00_Leccion-02_CG_Estudio-propulsivo-Empuje

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MOTORES COHETE
Grado en Ingeniería Aeroespacial (Curso 4º)
Profesores
Juan Manuel Tizón Pulido
jm.tizon@upm.es
Enrique Cabrera Revuelta
enrique.cabrera@upm.es
Departamento de Mecánica de Fluidos y Propulsión Aeroespacial
Lección 3a: Estudio 
termodinámico y propulsivo
•Introducción
•Ecuaciones integrales
•Definición de empuje
–Expresión vectorial. Aplicaciones
–Expresión escalar. Actuaciones
•Balance energético
•Definición de impulso específico
J. M. Tizón
Teorema de Reynolds
J. M. Tizón
Enunciado
El teorema de transporte de Reynolds relaciona, la derivada Lagrangiana de una
integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadas Eulerianas. En otras
palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad
extensiva H:
 bA
DH hd h v v n dA
Dt t
 

 
       
 
  
con la generación y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente,  h,
mediante la fórmula:
 t
H h d

 
 t
n

A
bv n t
 
bv

v
 bv v n t 
  
 bVol v v n t dA  
  
.
.
.
.
 
  



r b
r
b
v v v Velocidad de fluido
v Velocidad relativa de fluido
v Velocidad de la superficie
n Versor normal exterior
Ecuaciones de conservación
J. M. Tizón
Ecuaciones en forma integral
Las ecuaciones en forma integral relacionan el ritmo de variación temporal de las cantidades
conservadas en función del flujo por las fronteras del sistema y las acciones externas. En las
ecuaciones se añaden términos con subíndice “ext” que permiten tener en cuenta acciones
que por simplicidad en la definición de los volúmenes de control, no se contemplan con detalle
en las integrales de superficie. Además, las ecuaciones así dispuestas se pueden aplicar con
generalidad a sistemas complejos que combinen fluidos y sólidos con facilidad.
   
   
       2 21 12 2
,r ext r b
A
r ext
A A
r ext ext
A A
d d v n dA M v v v
dt
d vd v v n dA pI n dA fd F
dt
d u v gz d h v gz v n dA v q n dA W Q
dt
 
   
  

 

     
         
            
 
   
  
    
     
     
 t
Ecuaciones de conservación
J. M. Tizón
   
    
    2 21 12 2
,
, 0
r ext r b
A
r a ext a
A A A
r ext ext
A
d d v n dA M v v v
dt
d vd v v n dA p p I n dA F p n dA
dt
d u v d h v v n dA W Q
dt
 
  
 



    
         
     
 
   
 
    
     
  
Escenario habitual
• Será habitual aplicar las ecuaciones a volúmenes de control en el interior de los motores funcionando en régimen permanente,
en el que es posible despreciar las derivadas temporales frente al resto de términos de la ecuación (generalmente, el término
convectivo).
• Las fuerzas másicas se desprecian en virtud de la baja densidad del aire y la poca diferencia de alturas entre la entrada y la
salida.
• También son despreciables el trabajo de las fuerzas de viscosidad (importante solo a números de Mach muy elevados).
• La fuerza neta producida por una fuerza de presión constante sobre un recinto cerrado es nula con lo que siempre que se
actúe sobre un área cerrada, se puede referir las fuerzas de presión a un valor constante, por ejemplo, la presión ambiente.
Ecuación del Movimiento
J. M. Tizón
       
    
             

    
fija p p p
r fija p r
d d d d dV dvd Vd V V d V d M M V d
dt dt dt dt dt dt
sAextA
V

        
s s s
r s s s s s
A A A A
v v n dA V V V n dA V V n dA V V n dA             
           
,

sV m
    0
p s
r s
A A
d dd v n dA d V n dA
dt dt
   
 
        
  
Continuidad:
    r a ext
A A
d vd v v n dA p p I n dA F
dt
  

          
    
Cantidad de movimiento:
0
0
Ecuación del movimiento
J. M. Tizón
      
s
F p s s a ext
A A
dVM M V V n dA p p I n dA F
dt
           

   
    
s ext s
s s a
A A A
dVM V V n dA p p I n dA Mg F
dt
 

         

