuselaje de revolución, 
cuyo eje está contenido en el plano del ala (ala media). Para estos cuerpos esbeltos se quiere 
calcular la sustentación del conjunto (suponiendo que vuela con ángulo de ataque α, sin guiñada, 
y velocidad U y en una atmósfera de densidad ρ∞ ∞) y el factor de interferencia ala-fuselaje 
definido en la forma: (FZ ALA+FUSELAJE − FZ FUSELAJE)/FZ ALA sin FUSELAJE, así como el momento de 
cabeceo respecto al morro. 
 
Antes de entrar en los cálculos, son precisasdos observaciones previas: se supone que tanto R(x) 
como b(x) alcanzan sus máximos valores en la sección posterior (más adelante se volverá sobre 
este punto); y una vez que ya se ha aclarado qué términos son dominantes en el campo próximo 
y cuál es su orden de magnitud, volvemos a usar variables y funciones no dilatadas. 
 
 
Capítulo 4 75
z 
y 
x L 
b b 
RbRb
 
Fig. 4.5. Ejemplos de cuerpo esbelto con alas y de cuerpo esbelto cónico. 
 
Para aplicar la fórmula de Ward nos concentramos en el problema bidimensional 
correspondiente al plano x = x3. Como se ha dicho, el residuo estará dado por (4.9), escrito en 
variables no dilatadas. Para calcular a1 se consideran los planos t, Ω y τ, con las funciones de 
transformación que se indican en la figura 4.6. 
 
 
 
 
z 
y 
b 
Rb
Plano t 
ζ 
η 
Plano τ 
′ = − +
−
t t t
R
t tg
b
g
2
 
2
t
ρ
τ
τ
′ = + 
z' 
Plano t' 
y' 
b
R
b
b+
2
 − −b
R
b
b
2
 
αU∞ αU∞ αU∞
ρ 
21
2
bRb
b
ρ
⎛ ⎞
⎜ ⎟= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Fig. 4.6. Planos t, Ω y τ con las funciones de transformación que los relacionan. 
 
El potencial complejo total (el incidente más el de perturbación) en el plano τ será: 
 
( )22
( ) i
4
bb R b
F Uτ α τ
τ∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 , 
 
y el potencial total en el plano Ω: 
 
( )22 2( ) i bF U b Rα ∞Ω = − Ω − + b , 
 
con lo que el potencial total en el plano t vale: 
 
 
 
 Capítulo 4 76 
2 22 2
( ) i b bSN
SN
R RF t U t t b
t t b
α ∞
⎛ ⎞ ⎛
= − − + − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
 . 
 
El potencial complejo de perturbación en el plano t es: 
 
2 22 2
2( ) i ( ) i ( ) 1 1( )
b b
SN SN
SNSN
R b R bf t U t t U t t
t tt t
α α∞ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥+ − = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎢ ⎥−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 . 
 
Es fácil ahora obtener que el residuo vale: 
 
4 4
1 2i 2
bb Ra U
b
α ∞
+
= . 
 
De acuerdo con las expresiones (4.7) y (4.10) se tiene: 
 
4 4
2 2
2
di 2π i d2
b S
Y Z c
b R tF F U U S Nxb
ρ α ρ∞ ∞ ∞ ∞
+
+ = + , 
 
donde dtSN/dx = −iα (nótese que añadir ahora el efecto de un ángulo de guiñada es trivial). Así 
pues, las fuerzas sobre el cuerpo esbelto son: 
 
ALA FUSELAJE
4 4 2
2
20 , π
b b
Y Z
b R b R
F F U
b
α ρ
+ ∞ ∞
+ −
= =
2
 . (4.11) 
 
ALA sin FUSELAJE
2 2πZF U bα ρ∞ ∞= , y haciendo b = RHaciendo R = 0 tenemos , tenemos b b
FUSELAJE
2 2πZ bF U Rα ρ∞ ∞= , de modo que el factor de interferencia vale: 
 
F F
F
R
b
Z Z
Z
bALA FUSELAJE FUSELAJE
ALA sin FUSELAJE
+
−
= −
F
HG
I
KJ
1
2
2
2
 . 
 
El momento de cabeceo respecto al morro valdrá: 
 
0
d d
d
L
z
Y
FM x x
x
= −∫ . 
 
En el caso particular del cuerpo cónico de la figura 4.5, se tiene FZ(x) = (x2/L2)FZ(L), por lo que 
el momento valdrá: 
 
4 4 2
2
2
2 π
3
b b
Y
b R b R
M L U
b
α ρ∞ ∞
+ −
= −
2
 . 
 
 
Capítulo 4 77
 
4.5. ALAS ESBELTAS 
 
Consideremos el ala representada en la figura 4.7, de espesor nulo, esbelta y que 
provisionalmente supondremos plana aunque pronto se verá que es posible generalizar el 
desarrollo a alas con ciertos tipos de curvatura. Ahora, que se sabe cómo calcular la resultante de 
las fuerzas que operan sobre el ala (ya hemos visto que vale 2 2π ( )ZF U bα ρ∞ ∞= L ), nos 
planteamos determinar cómo se distribuyen dichas fuerzas sobre la forma en planta del ala. 
 
x 
L 
b(x) 
y 
 
Fig. 4.7. Ala esbelta. 
 
