Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
Aeroelasticidad_Problemas_-_Ingeniería_aeronáutica_-_ETSEIAT_-_UPC
Estudiando Ingenieria
Compartir
Vista previa del material en texto
Andrés Zarabozo Martínez
Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
Ingeniería Aeronáutica
ETSEIAT
2012
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 2 -
Acerca de estos apuntes
Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura “Aeroelasticidad y
vibraciones”, que se imparte en el quinto curso de Ingeniería Aeronáutica, en intensificación en
Aeronaves, en la Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa, de la
Universitat Politècnica de Catalunya (ETSEIAT – UPC).
Licencia
Esta obra está bajo una licencia Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) de
Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite:
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es_ES
En líneas generales:
Es libre de:
Compartir – Copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra.
Transformar la obra y crear obras derivadas.
Hacer un uso comercial de esta obra.
Bajo las condiciones siguientes:
Reconocimiento — Debe reconocer al autor de la obra original (pero no de una manera que
sugiera que tiene su apoyo o apoya el uso que hace de su obra).
Compartir bajo la Misma Licencia — Si altera o transforma esta obra, o genera una obra
derivada, sólo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 3 -
0. Índice
0. Índice ................................................................................................................................................... 3
1. Aeroelasticidad estática en perfiles .................................................................................................... 5
Problema 1. Perfil con flap .................................................................................................................. 7
Problema 2. Perfil sobre dos muelles ............................................................................................... 10
Problema 3. Biplano en flujo subsónico ........................................................................................... 14
Problema 4. Perfil simétrico con flap ................................................................................................ 18
Problema 5. Perfil con slat y flap ...................................................................................................... 21
Problema 6. Relaciones de efectividades de mando ........................................................................ 24
Problema 7. Perfil con sistema de mando flexible ........................................................................... 27
Problema 8. Perfil con efectos no lineales ........................................................................................ 30
Problema 9. Perfil sujeto por dos muelles y con un flap .................................................................. 32
2. Flameo de perfiles ............................................................................................................................. 36
Problema 1. Cubierta de un andén ................................................................................................... 39
Problema 2. Andén con distribución de masa lineal ........................................................................ 45
Problema 3. Influencia de un motor en el flameo ............................................................................ 49
Problema 4. Sin fuerzas aerodinámicas pero con una fuerza puntual ............................................. 54
Problema 5. Cálculo de la sustentación sobre un perfil oscilando en flexión .................................. 60
Problema 6. Cálculo de fuerzas generalizadas en condiciones sónicas ............................................ 63
Problema 7. Influencia del Mach supersónico en la velocidad de flameo ....................................... 68
Problema 8. Biplano .......................................................................................................................... 75
Problema 9. Cubierta de un vehículo espacial .................................................................................. 79
Problema 10. Perfil sin movimiento vertical y con masa colgando .................................................. 82
3. Ráfagas en perfiles ............................................................................................................................ 87
Problema 1. Factor de carga adimensional de una ala rígida ........................................................... 89
Problema 2. Puente frente a una ráfaga ........................................................................................... 93
Problema 3. Factor de carga con ráfaga cosenoidal ......................................................................... 99
4. Flameo por separación .................................................................................................................... 103
Problema 1. Flameo por separación en flexión .............................................................................. 103
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 4 -
5. Aeroelasticidad estática en alas rectas ........................................................................................... 106
Problema 1. Ala recta y uniforme ................................................................................................... 108
Problema 2. Ala sujeta a un muelle de torsión ............................................................................... 113
Problema 3. Velocidad de inversión de mando de un timón de profundidad ............................... 118
Problema 4. Ala recta ensayada en un túnel de viento .................................................................. 124
6. Flameo de estructuras unidimensionales ....................................................................................... 129
Problema 1. Fuselaje de un vehículo espacial ................................................................................ 131
Problema 2. Flameo de un panel del revestimiento de un ala hipersónica ................................... 134
Problema 3. Puente ........................................................................................................................ 139
Problema 4. Cubierta de un vehículo espacial ................................................................................ 144
Problema 5. Velero con modo ficticio ............................................................................................ 149
Problema 6. Ejemplo de modo de torsión ...................................................................................... 154
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 5 -
1. Aeroelasticidad estática en perfiles
En el tema de aeroelasticidad estática en perfiles se estudian dos casos:
Divergencia: modificación del ángulo de ataque y obtención de la velocidad para que esta
sea inestable.
Inversión de mando: perdida de efectividad del mando debido a los efectos ligados al
cambio de sustentación en el alerón y su aumento del momento de picado.
Se deben tener en cuenta algunos puntos:
Al ser un estudio de perfil se toma como superficie alar como la cuerda por unidad de
envergadura .
Se pueden utilizar valores para coeficientes de sustentación y posición del centro
aerodinámico de la teoría potencial linealizada.
Incompresible Subsónico Supersónico
Posición del centro aerodinámico
Coeficiente de sustentación
Coeficiente √ √
Tabla 1.0.1. Parámetros aerodinámicos habituales
Se hace la hipótesis y las simplificaciones de ángulos pequeños.
En el estudio de la efectividad demando se define un ángulo de ataque elástico debido
únicamente al movimiento efecto del alerón desplegado un ángulo . No hay que confundir
el ángulo de deflexión del alerón con el coeficiente que depende del número de Mach.
Se define la efectividad de mando como la relación entre la variación total de la sustentación
y la variación de sustentación debida a la deflexión del alerón .
(1.0.1)
Los problemas más típicos son los de análisis de la velocidad de divergencia. El procedimiento básico
suele ser el mismo pero el desarrollo puede variar mucho entre problemas. Normalmente la pauta a
seguir es la siguiente:
1. Se debe analizar el número de grados de libertad que tiene el sistema. Normalmente el
número es igual a la cantidad de muelles de torsión y muelles de flexión.
También se escogen las variables, normalmente se tiene una variable más de los grados de libertad,
ya que a parte de los movimientos de los muelles también hay otro tipo de variables como por
ejemplo el ángulo en un perfil que no tenga muelle de torsión.
Al tener más variables que grados de libertad se deben encontrar relaciones entre las variables, por
ejemplo se puede encontrar relaciones entre los movimientos de los muelles y la variación del
ángulo de ataque. El problema 3 tiene un buen ejemplo del análisis de las contribuciones de
distintos grados e libertad sobre un ángulo de ataque.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 6 -
2. Se deben encontrar tantas ecuaciones de fuerzas o momentos como grados de libertad se
tengan. Estas ecuaciones dependerán de la variable que no es grado de libertad, por lo que se debe
sustituir con la relación obtenida en el punto 1.
La elección de que ecuación de equilibrio depende de cada problema aunque cualquier elección
llega a un resultado correcto. En general se suelen utilizar equilibrios de momentos ya que en el
análisis de divergencia solo se estudia la modificación del ángulo de ataque.
3. Se escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial. La condición de divergencia aparece
cuando el determinante de la matriz es nulo. Normalmente se pide despejar la presión dinámica de
divergencia.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 7 -
Problema 1. Perfil con flap
Para estudiar el comportamiento de un perfil ante el accionamiento de un flap considere la
configuración mostrada en la figura.
El perfil, situado en el seno de una corriente supersónica, puede girar alrededor del punto fijo ,
retenido por la acción de un muele de constante elástica por unidad de longitud ( ( )⁄ ).
La acción del muelle es nula cuando el ángulo es nulo. El perfil está provisto de un flap, articulado
en , cuya deflexión se consigue aplicando desde un mando un momento externo . Ninguno de
los elementos considerados tiene masa. Utilice el siguiente parámetro ̅.
̅
Donde es la presión dinámica, √
y es la cuerda del perfil. Además y ya están
adimensionalizados con la cuerda del perfil.
