STASOL 2013-09-19

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Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO
OBJETIVO: Profundizar en las ecuaciones de la velocidad de divergencia desarrolladas en la clase
teórica. Analizar el efecto de la posición del eje elástico en la velocidad de divergencia.
Enunciado: La sección de la �gura 1 de cuerda c y envergadura unidad ha sido ensayada en un túnel de viento a nivel
del mar y diferentes velocidades, su�cientemente bajas como para poder considerar �ujo incompresible. La posición del
cajón de torsión se puede mover para cambiar la posición del eje elástico1.
La sección se sitúa en el ensayo con un ángulo de ataque inicial α0 de 3 grados. Los primeros ensayos en el túnel
demuestran que, con el eje elástico en la mitad de la cuerda (e0 = c/4), la velocidad de divergencia VD0 es de 400 KEAS
2.
Por otro lado, el ADB3 (Aerodynamic Data Basis) predice una relación de CMAC a CLα de −0.075 (CMAC/CLα = −0.075)
y un coe�ciente de sustentación CLα de 4. Los datos del ADB están adimensionalizados con una super�cie de referencia
S=5m2.
Se pide:
1. Para el per�l con el eje elástico en la mitad de la cuerda (e0 = c/4), desarrollar la expresión general (sin sustituir
valores numéricos) del ángulo de torsión αe y la fuerza de sustentación del per�l L en función de la velocidad V en el
túnel aerodinámico adimensionalizada con la de divergencia VD0, es decir, en función de la relación V/VD0. Sustituir
los valores numéricos de este problema y dibujar de forma esquemática el ángulo de torsión y la sustentación en
función de la relación V/VD0.
2. A continuación se desea mover el cajón de torsión y variar la posición del eje elástico a una distancia e del centro
aerodinámico. Desarrollar la expresión general del ángulo de torsión αe y de la sustentación L en función de la
relación V/VD0 y la relación e/e0.
Homework: Particularizar las expresiones de αe y la sustentación L del segundo apartado con los valores numéricos
del problema y dibujarlas de forma esquemática para valores de e/e0 de 0.0, 0.25, 0.50 y 0.75. Utilícese como software de
cálculo Matlab, Octave o, en su defecto, Excel.
Figure 1: Sección 2D con cajón de torsión móvil
1Cuando el eje elástico se sitúa en la mitad del per�l, el centro aerodinámico está a un cuarto de la cuerda por delante del eje elástico.
2KEAS es la velocidad equivalente o equivalent airspeed en nudos. 1 Knot = 1 nm/h = 0.5144 m/s. En la industria es práctica común
emplear unidades de velocidad KEAS, KCAS (Velocidad calibrada o calibrated airspeed en nudos) o KTAS (Velocidad real o tru airspeed en
nudos), mientras que la altura de vuelo se suele dar en pies [ft].
3En ADB es el documento editado por el Departamento de Aerodinámica en el que se detallan todos los coe�cientes aerodinámicos de la
aeronave.
