AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica I - Ejercicios de Clase

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Solución al Ejercicio 1.2 
Tomamos como parte exterior del volumen de control un rectángulo suficientemente grande 
para  que  todos  sus  lados  estén  alejados  del  obstáculo  y  en  el  podamos  considerar  que  la 
presión es uniforme, p∞, y que la velocidad en el lado vertical aguas abajo está definida por las 
ecuaciones del enunciado. Además, forman parte del volumen de control el propio obstáculo y 
la cortadura, para que sea simplemente conexo. 
A                   B 
 
 
 
 
 
C                    D 
La aplicación de la ecuación de la continuidad nos lleva a la conclusión siguiente: 
 /2
/2
2B D b
dA C b
A b x
w n dx w n dx u dz
x
 
       
  
 
 
Por lo que se refiere a la aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento, despreciando 
términos de orden superior ya que ud<<U∞, resulta: 
   /2
/2
2 2
2
b
db
A b x A b x
D U u dz U U
x x
  
   
   
          
   
Como la resistencia no puede depender de donde está situado el segmento BD del volumen de 
control, es evidente que ha de ser b(x)=k∙x1/2, con lo que tenemos la ley de ensanchamiento de 
la estela y de donde resulta: 
2 A k
D U

 
   
El  valor  de  A∙k  está  relacionados  con  el  coeficiente  de  resistencia  del  perfil  y  la  velocidad 
incidente. 
 
x 
z 
Ejercicio 1.3 
U
S
 
 
El contorno del dominio fluido consta de las siguientes superficies: 
 
1. En  el  infinito,  S ,  la  superficie  está  formada  por  cuatro  rectas  que  forman  un 
rectángulo  cuyos  lados  son  paralelos  (1,  3)  y  perpendiculares  (2,  4)  a  la  corriente 
uniforme  no  perturbada.  Se  toma  esta  superficie  (curva)  porque  no  hay  ninguna 
simetría en el problema que nos haga preferir otra frente a esta, que parece adecuada 
teniendo en  cuenta que el enunciado nos  sugiere emplear un  sistema de  referencia 
cartesiano. Emplear líneas de corriente en lugar de las superficies 1 y 3, no es factible 
ya  que  no  se  puede  calcular  la  integral  de  presiones  sobre  ellas,  al  no  conocer  su 
forma. 
2. El perfil, Sb. Esta  superficie  se  introduce para obtener  la  sustentación  sobre el perfil 
(fuerzas de presión sobre la superficie del perfil)  
3. Unas  superficies  de  cortadura,  Sc,  que  se  incluyen  para  que  el  dominio  sea 
simplemente conexo pero que no aparecen en la resolución del problema ya que todas 
las  funciones  de  los  integrandos  son  continuas  en  el  dominio  fluido  (densidad, 
velocidad, presión) y al ser dos superficies  iguales pero con  la normal apuntando en 
sentidos opuestos, aparecerán en todos los casos dos integrales iguales en valor pero 
de signos opuestos. 
 
Para calcular la fuerza de sustentación se debe plantear la ecuación de conservación de la 
cantidad de movimiento en el dominio fluido indicado. Es decir 
 
  
1 2 3 4 Sb
v v n d 
   

  
Sc
v n


 
1 2 3 4
cont.
S Sb c
F
pnd
    

 


cont.
 . (1) 
donde en la integrales se ha tachado aquellas contribuciones que son nulas indicando la razón 
por la cual lo son. 
 
Proyectando en la dirección perpendicular a la corriente incidente, para calcular la fuerza de 
sustentación sobre el perfil se tiene 
 
  
1 2 3 4 1 2
zw v n d L pn d  
   
     
3 4
0nz
 
 0nz
 . (2) 
 
Particularizando en cada una de las superficies del contorno se tiene 
 
    2 2
1 2 3 4 1 3
.w d w U u d w d w U u d L pd pd                        
 (3) 
 
La ecuación de Euler‐Bernoulli para un fluido incompresible se escribe 
 
 
21
2
p U   
2 2
2
1
2
1
 
2
p U u w
p U




     
 
  2 22 .U u u w     
 (4) 
 
De donde la presión puede expresarse en función de las componentes de la velocidad como 
sigue 
 
  2 21 2
2
p p U u u w     . (5) 
 
Introduciendo (5) en (3), para expresar la sustentación como integrales de las componentes de 
la velocidad a lo largo de las superficies del contorno del dominio fluido se tiene 
 
 
   
   
2 2
1 2 3 4
2 2 2 2
1 3
1 1
2 2 .
2 2
w d w U u d w d w U u d
L p U u u w d p U u u w d
       
   
 
   
     
                 
   
 
 
 (6) 
 
Desarrollando en la ecuación anterior se tiene 
 
 
2 2
1 2 2 3 4 4
2 2
1 3 1 3
1 1
2 2
1 1
2 2
w d U wd wud w d U wd wud
L U ud U ud u d u d
           
       
 
 
     
    
     
   
 (7) 
 
y despejando la sustentación, y agrupando términos de primer y segundo orden se tiene 
 
 
1 2 3 4
2 2
2 4 1 3
2 2
1 3
2
1 2 3 4
0
1 1
 
2 2
1 1
 
2 2
1
0 0
rdS
r
L U ud U wd U ud U wd
wud wud u d u d
w d w d
U ud wd ud wd d
r 
       
       
   
     
   


 

    
    
  
  
                 
   
   
 
    
 (8) 
 
De donde finalmente se tiene 
 
 
S
L U v dl U  

   

 (9) 
 
que es la Formula de Kutta, una ecuación muy sencilla que permite expresar la fuerza de 
sustentación sobre un perfil (obstáculo) en función de la velocidad de la corriente incidente, su 
densidad y la circulación alrededor del perfil. Se verá más adelante en la asignatura cómo 
puede generarse circulación alrededor de un perfil para que tenga sustentación. 
 
Ana Laveron Simavilla Página 1 05/03/2007 
Enunciado: 
 
Relacione la sustentación de un perfil en presencia de una corriente uniforme U∞ , con 
la circulación en el infinito, Γ . 
 
El número de Mach de vuelo es 0.2M∞ = , el número de Reynolds de vuelo es Re=2 
106 y suponga que la velocidad en el campo fluido se puede expresar como la de la 
corriente uniforme más una perturbación que tiende a cero en el infinito en la forma: 
 
 
( )
( )
2
2
1
, 0 ,
1
, 0 .
r
r
a
U U u u
r r
b
W w w
r r
θ
θ
∞ →∞
→∞
⎛ ⎞= + ⎯⎯⎯→ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎯⎯⎯→ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Resolucion: 
 
El bajo valor del número de Mach indica que puede considerarse el movimiento fluido 
como incompresible, cteρ = . 
 
El alto valor del número de Reynolds indica que las fuerzas viscosas están confinadas 
en una región delgada sobre la superficie del perfil (capa límite delgada) y que son 
despreciables. Por ello la fuerza sobre el perfil es debida únicamente a la distribución de 
presiones sobre su superficie. 
 
Se toma un dominio fluido que rodea al perfil, como el representado en la siguiente 
figura 
 
4
1
2
3
U∞
S∞
 
 
El contorno del dominio fluido consta de las siguientes superficies: 
 
1. En el infinito, S∞ , la superficie está formada por cuatro rectas que forman un 
rectángulo cuyos lados son paralelos (1, 3) y perpendiculares (2, 4) a la corriente 
uniforme no perturbada. Se toma esta superficie (curva) porque no hay ninguna 
simetría en el problema que nos haga preferir otra frente a esta, que parece 
adecuada teniendo en cuenta que el enunciado nos sugiere emplear un sistema de 
referencia cartesiano. Emplear líneas de corriente en lugar de las superficies 1 y 
Ana Laveron Simavilla Página 2 05/03/2007 
3, no es factible ya que no se puede calcular la integral de presiones sobre ellas, 
al no conocer su forma. 
2. El perfil, Sb. Esta superficie se introduce para obtener la sustentación sobre el 
perfil (fuerzas de presión sobre la superficie del perfil) 
3. Unas superficies de cortadura, Sc, que se incluyen para que el dominio sea 
simplemente conexo pero que no aparecen en la resolución del problema ya que 
todas las funciones de los integrandos son continuas en el dominio fluido 
(densidad, velocidad, presión) y al ser dos superficies iguales pero con la normal 
apuntando en sentidos opuestos, aparecerán en todos los casos dos integrales 
iguales en valor pero de signos opuestos. 
 
Para calcular la fuerza de sustentación sedebe plantear la ecuación de conservación de 
la cantidad de movimiento en el dominio fluido indicado. Es decir 
 
 ( )
1 2 3 4 Sb
v v n dρ σ
+ + + +
⋅
Sc
v n
+
⊥
1 2 3 4
cont.
S Sb c
F
pndσ
+ + + + +
−
= −∫
cont.
∫ . (1) 
donde en la integrales se ha tachado aquellas contribuciones que son nulas indicando la 
razón por la cual lo son. 
 
Proyectando en la dirección perpendicular a la corriente incidente, para calcular la 
fuerza de sustentación sobre el perfil se tiene 
 
 ( )
1 2 3 4 1 2
zw v n d L pn dρ σ σ
+ + + +
⋅ = − −∫
3 4
0nz
+ +
= 0nz=
∫ . (2) 
 
Particularizando en cada una de las superficies del contorno se tiene 
 
 ( ) ( )2 2
1 2 3 4 1 3
.w d w U u d w d w U u d L pd pdρ σ ρ σ ρ σ ρ σ σ σ∞ ∞+ + − − + = − − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 (3) 
 
La ecuación de Euler-Bernoulli para un fluido incompresible se escribe 
 
 
21
2
p Uρ∞ ∞+ ( )
2 2
2
1
2
1
 
2
p U u w
p U
ρ
ρ
∞
∞
⎡ ⎤= + + + =
⎣ ⎦
= + 2 22 .U u u w∞⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
 (4) 
 
De donde la presión puede expresarse en función de las componentes de la velocidad 
como sigue 
 
 ( )2 21 2
2
p p U u u wρ∞ ∞= − + + . (5) 
 
Ana Laveron Simavilla Página 3 05/03/2007 
Introduciendo (5) en (3), para expresar la sustentación como integrales de las 
componentes de la velocidad a lo largo de las superficies del contorno del dominio 
fluido se tiene 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 3 4
2 2 2 2
1 3
1 1
2 2 .
2 2
w d w U u d w d w U u d
L p U u u w d p U u u w d
ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ
ρ σ ρ σ
∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
+ + − − + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
 (6) 
 