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen supersónico se pide:
a) Calcule el momento que hay que aplicar al flap para obtener una deflexión .
b) Calcule el ángulo que se produce como consecuencia de la deflexión del flap.
c) Calcule el coeficiente de sustentación global del perfil completo en función de .
d) Estudie la influencia de los parámetros y en ⁄ , en particular en las
condiciones que hacen nula o infinita esta derivada. Interprete los resultados.
Figura 1.1.1. Perfil del ala con flap
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 8 -
Resolución
a) Momento
Al tener un perfil en condiciones supersónicas las perturbaciones no se mueven aguas arriba, por lo
que la distribución de sustentación del alerón no influye al resto del ala. Por lo tanto se divide el
problema en dos perfiles separados.
Figura 1.1.2. Perfiles separados
Por lo tanto los coeficientes de sustentación de los dos perfiles son
( )
(1.1.1)
Hay que recordar que el coeficiente de sustentación están escritos en función de su cuerda (que es
menor que la cuerda total del ala). Se puede representar la sustentación global como se observa en
la siguiente figura.
Figura 1.1.3. Distribución del perfil
Se hace el equilibrio de momentos en la charnela.
(
)
( )
( )( )
(1.1.2)
b) Ángulo
Se hace ahora el equilibrio de momentos respecto al eje elástico. Se tienen tres contribuciones: el
flap, el muelle y el perfil (sin flap).
(
) (
) (1.1.3)
( )
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 9 -
Se adimensionaliza la expresión y se obtiene el ángulo .
( )( )
( ) ̅ (
)
̅
(1.1.4)
c) Coeficiente de sustentación global ( )
El coeficiente de sustentación global es la integral de la distribución de la Figura 1.1.3.
( )
( )
( )
( )
(
̅
)
(
̅
) (1.1.5)
Donde todo lo que está multiplicando a es el coeficiente .
d) Influencia de los parámetros y en ⁄
Se opera con el obtenido antes. Considerando que el coeficiente es nulo se obtiene
̅
̅
̅
̅ ̅
̅
(1.1.6)
Uno es el caso de no tener flap y el otro de tener rigidez infinita. En el caso de que el coeficiente sea
infinito solo se puede obtener si el denominador del cociente es igual a .
̅
(1.1.7)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 10 -
Problema 2. Perfil sobre dos muelles
Se introduce en un túnel aerodinámico una placa plana de envergadura mucho mayor que la cuerda
unida al suelo mediante muelles colocados tanto en el borde de ataque como en el de salida. Se
desea calcular la velocidad de divergencia en esta configuración. Para ellos se estudiará el modelo
bidimensional representado en la figura. La cuerda del perfil es y su masa por unidad de
envergadura es . El muelle del borde de ataque tiene una rigidez por unidad de longitud , y el
muelle del borde de salida . En función de los parámetros del problema se pide:
a) Calcular y representar gráficamente la influencia que tiene en la presión dinámica de
divergencia la relación entre las constantes de rigidez de los muelles, tanto en régimen
subsónico (empleando la corrección de Prandtl-Glauert) como en régimen supersónico.
b) Discutir brevemente el resultado anterior.
c) Cuando los muelles son iguales, encontrar la presión dinámica de divergencia adimensional
en función del número de Mach de la corriente incidente .
Figura 1.2.1. Perfil sobre dos muelles
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 11 -
Resolución
a) Influencia que tiene en la presión dinámica de divergencia la relación entre las constantes de
rigidez de los muelles
El problema tiene tres variables ( , y ), pero en verdad solo tiene dos grados de libertad ya que
se puede obtener una relación geométrica como ecuación extra. Se eligen como dos grados de
libertad los desplazamientos de los muelles ( y ).
De la geometría del problema y considerando grados pequeños se obtiene una relación entre las tres
variables.(1.2.1)
Los coeficientes de sustentación del perfil tanto en subsónico como en supersónicos los siguientes.
√
√
(1.2.2)
Se plantea primero el problema subsónico. El equilibrio de fuerzas es
(1.2.3)
Al tener un perfil simétrico no se tiene ningún momento en el centro aerodinámico. Se recuerda que
el momento aplicado en el centro aerodinámico no depende del ángulo de ataque y sin ángulo de
ataque no hay un momento aerodinámico en un perfil simétrico.
El equilibrio de momentos respecto al centro aerodinámico es
(1.2.4)
Sustituyendo el ángulo obtenido en la ecuación (1.2.1) en la ecuación (1.2.3) se obtiene una
ecuación que solo depende de los desplazamientos de los muelles. Junto con la ecuación (1.2.4) del
equilibrio de momentos se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
[
] {
} {
} (1.2.5)
La condición de divergencia se da cuando no se puede invertir la matriz. Se puede ver como los
términos que no dependen de los grados de libertad (pesos, coeficientes de momento…) cambian la
posición de equilibrio pero no afectan en la divergencia. Esos términos aparecen en el vector
solución del sistema pero no en la matriz.
La única de forma de que la matriz no tenga inversa es teniendo un determinante nulo.
[ ] ( )( ) ( )( )
[ ( ) ] (1.2.6)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 12 -
Pudiendo despejar la presión dinámica de divergencia.
(1.2.7)
Ahora se calcula el caso supersónico. Al ser supersónico, el centro de momentos aerodinámicos se
sitúa en medio de la cuerda y coincide con el centro de gravedad. De forma similar se obtienen dos
expresiones utilizando equilibrios de fuerzas verticales y momentos en el centro de gravedad.
(1.2.8)
(1.2.9)
Se obtiene de forma similar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
[
( )
] {
} {
} (1.2.10)
Se calcula el determinante de la matriz y se iguala a cero para obtener la presión dinámica de
divergencia en flujo supersónico.
( ) ( )
(1.2.11)
Las presiones dinámicas se pueden adimensionalizar con la constante de uno de los muelles.
Obteniendo para los dos casos (subsónico y supersónico).
Figura 1.2.2. Influencia de y la relación entre las constantes de rigidez de los muelles
Subsónico
Supersónico
⁄
⁄
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 13 -
Las expresiones para los dos tipos de flujos (subsónico y supersónico) son
(1.2.12)
Las funciones representadas en la Figura 1.2.2 son las influencias que tienen en la presión dinámica
de divergencia la relación entre las constantes de rigidez de los muelles. Ambas curvas divergen
cuando el denominador es igual a cero.
b) Discutir el resultado
En función de la relación de las rigideces de los muelles se desplaza el eje elástico del perfil. Si es
más rígido que el eje elástico avanza hacia el borde de ataque aumentando así la presión
dinámica de divergencia.
c) Presión dinámica de divergencia adimensional en función del número de Mach
Si los muelles son iguales se obtiene para los dos casos
(1.2.13)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 14 -
Problema 3. Biplano en flujo subsónico
Considere un biplano subsónico tal que el ala superior está unida al fuselaje, mientras que el ala
inferior cuelga de ésta mediante unas barras que unen los bordes de ataque y los bordes de salida
de ambas. Para estudiar la velocidad de divergencia se considera una sección característica, de
cuerda . La rigidez a torsión se representa mediante un muelle de torsión de rigidez , por unidad
de longitud, situado en el eje elástico del ala superior. Las barras se representan por muelles de
flexión de rigideces (la que une los bordes de ataque) y (la que une los bordes de salida) por
unidad de longitud. Se suponen conocidos los coeficientes aerodinámicos de ambos perfiles: y
para el superior y y para el inferior. La distancia entre eje elástico y centro
aerodinámico en el perfil superior vale , positiva cuando el eje elástico se sitúa por detrás del
centro aerodinámico. La longitud natural de los muelles es suficientemente grande como para que
puedan despreciarse los efectos aerodinámicos de interacción entre ambos perfiles.
a) Escriba las ecuaciones que permiten determinar la configuración de equilibrio del sistema en
función de las constantes conocidas y la presión dinámica .
b) Escriba la ecuación que permite obtener la presión dinámica de divergencia .
c) Para el caso en que ambos perfiles y ambos muelles de flexión sean idénticos y el eje elástico
esté situado en el punto medio del perfil, halle la presión dinámica de divergencia en los
límites y .