La ecuación linealizada del potencial de velocidades de perturbación queda, en primera 
aproximación: 
 
ϕ ϕyy zz+ = 0 , (4.12) 
 
y la condición de contorno sobre el ala es: 
 
ϕ
αz
U∞
= − . (4.13) 
 
Aunque se ha supuesto que el ala es plana, la generalización a alas con curvatura función sólo de 
la variable x es obvia. En el infinito la perturbación introducida por el ala se debe amortiguar, 
salvo en la estela y sus proximidades. Como se ha dicho antes en relación con el problema 
cruzado, ϕ es el potencial de perturbación del (conocido) problema bidimensional representado 
en la figura 4.8, cuya solución es: 
 
b(x) −b(x y 
z 
αU∞
 
Fig. 4.8. Problema auxiliar para resolver el problema cruzado (bidimensional) del ala plana esbelta. 
 
( )2 2( ; , ) Re i ( )x y z U t b x tϕ α ∞⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ , (4.14) 
 
donde Re indica la parte real y t' = y' + iz' es la variable compleja. Observe que en la expresión 
anterior la variable x juega un papel de parámetro, en este caso a través, exclusivamente, de b(x). 
 
 
 Capítulo 4 78 
Para calcular el coeficiente de presión sobre la placa plana interesa conocer ϕ(x';y',0±). De la 
expresión (4.14) deducimos: 
 
2 2( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α± ∞′ ′ ′ ′= ± − y (4.15) 
 
correspondiendo un signo u otro según se esté en extradós o intradós (véase la figura 4.9). El 
coeficiente de presión, cp = −2ϕx'/U∞ (donde no se han escrito los términos ( )2 2 /Y Z Uϕ ϕ′ ′ 2∞+ , ni 
los correspondientes al cambio de sistema de referencia a ejes cuerpo, ya que van a tener el 
mismo valor en el extradós y en el intradós y sólo estamos interesados en su diferencia, el 
coeficiente local de sustentación), valdrá, en el extradós: 
 
y 
z 
 
Fig. 4.9. Correspondencia entre los signos ± en la expresión (4.15). 
 
 2 22 ( )pec b x y …x
α ∂ ′ ′= − − +
′∂
 , 
 
y en el intradós: 
 
 2 22 ( )pic b x yx
α ∂ ′ ′= −
′∂
…+ , 
 
de modo que el coeficiente de sustentación local es: 
 
 2 2
2 2
d( ) d( , ) ( , ) ( , ) 4 ( ) 4
( )
l p pi e
bb x xc x y c x y c x y b x yx b x y
α α
′
′∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = − =′∂ ′ ′−
 . (4.16) 
 
Nótese que, como se ha comentado, para calcular la expresión (4.16) no ha sido preciso utilizar 
la expresión (3.17) del Capítulo 3 completa ya que los términos no calculados son iguales en 
cpi(x',y') y cpe(x',y'). 
 
La ecuación (4.16) requiere dos observaciones. La primera es que la solución obtenida presenta 
una singularidad en el borde de ataque que es característica de los bordes de ataque subsónicos, y 
la segunda es que el ala sustenta sólo en las secciones donde db/dx' > 0 (esta particularidad se 
comenta posteriormente). 
 
En general, la distribución de sustentación obtenida cl(x',y') no cumple la condición de Kutta 
salvo si db/dx' = 0 en la sección final (borde estacionario). 
 
αU∞
z=0+, y>0 
ϕy<0 
z=0−, y>0 
ϕy>0 
 
Capítulo 4 79
Para calcular el coeficiente de sustentación del ala, integramos primero respecto a x' (en bandas 
paralelas al eje x'), teniendo en cuenta que b(x'borde ataque) = y', con lo cual: 
 
borde ataque
2 2 2( ) 4 ( ) d 4 ( )
L
l
x
cc y b x y x b L yxα α
′
∂′ ′ ′ ′= − =′∂∫ 2′− . 
 
La expresión anterior nos dice que (inesperadamente) la distribución de sustentación a lo largo 
de la envergadura es elíptica. Conocido cl(y'), el coeficiente global de sustentación vale: 
 
1 π(4 ) π2
2 2L
b b
c
bc
α
αΛ= = 2 /b cΛ =, donde . 
 
y el coeficiente de resistencia inducida (recurriendo a lo visto al estudiar el Plano de Treffz) será: 
 
2
2π
π 4
L
Di
cc αΛ= =
Λ
 . 
 
Es importante observar que cDi/cL = α/2, lo que indica que la fuerza resultante no es 
perpendicular a la placa (porque existe succión en el borde de ataque subsónico). 
 
Cuando db/dx' < 0 lo anterior no vale para estudiar lo que ocurre su secciones situadas detrás de 
aquella en que b(x') es máxima, porque hay que tener en cuenta los torbellinos que se desprenden 
del borde de salida (tal como se indica en la figura 4.10a). 
 
Consideremos un ala plana como la representada en la figura 4.10b. Vamos a comprobar que la 
solución del problema cruzado correspondiente a la sección 1 es solución del correspondiente a 
la sección 2. 
 