Desarrollando en la ecuación anterior se tiene 
 
 
2 2
1 2 2 3 4 4
2 2
1 3 1 3
1 1
2 2
1 1
2 2
w d U wd wud w d U wd wud
L U ud U ud u d u d
ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ
ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ
∞ ∞
∞ ∞
+ + − − − =
− + − + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
 (7) 
 
y despejando la sustentación, y agrupando términos de primer y segundo orden se tiene 
 
 
1 2 3 4
2 2
2 4 1 3
2 2
1 3
2
1 2 3 4
0
1 1
 
2 2
1 1
 
2 2
1
0 0
rdS
r
L U ud U wd U ud U wd
wud wud u d u d
w d w d
U ud wd ud wd d
r θ
ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ
ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ
ρ σ ρ σ
ρ σ σ σ σ σ
∞ ∞ ∞ ∞
∞
∞
Γ ⎯⎯⎯⎯→
→∞
= − − + −
− + + − −
− + =
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 (8) 
 
De donde finalmente se tiene 
 
 
S
L U v dl Uρ ρ∞ ∞
∞
= ⋅ = Γ∫ (9) 
 
que es la Formula de Kutta, una ecuación muy sencilla que permite expresar la fuerza 
de sustentación sobre un perfil (obstáculo) en función de la velocidad de la corriente 
incidente, su densidad y la circulación alrededor del perfil. Se verá más adelante en la 
asignatura cómo puede generarse circulación alrededor de un perfil para que tenga 
sustentación. 
Corriente/Manantial/Sumidero 
Dibuje las líneas de corriente divisorias y los puntos de remanso correspondientes a las 
configuraciones  fluidas  bidimensionales  formadas  por  un  manantial        y  un 
sumidero   alineados en una  corriente  	 uniforme  corriente arriba, en  los  casos 
siguientes: 
1) El manantial está situado corriente arriba del sumidero y ambos equidistantes del 
origen  de  coordenadas,    (‐a,0),    (a,0),  considerando  las  tres  posibilidades 
siguientes: que la intensidad del manantial sea mayor que la del sumidero,   , 
que  ambas  sean  iguales    ,  y  que  la  intensidad  del  manantial  sea  menor 
. 
2) El manantial está  situado corriente abajo del  sumidero y ambos equidistantes del 
origen de coordenadas   (a,0),   (‐a,0), siendo ahora ambos de la misma intensidad 
 , pero considerando los casos  / 1 ,	 / 1, y  / 1 . 
 
Solución 
1) Tenemos la siguiente configuración: 
   
Escribimos la expresión del potencial complejo: 
2
ln –
2
ln  
y derivando obtenemos la velocidad conjugada: 
	
2
	
1
2
1
 
 
Igualando a cero la velocidad conjugada obtenemos la expresión matemática de los 
puntos de remanso. 
2
	
1
2
1
0 
2 2
0 
4
1
2
	
4
4
2
4  
4
1
2
	
4
4
2
4  
 
Se consideran los siguientes casos: 
  
 
4
1
2
	
4
4
2
4  
4
1
2
	
4
4
2
4  
 
En los puntos de remanso las líneas de corriente se cortan a 90°. 
 
 
  
	 1 															 	 1  
 
En los puntos de remanso las líneas de corriente se cortan a 90°. 
  
4
1
2
	
4
4
2
4  
4
1
2
	
4
4
2
4  
 
En el punto de remanso las líneas de corriente se cortan a 90°. 
2) Ahora la configuración bidimensional es la siguiente: 
 
 
Siendo   . 
Escribimos la expresión del potencial complejo: 
2
ln – ln  
y derivando obtenemos la velocidad conjugada: 
	
2
	
1 1
 
Igualamos a cero para obtener los puntos de remanso. 
1 0 
	 1  
	 1  
Se estudian los siguientes casos:  
 1 
 
	 1 																	 	 1  
 
 
 
En los puntos de remanso las líneas de corriente se cortan a 90°. 
  
 
0 
 
 
En el punto de remanso doble  las tres líneas de corriente se cortan a 60°. 
 
 
 
 
 1 
 
	 1																	 	 1 
 
 
 
En los puntos de remanso las líneas de corriente se cortan a 90°. 
 
 
 
 
Flujo en un rincón/esquina 
 
 
La función compleja , con A real y 
n  >  0,  sirve  para  estudiar  problemas  de 
líquidos potenciales como el representado en 
el dibujo. Calcule el valor del exponente n 
para que  las rectas θ = 0 y θ = α sean  líneas 
de  corriente,  teniendo  en  cuenta  que 
ninguna otra  recta  con  	 0 , 
debe  serlo.  Estudie  también  el  campo  de 
velocidades y el de presiones en los casos  
α > π, α =π, y α < π. 
 
Mediante  la aplicación del principio de conservación de  la cantidad de movimiento a 
un recinto circular, demuestre que la fuerza de succión en el borde de la placa que se 
obtiene en el caso α = 2π vale  , donde ρ es la densidad del fluido. 
 
Solución 
 
Debido a la geometría del problema trabajamos en coordenadas polares. Escribimos la 
expresión del potencial complejo y separamos la función de corriente ( ). Esta función 
será  constante  a  lo  largo de  las  líneas de  corriente. Además,  como  el  gasto másico 
entre dos  líneas de corriente viene dado por  la expresión  Ψ Ψ  y es nulo 
entre las dos paredes (ya que al no haber manantiales ni sumideros el gasto que entra 
en la esquina es el mismo que el que sale), esta constante será la misma para  0	y 
. 
 
cos sin  
Ψ sin  
 
Cuando  0 ⇒ Ψ 0, por lo tanto si  ⇒ Ψ 0	 
 
Ψ Ar sin nα 0 
sin 0 ⇒  
 
 
 
 
 
Nótese que si  1existirían rectas   con 0  que serían líneas de 
corriente (  para k=2,  	 y  para k=3 etc.). 
 
 
 
1 1  
 
 
 
  
 
1 0 ⇒
→ 0
→ 1 
 
 
 
 
  
 
1 0 ⇒
⟷
1 0
 
 
 
 
 
  
 
1 0 ⇒
→ ∞
→ ∞ 
 
 
 
  
 
2 ⇒
1
2
⇒ /  
 
1
2
	 /
1
2
1 /
2√
cos
2
sin
2
 
 
Aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento: 
 
∙ 	  
 
∙ 	0 
 
0 
 
∙ 	  
 
1
2
 
 
1 1
4
1
1
2
1
 
 
∙ 	
	
2√
cos
2
	 sin
2
cos cos
2
sin sin
2
	
	
1
4
cos
2
	
1
2
sin 	
1
4
	
1
2
	
1
4
	  
 
 
1
4
 
 
 
 
 
Cecilia	Huertas	y	María	Juanas	 Página	1	
 
Problema 03/03/2011 
Dada  la  configuración  bidimensional  de  la  figura  formada  por  un  manantial  de 
intensidad Q,  situado en  (‐a,0), un  sumidero de  intensidad –Q  situado en  (a,0) y un 
torbellino  de  intensidad  Γ  situado  en  el  origen  se  desean  conocer  los  puntos  de 
remanso y las líneas de corriente divisorias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Para  hacer  un  análisis  previo  de  donde  se  encuentran  los  puntos  de  remanso 
escribimos la expresión del potencial complejo: 
2
ln
Γ
2
ln 	 –
2
ln  
                                                  
                                                               Manantial              Torbellino               Sumidero   
 
y derivando obtenemos la velocidad conjugada: 
	
2
	
1 Γ
2
1
2
1
 
Analizando  esta  expresión  llegamos  a  que  cuando    → 0   ⇒  	     ;  cuando 
aumenta      los  puntos  de  remanso  se  desplazan  sobre  la  circunferencia  de  radio  a 
hacia  0,  que corresponde a un punto deremanso doble para   ; por último 
cuando		 → ∞ uno va  al origen y el otro a  → ∞. El lugar geométrico de los puntos 
de remanso está representado en la siguiente figura. 
Cecilia	Huertas	y	María	Juanas	 Página	2	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualando a  cero  la  velocidad  conjugada obtenemos  la expresión matemática de  los 
puntos de remanso. 
2
	
1 Γ
2
1
2
1
0 
2
Γ
0 
	 1
Γ Γ
 
	 1
Γ Γ
 
Para el estudio de las líneas de corriente divisorias se consideran los siguientes casos: 
 
 ≫  
 
 
 
 
 
En los puntos de remanso las líneas de 
corriente se cortan a 90°. 
Cecilia	Huertas	y	María	Juanas	 Página	3	
 
 
 1 
	 1
Γ Γ
 
	 1
Γ Γ
 
En los puntos de remanso las líneas de 
corriente se cortan a 90°. 
 
 
  
 
 
En el punto de remanso doble  las tres líneas 
de corriente se cortan a 60°. 
 
 
 
 1 
 
	
Γ
1
Γ
 
	
Γ
1
Γ
 
En los puntos de remanso las líneas de 
corriente se cortan a 90°. 
Cecilia	Huertas	y	María	Juanas	 Página	4	
 
 
 ≪  
→ 0 
→ ∞ 
 
 
 
 
 
 
En  todos  los  casos,  cuando  nos  separamos  de  las  singularidades  la  velocidad  que 
induce el torbellino decae más lentamente (1/t) que la que induce la pareja manantial‐
sumidero  (doblete,  1/t2),  por  lo  que  en  puntos  alejados  el  fluido  da  vueltas  en  el 
sentido del torbellino. 
 
 
Ejercicio del día 07/02/2006 
 
Enunciado: 
 
Dibuje las líneas de corriente divisorias y los puntos de remanso correspondientes a un 
manantial de líquido ideal de intensidad Q en presencia de las paredes de la figura. 
En un cierto instante se permite el movimiento de la singularidad; calcule la trayectoria 
del manantial. 
z
x
b
a
Q
 
 
Solución: 
 
Como quiera que la condición de contorno que imponen las paredes es que éstas son 
líneas de corriente, y aplicando 2 veces el método de las imágenes, resulta una 
configuración correspondiente a 4 manantiales situados en 0 it a b= + , 0t− y los 
conjugados de ambos. Obsérvese, como comprobación, que se mantiene también la 
condición del infinito, porque el gasto en cada cuadrante es Q, y que el origen es punto 
de remanso, al tratarse de un rincón en el problema original y ser el centro de simetría 
en el resultante del método de las imágenes. Por tanto, el problema que queda es el 
siguiente: 
 
z
x
b
a
Q
-b
Q
-a
Q
Q
 
 
El potencial de velocidades correspondiente a este problema es: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ln ln ln ln
2
Q
f t t t t t t t t t
π
= − + + + − + +   
 
Para calcular los puntos de remanso se deriva este potencial y se iguala a cero, por lo 
que resulta: 
 
0 0 0 0
1 1 1 1
0
t t t t t t t t
+ + + =
− + − +
 
 
Las raíces de esta ecuación son: 
 
2 20,t t a b= = ± − . 
 