Figura 1.3.1. Diagrama del problema
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 15 -
Resolución
a) Sistema de ecuaciones
El problema tiene cuatro variables ( y ), hay que recordar que el movimiento del muelle
de torsión viene dado por la variable . Debido a que se puede conseguir una expresión que
relacione variables gracias a la geometría del problema, el sistema tiene tres grados de libertad.
Lo primero que se hace es la hipótesis de ángulos pequeños y se definen los deformaciones hacia
arriba de los muelles como positivas y los giros horarios de los ángulos también como positivos. Se
analiza ahora, utilizando la siguiente figura, la contribución que tienen los tres grados de libertad
( y ) sobre . Para ello se genera una perturbación positiva de cada grado de libertad y se
calcula la perturbación en . Como el problema es lineal, la solución final es la suma de las tres
soluciones.
Figura 1.3.2. Análisis de las contribuciones de los distintos grados de libertad sobre
(1.3.1)
Se necesitan ahora tres ecuaciones, combinando equilibrio de fuerzas y de momentos. Se decide
utilizar dos ecuaciones de equilibrio de momentos (respecto al eje elástico del perfil y respecto al
centro aerodinámico del perfil ) y una ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en el perfil .
Debido a que se utiliza teoría de perfiles, las superficies alares son igual a la cuerda por una unidad
de longitud ( ).
Se empieza por la ecuación de equilibrio de momentos respecto al eje elástico del perfil 1.
(
) (
)
( ) [ (
)] [ (
)]
(1.3.2)
Se hace ahora el equilibrio de momentos respecto al centro aerodinámico del segundo perfil.
(1.3.3)
Finalmente el equilibrio de fuerzas verticales en el perfil 2 queda
( ) ( ) (1.3.4)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 16 -
El sistema en forma matricial es el siguiente
[
(
) (
)
]
{
}
{
}
(1.3.5)
b) Ecuación que permita encontrar la presión dinámica dedivergencia
La presión dinámica de divergencia se obtiene cuando el sistema no tiene solución, cuando la matriz
no puede invertirse, es decir, cuando el determinante de la matriz es nulo.
|
|
(
) (
)
|
|
(1.3.6)
c) Hallar la presión dinámica de divergencia para los dos casos concretos
Se tienen las siguientes igualdades
(1.3.7)
La matriz del sistema queda
[
]
(1.3.8)
Para encontrar la presión dinámica de divergencia se hace el determinante y se iguala a cero.
(
) [
( )
( )]
(
)(
)
(1.3.9)
Se hacen los límites para y . Se empieza con el primer caso.
(
)(
)
(1.3.10)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 17 -
Para el caso de .
(
)
(1.3.11)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 18 -
Problema 4. Perfil simétrico con flap
La figura muestra un perfil simétrico de cuerda en un túnel de viento. Este perfil se encuentra
articulado a un punto fijo por un punto situado a una distancia medida desde el borde de ataque
mediante un muelle de torsión de rigidez por unidad de longitud, y su borde de salida está unido
a un punto fijo mediante un muelle de flexión de rigidez por unidad de longitud. El perfil está
provisto de un flap de longitud . Se conocen los coeficientes aerodinámicos y del
perfil. Por tratarse de un flap ranurado, puede suponerse que la distribución de presiones sobre el
flap cuando este sufre una deflexión no está influida por el resto del perfil, siendo
la pendiente
de la curva de sustentación del flap aislado. Los muelles se encuentran en su posición natural cuando
el perfil tiene ángulo de ataque nulo y el flap no está deflectado. Para generar la corriente incidente
se dispone de un ventilador que puede funcionar a dos velocidades y , siendo . Se
pide:
a) Con el flap sin deflectar y bloqueando, halle la posición a la que debe articularse el flap
para que la divergencia se produzca a la velocidad .
b) Con el flap articulado en la posición hallada en el apartado anterior se cambia la velocidad
de la corriente incidente a . Calcule el momento externo que hay que ejercer sobre el flap
( ) para que éste se deflecte un ángulo .
c) En la situación del apartado anterior, halle el valor de (longitud adimensional del flap) para
el cual el ángulo de ataque del perfil se hace independiente de la deflexión del flap.
Figura 1.4.1. Diagrama del perfil del problema
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 19 -
Resolución
a) Posición para que haya divergencia con
Se empieza haciendo el equilibrio de momentos respecto al eje elástico.
( ) ( )
(1.4.1)
Al hablar de divergencia no es importante la posición de equilibrio, es decir que se puede considerar
. Además como el perfil es simétrico no hay momento aerodinámico aunque se podría haber
despreciado al calcular la divergencia ya que no dependería del ángulo de ataque y pasaría al
término independiente de la ecuación.
Del dibujo la distancia ⁄ . La ecuación de equilibrio de momentos queda
[ ( )
(
) ] (1.4.2)
La condición de divergencia aparece cuando la parte multiplicando a es nula. La posición en
donde la presión dinámica es la de divergencia (con la velocidad ) es por lo tanto
( )
(
)
( ) (
)
√
(1.4.3)
Para los rangos de velocidades en que no esté dentro de la cuerda no podría haber divergencia.
b) Con velocidad , calcular el momento para un ángulo .
Debido al cambio de velocidad se sabe que no hay divergencia. Primero hay que equilibrar el flap y
luego se equilibra el perfil completo. Así no hace falta contar el momento interno.
Se hace el equilibrio de momentos en la charnela, utilizando ángulos pequeños y tratando el flap
como un elemento aislado.
[( ) )] (1.4.4)
Donde
( ) (1.4.5)
Y ahora el equilibrio del perfil completo
[( ) ]( ) (
) ( )
( ) (
)
( )
(
)
(1.4.6)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 20 -
Sustituyendo esta expresión de en la ecuación el equilibrio en la charnela se obtiene el momento
ejercido sobre el flap .
[
( ) [( ) ]] (1.4.7)
c) Longitud adimensional en el que no depende de
De la ecuación (1.4.6) se busca el valor de en el que .
( ) (
)
( )
(
)
( ) (
)
(
)
( )
(1.4.8)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 21 -
Problema 5. Perfil con slat y flap
Considere un perfil de cuerda , cuya masa está distribuida homogéneamente, volando en régimen
supersónico con un número de Mach . El perfil tiene un flap de borde de ataque y otro de borde
de salida, ambos de longitud ⁄ , articulados a la parte central mediante muelles de torsión de
constante elástica y respectivamente, y está unido por el centro a un punto fijo a través de un
muelle de torsión de constante elástica . Tome como grados de libertad los ángulos y tal
como se muestran en la figura. Se pide:
a) Plantear las ecuaciones que determinan el estado de equilibrio del sistema y obtener la
presión dinámica de divergencia.
b) Particularizar el resultado anterior para el caso en que . Comentar lo que
ocurre cuando y cuando .
Figura 1.5.1. Diagrama del perfil del problema
⁄ ⁄ ⁄
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 22 -
Resolución
a) Sistema de ecuaciones de equilibrio y presión dinámica de divergencia
Al volar en régimen supersónico se pueden separar los distintos elementos: slat, perfil y flap.
Figura 1.5.2. Separación de las tres partes del perfil
Se sabe que se vuela en régimen supersónico con √
. Los coeficientes de sustentación
para el slat ( ), perfil ( ) y flap ( ) son
( )
( ) (1.5.1)
Se hace ahora el equilibrio de momentos en las tres partes por separado. Se empieza por el slat.
