AyA - APU - ETSIA - Aeroelasticidad - Resumen Teoría

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Resúmenes de Teoŕıa de Aeroelasticidad
Diego Esquinazi
29 de enero de 2015
Índice
1 Aeroelasticidad 2
2 Divergencia 2
3 Inversión de mando 2
4 Flameo lineal 3
5 Cálculo de UF y ωF 3
5.1 Método P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.2 Método V-g (Método K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Influencia de algunos parámetros sobre UF 5
6.1 Influencia de ωh/ωα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2 Influencia de µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.3 Influencia de la posición relativa eje elástico - centro de gravedad (a, Xα) . . . . 6
6.4 Influencia de M∞ (efecto de la compresibilidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.5 Influencia del espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Respuesta forzada. Ráfaga (G) 7
7.1 Función de Wagner: Φ(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.2 Función de Küssner: Ψ(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7.3 Wagner vs Küssner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 Bataneo y Flameo en separación (B) 9
9 Aeroelasticidad en turbomáquinas 9
9.1 Dificultades del estudio aeroelástico en turbomáquinas . . . . . . . . . . . . . . . 9
9.2 Flameo por separación en rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9.3 Flameo por bloqueo sónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9.4 Diagrama de Campbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9.5 Ensayos de flameo en compresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
1. Aeroelasticidad
Parte de la mecánica aplicada que trata sobre la interacción de las fuerzas aerodinámicas,
de inercia y estructurales.
Los principales intereses de la aeroelasticidad son:
Estabilidad y control
Flameo
Cargas estructurales debidas a maniobras
Turbulencia
2. Divergencia
Es una inestabilidad aeroelástica.
Explicación del libro:
Una deformación estructural redistribuye las cargas y modifica la efectividad sustentadora de una
superficie aerodinámica. Si las cargas tienden a aumetar la perturbación total del campo fluido, la
efectividad sustentadora aumentará. Existe una velocidad cŕıtica (la velocidad de divergencia), a
la que la velocidad de variación de carga aerodinámica con la deformación se iguala a la velocidad
de variación de reacción estructural, no habiendo condición de equilibrio estático.
A velocidades mayores que la de divegencia (UD), el ángulo de ataque (α) tiende a infinito,
provocando el fallo estructural.
Con mis palabras:
Volando a U∞ con ángulo de ataque α, el perfil sustenta. Como el ala no es infinitamente ŕıgida,
la sustentación hace que ésta se deforme (flexión-torsión). Dicha deformación modifica a su vez
la distribución de presiones sobre el ala, pudiendo ocurrir que la propia perturbación generase
un aumento del α efectivo. Si α crece ⇒ el perfil sustenta más ⇒ aumenta la deformación ⇒
vuelve a aumentar α, ... Hasta que se produce el fallo estructural.
Existe una velocidad cŕıtica, UD, a la que ocurre este fenómeno de divergencia.
3. Inversión de mando
Las cargas generadas por la deflexión de una superficie de control (alerón, flap, timón, etc.)
también inducen deformaciones elásticas, que a su vez producen nuevas cargas aerodinámicas
en el sistema completo. Nuevamente, al igual que ocurre en el caso de divergencia, la efectivi-
dad del mando cambiará con respecto a la del sistema ŕıgido, pudiendo aumentar o disminuir,
dependiendo de la relación entre la carga externa y la deformación.
En el caso de una disminución de la efectividad del mando, existirá una velocidad cŕıtica en
la cual dicha efectividad sea nula, la velocidad de inversión de mando (UR), donde las cargas
inducidas por la superficie de control se compensan exactamente con las cargas aeroelásticas.
A velocidades superiores a UR, el sistema de control actuará en la dirección opuesta a la
esperada, dificultando el control del veh́ıculo y pudiendo provocar un accidente en consecuencia.
Para qR/qD = 1→ la efectividad del mando se mantiene al 100 % hasta que se produce el
fallo catastrófico por divergencia.
Interesa elegir un qR/qD < 1 (próximo a 1) por razones de seguridad para anticiparnos al
fallo al notar el efecto de la pérdida de efectividad del mando.
2
Figura 1: Efectividad del mando.
4. Flameo lineal
Si tenemos un sistema en tierra (U∞ = 0) y lo sacamos de su posición de equilibrio, el sistema
comenzará a vibrar. Dichas oscilaciones se amortiguarán debido al amortiguamiento estructural
del sistema.