Obsérvese que: 
 
a) El origen es punto de remanso, como se había previsto. Cuando a = b, ese punto 
es de orden 3. 
b) Cuando a > b, los punto de remanso están en el eje real; y en el imaginario 
cuando a < b. 
c) Cuando a >> b, o viceversa, los puntos de remanso se corresponden con los que 
habría en el límite de que la pared lejana no existiera. 
 
1. Para a > b la configuración fluida es 
z
x
b
a
Q
 
Donde en rojo se representan las líneas de corriente divisorias. 
 
2. Para a < b la configuración es: 
z
x
b
a
Q
 
3. Finalmente, para a = b: 
 
z
x
b
a
Q
 
Cuando se deja libre el manantial éste es arrastrado por la corriente que generan los 3 
manantiales imagen en el punto 0t . La velocidad generada en ese punto es: 
 
0 0 0 0 0 0
1 1 1
i
2
Q
u w
t t t t t tπ
 
− = + + + − + 
 
 
Escribiendo 
 0 it a b= + , ,
da db
u w
d dτ τ
= = 
( ) ( )
1 1 1
i
2 i i i i i i
da db Q
d d a b a b a b a b a b a bτ τ π
 
− = + + 
+ + + + − − + + − 
 
 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 3 2 2 2 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
i i i i1 1 1
i
2 2 i2 i2 2 4 i i
3 i 3 i
i
4 i i 4 i
3 i 3
4 i
3 3
i
4
ab a a b b a bda db Q Q
d d a b b a a b ab
Q ab a b Q ab a b
a b
a b ab a b ab
Q a b a ab ab ia b ib
a b ab
Q a a b a b b
a b a a b b
da Q
d
τ τ π π
π π
π
π
τ
+ + + + − = + + = + + 
+ − + −
= = − =
+ +
+ − + − +
= =
+
 − + − + = −
 + + 
=
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 1 3
4 2 4
22
4 2
a b d a bda db Q
a b
a b a d d d
a b bdb Q a b da
d dba b b a b a
π τ τ τ π
τ π
 + +
 + = = + 
⇒  ++ = = + + 
 
 
se puede comprobar que la trayectoria que sigue el manantial, independientemente del 
punto de partida, le lleva asintóticamente a la bisectriz del primer cuadrante. 
 
 
 
Ana Laveron Simavilla Página 1 24/03/2006 
Enunciado: 
 
La transformación conforme permite calcular nuevas soluciones para movimientos 
potenciales de líquidos ideales a partir de soluciones conocidas. 
Para una configuración con tres manantiales de gasto Q alineados como se indica en la 
figura 
1. Calcule el potencial complejo. 
2. Haga un esquema con los puntos de remanso y las líneas de corriente divisorias. 
3. Calcule la expresión de la velocidad conjugada en un punto genérico. 
 
 
4. Sustituya las líneas de corriente rectas que aparecen en la configuración analizada 
por paredes y considere el recinto limitado por dos paredes. 
 
Considere la transformación t = eτ, donde t es un punto del plano que contiene a los 
manantiales y τ un punto del plano transformado. 
 
5. Calcule los puntos singulares de la transformación. 
6. Transforme el recinto definido en el párrafo anterior, especificando los límites de la 
región transformada. 
7. Identifique las condiciones de contorno sobre toda la frontera del dominio fluido. 
8. Transforme las condiciones de contorno para obtener las condiciones de contorno 
del problema transformado. 
9. Esquematice los puntos de remanso y las líneas de corriente divisorias del problema 
tansformado. 
10. Calcule el potencial complejo del problema transformado. 
11. Compruebe que se cumple la ecuación de conservación de masa y calcule la fuerza 
horizontal sobre el manantial, planteando la ecuación de cantidad de movimiento 
para el fluido comprendido en el recinto transformado. 
 
Resolucion: 
 
1. El potencial complejo es el debido a la superposición de las tres singularidades 
 
( ) ( ) ( )ln ln ln
2
Q
f t t a t t a
π
= + + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
 
2. Para calcular los puntos de remanso se iguala a cero la velocidad conjugada 
 
a a 
Plano t 
Q Q Q 
Ana Laveron Simavilla Página 2 24/03/2006 
( ) 1 1 1 0
2
Q
f t
t a t t aπ
⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
 
( ) ( )( ) ( )
2 2
0
3 0
3
t t a t a t a t t a
t a
a
t
− + + − + + =
− =
= ±
 
 
3. A gran distancia del origen ( )r a los tres manantiales se comportan como uno 
solo en el origen de intensidad 3Q. 
 
( ) ( ) ( ) 3ln ln ln ln
2 2t
Q Q
f t t a t t a t
π π→∞
= + + + − ⎯⎯⎯→⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
Por lo anterior las lineas de corriente muy lejos ( )r a tienden a las de un 
manantial en el origen; que son líneas rectas que pasan por el origen. En particular, 
las líneas de corriente divisorias que cortan al eje real tambien tienden 
asintóticamente a rectas que pasan por el origen y se puede calcular el angulo que 
dichas rectas forman con el eje real sin mas que hacer un balance de gastos. En el 
infinito ( )r a el gasto debe estar uniformemente repartido en la direccion 
acimutal y como las lineas de corriente divisorias separan los gastos inyectados por 
los distintos manantiales (por 1α sale el gasto del manantial en a, por 2α sale el 
gasto del manantial en -a y por 3 4α α+ sale el gasto del manantial en el origen) 
debe ser 
 
1 2 3 4
2
3
πα α α α= = + = . 
 
1α
2α
3α
4α
 
 
Ana Laveron Simavilla Página 3 24/03/2006 
Las lineas de corriente divisorias y los puntos de remanso de la configuración son 
por tanto 
 
 
 
3
π
3
π
 
 
 
4. Sustituyendo las líneas de corriente rectas (los ejes real e imaginario son lineas de 
corriente por ser ejes de simietria de la configuración) por paredes se tiene la 
siguienteconfiguración 
t
 
Es importante comprender que la configuración fluida es exactamente la misma y 
únicamente nos estamos fijando en un cuadrante del plano. Por tanto las intensidades de 
los manantiales siguen siendo Q, y el flujo que inyectan en el campo fluido es Q/4 en el 
caso del manantial de la esquina y Q/2 en el caso del manantial en la pared. 
 
Aplicando la función de transformación t eτ= al dominio fluido y al potencial complejo 
que describe el movimiento fluido se obtendrá la solución de una configuración fluida 
Ana Laveron Simavilla Página 4 24/03/2006 
distinta. Este es en realidad la el problema inverso al que se suele presentar en la 
práctica, que suele consistir en encontrar la función de transformación que transforma 
un dominio fluido complejo en otro más sencillo cuyo potencial complejo es fácilmente 
calculable. 
Como se va a transformar el plano t en el plano τ será más cómodo emplear la 
transformación escrita en la forma ( )ln t G tτ = = 
 
5. Para calcular los puntos singulares de la transformación calculamos los puntos en 
que la derivada de la función de transformación se anula o se hace infinito 
 
1
0, 0,
dG
t
dt t
= = ∞⇒ = ∞ 
 
El origen y el infinito son puntos singulares de la transformación por lo que tendrán 
que ser analizados con cuidado. 
 
6. Para transformar el dominio fluido hay que transformar su frontera y comprobar que 
al recorrerla una vez se recorre una única vez la frontera transformada, de esta forma 
aseguramos que la transformación entre los dominios encerrados en ambas fronteras 
es biunívoca. Como el punto t=0 es un punto singular de la transformación. dicho 
punto debe ser extraído del dominio fluido. Estrictamente, el punto en que está 
situado el manantial de la pared también debe ser extraído del dominio fluido, y por 
ser punto regular de la transformación sabemos que el manantial se transformará en 
otro manantial de la misma intensidad en el punto homólogo. 
 
 
 
Transformación de la frontera del dominio: 
 
6.1. Recta AB (excepto el entorno del punto a) 
 
La ecuación de la recta se puede escribir ( )0,t x x= ∈ ∞ . Introduciendo esta 
expresión en la función de transformación se tiene la ecuación de la curva 
transformada ln xτ = de donde se deduce que la curva transformada es el eje 
real del plano transformado, ( ),τ ∈ −∞ ∞ . 
 
6.2. Entorno del punto a, se transforma en el entorno del punto lna 
Ana Laveron Simavilla Página 5 24/03/2006 
6.3. Curva BC 
[ ]
( ) [ ]
i
i
0, 2
0, 2
ln ln i i
t Re
R
Re R X
X
θ
θ
θ π
θ π
τ θ θ
⎧ ∈⎪= ⇒⎨
→∞⎪⎩
⎧ ∈⎪= = + = + ⎨
→∞⎪⎩
 
 
6.4. Recta CD 
 
( )
( ) ( )
i 2
i 2
0,
ln ln i 2 i 2 ,
t re r
re r X X
π
πτ π π
= → ∞ ⇒
= = + = + → −∞ ∞
 
 
6.5. Curva DA 
 
 
[ ]
( ) [ ]
i
i
0, 2
0, 2
ln ln i i
t e
e X
X
θ
θ
θ π
ε
ε
θ π
τ ε ε θ θ
⎧ ∈⎪= ⇒⎨
→∞⎪⎩
⎧ ∈⎪= = + = + ⎨
→ −∞⎪⎩
 
 
El dominio transformado será por tanto 
 
2iπ
ln
 
 
7. Para transformar las condiciones de contorno éstas deben estar bien definidas en el 
plano t, en este caso las condiciones en el contorno son 
 
7.1. Recta AB, salvo el entorno del manantial, es línea de corriente 
7.2. Punto a, el potencial complejo tiende a 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln ln
2 2t a
Q Q
f t t a t t a t a
π π→
= + + + − ⎯⎯⎯→ −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
7.3. Curva BC, curva del infinito, la velocidad tiende a 
 
Ana Laveron Simavilla Página 6 24/03/2006 
 ( ) ( ) ( ) 3ln ln ln ln
2 2t
Q Q
f t t a t t a t
π π→∞
= + + + − ⎯⎯⎯→⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
7.4. Recta CD, es línea de corriente 
7.5. Curva DE, el potencial complejo tiende a 
 
 ( ) ( ) ( ) 0ln ln ln ln2 2t
Q Q
f t t a t t a t
π π→
= + + + − ⎯⎯⎯→⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
 
 
8. Como es sabido las líneas de corriente se transforman en líneas de corriente y un 
manantial de intensidad Q situado en un punto regular de la transformación se 
transforma en un manantial de intensidad Q en el punto homólogo, por tanto las 
condiciones de contorno en el plano transformado son: 
 
8.1. Recta A’B’, salvo el entorno del manantial, es línea de corriente 
8.2. En el punto lna, hay un manantial de intensidad Q 
8.3. Curva B’C’, curva del infinito, la velocidad tiende a 
 
 ( ) ( )( )
[ ]
0 ln
i 0, 2
3 3
ln
2 2t t
Q Q
f t f F t
τ
τ θ θ π
τ τ
π π→ =→−∞+ ∈
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = 
 
Es decir el potencial complejo en este segmento recto es como una corriente 
uniforme de intensidad 3 2Q π 
 
8.4. Recta C’D’, es línea de corriente 
8.5. Curva D’E’, el potencial complejo tiende a 
 
 ( ) ( )( )
[ ]
0 ln
i 0, 2
ln
2 2t t
Q Q
f t f F t
τ
τ θ θ π
τ τ
π π→ =→−∞+ ∈
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = 
 
Es decir el potencial complejo en este segmento recto es como una corriente 
uniforme de intensidad 2Q π . 
 