2
SOLUCIÓN
APARTADO 1
La ecuación de momentos de equilibrio estático se escribe como:
Kα · αe = qScCMAC + qSeCLα(α0 + αe)
De esta expresión se puede obtener el ángulo de torsión elástico αe asociado a la presión dinámica q:
(Kα − qSeCLα)αe = qScCMAC + qSeCLαα0(
Kα
SeCLα
− q
)
αe = q
(
α0 +
c
e
CMAC
CLα
)
(1− q̄)αe = q̄α1
donde q̄ = q/qD es la presión dinámica de vuelo adimensionalizada con la presión dinámica de divergencia y α1 =
α0 + c/e · CMAC/CLα es el ángulo de ataque efectivo. Teniendo en cuenta que q/qD = (V/VD)2, la torsión elástica se
puede formular como:
αe =
(
V
VD
)2
1−
(
V
VD
) · α1
Sustituyendo los valores numéricos del problema para el caso particular del eje elástico en la mitad de la cuerda (e = e0
y VD = VD0):
αe =
(
V
VD0
)2
1−
(
V
VD0
)2 (α0 + ce0 CMACCLα
)
=
(
V
400
)2
1−
(
V
400
)2 (3 π180 − cc/40.075
)
≈ −0.2476 ·
(
V
400
)2
1−
(
V
400
)2
La sustentación L0 para la posición e0 del eje elástico se escribe como:
L0 = qSCLα (α0 + αe) = qSCLα
α0 +
(
V
VD0
)2
1−
(
V
VD0
)2 (α0 + ce0 CMACCLα
) =
= qD0SCLα
q
qD0
α0 +
c
e0
cMAC
CLα
(
V
VD0
)2
1−
(
V
VD0
)2 = qD0SCLα
(
V
VD0
)2
1−
(
V
VD0
)2
[
α0 +
c
e0
cMAC
CLα
(
V
VD0
)2]
Los valores numéricos del problema son:
VD = 400 KEAS = 400 KTAS = 400 nm/h = 400x0.5144 = 205.76 m/s
qD0SCLα =
1
2
· 1.225 · (205.76)2 · 5 · 4 = 518630 N
α0 = 3
π
180
= 0.05263 rad
c
e0
CMAC
CLα
= −4 · 0.075 = −0.3
Por lo que la sustentación queda:
L0 =
(
V
VD0
)2
1−
(
V
VD0
)2
[
27155− 155589 ·
(
V
VD0
)2]
APARTADO 2
La ecuación de equilibrio se escribe:
(Kα − qSeCLα)αe = qScCMAC + qSeCLαα0
(qD0Se0CLα − qSeCLα)αe = qScCMAC + qSeCLαα0
donde se ha tenido en cuenta que la torsión elástica Kα se relaciona con la presión dinámica de divergencia mediante
la ecuación Kα = qD0Se0CLα.
3
Dividiendo la ecuación anterior por qD0Se0CLα:(
1− qSeCLα
qD0Se0CLα
)
αe =
qScCMAC + qSeCLαα0
qD0Se0CLα(
1− q
qD0
e
e0
)
αe =
q
qD0
(
e
e0
α0 +
c
e0
CMAC
CLα
)
αe =
ēq̄
1− ēq̄
(
α0 +
c
e
CMAC
CLα
)
=
ē
(
V
VD0
)2
1− ē
(
V
VD0
)2 (α0 + ce CMACCLα
)
La sustentación se escribe como:
L = qSCLα (α0 + αe) = qD0
q
qD0
SCLα
α0 + ē
(
V
VD0
)2
1− ē
(
V
VD0
)2 (α0 + ce CMACCLα
) =
= qD0SCLα
(
V
VD0
)2
1− ē
(
V
VD0
)2
[
α0 + ē
c
e
CMAC
CLα
(
V
VD0
)2]
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Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO
OBJETIVO: Efecto de la compresibilidad en la velocidad de divergencia.
Introducción: Los efectos de compresibilidad añaden complejidad a los cálculos aerodinámicos. En una primera apro-
ximación, los efectos del número de Mach se pueden dividir en 4 regiones: 1) Régimen subsónico: 0 < M∞ < 0,80; 2)
Régimen transónico: 0,80 < M∞ < 1,2; 3) Régimen supersónico: 1,2 < M∞ < 5; y 4) Régimen hipersónico con M∞ > 5.
En este problema se describirá cómo afecta la compresibilidad al fenómeno aeroelástico de divergencia en el régimen
subsónico. Se de�nirá también el concepto de matched point que aparecerá posteriormente en otros cálculos aeroelásticos
como �utter.
Enunciado: Sea un per�l con coe�ciente de sustentación CLα0 en �ujo incompresible (típicamente M∞ < 0,3), una
distancia e del eje elástico al centro aerodinámico y una rigidez elástica a torsión Kα. El coe�ciente de sustentación se ha
adimensionalizado con una super�cie S.
Se pide:
1. Formular la expresión general de la presión dinámica de divergencia qD0 en régimen incompresible. Establecer la
dependencia de la velocidad de divergencia VD0 con la altura de vuelo.