Si hacemos lo mismo con un sistema en vuelo (U∞ > 0) puede suceder que el sistema se
amortigüe, permanezca con amplitud constante, o se amplifique, dependiendo de que las fuerzas
aerodinámicas no estacionarias, originadas como consecuencia de la deformación, extraigan o
suministren enerǵıa del sistema.
El que suceda uno u otro caso depende de U∞ y del desfase entre el movimiento de la
estructura y la fuerza aerodinámica que actúa sobre ella.
Se define la velocidad de flameo, UF , como la mı́nima velocidad a la que cierta estructura (a
ρ∞ y T∞ dadas) tiene oscilaciones armónicas permanentes, con frecuencia de flameo ωF .
A U∞ > UF ⇒ fallo estructural.
5. Cálculo de UF y ωF
5.1. Método P
Consiste en calcular la estabilidad del sistema mediante la transformada de Laplace, ob-
teniendo un sistema homogéneo que, para que tenga solución distinta de la trivial, tiene que
cumplir que su determinante sea nulo. El número de raices de la ecuación ∆(p) = 0 es infinito.
Este método no es muy popular en la industria aeronáutica debido a que las fuerzas aero-
dinámicas, en el dominio de Laplace, no se conocen aún con suficiente precisión, y porque el
cálculo de las raices en problemas 3D puede no ser una tarea fácil.
Ventajas del método P:
Se obtiene adecuadamente cómo se produce el paso por amortiguamiento nulo de la ráız,
de forma que sabremos si la entrada en régimen de flameo será violenta o suave.
Al estar formulado en el plano de Laplace, es fácilmente acoplable a sistemas de control
automáticos (aeroservoelasticidad).
3
5.2. Método V-g (Método K)
Es el método más utilizado en la industria aeronáutica.
Se asume como hipótesis de partida que el movimiento es armónico, de frecuencia ω.
1. Realizamos el cambio de variable:
qi = q̄ie
iωt
q̇i = iωq̄ie
iωt
q̈i = −ω2q̄ieiωt
2. Adimensionalizamos las ecuaciones utilizando los parámetros: Xα =
Sα
bm y r
2
α =
Iα
mb2
El sistema se puede expresar como:
(
−ω2[Mij ] + iω[Fij ] + [Kij ]−
1
2
ρ∞
U2∞
m
[Qij ]
)
h̄/b
ᾱ
β̄
 = {0}
3. Llamando: µ = m
πρ∞b2
y k = ωbU∞ , y suponiendo: (gh − gα) << gh ∼ gα, el sistema queda
de esta forma:
[
−
(
[Mij ] +
1
2πk2µ
[Qij ]
)
+
(ωα
ω
)2
(1 + igα)[K̃ij ]
]
h̄/b
ᾱ
β̄
 = {0}
La matriz [K̃] tiene inversa.
4. Llamando [A] = [Mij ] +
1
2πk2µ
[Qij ] y multiplicando (por la izquierda) por [K̃]
−1, se con-
vierte en un problema de autovalores:∣∣∣[K̃]−1[A]− (ωαω )2 (1 + igα)[I]∣∣∣ = 0
5. La matriz compleja [K̃]−1[A] depende a su vez de
(
ωα
ω
)
a través de k por lo que es necesario
iterar para hallar la solución.
La iteración se hará probando diferentes valores de k.
6. Para agilizar el cálculo, se hallarán previamente las fuerzas aerodinámicas generalizadas,
Qij , para un gran conjunto de valores de k: k1 > k2 > ... > kn (kn ∼= 0).
k1 se elige según la experiencia y n es del orden de 10−15. Valores intermedios a (Qij , Qij+1)
se obtendrán por interpolación lineal.
7. Una vez conocidasQij para un número grande de valores de kj , se calcularán los autovalores
del sistema, empezando por k1. Estos autovalores serán números complejos, Zi.
8. Calculamos el amortiguamiento del sistema: gi =
Im(Zi)
Re(Zi)
y comprobamossi existe algún
gi ≥ 0. Si todos los gi < 0, pasamos al siguiente valor de k (k2) y volvemos a calcular los
autovalores, hasta que aparezca algún gi ≥ 0.
Si encontramos un gi > 0, interpolamos para hallar kj tal que gi = 0 (oscilaciones armóni-
cas no amortiguadas).
