Ejercicios_3

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Ejercicios 3
1
Halla los valores de A, B, C, D, E y F para la aproximación a la primera
derivada con DF atrasadas y adelantadas de orden 2, de tal manera que
(
∂̃u
∂x
)
i
≈ Aui−2+Bui−1+Cui∆x (1)(
∂̃u
∂x
)
i
≈ Dui+2+Eui+1+Fui∆x . (2)
Indica si el tipo de error introducido por estas dos discretizaciones es de tipo
(predominantemente) dispersivo o disipativo.
2
Halla la función de onda modificada kef (k,∆x) de los esquemas de DF
centradas siguientes:
orden 2 (
∂̃u
∂x
)
i
≈ ui+1 − ui−1
2∆x
(3)
orden 4 (
∂̃u
∂x
)
i
≈ ui−2 − 8ui−1 + 8ui+1 − ui+2
12∆x
. (4)
Normalizando k y kef por kmax = π/∆x de tal manera que k∗ = k/kmax y
k∗ef = kef/kmax, pinta las dos funciones de onda modificadas k
∗
ef (k
∗) halladas
en la misma gráfica que la función k∗ef = k
∗ (solución exacta).
1
3
Considera la ecuación
∂u
∂t
+ c
∂u
∂x
= 0, (5)
con c > 0. Discretizando temporalmente con un esquema Euler expĺıcito y
espacialmente con un esquema de DF centradas de orden 2, obtenemos
un+1i = u
n
i −
c∆t
2∆x
(
uni+1 − uni−1
)
. (6)
Encuentra la condición CFL.
4
En el problema precedente, encuentra la condición CFL si remplazamos uni
por la media de la función en los puntos xi−1 y xi+1, lo cual resulta en el
método de Lax
un+1i =
1
2
(
uni−1 + u
n
i+1
)
− c∆t
2∆x
(
uni+1 − uni−1
)
. (7)
5
Aplica un esquema temporal Euler expĺıcito y el siguiente esquema de DF
centradas(
∂̃2u
∂x2
)
i
=
1
12∆x2
(−ui+2 + 16ui+1 − 30ui + 16ui−1 − ui−2) (8)
a la siguiente ecuación de calor:
∂u
∂t
= ν
∂2u
∂x2
. (9)
Halla la condición CFL de la ecuación discretizada correspondiente.
2