aae-sep-2013-supersónico(enunciadosolución)

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ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS 
AEROELASTICIDAD 
 10/09/2013 
 
Problema 1 Tiempo 50 minutos 
 
 
 
Apellidos…………………………………………..… …. Nombre……………….. 
 
 
 
Se desea determinar la velocidad de flameo de un perfil de masa por unidad de envergadura M, 
momento estático de inercia Sα, momento de inercia Iα, (ambos respecto del eje elástico), rigidez a 
flexion Kh a torsión Kα, cuerda 2b en vuelo a un número de Mach de 2 . El origen de 
coordenadas esta situado en el centro del perfil y el eje elástico a una distancia ab. Se pide: 
 
1. Calcular la matriz de las fuerzas aerodinámicas con la hipótesis de casi-estacionario.(2 puntos) 
2. A partir de las expresiones de la energía cinética del sistema y de la energía potencial y 
suponiendo amortiguamiento estructural nulo plantee las ecuaciones de equilibrio del sistema. 
(1 punto) 
3. Exprese las ecuaciones del apartado anterior en función de parámetros adimensionales. (1 
punto) 
4. Obtenga el determinante que le permite, aplicando el método de Theodorsen, obtener la 
velocidad de flameo.(1,5 puntos) 
5. Para el caso de valores a= -0.5, µ= 24
M
bπρ
=60, xα= 0.5 rα= 8.0 y 1.0h
α
ω
ω
= obtenga la 
velocidad, la frecuencia y la frecuencia reducida de flameo. (3 puntos) 
6. Obtenga el modo de entrada en flameo. (1,5 puntos) 
 
SOLUCIÓN 
1) ( )1z h ab x α= − + − , el coeficiente de presión para aerodinámica supersónica casi-estacionaria 
vale entonces 4p
h xC ik ik a
b b
α α  ∆ = + − −    
. Las fuerzas aerodinámicas generalizadas valen 
entonces 
2 211 4
2
b
h p
b
z hQ U C dx U b ik ika
h b
ρ ρ α α∞ ∞ ∞ ∞
−
∂   = ∆ ⋅ = − + −   ∂   ∫ y 
2 2 2 211 22 2 ( ) (2 )
2 3
b
p
b
z hQ U C dx U b a ik ik a
bα
ρ ρ α α
α∞ ∞ ∞ ∞−
∂   = ∆ ⋅ = + − +   ∂   ∫ 
2) La energía cinética vale 2 2
1 1
2 2
T Mh S h Iα αα α= + +& & & & y la energía potencial 
2 2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2h h
U k h k M h Iα α αα ω ω α= + = + 
3) Las ecuaciones del movimiento del sistema son al aplicar las ecuaciones de Lagrange 
h hMh S k h Q
S h I k Q
α
α α α α
α
α α
+ + =
+ + =
&& &&
&& &&
 
 
Sustituyendo los valores de las fuerzas aerodinámicas generalizadas y en función de parámetros 
adimensionales se expresan como 
( )
2
2 2
2
2 2 2
2 2
1 1 0
1 1 0
3
hh h hx ika ik
b b k b
h hx r r a ik a aik
b k b
α
α
α α α
ωα α
ω πµ
ωα α α
ω πµ
 − − + + − + =  
     − − + − − + + =          
 
4) Obteniendose el determinante de estabilidad siguiente 
( )2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
1
1
0
1 1
3
h ikaik x
k k
aikx r r a ik a
k k
α
α
α
α
α α α
ω ω
ω ω πµ πµ
ω
πµ ω πµ
  − − + + − +   
   =
    − + − + − − +        
 
5) Sustituyendo los valores numéricos en el determinante se obtiene la velocidad y frecuencia de 
flameo siguientes 
0.1032; 9.7259; 1.0039F FF
Uk
bα α
ω
ω ω
= = = 
 
6) Con estos valores sustituimos en las ecuaciones de equilibrio y se obtiene la 
condición
0.00775 0.05141 0.00187 0.02571 0
0.5 0.02571 0.62053 0.02999 0
hi i
b
i i α
 − + − +     =    − − +     
 que permite obtener el 
modo de entrada en flameo como ( )0.4943 0.0381h i
b
α= − + . Es decir que el modo de entrada en 
flameo es por acoplamiento flexión-torsión