4
9. Si existe un kj y existe un Zi tal que gi = 0, entonces kj = kF y Zi = ZF .
La frecuencia de flameo será:
ωF =
ωα√
Re(ZF )
y la velocidad de flameo:
UF =
ωF b
kF
6. Influencia de algunos parámetros sobre UF
6.1. Influencia de ωh/ωα
En las proximidades de ωh/ωα = 1→ UFmin
Especialmente cuando el centro de gravedad está ligeramente retrasado respecto al eje
elástico.
Figura 2: Influencia de ωh/ωα.
Xα =
Sα
mb : distancia adimensional del centro de gravedad al eje elástico.
6.2. Influencia de µ
Posee un mı́nimo en el intervalo (2,15), luego crece exponencialmente (libre de flameo).
Interesa valores de µ grandes para evitar el flameo.
Figura 3: Influencia de µ.
5
µ =
m
πρ∞b2
: parámetro másico
A µ = cte, ↑ Xα ⇒↓ UF (malo)
6.3. Influencia de la posición relativa eje elástico - centro de gravedad (a, Xα)
1
2 + a + Xα : representa la distancia adimensional del centro aerodinámico al centro de
gravedad.
Figura 4: Influencia de a y Xα.
a→ prácticamente no influye en UF .
Xα → gobierna la estabilidad.
Valores altos de Xα → MALO
Mı́nimo de estabilidad para Xα = 0,2
Principio básico de equilibrio másico
Centro de gravedad por delante del eje elástico → elimina completamente el flameo
(Xα < 0).
Separar el eje elástico del centro de gravedad es bueno → separa las frecuencias naturales
evitando la cohalescencia modal.
6.4. Influencia de M∞ (efecto de la compresibilidad)
Se representa el parámetro bωαa∞
√
2m
πρ∞bS
en función de M∞ para que la velocidad no apa-
rezca a la vez en ambos ejes.
Volar a h = cte→ Ĺınea horizontal
Si la ĺınea está en zona estable → no hay flameo
Zona cŕıtica de inestabilidad en el transónico (M∞ ∼= 1)
6.5. Influencia del espesor
↑ espesor ⇒ ↓ UF (malo)
6
Figura 5: Influencia de M∞.
7. Respuesta forzada. Ráfaga (G)
Condición meteorológica transitoria que impone cargas dinámicas importantes en el avión.
Ejemplos:
Corrientes incidentes no uniformes
Corrientes verticales (por cadenas montañosas) → Modelos ráfaga discreta
Vientos senoidales
Turbulencias (aleatoria)→ Modelos estad́ısticos
7.1. Función de Wagner: Φ(s)
Representa la sustentación adimensional que tiene un perfil en función del tiempo adimen-
sional (s) cuando en el instante s = 0 cambia instantáneamente de α = 0 a α = 1.
Figura 6: Función de Wagner. Variación de α con s.
7.2. Función de Küssner: Ψ(s)
Es una ráfaga de intensidad unidad. Representa la sustentación adimensional que tiene un
perfil cuando penetra en una ráfaga uniforme, en la dirección de la corriente, que induce
un aumento unitario del ángulo de ataque. Se supone que, tanto el perfil de la ráfaga, como
la velocidad del vuelo, U∞, no se ven modificados cuando el perfil penetra en la ráfaga.
s = U∞tb : tiempo (adimensional) empleado en recorrer media cuerda del ala.
7
Figura 7: Función de Küssner.
7.3. Wagner vs Küssner
Pregunta de examen: ¿Por qué las funciones de Wagner y Küssner difieren mucho para
tiempos cortos pero son muy parecidas para tiempos grandes?
Figura 8: Wagner vs Küssner.
En el problema de Wagner, el ángulo de ataque cambia de forma instantánea en toda la
cuerda del perfil en s = 0, mientras que en el problema de Küssner, el ángulo de ataque
cambia de forma progresiva a medida que el perfil penetra en la ráfaga. Solo a partir de
s = 2, el perfil estará completamente inmerso en la ráfaga.
Φ(s = 0) = 1/2
Ψ(s = 0) = 0
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8. Bataneo y Flameo en separación (B)
Bataneo
Son vibraciones transitorias que sufren elementos estructurales del avión (cola) debido
a las fuerzas aerodinámicas generadas por las estelas arrojadas por el ala u otros
elementos del avión.