( ) (1.5.2)
Seguido del equilibrio de momentos en el flap.
( ) (1.5.3)
Finalmente se hace el equilibrio de momentos del perfil completo en el centro aerodinámico.
(
)
(
)
( )
( )
( ) (1.5.4)
El sistema de ecuaciones de equilibrio es por lo tanto
[
]
{
}
{
}(1.5.5)
Para simplificar la anotación se crea una variable ⁄ . Se resuelve el determinante de la
matriz del sistema para encontrar la presión dinámica de divergencia (que está dentro de ).
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 23 -
(
)(
)
(
)
( )
( ) (1.5.6)
Resolviendo este polinomio se obtiene .
( ) √( )
( )
(
)
(1.5.7)
Como debe ser un número positivo, se puede eliminar una de las dos soluciones. Y por lo tanto la
presión dinámica de divergencia queda
( ) √( )
( )
(
)
(1.5.8)
b) Particularizar el resultado para , analizar para y
Se parte de la ecuación (1.5.8) y se particulariza para el caso del enunciado.
√ ( )
( )
√
(1.5.9)
Se analiza la solución en la ecuación (1.5.9) para los dos casos, y .
(1.5.10)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 24 -
Problema 6. Relaciones de efectividades de mando
Se desea estudiar como afecta la colocación de un flap de borde de ataque a la efectividad del
mando de un perfil. Para ello considere un perfil de cuerda , articulado en su eje elástico mediante
un muelle de torsión de rigidez . La distancia entre este punto y el centro aerodinámico vale
(positivo cuando el centro aerodinámico está por delante del eje elástico). El perfil se modifica
articulando la parte comprendida entre el borde de ataque y un punto situado a una distancia de
este, mediante un muelle de torsión de rigidez , de modo que esta parte pasa a ser un flap de
borde de ataque. La distancia entre el centro aerodinámico del flap y su articulación con el perfil es
igual a .
La posición del perfil queda determinada por su ángulo de ataque (positivo cuando el borde de
ataque sube), el ángulo de deflexión del alerón (positivo cuando su borde de salida baja), y en el
caso de perfil modificado el ángulo de deflexión del flap (positivo cuando su borde de ataque baja).
Se suponen conocidas las derivadas de los coeficientes aerodinámicos del perfil ( y
) y del flap aislado
. Se pide:
a) La relación entre la efectividad del mando del perfil modificado y la del perfil original (sin
flap) en función de la presión dinámica.
b) Suponga ahora que el centro aerodinámico y el eje elástico del perfil coinciden y que la
rigidez de la articulación del flap es nula. Si para una cierta presión dinámica, la efectividad
del mando del perfil original vale , se desea obtener la relación que deben cumplir las
derivadas de los coeficientes aerodinámicos para que ésta se conserve en el perfil
modificado.
Figura 1.6.1. Diagrama del perfil
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 25 -
Resolución
a) Relación entre efectividades de mando en fundición de la presión dinámica
Se debe analizar la relación de la efectividad de mando para las dos configuraciones. Se empieza
analizando la configuración sin flap. Se hace el equilibrio de momentos en el eje elástico.
[ ( ) ]
(1.6.1)
Se hace el equilibrio de momentos en el flap de borde de ataque. Al cambiar de curvatura se cambia
de ángulo de ataque. Se define el ángulo de ataque de la segunda configuración.
Figura 1.6.2. Perfil del flap de borde de ataque
( )
(1.6.2)
Se hace también el equilibrio de momentos en el eje elástico del perfil con flap.
[ ( ) ] (1.6.3)
Introduciendo la expresión (1.6.2) en la ecuación (1.6.3), se puede obtener una expresión que
relacione con .
[
( ) ( )
]
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 26 -
{
[
( )
]
}
( )
[
( )
]
(1.6.4)
La efectividad de mando se define como la relación . Por lo tanto la relación entre
efectividades de mando es simplemente
.
( )
( )
(1.6.5)
b) Relación de las derivadas de los coeficientes aerodinámicos para que se conserve
Se tienen como condiciones que y que . Se simplifican los tres términos y
utilizando las dos condiciones.
(1.6.6)
La relación de efectividades de mando debe de ser igual a uno.
(1.6.7)
Esto se debe cumplir para la presión dinámica en la que se cumple la condición de que la
efectividad de mando del perfil valga (y además no cambie con el despliegue del flap). La eficiencia
de mando del perfil sin flap teniendo en cuenta que es
( )
(1.6.8)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 27 -
Problema 7. Perfil con sistema de mando flexible
Se desea calcular la presión dinámica de divergencia de un perfil cuando el sistema de mando no es
perfectamente rígido y se tienen condiciones supersónicas. El efecto elástico del alerón se
representa por un muelle de torsión situado en la charnela. Sabiendo que las constantes de los
muelles de torsión del eje elástico y respecto de la charnela valen y respectivamente se pide:
a) Plantear las ecuaciones de equilibrio estático del perfil con el alerón suponiendo ambos
como placas planas.
b) Obtener la presión dinámica de divergencia del sistema.
c) Obtener la presión dinámica de divergencia del sistema cuando el sistema de mando es
infinitamente rígido.
Figura 1.7.1. Diagrama del perfil
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 28 -
Resolución
a) Sistema de ecuaciones del equilibrio estático
Se define como la contribución de la sustentación del perfil y como la contribución del alerón
Los coeficientes de sustentación del perfil y del alerón son
( )
(1.7.1)
Se hace el equilibrio de momentos en el alerón. Al ser placa plana no hay momento aerodinámico.
( )
( )
( )
[ ( )
] [ ( )
] (1.7.2)
Se hace ahora el equilibrio de momentos del perfil entero en el eje elástico. Al ser placas planas no
hay momento aerodinámico.
(
) (
) (1.7.3)
Las superficies de los distintos tramos del perfil son y ( ) .
(
) ( ) (
)
(
)
( )
( ) (
)
{
[ (
)
(
)
]}
( ) (
)
[ ( )] [ ( )( )] (1.7.4)
Utilizando la ecuación (1.7.2) y (1.7.4) se obtiene el sistema de ecuaciones.[
( )
( )
( ) ( )( )
] {
} {
} (1.7.5)
b) Presión dinámica de divergencia
Se define la variable ( ) como
(1.7.6)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 29 -
Se obtiene la presión dinámica de divergencia cuando el determinante de la matriz del sistema es
nulo.
( )
( )
[ ( )
( )]
( )
( )
( )
[( )( ) ( )]
[ ( )
( )]
(1.7.7)
Resolviendo el polinomio se obtiene y con esta la presión de dinámica de divergencia.
c) Presión dinámica de divergencia cuando
Se divide la expresión anterior por y se hace el límite.
( )
[( )( ) ( )]
[ ( )
( )]
( )
(1.7.8)
Para ambos casos una vez se obtiene se debe obtener de forma iterativa ya que depende de
la presión dinámica y del número de Mach. Pero se puede poner en función de la presión
dinámica.
( ) √
(1.7.9)
Se estudia con este método el caso del apartado c.
( )
(
) (
)
√
(1.7.10)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 30 -
Problema 8. Perfil con efectos no lineales
Determinar la velocidad de divergencia de un perfil reteniendo efectos no lineales tanto en las
fuerzas aerodinámicas como en las elásticas.
Asimismo describir la influencia de la posición del eje elástico en la velocidad de divergencia.
Nota: se pueden suponer que los efectos son cuadráticos.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 31 -
Resolución
El perfil se modeliza según la figura 1.8.1.
Figura 1.8.1. Modelización del perfil
Se supone que el momento del muelle y la sustentación son funciones cuadráticas.