Para resumir se puede representar gráficamente la configuración como sigue 
2
Q
π
ln
2iπ
3
2
Q
π
 
Ana Laveron Simavilla Página 7 24/03/2006 
9. Las líneas de corriente divisorias son las transformadas del plano t y el punto de 
remanso del plano t, situado en un punto regular de la transformación se 
transformará en un punto de remanso 
 
1 2
Q
U
π
=
2iπ
2
3
2
Q
U
π
=
( )ln 3a
 
 
10. El potencial complejo del plano transformado se obtiene expresando el potencial 
complejo del plano t en función de la variable τ usando la función de 
transformación. 
 
( ) ( ) ( )ln ln
2
Q
f t e a e aτ ττ
π
⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ 
 
11. Ecuación de conservación de la masa 
 
d 0V nρ σ⋅ =∫ 
1 2 02 2
U U Q
π π
− + + = 
3 3
0 0 0 0
2 2 2 2 4 4
Q Q Q Q
Q Q
π π
π π
− + − = ⇒ − + − = ⇒ = 
 
Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en dirección del eje 
horizontal 
 
( )2 21 2 1 2
d d
2 2 2
Q
Q
UV n pn F
U U p p F
ξ
ξ
ξρ σ σ
π π πρ ρ
− + − +
∞ ∞ ∞ ∞Σ +Σ Σ +Σ
⋅ = − −
− + = − −
∫ ∫
 
 
y empleando la ecuación de Bernouilli 
 
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
1 9
2 2 2 4 4 4 4Q
Q Q
F U U U U U U
ξ
π π π πρ ρ ρ ρ
π π
⎛ ⎞
= − − + − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2
22Q
Q
F
ξ
ρ
π
= − 
Ana Laverón Simavilla 1 09/04/2008 
Enunciado: 
 
Para resolver la corriente de un líquido ideal de velocidad U∞ alrededor del perfil 
lenticular de la figura (cuyo extradós e intradós son arcos de circunferencia) se utiliza la 
transformación conforme τ = (t−1) /(t+1). 
 
 
1. Defina el problema a resolver en el plano τ, calculando el dominio fluido 
transformado y las condiciones de contorno en el plano transformado. 
 
2. Mediante una nueva transformación, calcule el potencial complejo del problema 
planteado en el apartado anterior. 
 
3. Calcule el módulo de la velocidad sobre el perfil del plano t. 
 
Resolución: 
 
1. Calculo de los puntos singulares de la transformación. 
 
( )2
1 2
1
1 1
d 2
0, 1, ,1
d 1
t
t t
t
t t
τ
τ
τ
−
= = −
+ +
= = ∞⇒ = − ∞⇒ = ∞
+
 
 
Los puntos singulares deben ser excluidos del dominio a transformar y sus entornos 
deben ser estudiados con cuidado. 
 
La transformación conforme es una bilineal que puede reducirse a traslaciones y a una 
inversión como se muestra a continuación 
 
1
2
1
221
1
2 2
 1 1 1
1 t t t
t
t
t t
τ
= + =
= − = − = −
+
 
U∞ 
x 
z 
−1 
β 
1 
Ana Laverón Simavilla 2 09/04/2008 
 
 
De forma que el entorno del punto 1t = − se transforma en el entorno del infinito, el 
entorno del infinito se transforma en el entorno de 1τ = y los arcos de 
circunferencia se transforman en dos semirrectas que conservan el ángulo formado 
entre ellas y con el eje real. 
 
1.1. Condiciones de contorno en el plano t 
 
1.1.1. Arcos de circunferencia: son líneas de corriente 
1.1.2. En el entorno del punto singular, 1t = − , no hay ninguna condición de 
contorno, ya que no es propiamente un contorno del problema original 
1.1.3. Infinito: 
 ( ) tf t U t∞→∞→ 
 
1.2. Condiciones de contorno en el plano τ 
 
1.2.1. Semirrectas: son líneas de corriente 
1.2.2. Entorno del infinito: no hay ninguna condición de contorno 
1.2.3. Entorno del punto 1t = : 
 
 ( ) ( )( )
1 1
21
1 1t t
U
f t f t U t U
τ τ
τ
τ
τ τ
∞
∞ ∞→∞ →∞
→ →
+
= → = →−
−−
 
Que corresponde a un doblete de intensidad 2U∞− en 1τ = . 
 
El problema finalmente se puede representar como 
 
 
2U∞−β
β 1τ =
 
Ana Laverón Simavilla 3 09/04/2008 
2. Para resolver el problema obtenido en el plano τ es necesario emplear otra 
transformación conforme, en este caso 
 
π
π βν τ −= 
 
permite obtener un problema fácilmente resoluble. 
 
2.1. El único punto singular de la transformación es el origen del plano τ, cuyo 
punto homologo es el origen del plano ν. 
 
2.2. Transformación de los contornos 
 
2.2.1. Con la transformación elegida las paredes 
 
( ) ( )i 0,re rπ βτ ± −= ∈ ∞ 
 
se transforman en 
 
( ) ( )i i 0,re Re R
π π
π β ππ β π βν τ ± − ±− − = = = ∈ ∞  . 
 
2.2.2. El infinito del plano τ se transforma en el infinito del plano ν. 
ν
 
 
 
2.3. Transformación de las condiciones de contorno 
2.3.1. Las paredes de la cuña se transforman en las paredes de la placa plana 
semi-infinita. 
2.3.2. El punto donde se encuentra el doblete, 1τ = , se transforma en el 1ν = , 
y por ser punto regular de la transformación el doblete se transforma en 
otro doblete en el punto homologo aunque puede variar su intensidad 
como se vio en teoría. Para calcular la intensidad del doblete 
transformado basta con desarrollar la función de transformación en el 
entorno del punto 1τ = que es 
 
( )
1
1
1 1
π
π β
ν
τ
π
ν τ ν τ
π β
−
→
→
= ⇒ − = − +
−
… , 
 
Ana Laverón Simavilla 4 09/04/2008 
y emplear esta expresión para escribir la condición de contorno del 
potencial complejo en el entorno de doblete, 1τ = , para obtener su 
expresión en el plano transformado 
 
( ) ( )( ) ( )( )( ) 1 1
1 1
2 2
1 1
U U
f t f t f t τ τ
ν ν
π π β
τ τ ν
τ ν
∞ ∞
→ →
→ →
−
= = →− →−
− −
. 
2.4. El potencial complejo del doblete cumple con la condición de contorno de que 
la placa plana sea línea de corriente, así que ese es el potencial complejo en el 
plano ν. 
 
( ) ( )( ) ( )( )( ) 2
1
U
f t f t f t
π π β
τ τ ν
ν
∞ −= = = −
−
. 
 
3. La velocidad en el plano del perfil se obtiene derivando el potencial complejo 
respecto a la variable t como sigue 
 
( ) ( )
( ) ( )2 2
2d d d 2
d d d 1 1
t
Uf
V t f t
t t
β
π βπ π βν τ π τ
ν τ π βν
−∞ −= = =
−− +
ɺ 
 
y expresando todo en función de la variable t 
 
( )
( )2 2
2 1 2
1 1
1
1
1
U t
V t
t t
t
t
β
π β
π
π β
π π β π
π β
−
∞
−
− − =  − +  + −  −  + 
 
 
Ejercicio 7.7. 
 
La línea de curvatura de una familia de perfiles de doble curvatura que se extiende entre 
x = 0 y x = c puede aproximarse en la forma z/c = εf(x/c) , donde ε << 1 y la función 
f(x/c) es un polinomio de tercer grado cuyas tres raíces son reales. La familia está 
caracterizada por el parámetro a, 0 ≤ a ≤ 1, que sitúa el punto intermedio de la cuerda 
donde la ordenada del perfil se anula. Suponiendo aplicable la teoría linealizada, calcule 
y represente la velocidad vertical sobre el perfil. 
 
Calcule el ángulo de ataque ideal de un perfil genérico de la familia (interprete el 
resultado obtenido). Dibuje la línea de curvatura cuando vuela al ángulo de ataque ideal 
en los casos a = 0 y a = 1. 
 
Calcule y esquematice el perfil de la familia cuyo centro de presiones no varía con el 
ángulo de ataque. 
 
En el caso en que la corriente incidente U∞ sea paralela a la cuerda del perfil, determine 
el valor del coeficiente de sustentación en función de parámetro a (represéntelo), calcule 
también los perfiles de máxima, nula y mínima sustentación así como el perfil que tiene 
el centro de presiones en el punto medio de la cuerda. 
 
 
Solución: 
 
Adimensionalizamos: 𝑧 = 𝑧
𝑐
 𝑥 = 𝑥
𝑐
 𝑎 = 𝑎
𝑐
 
 
El polinomio de tercer grado que pasa por los puntos (0,0); (a,0); (1,0) es: 
 
𝑧 = 𝜀𝑥(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 1) 
Derivando, 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝜀[(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 𝑎)] = 𝜀[3𝑥2 − 2(𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎] 
 
 
 
 
 
Utilizando el cambio de variable 𝑥 = 1
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) : 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝜀 �
3
4
(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑎 + 1)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝑎� = 𝜀 �
1
8
− �𝑎 −
1
2�
𝑐𝑜𝑠𝜃 +
3
8
𝑐𝑜𝑠2𝜃� 
 
Mediante el método de Glauert tenemos 
 
𝑤(𝜃)
𝑈∞
= −𝐴0 + �𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃
∞
1
 = −𝛼 +
𝑑𝑧
𝑑𝑥
 
Suponiendo 𝛼 = 0 
 
𝑤(𝜃)
𝑈∞
= 𝜀 �
1
8− �𝑎 −
1
2� 𝑐𝑜𝑠𝜃+
3
8 𝑐𝑜𝑠2𝜃� 
 
Identificando coeficientes: 
 
𝐴0 = −
𝜀
8
 𝐴1 = 𝜀 �𝑎 −
1
2
� 𝐴2 = −
3
8
𝜀 𝐴𝑛 = 0 𝑛 ≥ 3 
 
Como 𝛼 = 0 , el ángulo de ataque ideal es 𝛼𝑖 = −𝐴0 =
𝜀
8
 
 
Observamos que el ángulo de ataque ideal es el mismo para todos los perfiles de la familia. 
 
