T03_Ecuaciones generales

Vista previa del material en texto

Tema 3: Ecuaciones generales del movimiento del avión
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.1 Introducción
3.2 Relaciones dinámicas
3.3 Análisis de las acciones exteriores. Términos gravitatorios
3.4 Relaciones cinemáticas angulares
3.5 Relaciones cinemáticas lineales. Determinación de la trayectoria
3.6 Particularización de las ecuaciones del movimiento
3.6.1 Ecuaciones del vuelo estacionario
3.6.1.1 Vuelo rectilíneo estacionario
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
3.2 Relaciones dinámicas 
Teorema Cantidad de Movimiento
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
DIAPOSITIVA 2
 Se considera el avión un sólido rígido con seis grados de libertad: tres de traslación del 
centro de gravedad y tres de rotación del sólido rígido alrededor del centro de gravedad
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
El teorema de cantidad de movimiento establece que
d
d
Donde
≡ Resultante de las fuerzas exteriores
≡ Velocidad absoluta del centro de masas del avión (en ejes inerciales)
≡ Masa del avión
≡ Tiempo
Para un avión convencional se cumple que la variación de su masa respecto del tiempo 
(debido al gasto de combustible) es lo suficientemente lenta como para que pueda 
despreciarse el término con respecto a los otros términos que intervienen en el teorema. 
Es decir, el teorema de la cantidad de movimiento puede expresarse como:
d
d
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.2 Relaciones dinámicas (Cont.)
Teorema Momento Cinético
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
El teorema del momento cinético establece que
d
d
Donde
≡ Resultante de los momentos exteriores alrededor del centro de masas
≡ Momento cinético total del avión.
≡ Velocidad angular absoluta del avión
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.2 Relaciones dinámicas (Cont.)
Tensor de inercia
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
El tensor de inercia se define mediante
Donde , ,	 son los momentos de inercia alrededor de los tres ejes del sistema de 
referencia considerado y ,	 , son los correspondientes productos de inercial. Estos seis 
parámetros másico-geométricos se determinan mediante las conocidas expresiones
d 	; 		 d 		 ; 			 d
d 		; 			 d 		 ; 			 d
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.2 Relaciones dinámicas (Cont.)
Ecuaciones en ejes cuerpo
 Las ecuaciones de cantidad de movimiento y momento cinético están expresadas en un 
sistema de ejes inerciales
 Ahora se escriben estas mismas ecuaciones en ejes cuerpo (que es un sistema no 
inercial), aplicando las reglas de derivación de vectores en sistemas no inerciales.
 Se desglosan estas ecuaciones vectoriales en sus tres componentes en ejes cuerpo, con 
la siguiente nomenclatura para las componentes de la resultante total de las fuerzas 
exteriores , la resultante total de los momentos exteriores , la velocidad absoluta 
y la velocidad angular de los ejes cuerpo , todas ellas proyectadas en ejes cuerpo. 
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
∧ 				 ; 			 ∧
, , 	; 		 , , 		; 		 , , 		; 		 , ,
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
ECUACIONES 
DE FUERZAS EN 
EJES CUERPO
ECUACIONES 
DE MOMENTO 
EN EJES 
CUERPO
 Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones de Euler del Movimiento del Avión, y las 
6 están expresadas en ejes cuerpo. En ellas se ha supuesto que el avión tiene un plano 
de simetría, que es el xz en ejes cuerpo, por lo que sólo existe producto de inercia Jxz
3.2 Relaciones dinámicas (Cont.)
Ecuaciones en ejes cuerpo (Cont.)
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
)( qwrvumFx  
)( pwruvmFy  
)( pvquwmFz  
pqJqrIIrJpIL xzyzxzx  )(
)()( 22 rpJprIIqIM xzxzy  
qrJpqIIpJrIN xzyxxzz  )(
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
 Como fuerzas exteriores se consideran la tracción de los motores, las fuerzas 
aerodinámicas y la fuerza gravitatoria (peso), todas ellas aplicadas en el centro de 
gravedad
 Como momentos exteriores alrededor del centro de gravedad, sólo es preciso considerar 
los debidos a la tracción y aerodinámicos. 
3.3 Análisis de las acciones exteriores. Términos gravitatorios
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
GTA FFFF