En efecto, ambos problemas difieren exclusivamente en la condición de contorno sobre el ala. 
(En la figura 4.10c se han representado las trazas del ala (y estela) sobre las que hay que imponer 
las condiciones de contorno en las secciones 1 y 2). 
 
 
x 
z 
2b(x1) 2b(x2) 
Problema 1 Problema 2 
a c 
1 2 
x 
z 
2 1 
b 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.10. a) Ala esbelta en la que en parte de ella es db/dx' < 0. b) Forma en planta equivalente utilizada en la 
discusión. c) Contornos no comunes de los problemas 1 y 2. 
 
La parte|y'| ≤ b(x'2) es la misma para los dos problemas por lo que las condiciones de contorno 
son, lógicamente, idénticas en esta parte. La otra parte b(x' ) ≤ |y'| ≤ b(x'2 1) parece distinta (sólo en 
apariencia), porque en 1 hay placa y en 2 hay estela. Para ver que también ahora ambos 
 
 
 Capítulo 4 80 
problemas son idénticos basta con analizar el salto del potencial de perturbación en la estela: ϕ 
experimenta un salto a través de la estela que depende de la intensidad de los torbellinos 
desprendidos del borde de salida, y como los torbellinos que llegan a 2 no han experimentado 
modificación alguna después de salir de 1, el salto de ϕ a través de la estela en 2 es igual al salto 
a través de la parte correspondiente de la placa en 1. Así pues, la solución del problema 1 cumple 
la ecuación diferencial y condiciones de contorno del problema 2, por lo que, al no haber 
variación con x', el comportamiento es semejante al que se produciría si fuera db/dx' = 0. 
 
 
 
 
4.6. ALAS ESBELTAS CON PEQUEÑOS ESPESORES Y CURVATURAS EN EL SENTIDO 
 DE LA ENVERGADURA 
 
Lo dicho hasta ahora sirve para calcular alas cuya sección, al cortar por un plano x' = cte es una 
línea recta. Se ha desarrollado una teoría asintótica para estudiar los efectos de espesor y 
curvatura en alas esbeltas a un cierto ángulo de ataque (Plotkin, 1983). 
 
Sea εc el pequeño parámetro que mide la desviación de la superficie del ala respecto al ala plana 
con ángulo de ataque α que ya hemos estudiado. El problema se aborda haciendo un análisis de 
perturbaciones a partir del ala plana esbelta, del que resultará un desarrollo distinto del obtenido 
en el caso de cuerpos esbeltos, en el que no aparecerán términos logarítmicos (porque, para todas 
las secciones, S(x') = 0). 
 
Consideremos el problema auxiliar que habría que resolver para obtener el campo cruzado: el ala 
plana estará en z' = 0 y sometida a una velocidad αU∞ paralela al eje z'. Utilizando las variables 
físicas y',z', la formulación para el potencial total en el campo próximo cruzado estará definida 
por la ecuación diferencial: 
 
0y y z zϕ ϕ′ ′ ′ ′+ = , (4.17) 
 
y la condición de contorno sobre la superficie del obstáculo, cuya ecuación es εcf(x',y') − z' = 0, 
es decir: 
 
( ) ( )( , ) ; , ( , ) ; , ( , ) 0c y y c z cf x y x y z f x y x y z f x yε ϕ ε ϕ ε′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = = . (4.18) 
 
Nótese que en esta condición de contorno, (4.18), las derivadas respecto a x' no aparecen por 
tratarse de una configuración esbelta. La condición de contorno en el infinito es: 
 
U zϕ α ∞ ′→ , (4.19) 
 
Si fuera εc = 0 el potencial resultante, ϕ 0(x';y',z'), sería el potencial del problema auxiliar para el 
campo cruzado del ala plana esbelta situada en z' = 0. Cuando εc es pequeño, pero no nulo, 
podremos poner: 
 
0 1( ; , ) ( ; , ) ( ; , )cx y z x y z x y zϕ ϕ ε ϕ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + …+ (4.20) 
 
 
Capítulo 4 81
Llevando (4.20) al sistema (4.17)–(4.19), despreciando consistentemente términos de orden 
superior, transfiriendo la condición de contorno al esqueleto y anulando coeficientes de las 
sucesivas potencias de εc (en este caso, cero y uno) se tienen los problemas siguientes: 
 
Problema de orden cero: 
 
Ecuación diferencial ϕ 0y'y' + ϕ 0z'z' = 0 . (4.21) 
 
Condición de contorno sobre el obstáculo ϕ 0z'(x';y',0) = 0 . (4.22) 
 
Condición de contorno en el infinito ϕ 0→ αU∞z' . (4.23) 
 
La solución de este problema es conocida (véase el apartado 4.5, aunque las expresiones que se 
obtuvieron ahí eran para el potencial de perturbación y no para el potencial total). En particular, 
se deduce que 
 
2 2
0 ( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α
±
∞′ ′ ′ ′= ± − y . (4.24) 
 
Problema de primer orden: 
 
Ecuación diferencial ϕ 1y'y' + ϕ 1z'z' = 0. (4.25) 
 
Condición de contorno sobre el obstáculo. Para escribir esta condición se debe proceder con 
cuidado, ya que al transferir la condición de contorno al ala plana aparecen nuevos términos en 
εc. Un primer paso sería: 
 