Movimiento irregular de una estructura o parte de ella, en un flujo, excitada por la
presencia de turbulencia en dicho flujo. Es un problema similar al de ráfagas solo que
ahora la turbulencia ha sido generada por otra parte de la estructura.
Ejemplo: La cola del avión entra en bataneo por encontrarse en la estela de una co-
rriente desprendida (y turbulenta) arrojada por el ala.
Flameo en separación
Es un tipo de flameo de una superficie sustentadora en la que parte de la misma tiene
flujo desprendido durante todo o parte del ciclo de oscilación (t́ıpico de álabes de
compresor o palas de hélices).
Si durante parte o todo un ciclo de oscilación, el flujo está separado, entonces el flameo
tiene unas caracteŕısticas muy particulares y se llama ”flameo en separación”. Esta es
una inestabilidad aeroelástica importante en álabes de compresores y turbinas, palas
de helicópteros y de hélices que funcionan a ángulos de ataque próximos a los de
separación.
La separación puede ocurrir, bien porque la amplitud de las oscilaciones es muy gran-
de, o bien porque la oscilación se realice alrededor de un ángulo de ataque estacionario
muy elevado, próximo al de separación de la corriente.
Diferencia entre flameo en separación y bataneo
El flameo en separación es una inestabilidad real y las fuerzas aerodinámicas son generadas
por la propia oscilación.
En el bataneo, la fuerzas aerodinámicas apenas se ven afectadas por el movimiento del
sistema y existiŕıan incluso en el caso de que la estructura fuese infinitamente ŕıgida.
9. Aeroelasticidad en turbomáquinas
9.1. Dificultades del estudio aeroelástico en turbomáquinas
Geométricas
geometŕıa de álabes más complicada que la de un ala
torsión
estrechamientos
rigidizadores
canales de refrigeración
Efectos de rotación y térmicos
altas rpm
fuerzas centŕıfugas y de Coriolis
muy altas temperaturas
Desprendimiento y turbulencia → modelos no lineales.
Eje elástico → la ĺınea del eje elástico puede no ser radial (o incluso no existir).
Asimetŕıa → intencionada o no.
9
9.2. Flameo por separación en rotación
Ocurre normalmente a velocidades de rotación próximas a la nominal. Todos los álabes se
encuentran próximos al ángulo de ataque de separación.
Si por alguna razón, el álabe j entra en separación, dicho desprendimiento perturbará la
corriente incidente en los álabes contiguos, aumentando el ángulo de ataque del álabe j+1
y disminuyéndolo en el j − 1. Como consecuencia, el álabe j + 1 entrará en pérdida y el
j − 1 disminuirá sus posibilidades poseer flujo desprendido.
Al desprenderse la corriente en j + 1, se perturbará el campo fluido de forma análoga a
como sucedió en el álabe j, induciéndose separación en j + 2 y pudiéndose re-adherir la
corriente en el álabe j.
De esta forma, se crea una zona de separación que gira con los álabes pero con una velo-
cidad angular menor. Esto provoca vibraciones, pudiendo incluso entrar en una oscilación
inestable hasta que se produce la rotura.
Figura 9: Flameo por separación en rotación y flameo por bloqueo sónico.
9.3. Flameo por bloqueo sónico
Suele ocurrir en escalones intermedios del compresor, a velocidades de rotación por debajo
de la nominal, en aquellos escalones que trabajan a ángulos de ataque más pequeños que
la media.
Si en un álabe aparece una burbuja de separación, esto disminuye el área efectiva de paso
entre álabes, pudiéndose alcanzar un área de garganta cŕıtica, apareciendo una onda de
choque aguas abajo de la garganta. Con el movimiento relativo de los álabes, la onda de
choque oscilará (pudiendo incluso desaparecer en parte del ciclo). Estos cambios modifican
la distribución de presión en cada álabe, pudiendo suceder que el sistema extrajese enerǵıa
del aire y produciéndose el flameo.
Figura 10: Diagrama de compresor.
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9.4. Diagrama de Campbell
Ilustra la influencia de la velocidad de rotación sobre la frecuencia de vibración de los álabes.
Además, resalta las posibles condiciones de resonanciacon las Engine Order Lines.