 
 
Línea de curvatura cuando vuela al ángulo de ataque ideal en los casos a = 0 y a = 1: 
 
 
 
• a = 0 
𝑧 = 𝜀𝑥2(𝑥 − 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• a = 1 
 
 𝑧 = 𝜀𝑥(𝑥 − 1)2 
 
 
 
 
El perfil de la familia cuyo centro de presiones no varía con el ángulo de ataque es: 
 
 
 
𝑐𝑚𝑐𝑝 = 𝑐𝑚𝑐𝑎 + 𝑐𝑙𝑑 = 0 
Para que no dependa del ángulo de ataque el centro de presiones tiene que coincidir con 
el centro aerodinámico (d=0) , entonces: 
𝑐𝑚𝑐𝑎 = 0 
 
𝑐𝑚𝑐𝑎 = −
𝜋
4
(𝐴1 + 𝐴2) =
𝜋𝜀
4
�
7
8
− 𝑎� = 0 
de donde obtenemos: 
 
𝑎 =
7
8
 
El perfil sería: 
𝑧 = 𝜀𝑥 �𝑥 −
7
8�
(𝑥 − 1) 
 
 
 
La corriente incidente U∞ es paralela a la cuerda del perfil por tanto 𝛼 = 0. Calculamos el 
𝑐𝑙 con los coeficientes del método de Glauert. 
 
𝑐𝑙 = 2𝜋 �𝐴0 +
𝐴1
2
� = 2𝜋𝜀 �
𝑎
2
−
3
8
� 
 
 
 
Perfil de máxima sustentación: a=1 𝑧 = 𝜀𝑥(𝑥 − 1)2 𝑐𝑙 =
1
4
𝜋𝜀 
Perfil de mínima sustentación: a=0 𝑧 = 𝜀𝑥2(𝑥 − 1) 𝑐𝑙 =
−3
4
𝜋𝜀 
Perfil de sustentación nula: 𝑎 = 3
4
 𝑧 = 𝜀𝑥 �𝑥 − 3
4
� (𝑥 − 1) 
 
 
 
 
Perfil que tiene el centro de presiones en el punto medio de la cuerda: 𝑑 = 1
4
 
 
𝑐𝑚𝑐𝑝 =
𝜋𝜀
4
�
7
8
− 𝑎� + 2𝜋𝜀 �
𝑎
2
−
3
8
�
1
4
 = 0 
 
Operando se concluye que ∄ a tal que el centro de presiones esté en el punto medio de la cuerda. 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
Enunciado: 
 
La ecuación de la línea de curvatura de un perfil delgado expresado en variables 
adimensionales es ( ) ( )( ) [ ]1 2 con 0,1z ξ εξ ξ ξ ξ= − − ∈ y ε << 1. 
 
1. Determine el valor del ángulo de ataque ideal del perfil. 
 
Suponiendo que el perfil vuela a ángulo de ataque ideal: 
 
2. Calcule el coeficiente de sustentación. 
3. El coeficiente de momento respecto al centro aerodinámico. 
4. La distribución de sustentación a lo largo de la cuerda. 
5. La abscisa del centro de presiones. 
 
 
Resolucion: 
 
1. Para calcular el ángulo de ataque ideal de la línea de curvatura es necesario calcular 
el coeficiente 0A ya que 0 iA α α= − . La ecuación de la línea de curvatura está 
situada a ángulo de ataque nulo ya que su ordenada en el borde de ataque y en el 
borde de salida son iguales, ( ) ( )0 1 0z z= = , por tanto 00 iAα α= ⇒ = − es la 
relación para calcular el ángulo de ataque ideal a partir de 0A . 
Se puede calcular el coeficiente 0A a partir de la ecuación 
 
 
( )
0 0
1
d
w
A
U
π θ
θ
π ∞
= − ∫ , 
 
pero como en el cuarto apartado se pide la distribución de sustentación sobre el 
perfil, será necesario calcular todos los coeficientes del desarrollo de Fourier. 
Además como la expresión de la curvatura es una cúbica, al derivarla se obtendrá 
una parábola que es fácilmente desarrollable en serie de Fourier de cosenos 
empleando relaciones trigonométricas sencillas, como se muestra a continuación 
 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2d 1 2 2 1 3 6 2
d
w z
U
θ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ∞
= = − − − − − − = − + , 
 
siendo ( )1cos 1 cos
2 2 2
a b b aξ θ θ+ −= + = + la relación entre las variables θ y ξ . 
Introduciendo el cambio de variable en la expresión de w se tiene 
 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
 
( )
( )
2
2
d
3 6 2
d
1 3 3
 cos cos
4 2 4
1 3 3
 cos 1 cos 2
4 2 8
1 3 3
 cos cos 2
8 2 8
w z
U
θ
ξ ξ
ξ
θ θ
θ θ
θ θ
∞
= = − + =
= − − + =
= − − + + =
= − +
 
 
y los coeficientesdel desarrollo son 0 8A ε= − , 1 3 2A ε= , 2 3 8A ε= − , y 0nA = 
para 3.n ≥ 
El ángulo de ataque ideal es, por tanto, 
 
 0 8i Aα ε= − = . 
 
Si la línea de curvatura vuela a ángulo de ataque ideal el coeficiente 0A , único 
coeficiente de la serie que depende del ángulo de ataque, varía ya que el calculado 
sólo es válido para ángulo de ataque nulo. Para calcular el nuevo valor de 0A se 
emplea la relación general 0 iA α α= − y como, en este caso es iα α= y por tanto 
0 0A = . El resto de coeficientes no varía y serán por tanto 1 3 2A ε= , 2 3 8A ε= − , y 
0nA = para 3.n ≥ 
 
2. El coeficiente de sustentación global es 
 
 10
3
2
2 2L
A
c A
πεπ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 . 
 
3. El coeficiente de momento respecto al centro aerodinámico es 
 
 ( )1 2
9
4 32acm
c A A
π πε
= − + = − . 
 
4. La distribución de sustentación sobre la línea de curvatura es 
 
 ( ) ( )2 16 sin sin 2
4l
u x
c x
U
ε θ θ
∞
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
5. Para calcular el momento en el borde de ataque del perfil basta con plantear el 
sistema de fuerzas y momentos equivalente. En el esquema siguiente se representa 
el momento adimensionalizado en un punto genérico, oξ , y el momento y fuerza 
adimensionalizados en el centro aerodinámico del perfil. 
 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
acm
c
Lc
ξ
z
om
c
 
 
La relación entre el coeficiente de momento en oξ y el coeficiente de fuerza y 
momento en el centro aerodinámico es 
 
 ( )1 4
o acm m L o
c c c ξ= + − . 
 
En este caso se quiere calcular el centro de presiones punto en el que el momento es 
nulo, por tanto 
 
 ( ) 1 71 4 0
4 16
ac
cp ac
m
m m L cp cp
L
c
c c c
c
ξ ξ= + − = ⇒ = − + = . 
 
Ana Laveron Simavilla Página 1 29/05/2007 
Enunciado: 
 
La ecuación de un perfil de ala es: 
 
 ( ) ( )2 21 2 1 2( ) 1 2 1 4 1 4 , , 1, / , 1 2pz c c x cξ ε ξ ξ ε ξ ε ε ξ ξ= ± − − + − << = ≤ . 
 
Calcule mediante la teoría potencial linealizada la distribución del coeficiente de 
presión a lo largo de la cuerda del perfil, tanto en el extradós como en el intradós, 
cuando el ángulo de ataque del perfil es tal que su coeficiente de sustentación vale la 
unidad (cl = 1). 
 
Resolucion: 
 
La ecuación del perfil corresponde a un perfil con espesor y curvatura (situado a ángulo 
de ataque nulo) por tanto es necesario descomponerlo en el problema simétrico (de 
espesor) y antisimétrico (de curvatura y ángulo de ataque) ya que cada uno de ellos se 
resuelve de forma distinta. 
 
 ( ) ( )2 21 2
Término correspondiente a Término correspondiente a
la parte simétrica del perfil la parte antisimétrica del perfil
( ) 1 2 1 4 1 4pz c cξ ε ξ ξ ε ξ= ± − − + −
���������
�����
 
 
 
 
La resolución del problema simétrico es necesaria ya que lo que se pide es la 
distribución del coeficiente de presión y no del coeficiente de sustentación (en este 
ultimo caso el problema simétrico no aportaría nada). 
 
 ( ) ( ) ( ),simétrico ,antisimétrico,0 ,0 ,0p p pc x c x c x± ± ±= + 
 
Como se indica en el enunciado, el ángulo de ataque se determina gracias a que se 
proporciona una condición que indica cual es la sustentación que proporciona el perfil. 
Por tanto el único término del desarrollo de Glauert del problema sustentador que 
depende del ángulo de ataque se determinara gracias a esta condición. 
Para resolver este problema se utilizan variables físicas que son las que se tienen en la 
práctica habitual y se olvida la dilatación de variables que se debe hacer en el desarrollo 
de la teoría linealizada para poder despreciar consistentemente términos de orden 
superior. Esto significa que en todas las ecuaciones obtenidas en los desarrollos teóricos 
se hace 1ε = y se utilizan las ecuaciones resultantes sin mas consideraciones. 
El problema a resolver en este caso es el problema directo, se conoce la forma del perfil 
(w) y se debe calcular la distribución de presión sobre el perfil (u). 
 
 
Ana Laveron Simavilla Página 2 29/05/2007 
1. Problema sustentador 
La ecuación de la parte antisimétrica del perfil es 
 
 ( )22 2( ) 1 4 , 1, / , 1 2pz c x cξ ε ξ ε ξ ξ= − << = ≤ . 
 
que es en realidad la ecuación de la línea de curvatura situada a ángulo de ataque nulo 
ya que b.a. b.s.( , ) 0pz ξ ξ = . 
Para resolver el problema antisimétrico directo la relación entre u y w es una ecuación 
integral (la incógnita es la función del integrando) difícil de resolver analíticamente, por 
tanto es más conveniente resolver el problema mediante el método de Glauert. 
Las relaciones teóricas obtenidas con el método de Glauert en el caso de problemas 
antisimétricos son 
 
cos
2 2
b a b a
x θ
+ −
= + , 
 
0
1
( ,0 )( )
tan sin
2 2
p
n
c xu
A A n
U
θ θ
θ
± ∞
∞
= − = +∑ , 
0
1
d d( )
cos
d d
p c
n
z zw
A A n
U x x
θ
α θ
∞
∞
= = − + = − −∑ , 
 
 
por tanto es necesario desarrollar w en serie de Fourier de cosenos y con ello se calculan 
los coeficientes An que permiten calcular el coeficiente de presión. 
 