( ) ( )
( )
0 0
1
( , ) ; , ( , ) ; , ( , )
 ; , ( , ) 0
c y y c z c
c z c
f x y x y z f x y x y z f x y
x y z f x y
ε ϕ ε ϕ ε
ε ϕ ε
′ ′ ′
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = −
′ ′ ′ ′ ′− = −…
 
=
 
 
y, desarrollando en serie de Taylor en el entorno de z' = 0 se tiene: 
 
( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
1
( , ) ; , 0 ; ,0 ( , ) ; , 0
 ; , 0 0
c y y z c z z
c z
f x y x y x y f x y x y
x y
ε ϕ ϕ ε ϕ
ε ϕ
± ±
′ ′ ′ ′ ′
±
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− −
′ ′− −…
± −
=
z
±
′ ′
 
 
y tomando los términos en εc
 
 . 1 0 0( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 )yz y zx y f x y x y f x y x yϕ ϕ ϕ
± ±
′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= −
 
ϕ = −ϕ ) resulta finalmente: Teniendo en cuenta la expresión (4.21) ( 0z'z' 0y'y'
 
1 0( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 )z yx y f x y x yy
ϕ ϕ± ±′ ′
∂ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= ⎣ ⎦′∂
 . 
 
De acuerdo con la ecuación (4.24) se tiene: 
 
 
 
 Capítulo 4 82 
0 2 2
( ; , 0 )
( )
y
yx y U
b x y
ϕ α±′ ∞
′
′ ′ =
′ ′−
∓ , 
 
y, finalmente: 
 
1
2 2
( ; , 0 ) ( , )
( )
z x y yf x y
U y b x y
ϕ α
±
′
∞
⎡ ⎤′ ′ ′∂ ⎢ ⎥′ ′=
′∂ ⎢ ⎥′ ′−⎣ ⎦
∓ . (4.26) 
 
La condición de contorno en el infinito es: 
 
ϕ 1 → 0 (4.27) 
 
Las ecuaciones (4.25)-(4.27) indican que la formulación del problema correspondiente a la 
primera aproximación, ϕ 1, es análoga a la del potencial de perturbación de un perfil en régimen 
incompresible, por lo que serán válidos los mismos métodos de resolución. Hay que hacer la 
salvedad de que en la teoría de perfiles era necesario imponer la condición de Kutta para que la 
solución fuera única, mientras que aquí la condición que se debe imponer es que la circulación 
alrededor del obstáculo es nula. De hecho, esta condición ya ha sido impuesta para obtener las 
soluciones de los apartados 4.4 y 4.5. Así, en el problema de ala con espesor, f(x',y') = ±E(x',y'), 
como f(x',y') es antisimétrica respecto a z' = 0, el segundo miembro de la expresión (4.26) será 
simétrico, como si se tratase de un problema de curvatura de un perfil bidimensional. En 
consecuencia, como ϕ 1 y ϕ 1x' resultan ser antisimétricas, la conclusión es que el espesor 
corrige la sustentación del ala plana. 
 
En un problema de curvatura, f(x',y') = C(x'; y'), el segundo miembro de la expresión (4.26) es 
antisimétrico, como si se tratase de un problema de espesor de perfiles: la curvatura no corrige la 
sustentación del ala plana. 
 
Para aclarar estos conceptos, consideremos un ala con distribución elíptica de espesor (que es el 
caso más sencillo de problema de espesor). En este caso particular, tendremos: 
 
2 2( ; ) ( )E x y b x y′ ′ ′ ′± = ± − . 
 
Siempre que sea E(x';y') simétrica respecto a y' = 0, la distribución de circulación a lo largo del 
supuesto perfil bidimensional será antisimétrica respecto a y' = 0 y, por lo tanto, su integral entre 
−b(x') y +b(x') será nula. No hay circulación alrededor del perfil. La expresión (4.26) se reducirá 
a: 
 
1 ( ; , 0 )z x y
U
ϕ α
±
′
∞
′ ′
= − 
 
que es la condición de contorno para la corriente alrededor de una placa plana con ángulo de 
ataque α pero sin circulación. La solución para el potencial de perturbación es ya conocida: 
 
2 2
1( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α
±
∞′ ′ ′ ′= ± − y , 
 
 
Capítulo 4 83
de manera que: 
 
2 2
0 1( ; , 0 ) ( ; , 0 ) ( ; , 0 ) (1 ) ( )c cx y x y x y U b xϕ ϕ ε ϕ ε α
± ± ±
∞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = ± + y−
b
 . 
 
Por consiguiente, en primera aproximación, el espesor corrige el potencial de velocidades de la 
placa plana mediante el factor (1 + εc). La sustentación será, por tanto: 
 
2 2πzF Uρ α∞ ∞= . 
 
Para analizar un problema sencillo de curvatura, consideremos la parábola 
 
2 2( )( ; ) ( )
b x yC x y b x
′ ′−′ ′ = ′ . 
 
La condición de contorno (4.26) se reduce a: 
 
2 2
1
2 2
( ; , 0 ) ( ) 2
( ) ( )
z x y b x y
U b x b x y
ϕ α
±
∞
′ ′ ′ ′−
=
′ ′ −
∓ 
′
 . 
 