( ) ( ) ( )
[ (
) ] (1.8.1)
El ángulo de ataque es
{ [ ( )
( )] }
( )
[ ( )]
[ (
) ]
(1.8.2)
Se resuelve el polinomio para obtener , se utilizan coeficientes y .
√
(1.8.3)
La divergencia ocurre cuando el denominador se vuelve cero, por lo que para obtener la velocidad
de divergencia se debe resolver la siguiente ecuación .
( )
(1.8.4)
Por lo que la velocidad de divergencia es
√
(1.8.5)
Para que se produzca divergencia debe de ser positivo, por lo que el eje elástico debe de estar por
detrás del centro aerodinámico.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 32 -
Problema 9. Perfil sujeto por dos muelles y con un flap
La figura muestra una placa plana de cuerda y masa distribuida homogéneamente apoyada
sobre dos soportes elásticos de rigideces y situados respectivamente en el borde de ataque y
el borde de salida. A ésta se le ha añadido, a través de un muelle de torsión de rigidez un flap de
longitud y masa también distribuida homogénea. El conjunto se encuentra situado en el seno
de una corriente supersónica. Se pide:
a) Definir los grados de libertad del sistema y escribir las ecuaciones de equilibrio en funciones
de éstos.
b) Adimensionalizar dichas ecuaciones, definiendo los parámetros adimensionales que sean
necesarios. Utilizar como longitud de referencia y como masa de referencia.
c) Escribir la ecuación que define el estado de divergencia del sistema.
d) Particularizar el resultado anterior para , y halle el número de Mach de divergencia
en función de la altitud ( ). Para ello suponga conocidas la densidad y la velocidad del
sonido en función de ésta ( ( ) y ( )).
Figura 1.9.1. Diagrama del perfil del problema
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 33 -
Resolución
a) Grados de libertad y ecuaciones de equilibrio de fuerzas
El problema tiene tres grados de libertad, dos para el movimiento vertical y de rotación del perfil y
otro para la deflexión del flap. Se eligen como grados de libertad los movimientos de los muelles
(deflexión hacia abajo), y (compresión de los muelles).
El ángulo de ataque se puede obtener a partir de la deflexión de los muelles.
(1.9.1)
Al ser un problema supersónico se pueden separar los perfiles puesto que las perturbaciones solo se
propagan a lo largo de las líneas características.
Se hace el equilibrio de momentos en el flap respecto a la charnela.
( )
(1.9.2)
Se hace ahora el equilibrio de momentos en el perfil completo respecto a la charnela.
( )
(1.9.3)
Finalmente como tercera ecuación se utiliza el equilibrio de fuerzas verticales en el perfil completo.
( ) (1.9.4)
Como paso optativo si se despeja de la ecuación (1.9.2), este se puede sustituir y simplificar las
otras dos ecuaciones.
( )
(1.9.5)
(1.9.6)
(1.9.7)
Se rescriben las expresiones aislando las variables.
(
)
(1.9.8)
(
)
(1.9.9)
(
) (
) (1.9.10)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 34 -
b) Adimensionalizar las ecuaciones
Debido a que incluye la velocidad y esta es la variable que se quiere obtener es mejor
adimensionalizar utilizando el peso como fuerza de referencia y así los parámetros adimensionales
no dependen de la velocidad. Se dividen las dos primeras ecuaciones por y la tercera por .
[
(
)
]
(
)
(
)
(1.9.11)
(
)
(1.9.12)
(
)
(
)
(1.9.13)
Se definen los siguientes parámetros adimensionales
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(1.9.14)
Las ecuaciones del sistema quedan de la siguiente forma
( ̅ ̅ ̅
) ̅ ̅
̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅ (1.9.15)
̅ ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅
(1.9.16)
̅
̅
( ̅ ̅) ̅ ( ̅ ̅) ̅ (1.9.17)
c) Ecuación que define el estado de divergencia
Se escribe el sistema de ecuaciones de forma matricial.
[
̅ ̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅
̅
̅
̅ ̅ ̅ ̅
]
{
̅
̅}
{
̅ ̅
}
(1.9.18)
El estado de divergencia se obtiene cuando el determinante de la matriz es nulo y obtener ̅.
|
|
̅ ̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅
̅
̅
̅ ̅ ̅ ̅
|
|
(1.9.19)
Una vez se obtiene ̅ se puede obtener la velocidad de divergencia utilizando (1.9.14).
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 35 -
d) Particularizar la ecuación para
Particularizando de esta forma el determinante queda
|
|
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅
|
|
̅ ̅
|
̅ ̅ ̅
̅ ̅̅ ̅
| (1.9.20)
( ̅ ̅)( ̅ ̅) ̅( ̅ ̅)
̅ ̅ ̅( ̅ ̅ ) ̅
̅ ̅ ̅
( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅
̅
̅ ̅
̅ ̅
(1.9.21)
Se debe encontrar la velocidad.
̅ ̅
̅ ̅
( )
√(
( )
)
[(
)
]
(1.9.22)
Se resuelve la ecuación parabólica.
√
√
(1.9.23)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 36 -
2. Flameo de perfiles
Dentro de el estudio de aeroelasticidad en perfiles, el flameo es el más importante. Se estudia el
flameo en perfiles tanto para casos incompresibles como para casos compresibles o supersónicos.
Se deben tener en cuenta algunos puntos:
Se define el movimiento vertical , tiene dimensiones y es positivo hacia abajo. También se
define la variación del ángulo de ataque es negativa cuando el perfil tiende a picar.
Se considera movimiento harmónico y se utiliza la anotación para definir las amplitudes de
los movimientos mediante una barra encima de la variable.
El ejemplo clásico de perfil en el estudio de flameo es el siguiente
Figura 2.0.1. Modelización típica de perfil para el estudio del flameo
Se definen los siguientes parámetros:
En vez de trabajar con cuerdas se utiliza la semicuerda . Las distancias se adimensionalizan
con esta semicuerda.
La distancia adimensional entre CG y ee es ( )⁄
La radio de giro adimensional del perfil es
(
)⁄
Los pasos a seguir en un problema típico de flameo son:
1. Se definen los grados de libertad del sistema. Normalmente se tienen los mismos grados de
libertad que muelles de torsión y muelles de flexión.
Se calcula la posición de los puntos del perfil ( ). La siguiente ecuación puede servir para
perfiles como el de la figura 2.0.1, pero es aconsejable leer con cuidado el enunciado por si el
problema es distinto al estudiado en teoría.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.0.1)
Además se calcula la derivada de esta función, es decir ̇ .
2. Se calcula la energía potencial y la energía cinética. Para la energía cinética se puede usar la
ecuación integral.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 37 -
∫ ̇
(2.0.2)
O bien si el problema es sencillo y se conoce el momento estático (o primer momento de área) se
puede hacer una suma de la contribución de cada movimiento.
Para movimientos verticales: ̇ (2.0.3)
Para giros: ̇ (2.0.4)
Para el efecto cruzado: ̇ ̇ (2.0.5)
La energía potencial se obtiene de la contribución de cada muelle.
Para muelles de flexión:
(2.0.6)
Para muelles de torsión:
(2.0.7)
3. Se deben calcular ahora las ecuaciones del sistema utilizando la ecuación de Lagrange para
cada grado de libertad .
(
̇
)
(2.0.8)
Se introducen las frecuencias propias del sistema (que no son las frecuencias acopladas del sistema).
Estas frecuencias que se ponen a continuación sirven para problemas de perfiles que sean del estilo
del perfil de la figura 2.0.1.
(2.0.9)
4. Se calculan las fuerzas generalizadas si no vienen dadas en el enunciado. Se hacen aplicando
esfuerzos virtuales. Hay dos problemas en este tema que tratan de calcular fuerzas generalizadas.