2. Utilizando la transformación de Prandtl-Glauert para régimen compresible expresar la ecuación implícita con la que
se podría calcular el Mach de vuelo en el que aparece la divergencia. Formular la ecuación de forma adimensional
con el parámetro qD0/qh donde qh = 1/2ρa
2 siendo ρ la densidad del aire y a la velocidad del sonido, ambas función
de la altura de vuelo h.
3. Elevar al cuadrado la expresión anterior para obtener una ecuación cuadrática en M2 que permita obtener el Mach
de vuelo de divergencia en compresible. Expresar el Mach MD y la velocidad de divergencia VD en función del
parámetro qD0/qh. Teniendo en cuenta el apartado (1), establecer la relación VD/VD0 que relaciona la velocidad de
divergencia con efectos de compresibilidad VD y la calculada sin efectos compresibles VD0.
Homework: Se estima una velocidad de divergencia de 150 KEAS a nivel del mar. Teniendo en cuenta la expresión del
último apartado, dibujar la velocidad de divergencia en función de altura SIN y CON efectos de compresibilidad4. Se
necesitará una expresión de la densidad del aire y la velocidad del sonido en función de la altura. La atmósfera estándar
internacional establece los siguientes valores (extraído de ESDU 77022):
• Altitud H < 11000 [m]:
T [K] = 288,15− 0,0065 · h[m]
p[N/m2] = 101325
(
T [K]
288,15
)5,2558797 (1)
• Altitud H en en rango 11000 [m] < H < 20000 [m]:
T [K] = 216,65
p[N/m2] = 22632 · e−0,00015768852·(H[m]−11000)
(2)
Una vez obtenida la temperatura y la presión, la velocidad del sonido a se calcularía con las ecuaciones siguientes:
ρ =
p
RT
a =
√
γRT
R = 287,05287Nm/KgK
γ = 1,4
(3)
4Los puntos de vuelo calculados según esta ecuación se denominanmatched points ya que el número de Mach M , la velocidad V y la
altura h se relacionan a través de la atmósfera estándar. Por el contrario, los unmatched points son puntos en los que no se corresponde Mach,
velocidad y altura.
5
SOLUCIÓN
APARTADO 1
La ecuación de equilibrio en momentos se escribe:
Kααe = q0ScCMAC + q0SeCLα0 (α0 + αe)
(Kα − q0SeCLα0)αe = q0ScCMAC + q0SeCLα0α0
αe = q0SeCLα0
α0 +
c
e
CMAC
CLα0
Kα − q0SeCLα0
La condición de divergencia se obtiene de igualar a cero la expresión del denominador, i.e.:
Kα − qSeCLα0 = 0⇒ Kα =
1
2
ρV 2D0eCLα0 ⇒ V 2D0 =
2
ρ (h)
Kα
SeCLα0
⇒ VD0 =
√
2
ρ (h)
·
√
Kα
SeCLα0
La expresión para la densidad en función de la altura se obtiene de las relaciones que se expresan en la parte inferior
del ejercicio.
APARTADO 2
Volviendo a la ecuación que proporciona la presión dinámica de divergencia:
Kα =
1
2
ρV 2DSeCLα =
1
2
ρa2M2DSe
CLα0√
1−M2D
⇒ Kα
SeCLα0
= qD0 = qh
M2D√
1−M2D
⇒M2D −
qD0
qh
√
1−M2D = 0
APARTADO 3
Elevando al cuadrado la expresión anterior:
M4D −
(
1−M2D
)(qD0
qh
)2
= 0⇒M4D +
(
qD0
qh
)2
M2D −
(
qD0
qh
)2
= 0
M2D =
−
(
qD0
qh
)2
+
√(
qD0
qh
)4
+ 4 ·
(
qD0
qh
)2
2
= F
(
qD0
qh
)
Por tanto, la velocidad de divergencia se escribe:
M2D =
V 2D
a2
= F
(
qD0
qh
)
⇒ V 2D = a2F
(
qD0
qh
)
⇒ VD = a ·
√
F
(
qD0
qh
)
Adimensionalizando con VD0:
V 2D
V 2D0
=
a2F
(
qD0
qh
)
2Kα
ρSeCLα
=
1
2
ρa2
1
Kα
SeCLα
F
(
qD0
qh
)
=
1
qD0
qh
F
(
qD0
qh
)
⇒ VD
VD0
=
1√
qD0
qh
√
F
(
qD0
qh
)
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Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
EJERCICIO
OBJETIVO: Entender el concepto de sistema aeroelástico diseñado con bucle abierto (sin realimen-
tación) y sistema con bucle cerrado (leyes de control activas o, en inglés, EFCS). Aplicación práctica al
cálculo de la divergencia de la sección al 70-75%.