Como este problema es análogo al problema bidimensionalde espesor, se resuelve utilizando 
técnicas análogas. 
 
De este modo se puede entender que el potencial de velocidades ha sido generado por una 
distribución de manantiales de intensidad 
 
2 2
0
1 0 2 2
0
( ) 22 ( ; , 0 ) 2
( ) ( )
z
b x yx y U
b x b x y
ϕ α+′ ∞
′ ′−′ ′ = −
′ ′ ′−
 , ⏐y' ⏐ ≤ b(x') 0
 
y utilizando las expresiones deducidas en la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen 
incompresible (cambiando x' por y' y x' por y' en las expresiones para perfiles) se tiene 0 0
 
( )
1 0
1 0
0- ( )
( ; , 0 )1( ; , 0) x d
π
b x
z
y
b x
x y
0x y yy y
ϕϕ
′
+
′
′
′
′ ′
′ ′ ′=
′ ′−∫ , 
 
de modo que sustituyendo la expresión de ϕ 1z'(x';y' ,0+0 ) obtenida de la condición de contorno 
queda 
 
( ) 2 2
0
1 02 2
0 0( )
( ) 2( ; , 0) x d
π ( )( ) ( )
b x
y
b x
b x yUx y y
b x y y b x y
αϕ
′
∞
′
′−
′ ′−′ ′ ′= −
′ ′ ′ ′ ′− −∫ . 
 
Introduciendo el cambio de variable y' = b(x') cosθ0, se obtiene: 0
 
 
 
 Capítulo 4 84 
1 0
0
00
( ; , 0) cos 2x d
π cos cos
y x y
U
π
ϕ θα θ
θ θ
′
∞
′ ′
= −
−∫ , 
 
y, finalmente: 
 
1 ( ; , 0) 2 ( )y
yx y U
b x
ϕ α′ ∞′ ′ = − ′
 . 
 
Nótese que, aunque ϕ 1 depende de x' (y por tanto contribuye a c (x',y',0
±
p )), es simétrica respecto 
a z' = 0 y no contribuye a la sustentación. 
 
 
 
Capítulo 5 85
CAPITULO 5 
 
FUERZAS LONGITUDINALES EN CUERPOS ESBELTOS 
 
5.1. INTRODUCCION 
 
El objeto de este capítulo es calcular la resistencia de onda de un cuerpo que vuela en régimen 
supersónico. La resistencia aerodinámica de un cuerpo esbelto tiene tres sumandos: 1) el debido 
a la viscosidad (resistencias de presión y de rozamiento, no calculables mediante la teoría 
potencial), 2) el debido a la estela de torbellinos (resistencia inducida, calculable mediante la 
teoría desarrollada para el plano de Trefftz) y 3) el debido a las ondas de presión producidas 
cuando vuela en régimen supersónico (resistencia de onda). 
 
La mayor parte de este Capítulo se refiere a cuerpos esbeltos. Sólo al final del mismo se 
considerará la resistencia de onda de configuraciones "no tan esbeltas", es decir, aquellas cuyo 
estudio se puede abordar mediante la linealización del potencial de velocidades, pero sin 
introducir la hipótesis adicional de cuerpo esbelto. Una configuración de este tipo podría 
consistir en un fuselaje esbelto y un ala de alargamiento medio. Para estas configuraciones se 
mostrará cómo se pueden aprovechar parte de los razonamientos y expresiones obtenidos para 
los cuerpos esbeltos modificándolos adecuadamente. 
 
 
5.2. EXPRESION DE LA RESISTENCIA EN FUNCION DEL POTENCIAL DE 
 PERTURBACIONES DEL CAMPO LEJANO 
 
Consideremos el elemento de control de la figura 5.1, que está limitado exteriormente por un 
cilindro circular, S2, de radio, R, finito pero grande, cuyo eje es paralelo a la corriente incidente 
no perturbada, y que pasa, por ejemplo, por el centro de gravedad del avión. La corriente no está 
perturbada en la base S1 del cilindro; para que ocurra esto basta, en el caso supersónico, con que 
la base contenga el punto más adelantado del avión, no es necesario alejarla infinitamente 
corriente arriba. La base S3 está situada en el plano de Trefftz (x = l3). 
 
 
Fig. 5.1. Elemento de control utilizado para relacionar la resistencia con el potencial de perturbaciones en el campo 
lejano. Se utilizan las coordenadas cilíndricas x,r. 
 