Se debe encontrar la distribución del coeficiente de presión. El trabajo virtual es
∫
(2.0.10)
Para encontrar las fuerzas generalizadas se deriva el trabajo respecto a cada variación de grado de
libertad.
( )
(2.0.11)
5. Se aplica la condición de movimiento harmónico. Debido a que todas las variables se pueden
dejar como una amplitud multiplicada por un mismo exponente, este exponente, y por lo tanto la
dependencia del tiempo, se puede eliminar.
Normalmente se adimensionalizan las ecuaciones utilizando como variables de referencia , y
alguna frecuencia propia del sistema (por ejemplo ).
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 38 -
6. Se escriben las ecuaciones en forma matricial. La condición de flameo ocurre cuando el
determinante de la matriz del sistema es nula.
Normalmente el determinante depende de dos variables y (aunque realmente dependen de una
sola variable ya que ( ), pero es muy difícil sustituir ). Se puede resolver ya que se tienen
dos ecuaciones si se separa la parte de real de la parte imaginaria.
Un método de resolución mediante iteraciones es el método VG que consiste en:
a. Seleccionar un rango para la frecuencia reducida entre y , con:
(2.0.12)
b. Entre dos valores de se calculan matrices adicionales por interpolación:
(2.0.13)
c. Partiendo de la frecuencia reducida mayor se obtiene:
̅
(
) (2.0.14)
d. Se calculan los autovalores de la matriz .
e. Para cada autovalor se comprueba:
( )
( )
( )
}
⇒
{
( ) (
)
(2.0.15)
f. En caso negativo se vuelve al paso 3 y se pasa a la siguiente .
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 39 -
Problema 1. Cubierta de un andén
Se quiere estimar el comportamiento aeroelástico de la cubierta de un andén construido en una
estación ferroviaria. Para ello se ha considerado conveniente modelar una sección característica de
la misma tal y como se representa en la figura. Se supone que ésta es una placa plana de cuerda y
de masa por unidad de longitud
, soportada por dos pilares, cuya rigidez a tracción es
y respectivamente.
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones del movimiento del sistema, y expresarlas de forma
adimensional, no considerando el efecto de disipación estructural.
b) Obtener el determinante de estabilidad del sistema que permite determinar la frecuencia y
la velocidad de flameo.
c) Estudiar en el intervalo de frecuencia reducida de la tabla adjunta la velocidad adimensional
de flameo en los tres casos:
Las dos vigas tienen la misma rigidez
No hay viga en el borde de ataque
No hay viga en el borde de salida
Figura 2 1.1. Diagrama del perfil de la cubierta del andén
A continuación se presenta una tabla con valores de la función de Theodorsen.
( ) ( ) ( )
(2.1.1)
( ) ( )
Tabla 2.1.1. Valores de la función de Theodorsen
La sustentación y el momento aerodinámico con la relación a un punto situado a una distancia
del centro del perfil valen respectivamente
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 40 -
[ ̈ ̇ ̈] ( ) [ ̇ (
) ̇] (2.1.2)
{[ ̈ (
) ̇ (
) ̈]
(
) ( ) [ ̇ (
) ̇]}
(2.1.3)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 41 -
Resolución
a) Ecuaciones del movimiento del sistema
El problema tiene dos grados de libertad. Dos posibilidades son usar los movimientos de los muelles
( ) o bien el movimiento del perfil ( ). Utilizando la segunda posibilidad se pueden emplear
directamente las expresiones para (cambiando el signo) y para como fuerzas generalizadas.
Las deformaciones de los muelles ( ) expresadas en las variables del problema son
(2.1.4)La altura del perfil es
(2.1.5)
Se calculan las energías, tanto la cinética como la potencial. Como el eje de giro que se ha tomado
como referencia coincide con el centro de masa entonces es nulo.
̇
̇
(2.1.6)
( )
( )
(2.1.7)
Las ecuaciones del sistema se obtienen a partir de la ecuación de Lagrange.
(
̇
)
(2.1.8)
Se calcula primero para la variable . Se hacen las derivadas.
̇
̇
( ) ( ) (2.1.9)
̈ ( ) ( ) (2.1.10)
Se hace lo mismo pero para la variable .
̇
̇
( ) ( ) (2.1.11)
̈ [ ( ) ( )] (2.1.12)
Para adimensionalizar se divide la ecuación (2.1.10) por y la ecuación (2.1.12) por .
̈
[ ( ) ( )] (2.1.13)
̈
[ ( ) ( )] (2.1.14)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 42 -
Se aplica la condición de movimiento harmónico.
̅ ̈ (2.1.15)
̅ ̈ (2.1.16)
Las ecuaciones quedan
̅
̅
[ ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ )]
̅
(
) ̅ (
) ̅ (2.1.17)
̅
̅
[ ( ̅ ̅ ) ( ̅ )]
̅
(
) ̅ (
) ̅ (2.1.18)
Para simplificar el desarrollo se definen los parámetros
,
y
. El parámetro
depende de la
inercia y se puede calcular.
( )
(2.1.19)
Los otros dos parámetros se definen como
(2.1.20)
El parámetro de masa también se puede calcular.
(2.1.21)
Aplicando estos cambios las ecuaciones (2.1.17) y (2.1.18) quedan de la siguiente forma
̅
(
)
̅
̅ (2.1.22)
̅
(
)
̅
(
) ̅ (2.1.23)
Tanto la sustentación como el momento aerodinámico se pueden desarrollar con las ecuaciones
(2.1.2) y (2.1.3) dadas en el enunciado. Como se ha tomado el punto en el centro del perfil .
̅
( ̅ ̅) ( ) ( ̅
̅)
̅
(
̅
̅)
( ) (
̅
̅
̅
)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 43 -
̅
[( ( ))
̅
( (
) ( )) ̅] (2.1.24)
Donde
( ) (
) ( ) (2.1.25)
El momento aerodinámico queda
̅
[(
̅
̅) ( ) ( ̅
̅)]
̅
(
̅
̅
)
( )(
̅
̅
̅
)
̅
{( ( ))
̅
[
(
) ( )] ̅} (2.1.26)
Donde
( )
(
) ( ) (2.1.27)
Las dos ecuaciones del sistema quedan de la siguiente forma
(
̅
̅) (
)
̅
̅ (2.1.28)
(
̅
̅) (
)
̅
(
) ̅ (2.1.29)
Para dejarlo de forma matricial se hace un último paso que es dividir ambas ecuaciones por .
Sabiendo que se tiene la siguiente igualdad
(2.1.30)
El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma
[
(
)
(
)
(
)
(
)
]
{
̅
̅}
[
]
{
̅
̅}
(2.1.31)
b) Obtener el determinante de estabilidad del sistema que permite determinar la frecuencia y
la velocidad de flameo.
Se elige que la incógnita del sistema sea .
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 44 -
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
{
̅
̅}
[
]
{
̅
̅}
(2.1.32)
Se puede escribir con la misma anotación que en el método VG.
También se puede plantear el problema en forma de autovalores
Donde
Y también
c) Estudiar en el intervalo de frecuencia reducida de la tabla 2.1.1.
Se deben de estudiar los tres casos.
Las dos vigas tienen la misma rigidez
Si :
No hay viga en el borde de ataque
Si sale una matriz singular, se resuelve haciendo:
No hay viga en el borde de salida
Si sale que no hay autovalores, no existe el flameo. Tiene que ver con lo de desplazar la masa
hacia adelante.