Todos los coeficientes del desarrollo están determinados a partir de la línea de curvatura 
salvo A0 que es el único coeficiente que depende del ángulo de ataque al que se 
encuentra el perfil y que se determinara con la condición de la sustentación. La ecuación 
proporcionada 
 
( ) ( )2 21 cos
2
0 0
0 2 10
1
d d d1 8 4 cos
d dd
0
cos 4
0 2
p p p
n
n
z z z
x cc
A
A A n A
A n
ξ θ
α
α
ε ξ ε θ
ξξ
θ ε
=
=∞
=
= = = − = − =
 =

= − − ⇒ =
 = ≥
∑
 
 
Introduciendo los valores obtenidos para los coeficientes de la serie en la expresión de u 
se obtiene la distribución del coeficiente de presión sobre la línea de curvatura a ángulo 
de ataque nulo 
 
 
( ) ( ) 0
0 20
1
,0
tan sin 4 sin
2 2
p
n
c xu
A A n
U
α
α
θ θ
θ ε θ
±
∞
=
=
∞
= − = + =∑ . 
 
Ana Laveron Simavilla Página 3 29/05/2007 
 
Para el ángulo de ataque que cumpla con la condición de sustentación pedida en el 
enunciado 
 
 1 10 0 21
1 12π 1 2
2 2π 2 2πl cl
A A
c A A ε
=
 = + = ⇒ = − = − 
 
, 
 
de donde 
 
 
( ) ( ) 1
2 2
,0
1
2 tan 4 sin
2 2π 2
cl
pc xu
U
θ θ
ε ε θ=
±
∞
 = − = − + 
 
. 
 
 
 ( )
1
2 2
1
,0 4 tan 8 sin
π 2cl
pc x
θ
ε ε θ
=
±  = − − 
 
. 
 
 
2. Problema simétrico 
 
La ecuación de la parte simétrica del perfil es 
 
( ) 21 1( ) 1 2 1 4 , 1, / , 1 2pz c x cξ ε ξ ξ ε ξ ξ= ± − − << = ≤ . 
 
 
En el caso del problema directo simétrico la relación entre u y w es una integral con 
integrando conocido, por tanto se podría tratar de resolver la integral directamente para 
obtener u. Sin embargo, también pueden utilizarse las relaciones obtenidas por el 
método de Glauert para problemas simétricos que son 
 
cos
2 2
b a b a
x θ
+ −
= + 
 
0 0
1
( )
tan cot sin
2 2
n
w
B B B n
U
θ θ θ
θ
∞
∞
′= + +∑ 
 
u
U
B B B nn
( )
cos
θ
θ
∞
∞
= − ′ +∑0 0
1
. 
 
Procediendo de forma similar al caso antisimétrico, conocida la forma del perfil, se 
desarrolla la derivada respecto a x en serie de Fourier de senos, teniendo en cuenta que 
pueden aparecer dos términos en tan 2θ y cot 2θ que es necesario calcular antes de 
hacer el desarrollo de Fourier. En este caso se puede hacer el desarrollo manipulando las 
expresiones trigonométricas, como sigue 
 
Ana Laveron Simavilla Página 4 29/05/2007 
( )
( )
2
1
2 21 cos 1 4 sin
2
2
1 1
2
1 1
1
d ( ,0 ) 8
2 1 4 1 2
d
2 1 4
cos cos2 sin 1 cos 2 sin 2sin
sin sin 2
cos2 sin 2sin 2 sin cos tan
2 22sin cos
2 2
2 sin
pz
x
ξ θ ξ θ
ξ ξε ξ ξ
ξ
θ θ θε θ θ ε θ
θ θ
θ θ θε θ ε θ θ
θ θ
ε θ
+
= ⇒ − =
 
 = − − − − =
 − 
   = − − − = − − =      
 
  = − − = − − =   
 
= − − 1
1 0 0
1
cos tan 2 sin sin tan
2 2
2 2sin tan tan cot sin
2 2 2 n
B B B n
θ θθ ε θ θ
θ θ θε θ θ
∞
   = − − + =      
  ′= − + = + +   ∑
 
 
de donde 
 
0 1
1 1
2
4
B
B
ε
ε
=
= −
 
 
y la distribución del coeficiente de presión 
 
( ) ( ) ( ) ( )1
,0 ,0
2 1 2cos
2 2
p pc x c xu
U
θ
ε θ+ −
∞
= − = − = − , 
 
 
( ) ( )
( )1
,0 ,0
2 1 2cos
2 2
p pc x c x ε θ
+ −
= = − − . 
 
 
 
3. Problema completo 
 
El coeficiente de presión para el perfil completo será por tanto 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2 2 1
2 2 1
1
,0 4 tan 8 sin 4 1 2cos
π 2
1
,0 4 tan 8 sin 4 1 2cos
π 2
cl
cl
p
p
c x
c x
θ
ε ε θ ε θ
θ
ε ε θ ε θ
=
=
+
−
 = − − − − 
 
 = − − + − − 
 
 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
Enunciado: 
 
Un perfil de ala provisto de un timón, como el indicado en la figura, vuela en el seno de 
un líquido ideal con velocidad U∞ y con su mitad delantera alineada con la corriente 
incidente no perturbada. La deflexión del timón sigue la siguiente ley temporal 
( ) sinot tδ δ ω= con 1oδ . 
 
1. Establezca la condición que se debe cumplir para que el proceso pueda 
considerarse casi-estacionario y por tanto sea aplicable la teoría potencial 
linealizada de perfiles. 
 
En el supuesto de que se cumpla la condición anterior: 
2. Utilizando el método de Glauert calcule en función del tiempo el ángulo de 
ataque ideal, el coeficiente de sustentación global y el coeficiente de momento 
respecto al centro aerodinámico y respecto al borde de ataque. 
3. Empleando el método de Goldstein calcule la distribución de presión sobre el 
perfil y discuta las singularidades que aparecen en el resultado. 
4. Empleando el método de Glauert calcule la distribución de presión sobre el 
perfil. 
 
 
Resolucion: 
 
1. Para que el movimiento pueda considerarse casi-estacionario, el tiempo de 
residencia debe ser mucho menor que el tiempo característico del movimiento. Es 
decir, el tiempo que tarda una partícula fluida en recorrer el perfil debe ser mucho 
menor que el tiempo que tarda el alerón en modificar su posición, de esta forma la 
partícula fluida no nota que el perfil está cambiando. 
 
 residencia
caracteristico
1
t
t
 
 
residencia
caracteristico
1
1
c
t
U c
U
t
ω
ω
∞
∞
⎫
⎪⎪⇒⎬
⎪
⎪⎭
∼
∼
 
 
 
2. Dado que todo lo que se pide en este apartado son coeficientes globales, basta 
calcular los coeficientes 0A , 1A y 2A , mediante las siguientes relaciones 
 
U∞ 
x 
z 
δ(t) 
−c/2 c/2 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
 102 2L
A
c Aπ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 y ( )1 24acmc A A
π
= − + . 
 
Para calcular los coeficientes 0A , 1A y 2A es necesario resolver las siguientes 
integrales 
 
 
( )
0 0
1
d
w
A
U
π θ
θ
π ∞
= − ∫ y 
( )
0
2
cos d 1,2n
w
A n n
U
π θ
θ θ
π ∞
= − =∫ . 
 
Será por tanto, necesario expresar ( )w θ a partir de la forma del perfil 
 
 
( ) [ ]
[ ]
0 2,d
d 0, 2
pzw
U x
θ π πθ
δ θ π∞
⎧ ∈⎪= = ⎨
− ∈⎪⎩
. 
 
 
( ) ( )
2
0 0 0 2
1 1
d d 0d
2
w
A
U
π π π
π
θ δθ δ θ θ
π π∞
⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ , 
 
 
( ) ( )
2
1 0 0 2
2 2 2
cos d cos d 0d
w
A
U
π π π
π
θ δθ θ δ θ θ θ
π π π∞
⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 
 
y 
 
 
( ) ( )
2
2 0 0 2
2 2
cos2 d cos2 d 0d 0
w
A
U
π π π
π
θ
θ θ δ θ θ θ
π π∞
⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ . 
 
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de los coeficientes globales se tiene 
 
 ( )10
2
2 2 2
2 2 2L
A
c A
δ δ ππ π δ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
y 
 
 ( )1 2
2
0
4 4 2acm
c A A
π π δ δ
π
⎛ ⎞= − + = − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
Para calcular el momento en el borde de ataque del perfil basta con plantear el 
sistema de fuerzas y momentos equivalente. En el esquema siguiente se representa 
el momento adimensionalizado en un punto genérico, ox , y el momento y fuerza 
adimensionalizados en el centro aerodinámico del perfil. 
 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
acm
c
Lc
ox c
1 4ox c +
x c
z c
om
c
 
 
La relación entre el coeficiente de momento en ox y el coeficiente de fuerza y 
momento en el centro aerodinámico es 
 
 ( )1 4
o acm m L o
c c c x c= + + . 
 