Introducción: Las super�cies de control se pueden de�ectar de forma activa (bucle cerrado) para in�uir en la respuesta
aeroelástica del sistema. En este ejercicio se demostrará que una super�cie de control en modo activo puede modi�car la
velocidad de divergencia. En general, el uso de las super�cies de control como alivio de cargas, supresión de �utter, etc.
está cada vez más extendido debido a los avances en los sistemas y mecanismos de control.
Enunciado: Sea la sección al 70-75% de la envergadura (typical section) de un ala recta con los grados de libertad
de torsión (deformación inicial α0 y deformación elástica αe) y de rotación de super�cie de control δ. Los coe�cientes
de sustentación y momento aerodinámicos son CLα, CLδ, CMAC y CMACδ, adimensionalizados con una super�cie de
referencia �S� y la cuerda del per�l �c�.
Se pide:
1. Escribir la torsión elástica αe teniendo en cuenta que la super�cie de control se mueve de forma activa según la ley
δ = kcαe.
NOTA: Asumir que la ley de control δ = kcαe no considera la torsión debida al peso α
W
e y sólo se activa con la
velocidad q∞.
2. Encontrar el valor de kc para que la presión dinámica de divergencia en bucle cerrado se duplique respecto a la
presión dinámica del sistema en bucle abierto.
3. Encontrar el valor de kc para que la divergencia del sistema en bucle cerrado sea completamente eliminada.
Figura 2: Sección 2D con rotación de super�cie de control activa según la ley δ = kcαe
7
SOLUCIÓN
APARTADO 1
La ecuación de equilibrio en momentos se escribe:
Kααe = qSeCLα (α0 + αe) + qScCMAC + qSeCLδδ + qScCMACδδ
Teniendo en cuenta la relación δ = kcαe, la ecuación anterior queda:
(Kα − qSeCLα − qSeCLδkc − qScCMACδkc) · αe = qSeCLαα0 + qScCMAC
Dividiendo por SeCLα, la ecuación anterior queda:
[
Kα
SeCLα
− q
(
1 +
CLδ
CLα
kc +
c
e
CMACδ
CLδ
kc
)]
αe = q
(
α0 +
c
e
CMAC
CLα
)
αe =
q
(
α0 +
c
e
CMAC
CLα
)
Kα
SeCLα
− q
(
1 +
CLδ
CLα
kc +
c
e
CMACδ
CLδ
kc
)
APARTADO 2
La presión dinámica de divergencia en bucle abierto (o sistema �natural�) es qn = Kα/SeCLα. La presión dinámica
de divergencia en bucle cerrado qON se puede escribir por tanto como:
qn − qON
(
1 +
CLδ
CLα
kc +
c
e
CMACδ
CLδ
kc
)
= 0⇒ qON
qn
=
1
1 + kc
(
CLδ
CLα
+
c
e
CMACδ
CLα
)
Para que la velocidad de divergencia se duplique, se debe cumplir:
1
1 + kc
(
CLδ
CLα
+
c
e
CMACδ
CLα
) = 2
es decir,
1
2
− 1 = kc
(
CLδ
CLα
+
c
e
CMACδ
CLα
)
⇒ kc = −
1
2
(
CLδ
CLα
+
c
e
CMACδ
CLα
)
APARTADO 2
La condición de divergencia desaparece si la presión dinámica de divergencia tiende a in�nito, es decir:
1 + kc
(
CLδ
CLα
+
c
e
CMACδ
CLα
)
= 0⇒ kc = −
1
CLδ
CLα
+
c
e
CMACδ
CLα