Las ecuaciones de balance que hay que utilizar son la ecuación de continuidad: 
 
 − + + + =∞∞ ∞ zz zzρε ϕ σ ρ ε ϕ σUr
S
x
S
2
2
2
3
0d d( )ρ U S1 , (5.1) 
U∞
x 
R 
S3
S2
S1
l3
r 
l 
 
 
 Capítulo 5 86 
y la ecuación de conservación de la componente horizontal de la cantidad de movimiento: 
 
− + + + + = − −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −zz zz zzρ ρε ϕ ε ϕ σ ρ ε ϕ σ σU S U U p p Dr x
S
x
S S
2
1
2 2
2
2 2
3 3
( ) ( ) ( )d d d . (5.2) 
 
Restando de la expresión (5.2) la (5.1) multiplicada por U∞ y despreciando términos de orden 
superior en cada integral, tenemos: 
 
 D p p Ux r
S S
x
S
= − − − −∞ ∞ ∞ ∞zz zz zzρ ε ϕ ϕ σ σ ρ ε ϕ σ4
2 3
2
3
d d( ) d . (5.3) 
 
De los tres términos del segundo miembro, el primero se debe a que la perturbación llega al área 
lateral del elemento de control; es la resistencia de onda, que aparece exclusivamente en régimen 
supersónico (en régimen subsónico la perturbación debida a los manantiales se amortigua más 
rápidamente y la integral es nula). El segundo término se debe a que la presión en S3 es distinta 
de p∞ porque esta zona está perturbada por los torbellinos desprendidos del ala del avión (que la 
atraviesan); este término es la resistencia inducida. El tercer término, aparentemente muy grande, 
es en realidad mucho menor que los otros dos si S3 está suficientemente lejos corriente abajo 
(plano de Trefftz), y además se cancela con un término en ϕx proveniente de la segunda integral. 
 
 
5.3. VELOCIDADES AXIALES Y RADIALES DEBIDAS A UNA SUPERPOSICION DE 
 MANANTIALES SUPERSONICOS A LO LARGO DEL EJE x 
 
Vamos a considerar exclusivamente el primer término del segundo miembro de la expresión 
(5.3) y a suponer que el régimen de vuelo es supersónico. Como R es muy grande, el campo en 
S2 es axilsimétrico (recuérdese el principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune, Capítulo 3) y 
se puede representar por una distribución de manantiales, f(x), situados en r = 0, 0 < x < l. La 
relación entre f(x) y el área, S(x), de la sección recta del cuerpo ya se obtuvo para los cuerpos 
esbeltos en el Capítulo 3, resultando f(x) = −(U∞/2π)dS/dx (para el caso M∞ > 1). Pondremos, por 
tanto: 
 
 ϕ
β
β
( , )
( )
( )
,
x r
f x x
x x r
o o
o
l x r
=
− −
−
z d2 2
0
2
 , (5.4) 
 
donde el límite superior de la integral será el menor de los valores, l ó x−βr. En adelante 
supondremos f(0) = f(l) = 0, lo que limita la aplicación de las expresiones resultantes a ciertos 
cuerpos esbeltos de geometría particular (figura 5.2) pero simplifica notablemente el desarrollo 
posterior. 
 
Hay que advertir que cuando el cuerpo tiene base de área no nula, la ecuación (5.3) para la 
resistencia de onda es válida siempre que la presión de base valga p∞. Para que ocurriera tal cosa 
la estela del cuerpo debería ser asimilable a una zona cilíndrica de propiedades uniformes que se 
prolongara hasta el infinito. Esto excluye los cuerpos 4 y 5 de la figura 5.2. Sin embargo, aun en 
el caso 1 de la figura 5.2, la hipótesis de que la presión de base es igual a p∞ es sólo una 
aproximación, pues el tubo de corriente que coincide con el cuerpo se estrecha más o menos al 
sobrepasar la base, de acuerdo con la cantidad de movimiento que tenga la capa límite al llegar a 
 
Capítulo 5 87
esa sección. El estrechamiento produce una expansión que disminuye la presión de base, cuyo 
valor no se puede estimar con una teoría potencial. 
 
3 
1 
2 
4 
5 
 
Fig. 5.2. Algunos cuerpos esbeltos de revolución a los que se puede (casos 1 y 2) y a los que no se puede aplicar 
(casos 3, 4 y 5) el presente tratamiento matemático basado en que f(0) = f(l) = 0. En el caso 3 es dS/dx ≠ 0 
en x = 0 y en los casos 4 y 5 es dS/dx ≠ 0 en x = l. 
 
En la expresión (5.3) aparecen las componentes ϕx y ϕr de la velocidad de perturbación. Para 
calcularlas, en vez de derivar directamente la expresión (5.4) respecto a x ó respecto a r, con lo 
que se haría el integrando aún más singular, se empieza integrando por partes: 
 
 ϕ β
β
( , ) ( ) ln ( )
,
x r f x x x x x ro o o
l x r
= − − + − −LNM
O
QP =
−
z d 2 2 2
0
e j 
 =
− −
RST
UVW + − + − −
−
z0 2 2 2
0
f x r r
f x x x x x r xo o o
l
o
x r
( ) ln
( ) ln ( )
,
β β
β
β
e jd , (5.5) 
 
donde las dos opciones indicadas entre corchetes corresponden, respectivamente, a que el límite 
superior valga l ó x – βr. 
 