En este caso se quiere calcular el momento en el borde de ataque, 2ox c= − , y la 
expresión para el coeficiente de momento en este punto es 
 
 ( ) ( )21 2 1 4 1
2 4 4o acm m L
c c c
δ πδ πδ
+ ⎛ ⎞= + − + = − − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
3. Aplicando el método de Goldstein para calcular la distribución de velocidad u sobre 
el perfil se tiene 
 
 
( ) ( )1
1
1
d , con 
2
oo
o
o o
u w Uab x
U a b c
ξ ξξξ ξ ξ
π ξ ξ ξ ξ
∞
−
∞
−−
= − =
− − −∫ , 
 
y sustituyendo ( )ow Uξ ∞ por el valor ya calculado a partir de la forma del perfil se 
tiene 
 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
 
( ) ( )1
0
1
0 cos
d sin d
2
0
2
0
11 1
d
1 1
1 d1
 
1 1
1 cos sin1
 d
1 1 cos cos cos
1 cos1
 d
1 cos cos
1
 
2
o
o
o o
o o
o o
o o
o
o o
o
o
o
u
U
ξ θ
ξ θ θ
π
π
ξ δξξ ξ
π ξ ξ ξ ξ
ξ ξδ ξ
π ξ ξ ξ ξ
θ θδ ξ θ
π ξ θ θ θ
θδ ξ θ
π ξ θ θ
δ
∞
=
=−
−+−
= − =
+ − −
+−
= =
+ − −
+−
= =
+ − −
+−
= =
+ −
−
=
∫
∫
∫
∫
21 1
ln
1
ξξ δ
ξ π ξ
+ −
+
+
 
 
En la expresión anterior se identifican las siguientes singularidades: 
 
a. En el borde de ataque: 
( ) 1
1 
1
u
U
ξ
ξ
ξ∞
= − ⇒
+
∼ . Esta singularidad de la 
velocidad de perturbación u en el borde de ataque es la debida al rebordeo ya 
calculada analíticamente en el caso de la placa plana con ángulo de ataque, es 
la equivalente al término en 0 tan 2
A
θ
 del método de Glauert. 
b. En la charnela: 
( )
0 ln
u
U
ξ
ξ ξ
∞
= ⇒ ∼ . Esta singularidad de la velocidad de 
perturbación u se debe a dos causas muy distintas en el caso del extradós y del 
intradós del perfil. 
i. Extradós del perfil. En este caso en torno a la charnela el fluido recorre 
la esquina formada por dos paredes rectas con un ángulo de valor mayor 
que π , ya sabemos que en este caso el valor de la velocidad en la 
esquina tiende a infinito, y ésta es la razón de la singularidad encontrada 
en la solución. 
ii. Intradós del perfil. En este caso en torno a la charnela el fluido recorre 
la esquina formada por dos paredes rectas con un ángulo de valor menor 
que π , ya sabemos que en este caso el valor de la velocidad en la 
esquina es nula, y ésta es la razón de la singularidad encontrada en la 
solución. La teoría potencial linealizada no es válida en el entorno de los 
puntos de remanso, en esos puntos no se cumplen las hipótesis hechas 
para desarrollar dicha teoría, en particular se supuso 
, con U U u u U∞ ∞= + , pero en los puntos de remanso 
0U U u u U∞ ∞= + = ⇒ = − y no se cumple u U∞ . En todo el 
desarrollo teórico se supone un orden de magnitud para la velocidad de 
perturbación y en los puntos en que la velocidad de perturbación es 
mucho mayor la teoría potencial linealizada sólo es capaz de mostrar que 
el orden de magnitud de esa velocidad es mucho mayor que lo supuesto, 
y en los puntos de remanso se obtiene u →∞ . 
 
 
Ana Laverón Simavilla 04/05/2006 
4. Para calcular la distribución de presión sobre el perfil mediante el método de 
Glauert es necesario calcular todos los coeficientes 1, ,nA n = ∞… , es decir hay 
que calcular el término n-simo 
 
 
( ) ( )
2
0 0 2
2
2
0
0
2 2
cos d cosn d 0d
2 2 sin
cosn d
n
w
A n
U
n
n
π π π
π
π
π
θ
θ θ δ θ θ θ
π π
δ δ θθ θ
π π
∞
⎡ ⎤= − = − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
∫ ∫ ∫
∫
 
 
Es decir 
 
 
( )
2 1
12
2 1
p
pA p
δ
π+
−
=
+
, 
 
de dónde la velocidad sobre el perfil es 
 
 
( ) ( ) ( )0
1 0
12
tan 2 sin tan 2 sin 2 1 .
2 2 1
p
n
p
u
A A n p
U p
θ δ δθ θ θ θ
π
∞ ∞
=∞
−
= + = + +⎡ ⎤⎣ ⎦+∑ ∑ 
 
Enunciado: 
Un avión de transporte está provisto de un ala de forma en planta elíptica, plana, cuyo 
alargamiento y superficie se muestran en la tabla, que se considera única superficie 
sustentadora. Para este avión se pretende estudiar varias condiciones típicas de crucero y 
aproximación, en vuelo rectilíneo y en maniobra; los datos de velocidades, densidades y masas 
en cada caso también se especifican en la tabla. 
El ala es simétrica y está provista de flaps hasta la sección 2·y/b=cos(π/4) y de ahí hasta el 
extremo de alerones. La eficiencia de los flaps es: kF=0,6, mientras la de los alerones es: 
kA
Para tener una referencia única de ángulos de ataque se empleará el queforma la línea de 
referencia del fuselaje con la corriente incidente no perturbada, α
=0,4. La aproximación se hace con una deflexión de flaps de 0,30 rad. Las maniobras con 
deflexiones de alerones de 0,20 radianes a un factor de carga que también se indica en la 
tabla. 
F
Nota: Realizar los cálculos de coeficientes de fuerza y momento con los 4 primeros términos 
del desarrollo en serie de la distribución de circulación adimensional. 
, que se considera 0 
radianes en crucero. 
 
 
Solución: 
La solución numérica al problema se ha dado en una hoja Excel con el mismo título de este 
documento. En la primera columna de la hoja aparecen unos números, que se corresponden 
con los de los comentarios que haremos a continuación. 
1. Conviene primero que nada analizar el problema y las condiciones de vuelo que se 
proponen, con objeto de limitar correctamente los cálculos que se han de realizar. Por 
ejemplo, es claro que para la condición de crucero, al ser el ala plana y su forma en 
planta elíptica, sólo tendremos término A1. También conviene fijarse en que la 
deflexión de flaps es una condición simétrica, por lo que sólo aparecerán, de los 
pedidos, los términos A1 y A3, mientras la de alerones provocará la aparición de los A2 
y A4
Datos Despegue Crucero Aproximación
Maniobra 
despegue
Maniobra 
crucero
Maniobra 
aproximación
Superficie referencia [m2] 60 60 60 60 60 60
Alargamiento 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0 8,0
Masa [kg] 21.000 20.000 18.000 21.000 20.000 18.000
Factor de carga 1,00 1,00 1,00 1,00 1,20 1,20
Densidad aire [kg/m3] 1,20 0,90 1,20 1,20 0,90 1,20
Velocidad vuelo [m/s] 70 120 60 60 120 60
Efectividad de los flaps 0,60 --- 0,60 0,60 --- 0,60
Efectividad de los alerones --- --- --- 0,30 0,30 0,30
Deflexión de flaps 0,20 --- 0,30 0,20 --- 0,30
Deflexión alerones --- --- --- 0,20 0,20 0,20
. Conviene, además, tener en cuenta la linealidad del problema, lo que nos dice 
que la contribución a la sustentación de los alerones o los flaps es independiente del 
ángulo de ataque del ala, por lo que aplicaremos el modelo de cálculo desarrollado en 
la teoría. También debemos identificar bajo qué circunstancias aparecerán momentos 
de balance y guiñada, que están asociados a condiciones anti simétricas, etc. 
2. Dadas las características geométricas y másicas del avión, el valor del coeficiente de 
sustentación viene dado por el equilibrio entre las fuerzas que actúan sobre el avión: 
sustentación, peso y fuerza centrífuga. Fijado este coeficiente, también los está el 
término A1
3. Estos coeficientes se calculan a partir de lo que vimos en la teoría, desarrollando en 
serie la torsión aerodinámica por la función sin(Θ) debida, respectivamente, a 
deflectar flaps y alerones 1 radian, y en las que se ha tenido en cuenta la eficiencia de 
ambos dispositivos. 
 global, esto es, teniendo en cuenta eventualmente la contribución de los 
flaps. Además, las características geométricas del ala, las mismas en todas los casos, 
fijan su pendiente de la curva de sustentación, de donde se deducen los ángulos de 
ataque del ala (siempre medidos respecto a su dirección de sustentación nula). 
4. Aplicando la ecuación de Prandtl, tal como hemos visto también, podemos obtener 
estos coeficientes que, insisto, corresponden a deflexiones unitarias. 
5. Al multiplicar por el valor real de la deflexión obtenemos la contribución real a los 
distintos términos del desarrollo en serie de la circulación adimensional, y podemos ya 
calcular los valores globales de esos coeficientes. 
6. Sabemos el A1 global y la contribución de los flaps, A1F
7. Esa variación de la contribución del ala a la sustentación es lo que nos da la nueva 
orientación de la parte fija del ala, que se mueve solidaria con el fuselaje, y así 
podemos calcular los distintos ángulos de asiento de éste. 
, por lo que lo que ha 
contribuido el ala sin deflexión de flaps es la diferencia, y calculamos así la 
contribución del ala a la sustentación. Vemos que esto sumado a la de los flaps nos da 
el global. 
Comentarios: 
La tabla muestra que el accionamiento de los alerones, que no genera sustentación, sin 
embargo produce un importante incremento de la resistencia inducida y que el momento de 
guiñada es mayor cuando se combina la actuación de flaps y alerones, lo que era de esperar 
porque está asociado a la resistencia inducida. Esto es particularmente importante en 
configuraciones de despegue en caso de parada de motor 
EJERCICIO 
Considere  los hilos de torbellinos de  la figura en presencia de una corriente  incidente 
de  intensidad U. Siguiendo  la terminología de Prandtl,  los torbellinos  libres son todos 
de intensidad G, y paralelos al eje X, mientras el ligado es de intensidad variable y esta 
sobre el eje Y. 
Calcule en primer lugar las componentes de la velocidad en los puntos de control P1 a 
P4. A partir de aquí, calcule la resultante y las componentes de la fuerza por unidad de 
longitud.   
Suponiendo que  la velocidad en esos puntos es representativa de  la del segmento de 
torbellino correspondiente, calcule  la resultante y componentes de  la  fuerza sobre el 
torbellino ligado. 
 
SOLUCIÓN: 
La  velocidad  vertical  en  los  puntos  P1  a  P4  se  debe  exclusivamente  al  efecto  de  los 
denominados torbellinos libres, por lo que tendremos: 
1 4
24
4 / 8 4 / 8 4 5 / 8 4 7 / 8 35
w w
b b b b bπ π π π
Γ Γ Γ Γ
= = − + − − = −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π
Γ
 
 
2 3
56
4 3 / 8 4 / 8 4 3 / 8 4 5 / 8 15
w w
b b b b bπ π π π
Γ Γ Γ Γ
= = − − − − = −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
Por la simetría del problema, la velocidad vertical en el punto 3 es la misma que en el 2 
y en el 4  la misma que en el 1. La componente de velocidad horizontal en  todos  los 
puntos es: 
π
Γ
1 2 3 4u u u u U= = = =
La componente de fuerza vertical sobre el torbellino ligado, sustentación, será debida a 
la  intensidad  del  torbellino  y  a  la  magnitud  de  la  componente  horizontal  de  la 
velocidad, por lo que resulta, 
  / 2 2 / 2 3 / 2L U b U b U bρ ρ ρ= ⋅Γ ⋅ ⋅ + ⋅ Γ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅Γ ⋅ ⋅
Por  lo que  se  refiere a  la  componente horizontal de  la  fuerza, ésta  será debida a  la 
magnitud de la componente vertical de la velocidad, por lo que se tendrá, 
 
 
224 56 428
/ 2 2 / 2
35 15 105
D b b
b b
ρρ ρ
π π π
Γ Γ
= ⋅Γ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ Γ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
⋅Γ
   
Considere ahora que la estructura similar de torbellinos de la figura siguiente sustituye 
a un ala de  forma en planta  rectangular, de envergadura b,  cuerda  c y alargamiento 
L=8,  que  está  posicionada  a  un  ángulo  de  ataque  a<<1  respecto  a  la  corriente 
incidente. Aplique  las hipótesis de Prandtl para determinar  los valores de G1 y G2, así 
como el resto de las características aerodinámicas del ala: Sustentación y resistencia en 
particular.  
 