Las EO lines representan los distintos armónicos de excitación.
fi =
nΩ
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n : engine order
Las frecuencias de resonancia son los puntos de intersección de las EO lines con las frecuen-
cias propias del rotor. Aunque idealmente habŕıa que evitar todas las frecuencias propias de
resonancia, esto no se posible en la práctica. Habrá que tratar de evitar las más peligrosas, que
son las que ocurren en el intervalo de trabajo del motor (Ω altas).
Figura 11: Diagrama de Campbell.
Una vez identificadas las Ωres a evitar, habrá que modificar el diseño del compresor:
variar el número de álabes del estátor
variar la distancia estátor-rotor
variar el espesor de los álabes
introducir rigidizadores (o variar su posición si ya existen)
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9.5. Ensayos de flameo en compresores
1. ¿Qué queremos medir?
Ĺımites de flameo
Respuesta del compresor en flameo
Asimetŕıa entre los álabes
Aerodinámica: estacionaria y no estacionaria
2. Análisis previo
Esfuerzos estáticos sobre los álabes → Diagrama de Goodman
Vibraciones en resonancia → Diagrama de Campbell
Estudio de la estabilidad del compresor → determinar UF
3. Selección de espećımenes e instrumentación
Extenśımetros → en aquellos puntos donde la deformación sea alta para los modos
de vibración previstos (borde de ataque).
Espejos reflectores
Captadores de presión → sobre los álabes y en la carcasa del compresor.
Láminas calientes → para obtener de forma cualitativa fluctuaciones de presión no
estacionaria.
4. Planificación del ensayo
Establecer el número de puntos necesarios para obtener datos satisfactorios.
Obtener los datos más importantes primero→ el ensayo puede acabar repentinamen-
te.
Establecer un régimen seguro de trabajo.
5. Adquisición de datos
Respuesta en frecuencia→ seleccionar una frecuencia un orden de magnitud superior
a la frecuencia más alta esperada para el álabe.
Calibrar correctamente los instrumentos para la amplitud de oscilación esperada.
Calibrar correctamente en fase→ utilizar un reloj común como trigger para todos los
registradores para asegurar la sincronización de los datos.
6. Identificación de los fenómenos
Es muy importante identificar rápidamente las señales de vibración de los distintos álabes
para poder tomar las acciones de control necesarias.
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Figura 12: Interpretación de señales en ensayos de álabes.
Resonancia
Ocurre cuando la frecuencia de las fuerzas aerodinámicas periódicas (estelas) iguala
a la frecuencia natural de los álabes.
Señal: onda sinusoidal de amplitud constante que permanece estacionaria cuando
se disparan los barridos del monitor por la señal de Ω.
Frecuencia: múltiplo de Ω.
Acción: requiere acelerar o desacelerar (5-10 %) para escapar de ese régimen (me-
jor acelerar).
Flameo
Señal: armónica en todos los álabes pero de un solo escalón del compresor.
Frecuencia: no es múltiplo de Ω.
Acción: Requiere retroceder rápidamente para deshacer los cambios que provo-
caron la entrada en flameo.
Bataneo (flameo en separación)
Movimiento irregular de los álabes cuando son excitados por turbulencia en el campo
fluido. Está asociada a ángulos de ataque grandes y a los primeros escalones del
compresor.
Señal: onda de amplitud variando de forma aleatoria como respuesta al primer
modo de vibración.
Frecuencia: no es múltiplo de Ω.
Acción: normalmente ocurre muy despacio→ no es peligrosa. Pero a veces puede
degenerar rápidamente en flameo en torsión coherente.
13
	Aeroelasticidad
	Divergencia
	Inversión de mando
	Flameo lineal
	Cálculo de UF y F
	Método P
	Método V-g (Método K)
	Influencia de algunos parámetros sobre UF
	Influencia de h/
	Influencia de 
	Influencia de la posición relativa eje elástico - centro de gravedad (a, X)
	Influencia de M (efecto de la compresibilidad)
	Influencia del espesor
	Respuesta forzada. Ráfaga (G)
	Función de Wagner: (s)
	Función de Küssner: (s)
	Wagner vs Küssner
	Bataneo y Flameo en separación (B)
	Aeroelasticidad en turbomáquinas
	Dificultades del estudio aeroelástico en turbomáquinas
	Flameo por separación en rotación
	Flameo por bloqueo sónico
	Diagrama de Campbell
	Ensayos de flameo en compresores