Derivando ahora la expresión (5.5) respecto a x, teniendo en cuenta que esta variable puede 
aparecer en el límite superior de la integral (5.5), se obtiene: 
 
 ϕ
β β β β β
β
x
o
o
o
l x r
x r
f x r r f x r r
f x
x x r
x( , )( ) ln ( ) ln
( )
,
=
− −
RST
UVW + −
RST
UVW + − −
−
z0 0 2 2 2
0 b g
d , 
 
donde el segundo de los corchetes corresponde a la parte de la derivada que depende del límite 
superior de la integral. Como los corchetes se cancelan entre sí, resulta: 
 
 ϕ
β
β
x
o o
o
l x r
x r
f x x
x x r
( , )
( )
( )
,
=
− −
−
z d2 2
0
2
 . (5.6) 
 
Derivando la expresión (5.5) respecto a r se tiene 
 
 
 
 Capítulo 5 88 
 
0 0
( , ) 1 ( ) ln( ) ( ) lnr
x r
f x r rf x r f x r r
r
ϕ
β β ββ β β β
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨− −− − + − ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
+⎬ 
 +
− + − −
−
− −
−
z 1 2 2 2 22 2 2
0 x x x x r
r
x x r
f x x
o o o
o o
l x r
b g b gβ
β
β
β
( )
,
d . 
 
En esta expresión parte de los corchetes se cancelan entre sí, y en la integral, tras multiplicar y 
dividir por x−xo−[(x−xo]2−β2r2]1/2, se simplifica notablemente el integrando, de modo que se 
obtiene: 
 
 
( )
,
2 2 2
0
0
1( , ) 1 ( )d1 ( )
l x r
o
r o o
o
x x
x r f
rf x r x x rr
β
ϕ
β β
− ⎛ ⎞⎧ ⎫ −⎪ ⎪ ⎜ ⎟= − −⎨ ⎬ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎪ ⎪ − −⎩ ⎭ ⎝ ⎠
∫ x x , 
 
es decir: 
 
 ϕ
β
β
r
o o o
o
l x r
x r
r
x x f x x
x x r
( , )
( ) ( )
( )
,
= −
−
− −
−
z1 2 2
0
d
2
 . (5.7) 
 
 
5.4. EXPRESION DE LA RESISTENCIA DE ONDA 
 
Dividiendo el contorno S2 en anillos de área dσ =2πRdx, el primer término del segundo miembro 
de la ecuación (5.3) proporciona la siguiente expresión: 
 
 
, ,3
4 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 20 0
( )d ( ) ( )d2π d
( ) ( )
l l x R l x R
ONDA
R
f x x x x f x xD x
x x R x x R
β β
β
ρ ε
β β
− −
∞
⎡ ⎤ ⎡ −⎢ ⎥ ⎢=
⎢ ⎥ ⎢− − − −⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ ∫
⎤
⎥
⎥
⎦
 . (5.8) 
 
Introduciendo la nueva variable x′ = x–βR, la expresión (5.8) resulta: 
 
( ) ( )
, ,3
4 1 1 2 2 2
1 1 2 20 0 0
( )d ( ) ( )d2π d
( ) 2 ( ) 2
l R l x l x
ONDA
f x x x R x f x xD x
x x x R x x x x R x
β
βρ ε
β β
− ′ ′
∞
⎡ ⎤ ⎡ ′ + −⎢ ⎥ ⎢ ′=
⎢ ⎥ ⎢′ ′ ′ ′− + − − + −
⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ ∫
⎤
⎥
⎥
⎦
 . (5.9) 
 
Considerada esta última integral como una integral triple, agrupamos ahora la parte del 
integrando en que aparece R, 
 
 F x R x R x
x R x x R x
( , )′ = ′ + −
′ + − ′ + −
β
β β
2
1 22 2b gb g
 , 
 
y vemos qué ocurre con F(x′,R) para valores muy grandes de R. Cuando x′ es del orden de l, (que 
es del orden de magnitud de x1 y x2, x′ ∼ x1∼ x2 ∼ l << βR) F(x′,R) tiende a 1/2. En cambio, para 
valores muy grandes de x′, x′ >> βR, F(x′,R) tenderá a 1. Entre ambos casos extremos F(x′,R) 
 
Capítulo 5 89
variará de una cierta forma continua, no necesariamente monótona, entre los valores 1/2 y 1, 
como se esquematiza en la figura 5.3. 
 
 
Fig. 5.3. Representación esquemática de F(x′,R) para valores muy grandes de R. 
 
Basándonos en lo anterior, para calcular la integral (5.9) dividimos el intervalo 0 ≤ x′ ≤ l3–βR en 
dos partes: 
 
1) 0 ≤ x′ ≤ a, donde a es grande comparado con l, pero mucho menor que βR. En este caso 
pondremos en el integrando de (5.9) el valor F(x′,R) = 1/2. 
 
2) En el caso a ≤ x′ ≤ l3–βR despreciaremos x1 y x2 (que valen a lo sumo l) frente a x′ (que es 
mayor que a). La contribución a la integral que aparece en (5.9) de esta parte del intervalo x′ 
se reduce a: 
 
 
3
4
1 1 2 2
0 0
( )2π ( )d ( )d d 0( 2 )
l R l l
a
x R f x x f x x xx x R
β
βρ ε β
−
∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ =′ ′ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ , 
 
donde se ha tomado l como límite superior en las integrales en x1 y x2, ya que es obviamente 
menor que x'. Como es f(0) = f (l) = 0, será 
 
 ( ) ( )f x x f x x
l l
1 1
0
2 2
0
0d dz z= = , 
 
con lo cual la expresión de la resistencia de onda queda: 
 