(
(
)
) (2.1.33)
( (
)
) (2.1.34)
[
]
[
(
)
(
)
]
[
] (2.1.35)
[
]
[
] (2.1.36)
( (
)
)
√
(2.1.37)
( (
)
) √
(2.1.38)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 45 -
Problema 2. Andén con distribución de masa lineal
Se quiere estimar el comportamiento aeroelástico de la cubierta de un andén construido en una
estación ferroviaria. Para ello se ha considerado conveniente modelar una sección característica de
la misma tal y como se representa en la figura. Se supone que ésta es una placa plana de cuerda y
que tiene una distribución de masa por unidad de longitud lineal donde la masa total es
, y la masa en el borde de ataque es y en el borde de salida es cero. La placa
esta soportada por dos pilares, cuya rigidez a tracción es y respectivamente.
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones del movimiento del sistema, y expresarlas de forma
adimensional, no considerando el efecto de disipación estructural.
b) Obtener el determinante de estabilidad del sistema que permite determinar la frecuencia y
la velocidad de flameo.
Figura 2.2.1. Diagrama del perfil de la cubierta del andén
La sustentación y el momento aerodinámico con la relación a un punto situado a una distancia
del centro del perfil valen respectivamente
[ ̈ ̇ ̈] ( ) [ ̇ (
) ̇] (2.2.1)
{[ ̈ (
) ̇ (
) ̈]
(
) ( ) [ ̇ (
) ̇]}
(2.2.2)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 46 -
Resolución
Los grados de libertad del problema son el movimiento vertical del perfil en y el ángulo de
ataque . Se hace una relación entre estos grados de libertad y los movimientos de los muelles y
.
(2.2.3)
(2.2.4)
La posición de los puntos del perfil, sabiendo que , es
̇ ̇ ̇ (2.2.5)
La energía cinética se calcula a partir de la ecuación integral.
∫ ̇
(2.2.6)
Se debe buscar la distribución de masa en función de . La masa máxima está en el punto – . El área
de un triangulo es igual a la base por la altura es decir
(2.2.7)
( )
( ) (2.2.8)
La energía cinética es
∫ ( ̇ ̇ )
( )
[∫ ( ̇ ̇ ̇ ̇ )
∫ ( ̇ ̇ ̇ ̇ )
]
{ [ ̇ ̇ ̇
̇ ]
[
̇
̇ ̇
̇
]
}
( ̇
̇
̇ ̇ )
( ̇
̇ ̇
̇ )̇ ̇ ̇
̇
(2.2.9)
La energía potencial es
( )
( )
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 47 -
[( )
( )
( )
] (2.2.10)
Se utiliza la ecuación de Lagrange para calcular las ecuaciones del sistema.
(
̇
)
(2.2.11)
Se calcula primero para la variable . Se hacen las derivadas.
̇
̇ ̇
( ) ( ) (2.2.12)
̈ ( ) ̈ ( ) (2.2.13)
Se hace lo mismo pero para la variable .
̇
̇ ̇
( )
( ) (2.2.14)
̈ ( ) ̈
( ) (2.2.15)
Las fuerzas generalizadas en el punto son
( ̈ ̇) ( ) ( ̇
̇) (2.2.16)
[(
̇
̈) ( ) ( ̇
̇)] (2.2.17)
Se introducen estas fuerzas en las ecuaciones del sistema.
(
) ̈ ( ) ̇ ( ) ̈
( ) ̇
[
( ) ( )]
(2.2.18)
̈ ( ) ̇ ( ) (
) ̈ (
( )
) ̇
[ ( )
( )]
(2.2.19)
Se introduce el movimiento harmónico.
(
) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅
̅
( ) ̅ [
( ) ( )] ̅
(2.2.20)
̅ ( ) ̅ ( ) ̅ (
)
̅
(
( )
) ̅ [ ( )
( )] ̅
(2.2.21)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 48 -
Ahora se deben adimensionalizar las ecuaciones. Se empieza utilizando como variables de referencia
la masa total , la semicuerda . Sigue quedando el sistema con unidades de frecuencias. Se divide
la primera ecuación por y la segunda por .
[
( )
( )
] ̅
[ (
)
( )
]
̅
(2.2.22)
[ (
) (
( )) (
( ))] ̅
[
( )
]
̅
(2.2.23)
Se definen las siguientes frecuencias.
(2.2.24)
Además se define
(2.2.25)
Se termina de adimensionalizar dividiendo las dos expresiones por .
[ (
)
( ) (
)
]
̅
[
( )
( ) (
)
] ̅
(2.2.26)
[
( )
(
)
]
̅
[
(
( )
) (
)
( )] ̅
(2.2.27)
El sistema se puede escribir de forma matricial
[
(
)
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
(
)
(
( )
) (
)
( )
]
{
̅
̅}
(2.2.28)
Para encontrar la velocidad de flameo se debe hacer el determinante de esta matriz e igualarlo a
cero. Separando entre parte real y parte imaginaria se obtienen dos ecuaciones con las que se puede
encontrar y , y con estos la velocidad de flameo. Debido a que calcularlo analíticamente es muy
difícil se puede usar el método numérico llamado VG.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 49 -
Problema 3. Influencia de un motor en el flameo
Se desea analizar la influencia del motor de un avión en la velocidad de flameo del mismo. Para
simplificar el problema, el ala del avión se representa por una sección de la misma y el efecto
estructural del resto del ala sobre dicha sección se representa por muelles de rigidez a flexión y a
torsión . El motor se representa por una masa puntual concentrada de valor suspendida del
ala por un muelle de rigidez y situada a una distancia del origen de coordenadas, que a su vez
coincide con el eje elástico.
Tomando como coordenadas generalizadas el desplazamiento vertical del perfil positivo hacia
abajo, el giro respecto del eje elástico positivo cuando el borde de ataque sube y la deformación
relativa del muelle del motor con respecto del perfil , se pide:
a) Determinar las ecuaciones del movimiento suponiendo que el flujo es incompresible.
b) Para los valores de ⁄
⁄ ⁄ ,
⁄ y determinar la ecuación que proporciona la velocidad y frecuencia de
flameo en función del parámetro ⁄ .
Figura 2.3.1. Diagrama del perfil con el motor
La sustentación y el momento aerodinámico con relación a un punto situado a una distancia del
centro del perfil valen respectivamente
[ ̈ ̇ ̈] ( ) [ ̇ (
) ̇] (2.3.1)
{[ ̈ (
) ̇ (
) ̈] (
) ( ) [ ̇ (
) ̇]} (2.3.2)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 50 -
Resolución
a) Determinar las ecuaciones del movimiento
Se tienen tres grados de libertad. Lo ideal es utilizar como variables y ya que se conocen las
fuerzas generalizadas y , equivalen a la sustentación y al momento aerodinámico del perfil. Se
debe por tanto definir una tercera variable.
Se define la variable , positiva hacia abajo, y que mide el movimiento del muelle del motor.
La del perfil es
̇ ̇ ̇ (2.3.3)
Y es
̇ ̇ ̇ ̇ (2.3.4)
Se calcula ahora la energía cinética y potencial.
∫ ̇
̇
̇
̇
̇ ̇
̇
̇ ̇ ̇ ̇
( ̇ ̇ )
(2.3.5)
(2.3.6)
Como el centro de masas coincide con el eje elástico .
Las ecuaciones del sistema se obtienen a partir de la ecuación de Lagrange.
(
̇
)
(2.3.7)
Se calcula primero para la variable .
̇
̇ ̇ ( ̇ ̇ )
(2.3.8)
̈ ̈ ( ̈ ̈ ) (2.3.9)
Se hace lo mismo para la variable .
̇
̇ ̇ ( ̇ ̇ )
(2.3.10)
̈ ̈ ( ̈ ̈ ) (2.3.11)
Y finalmente para la tercera variable .
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 51 -
̇
̇ ̇ ̇
(2.3.12)
̈ ̈ ̈ (2.3.13)
Se aplica la condición de movimiento harmónico.