SOLUCIÓN: 
Al igual que en el caso anterior, por la simetría del problema, la velocidad vertical en el 
punto 3 es la misma que en el 2 y en el 4 la misma que en el 1, por lo que se tiene, 
1 2 1 2 1 1 1
1
136 8
4 / 8 4 / 8 4 5 / 8 4 7 / 8 35 5
w
b b b b b
2
bπ π π π π
Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ Γ
= − + − − = − +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π
Γ
 
 
1 2 1 2 1 1 1
2
8 8
4 3 / 8 4 / 8 4 3 / 8 4 5 / 8 5 3
w
b b b b b
2
bπ π π π π
Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ Γ
= − − − − = −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π
Γ
 
Con esto, aplicando la hipótesis de Prandtl, se tiene 
2 1 2
1
1 136 8
2
2 35 5
U U c
b U b U
ρ ρ π α
π π
Γ Γ⎡ ⎤⋅Γ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − +⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦
 
 
Operando se llega al siguiente sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas 
usuario
Sello
 
1 2
136 8
1
35 5
U c π α⎡ ⎤+ Γ − Γ = ⋅ ⋅⎢ ⎥⋅Λ ⋅Λ⎣ ⎦
⋅
 
1 2
8 8
1
5 3
U c π α⎡ ⎤− Γ + + Γ = ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⋅Λ ⋅Λ⎣ ⎦ 
Sustituyendo el alargamiento por su valor y operando se tiene: 
1 0,787 U c π 
 
αΓ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 0,870 U c π αΓ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Operando ahora igual que en el caso anterior, se tiene una sustentación global 
  ( )1 2 0,787 0,8702 2 2
b b b
L U U U U cρ ρ ρ= ⋅Γ ⋅ ⋅ + ⋅Γ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π α
Y el coeficiente de sustentación resulta, 
1,657Lc π α= ⋅ ⋅ 
Si  se  compara  este  resultadocon  el  correspondiente  a  una  ala  de  forma  en  planta 
elíptica de mismo alargamiento (                        ), se puede comprobar que, si bien hay 
una imprecisión en el resultado, porque el valor debería de ser algo inferior al del ala 
elíptica, el valor obtenido es posible que  tenga un error  inferior al 10% que, dado  lo 
burdo del modelo, no es demasiado grande. 
1,6Lc π α= ⋅ ⋅
Para la resistencia inducida se tiene, 
  1 21 22 2
w wb b
D U U
U U
ρ ρ= − ⋅Γ ⋅ ⋅ − ⋅Γ ⋅ ⋅
Para los valores de circulación obtenidos, las velocidades verticales son 
                               y  1 0, 208
w
U
α= − ⋅ 2 0,133w
U
α= − ⋅
Una vez más, comparándola con un ala elíptica de mismo alargamiento, para  la que 
resulta                              , se tiene una aproximación razonable de los resultados y, 
además, consistente, ya que el hecho de que en el tramo 2 se obtenga un valor inferior 
para la velocidad inducida al que probablemente se encontraría con una solución más 
aproximada, es lo que hace que la pendiente de la curva de sustentación obtenida sea 
algo mayor que la que cabría esperar. 
/ 0, 20w u α= − ⋅
Operando se obtienen los valores, 
                  y ( )2 2 0,787 0,208 0,870 0,133
2
b
D U cρ α π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
20, 279Dc α π= ⋅ ⋅
que  son  inferiores  a  los  del  ala  elíptica  del  mismo  alargamiento,  lo  cual  encaja 
perfectamente con todo lo dicho con anterioridad. 
 
Ana Laverón Simavilla 29/05/2007 
Enunciado: 
 
Considere un ala de alargamiento 8Λ = cuyos perfiles tienen una pendiente de la curva 
de sustentación -12 radlc α π∂ ∂ = . Se ha medido la distribución de sustentación a lo 
largo de la envergadura b de este ala a dos ángulos de ataque distintos, obteniéndose los 
siguientes valores: 
 
 
( ) [ ]1
2
4 0.2sin 0.04sin3 0.05sin5
1 π
2
l
U c
θ
θ θ θ
ρ ∞
= + + 
 
 
l
U c
2
21
2
4 0 04 3 0 05 5
θ
ρ π
θ θ θ
a f
∞
= + +sin . sin . sin 
 
donde 2 cosy b θ= . Calcule para cada distribución de sustentación 
 
1. La distribución de circulación adimensional, ( )G θ 
2. Los coeficientes de sustentación del ala 
3. Los coeficientes de resistencia inducida 
 
Calcule para el ala 
 
4. Las distribuciones de sustentación básica y adicional unitaria ,
1cL
na = 
5. La forma en planta del ala 
6. La distribución de torsión 
7. La pendiente de la curva de sustentación 
8. Los ángulos de ataque del ala en los casos medidos, indicando claramente 
respecto a qué dirección están medidos 
 
 
Resolucion: 
 
1. Es necesario encontrar la relación entre las expresiones que son dadas en el 
enunciado con la distribución de circulación adimensional 
 
 ( ) ( ) ( )2l U U bGθ ρ θ ρ θ∞ ∞= Γ = 
 
 ( ) ( )2 2 21 2
l b
G G
U c c
θ θ
ρ ∞
= = Λ 
 
 Por tanto 
 
 
( ) [ ]1
2
1 0.2sin 0.04sin3 0.05sin5
1 4π
2
l
U c
θ
θ θ θ
ρ ∞
= + + 
 
Ana Laverón Simavilla 29/05/2007 
 
( ) [ ]2
2
1
sin 0.04sin 3 0.05sin 5
1 4
2
l
U c
θ
θ θ θ
πρ ∞
= + + 
 
2. El coeficiente de sustentación del ala se calcula a partir del coeficiente 1A de la 
distribución adimensional de circulación por lo que en cada caso sera 
 
 
1
2
1
0.2
12
L
L
L
c
c A
c
π =Λ 
= ⇒ 
=
 
 
3. El coeficiente de resistencia inducida puede también calcularse a partir de los 
coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de senos de la distribución de 
circulación adimensional, que es conocida en este caso, y se obtiene 
 
 2
1
0.0072
0.12724
Di
Di n
Di
c
c nA
c
π π
π
∞
 =Λ 
= = 
 =

∑ 
 
4. Para calcular la distribución de circulación adimensional unitaria se emplea la 
relación entre la distribución de sustentación y la básica 
 
 n n w nA B aα= + 
 
Los coeficientes de la básica, nB , y de la adicional unitaria, na , no dependen del 
ángulo de ataque del ala, wα , ya que la básica esta calculada para el ángulo de 
ataque que produce sustentación nula y la adicional unitaria para un ángulo de 
ataque geométrico de 1 rad. Por ello, particularizando la expresión anterior para 
los dos ángulos de ataque (cada uno con un superíndice distinto) se tiene 
 
1 2 1n n nA A n B= ∀ ≠ ⇒
1
w n na Bα+ =
2 0 1w n na a nα+ ⇒ = ∀ ≠ , 
 
es decir, que el ala tiene forma en planta elíptica. 
 
Por tanto la distribución de circulación básica es 11 y 0n nA B n B= ∀ ≠ = . 
 
La distribución de circulación adicional unitaria 1Lc = se define como 
1
1 1
1
1
1
1
4
0 2
cL
c cL L
cL
w
Ln n w n n L n n n
L
n
A
a
cA B a B c a a a
c
a n
α πα =
= =
=

= =
= + = + ⇒ = ⇒ 
 = ≥

 
 
5. La forma en planta del ala se calcula a partir de la distribución de circulación 
adicional unitaria y la ecuación de Prandtl, ya que esta distribución solo depende 
de la forma en planta del ala. Además, de teoría se sabe que la distribución de 
Ana Laverón Simavilla 29/05/2007 
circulación adicional unitaria es elíptica para alas con forma en planta elíptica, 
por tanto, en este caso no es necesario resolver la ecuación y se tiene 
 
 ( ) 1
4 4 2
sin y
2 5
K aθ θ
π
= = =
Λ Λ +
. 
 
6. Conocida una distribución de circulación y la forma en planta del ala se puede 
calcular fácilmente con la ecuación de Prandtl la distribución de ángulos de 
ataque geométricos y a partir de ella la torsión 
 
 ( ) ( ) ( )2ε θ α θ α π= − 
 
 Y la ecuación de Prandtl 
 
 ( ) 1
1
sin
1
sin sin
2 2sin
n
n
nA n
A n
θ
θ θ α θ
θ
∞
∞
 
 
 = −
 
  
∑
∑ . 
 
 Despejando la ley de ángulos de ataque se tiene 
 
 
 ( )
( )
1
2 2 sin
sin
nn A nθ
α θ
θ
∞
+
=
∑
, 
 
 y finalmente 
 
 ( ) 0.07sin 3 0.45sin 5
8 sin
θ θ
ε θ
π θ
+
= . 
 
7. La pendiente de la curva de sustentación de un ala larga sólo depende de su 
alargamiento, Λ , y de su forma en planta a través del coeficiente 1a , como se ve 
en la expresión 
 
 1
2
Lc a
π
α
∂ Λ
=
∂
, 
 
de donde, sustituyendo por los valores del ala estudiada se tiene 
 
8
5
Lc π
α
∂
=
∂
. 
 
8. Los ángulos de ataque del ala en los dos casos estudiados se tienen de la 
expresión del coeficiente de sustentación global del ala en cada caso 
 
Ana Laverón Simavilla 29/05/2007 
 11
2
2
L
L w w
L
c A
c A
c
π ππ
α α
α
α
∂ Λ ΛΛ
= = ⇒ = =
∂∂
∂
1A
πΛ
( )1
1
2
4
A
a
Λ +
= . 
 
Particularizando para los casos estudiados se tiene 
 
1
1
8
wα π
= y 
2
5
8
wα π
= . 
 
El ángulo de ataque del ala es el que forma la línea de sustentación nula del ala 
con la corriente incidente no perturbada, como los valores obtenidos son 
positivos significa que la línea de sustentación nula del ala se encuentra por 
encima de la dirección de la corriente no perturbada como se muestra en el 
siguiente esquema 
 
U∞ w
α