 
, ,
4 1 1 2 2
1 20 0 0
( )d ( )dπ d
l x l xa
ONDA
f x x f x xD x
x x x x
ρ ε
′ ′
∞
⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
⎤
⎥ ′=
′ ′⎢ ⎥ ⎢− −
⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ ∫ ⎥
⎦
1 
 (5.10) 
F(x’,R) 
x’ 
1/2 
l a βR l3−βR 
 
Antes de seguir con el tratamiento de la ecuación (5.10) conviene comentar la razón de ser de la 
simplificación introducida. Básicamente resulta que, superado un cierto valor de x′, no llega a S2 
la perturbación del obstáculo. Algo parecido ocurre en el régimen supersónico bidimensional 
(Aerodinámica I), donde las perturbaciones quedan localizadas entre las características extremas 
que parten del obstáculo y (dentro de la validez de la teoría potencial linealizada) las condiciones 
de la corriente incidente se recuperan una vez atravesada la característica posterior, tal como se 
ha representado en la figura 5.4a para un perfil lenticular típico. 
 
 
 Capítulo 5 90 
a 
 
Fig. 5.4. Campo lejano, de acuerdo con la teoría potencial linealizada en régimen supersónico. a) movimiento 
bidimensional b) movimiento axilsimétrico. La huella superior representa el flujo de cantidad de 
movimiento. De von Kármán (1963). 
 
En el caso axilsimétrico no ocurre exactamente lo mismo, véase la figura 5.4b. La perturbación 
introducida por el obstáculo no desaparece de forma abrupta al atravesar la característica 
posterior, sino que crece bruscamente para disminuir, tendiendo a cero para un cierto x′ >> l. 
 
La razón de la diferencia entre los casos bidimensional y axilsimétrico es la siguiente: en 
bidimensional la intensidad de la onda depende exclusivamente del cambio de la pendiente de la 
pared del obstáculo. Así, en un perfil rómbico, por ejemplo, hay una onda de expansión en la 
cresta de intensidad doble que la de cada una de las ondas de compresión que aparecen en los 
bordes de ataque y salida. El resultado es que la onda de compresión que parte del borde de 
salida cancela toda la perturbación que incide en ella, devolviendo la corriente a las condiciones 
no perturbadas. 
 
En axilsimétrico, por el contrario, la intensidad de la onda depende del cambio de la pendiente 
de la pared del obstáculo y de la distancia al eje de simetría donde se produce dicho cambio. Un 
cierto cambio en la pendiente ocasionado lejos del eje de simetría produce una onda más débil 
que la misma desviación ocasionada cerca del eje. Por tanto, en un cuerpo de revolución cuya 
línea meridiana sea un rombo, igual a la del perfil bidimensional, la expansión que aparece en la 
sección de área máxima es más débil que la suma de las compresiones causadas en el morro y la 
cola. Como consecuencia, la onda que parte de la cola tiene mayor intensidad que la que haría 
falta para cancelar la perturbación que llega a ella. 
 
Volviendo a la expresión (5.10), integramos primero en la variable x′. El dominio de integración 
está representado en la figura 5.5, el límite inferior de la integración respecto a x′ es la mayor de 
las cantidades x1 ó x2, de modo que: 
 
 d ′
′ − ′ −
= ′ − − + ′ − ′ − =z xx x x x x x x x x x x
x x
a
x x
a
( )( )
ln ( )( )
,
,1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2 2 
 = − − + − − − −ln ( )( ) ln2 21 2 1 2 1 2a x x a x a x x x . 
 
Además, como a >> x1 ≈ x2 ≈ l, será: 
 
 ln ( )( ) ln2 2 41 2 1 2a x x a x a x a
l
a− − + − − = + 0
FH IK . 
 
b 
 
Capítulo 5 91
a 
x’ 
x2
x1
x1>x2x2>x1
x’=x1 
x2=0 x’=x2 
x1=0 
 
Fig. 5.5. Dominio de integración para el cálculo de la expresión (5.10). 
 
Los límites de integración para x1 y x2 son ahora 0 y l. Al llevar estas expresiones a (5.10) se 
tiene: 
 
4
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0 0
π ln 4 ( )d ( )d ( ) ( ) ln d d
l l l l
ONDAD a f x x f x x f x f x x x x xρ ε∞
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎨ ⎬−
⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ . (5.11) 
 
El primer término del segundo miembro de la expresión (5.11) es nulo, por la misma razón de 
antes. Queda, por tanto: 
 
 4 1 2 1 2 1
0 0
π ( ) ( ) ln d d
l l
ONDAD f x f x x xρ ε∞= − −∫ ∫ 2x x . (5.12) 
 
Integrando por partes, por ejemplo en x1, y teniendo en cuenta que, cuando a < x2 < b, es 
 
 x
dx
x x
x x
a
b
x a
x b1
1 2
1 2 1
1
−
= −z ==ln , 
 
se obtiene finalmente 
 
 4 21 1
1 2
0 0
d ( )π ( ) x d
l l
ONDA
f xD f x
x x
ρ ε∞
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫ x , (5.13) 
 
cuya estructura matemática es análoga a la de la expresión que proporciona la resistencia 
inducida de un ala (Aerodinámica I), hecho ya advertido por von Kármán en 1936. 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 5 92