̅ ̈ (2.3.14)
̅ ̈ (2.3.15)
̅
̈
(2.3.16)
Las ecuaciones quedan
̅
̅ (
̅ ̅ ) ̅
(
) ̅ (
) ̅ (
) ̅ (2.3.17)
̅ (
̅
) ̅
(
) ̅ (
) ̅ (
) ̅ (2.3.18)
̅
̅
̅ ̅
(
) ̅ (
) ̅ (
) ̅ (2.3.19)
Se adimensionalizan las ecuaciones utilizando como variables de referencia , y , para la
frecuencia, masa y longitud.
̅
[ (
)
(
)
(
)
]
̅
[
(
)
] ̅ [
(
)
]
̅
̅
[ (
)(
)
(
)
]
̅
[
(
)
] ̅ [
(
)
]
̅
(2.3.20)
̅
[
(
)
]
̅
[
(
)
]
̅
[
(
)
(
)
] ̅
̅
[
(
)]
̅
[
(
)
]
̅
[
(
)
(
)
] ̅
(2.3.21)
(
)
̅
(
)
̅ [
(
)
(
)
]
̅
(
)
̅
(
)
̅ [(
)
(
)
]
̅
(2.3.22)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 52 -
Donde
(2.3.23)
Se aplica también el movimiento harmónico en las expresiones de la sustentación y el momento
aerodinámico, ecuaciones (2.3.1) y (2.3.2). Se adimensionalizan utilizando las mismas variables que
se usaron para las ecuaciones (2.3.20) y (2.3.21). Se recuerda que ⁄ y que ⁄ .
̅
( ̅ ̅ ) ( ) ( ̅ ̅
)
̅
[ (
̅ ̅ ) ( ) ( ̅ ̅
̅ )]
{(
( ) ) ̅ [ ( ) (
)] ̅}
{( (
)
( )
(
)
)
̅
[
(
)
( )
(
(
)
(
)
)] ̅ }
{(
( )
)(
)
̅
[
( )
(
)] (
)
̅} (2.3.24)
Obteniendo la sustentación adimensional
̅
[(
( )
)(
)
̅
(
( )
( )
)(
)
̅] (2.3.25)
Se hace lo mismo para el momento aerodinámico
̅
[(
̅
̅) ( ) ( ̅ ̅
̅)]
̅
{( ( ) ) ̅ [
( ) (
)] ̅}
{(
( )(
)
)
̅
[
(
)
(
)
( )(
(
)
(
)
)] ̅}
(2.3.26)
Obteniendo el momento aerodinámico adimensional
̅
{(
( ) )(
)
̅
[
( ) (
)] (
)
̅} (2.3.27)
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 53 -
Se introducen las expresiones de la sustentación adimensional (2.3.25) y del momento aerodinámico
adimensional (2.3.27) en las ecuaciones del sistema (2.3.20), (2.3.21) y (2.3.22).
{(
)
[
(
( )
)] (
)
}
̅
{[
(
( )
( )
)] (
)
} ̅ [
(
)
]
̅
(2.3.28)
[ (
( ) )(
)
]
̅
[
(
)
]
̅
{
[
( ) (
)] (
)
(
)
} ̅
(2.3.29)
(
)
̅
(
)
̅ [(
)
(
)
]
̅
(2.3.30)
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. La condición de flameo se obtiene
cuando el determinante de la matriz del sistema es cero.
b) determinar la ecuación que proporciona la velocidad y frecuencia de flameo como ( ⁄ )
Se tienen los siguientes datos numéricos
(2.3.31)
Utilizando la relación entre las constantes del muelle del perfil y del motor se obtiene la relación
entre frecuencias.
(
)
(2.3.32)
Como se conoce ⁄
(
)
(
)
(
)
(2.3.33)
Sustituyendo estos valores en el sistema de ecuaciones se obtiene
[
[
(
( )
)] (
)
[
(
( )
( )
)] (
)
(
)
(
( ) ) (
)
[
( ) (
)] (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
{
̅
̅
̅
}
(2.3.34)
La condición de flameo se obtiene cuando el determinante de la matriz es nulo.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 54 -
Problema 4. Sin fuerzas aerodinámicas pero con una fuerza puntual
El sistema de la figura está formado por una placa plana libre de desplazarse verticalmente a lo largo
del eje y de girar respecto al eje .
La longitud de la placa es , su masa total es , su momento de inercia respecto del eje es y su
momento estático de inercia es . La placa está unida a paredes infinitamente rígidas mediante
muelles de rigidez y que se oponen al movimiento vertical y de giro respectivamente. El
sistema en reposo está en la posición y .
A este sistema se le ha añadido un dispositivo que aplica una fuerza en el punto ⁄ . Esta
fuerza tiene su amplitud proporcional a las amplitudes de los dos grados de libertad de la placa
siendo las constantes de proporcionalidad y . Su dependencia con el tiempo es harmónico de
frecuencia y la parte proporcional a tiene un desfase respecto de este movimiento de
atrasado y la proporcional a adelantada en ⁄ . Sobre la placa no actúa ninguna otra fuerza
exterior y la corriente incidente es nula. Se pide:
a) Plantear las ecuaciones del sistema
b) Suponiendo que las constantes de proporcionalidad son iguales ( ), determinar el
valor o valores de la frecuencia de excitación y de la constante de proporcionalidad.
c) Considerando que las constantes de proporcionalidad no son iguales, determinar las
condiciones para que puedan existir frecuencias de excitación.
Figura 2.4.1. Diagrama del perfil del problema
⁄
( )
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 55 -
Resolución
a) Determinar las ecuaciones del sistema
Este problema no es exactamente un problema de flameo puesto que no hay fuerzas aerodinámicas.
Hay una fuerza externa que podría considerarse como una sustentación que además genera un
momento, pero hay una gran diferencia con el estudio del flameo y es que esta fuerza no depende
de la velocidad de la corriente incidente.
El desarrollo del problema es parecido a otros problemas de flameo pero se diferencia en el calculo
de las fuerzas generalizadas. Por lo tanto se empieza calculando la energía potencial y cinética del
sistema. En el enunciado no se especifica que la distribución de masas es homogénea y además se
indica que hay un momento estático por lo que este no puede despreciarse.
̇
̇
̇ ̇ (2.4.1)
(2.4.2)
El siguiente paso es hacer las ecuaciones de Lagrange para obtener las ecuaciones del sistema.
(
̇
)
(2.4.3)
Se calcula primero para la variable .
̇
̇ ̇
(2.4.4)
̈ ̈ (2.4.5)
Se hace lo mismo para la variable .
̇
̇ ̇
(2.4.6)
̈ ̈ (2.4.7)
Se aplica la condición de movimiento harmónico.
̅ ̈ (2.4.8)
̅ ̈ (2.4.9)
Obteniendo
̅
̅ ̅
(2.4.10)
̅
̅ ̅
(2.4.11)
Se calculan ahora las fuerzas y . Se sabe que la fuerza aplicada en el perfil es proporcional a los
movimientos y además se saben los desfases.
Andrés Zarabozo Martínez Aeroelasticidad y Vibraciones. Problemas
- 56 -
( ) ̅
( ) ̅
( ⁄ ) ( ̅ ̅)
(2.4.12)
Se aplica la teoría de trabajos virtuales (donde ).
∫ ( )
∫ ( ) (
) ( )
(2.4.13)
No hay que confundirse con la anotación, y son desplazamientosMateriales relacionados
275 pag.MeC-APU-ETSIA-Mecánica II
Estudiando Ingenieria
53 pag.AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica I - Problemas IDR
Estudiando Ingenieria
53 pag.AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica I - Problemas Moodle
Estudiando Ingenieria
89 pag.
Compartir