TA GGG


Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.3 Análisis de las acciones exteriores. Términos gravitatorios (Cont.)
 En ejes cuerpo se obtiene
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
La fuerza gravitatoria puede expresarse fácilmente en el sistema de ejes horizonte local 
mediante:











mg
F hG 0
0
)(


























coscos
sincos
sin
)()(
mg
mg
mg
FL
F
F
F
F hGbh
Gz
Gy
Gx
bG






















coscoscossinsinsincossinsincossincos
cossincoscossinsinsinsincoscossinsin
sinsincoscoscos
bhL
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.3 Análisis de las acciones exteriores. Términos gravitatorios (Cont.)
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
)(sin qwrvumFFmg AxTx  
)(sincos pwruvmFFmg AyTy  
)(coscos pvquwmFFmg AzTz  
pqJqrIIrJpILL xzyzxzxAT  )(
)()( 22 rpJprIIqIMM xzxzyAT  
qrJpqIIpJrINN xzyxxzzAT  )(
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.3 Análisis de las acciones exteriores. Términos gravitatorios (Cont.)
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.4 Relaciones cinemáticas angulares
Hipótesis de tierra plana
 Para las alturas y velocidades típicas a las que vuelan los aviones, y para tiempos cortos 
de vuelo se puede considerar, en primera aproximación, que la tierra no gira alrededor de 
su eje y que la dirección de los ejes tierra no cambia (hipótesis de tierra plana), con lo 
que los ejes tierra son aproximadamente inerciales, y la aceleración del centro de 
gravedad del avión en ejes tierra es como en ejes inerciales
≅
 Con ello, para la velocidad angular
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
hebhbebI 


 Despreciando la velocidad angular de los ejes horizonte local respecto a los ejes tierra, se 
obtiene
hbbhbI kji
r
q
p





 1  











Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.4 Relaciones cinemáticas angulares (Cont.)
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
 Proyectando los versores de la expresión anterior en ejes cuerpo, se obtienen las tres 
relaciones cinemáticas angulares directas
 sinp
 sincoscos  q
 coscossin  r
 De las tres expresiones anteriores pueden despejarse las relaciones cinemáticas 
angulares inversas, es decir, las derivadas de los ángulos de asiento, balance y guiñada 
del avión en función de estos ángulos y de las componentes de la velocidad angular
 tan)cossin( rqp 
 sincos rq 
 sec)cossin( rq 
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.5 Relaciones cinemáticas lineales. Ecuaciones de la trayectoria
 La velocidad del avión respecto a tierra vale
 Operando se obtienen las siguientes expresiones para determinar la trayectoria
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
wvuxe )sinsincossin(cos)sincoscossin(sin)cos(cos  


































w
v
u
L
w
v
u
LVL
z
y
x
V Tbhhbbhb
e
e
e
e





wvuye )cossinsinsin(cos)coscossinsin(sin)sin(cos  
wvuze  coscoscossinsin 





















coscoscossinsinsincossinsincossincos
cossincoscossinsinsinsincoscossinsin
sinsincoscoscos
bhL
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
3.6 Particularización de las ecuaciones del movimiento
3.6.1 Ecuaciones del vuelo estacionario
 Un vuelo se dice que es estacionario cuando las tres componentes de la velocidad lineal 
absoluta y las tres componentes de lavelocidad angular absoluta proyectadas en el 
sistema de ejes cuerpo permanecen constantes con el tiempo, esto es, u, v, w, p, q, r
son constantes del movimiento.
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
)(sin qwrvmFFmg AxTx  
)(sincos pwrumFFmg AyTy 
)(coscos pvqumFFmg AzTz 
pqJqrIILL xzyzAT  )(
)()( 22 rpJprIIMM xzxzAT 
qrJpqIINN xzyxAT  )(
Tema 3:
Ecuaciones generales del movimiento del avión
 Un vuelo estacionario se dice que es rectilíneo cuando las componentes de la velocidad 
angular (p, q, r) en ejes cuerpo valen cero, esto es, los ángulos de orientación de los ejes 
cuerpo respecto a los ejes horizonte local no cambian con el tiempo.
3.6 Particularización de las ecuaciones del movimiento (Cont.)
3.6.1 Ecuaciones del vuelo estacionario (Cont.)
3.6.1.1 Vuelo rectilíneo estacionario
GIA-CTA (2015/16)
Mecánica del Vuelo
0 rqp
cte0  
cte0  
cte0  
0sin  AxTx FFmg 
0sincos  AyTy FFmg 
0coscos  AzTz FFmg 
0 AT LL
0 AT MM
0 AT NN