    
       
s s ext
s s a a
A A A
dVM V V n dA p p I n dA p p I n dA Mg F
dt
                  

     
   
s s
s s s a aerodinamica
A A
dVM V V n dA p p n dA F Mg F
dt
        

     
sAextA
V

sV

0
Ecuación del movimiento
J. M. Tizón
   
s s
s s s a aerodinamica
A A
dVM V V n dA p p n dA F Mg F
dt
        

     
sAextA
V

sV

aero
dVM E F Mg F
dt
   

  
Fuerza propulsiva
Se sugiere una definición por exclusión que permite expresar la
ecuación del movimiento del vehículo de manera conveniente,
identificando el origen de las fuerzas que actúan.
   
s s
s s s a
A A
E V V n dA p p n dA
        
  
 
    
Hipótesis realizadas
• Despreciar la variación con el tiempo de la 
cantidad de movimiento relativa de las 
partes móviles del vehículo.
• Despreciar los esfuerzos viscosos sobre la 
superficie permeable de salida de 
propulsante frente al término convectivo.
      
   
permeable permeableA A
V V n dA n dA
 
permeable
r
A
dV V n dA V d
dt
 

   
  
Definición de empuje
J. M. Tizón
sA
sV

    r r a
A A
v v n dA p p I n dA        
   
     

      
   
s s int
s s s a
A A A
V V n dA p p I n dA
      
s s int
s s s a a
A A A
V V n dA p p n dA p p I n dA            
    
Definición de empuje
“Resultante de las fuerzas de presión referida a la presión ambiente
y fricción que el fluido ejerce sobre las caras internas del motor”.
  
int
a
A
E p p I n dA      
 
   
s s
s s s a
A A
E V V n dA p p n dA
        
  
 
    
Planteamiento
Consideremos un volumen de control delimitado por dos superficies, una que reúne a todas
las superficies interiores del motor (compleja) y otra de salida (permeable).
Planteamos la ecuación de conservación de cantidad de movimiento, despreciando la
derivada temporal de la cantidad de movimiento en el interior:
     
s int
r r s s s inj inj inj
A A A
v v n dA V V n dA V V n dA        
       
Hipótesis
• Movimiento en el interior del motor
estacionario (en ejes relativos).
• Despreciar los esfuerzas viscosos
sobre la superficie permeable de
salida de propulsante frente al término
convectivo.
• Despreciar la cantidad de movimiento
del propulsante inyectado en la
cámara:
 
permeable permeableA A
n dA V V n dA    
  
 
permeableA
d vd V V n dA
dt
 

  
  
   
int s
inj inj s s
A A
V V n dA V V n dA    
    
intA0
ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
J. M. Tizón
sA
sV

intA  
21
2       
    
r ext
A A
h v v n dA q n dA W
  
int int
21
2

      
    
s
r ext
A A A
h v v n dA q n dA W
         
int
2 2 21 1 1
2 2 2int
         
    r ie ie ie q fuente e e
iA
h v v n dA m h T V Q mh T mV
int
   
  
loss
A
q n dA Q
      ext ext s s aW F V E A p p V
Hipótesis
Se consideran despreciables los siguientes términos:
• Derivadas temporales.
• Esfuerzos viscosos en superficies permeables.
• Trabajo de las fuerzas de viscosidad.
• Flujo de calor por las superficies permeables.
• Las velocidades relativas del propulsante en la
superficie de entrada de éste.
Planteamiento
Consideremos un volumen de control delimitado por dos superficies,
una que reúne a todas las superficies interiores del motor (compleja)
excluyendo el propulsante de los depósitos y otra de salida del motor
(permeable).
       221 12 2
s
r s s s
A
h v v n dA m h T V V     
 

ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
J. M. Tizón
 s s aA p p t

   , ,s s sm h T V V
 

E

   , ,ieie ie iem h T V V
 

lossQ
V

        221 12 2q fuente s s e e s s s a lossQ mV m h T h T m V V EV A p p V Q            
ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
J. M. Tizón
        221 12 2q fuente s s e e s s s a lossQ mV m h T h T m V V EV A p p V Q            
Transformación de la energía mecánica
La energía mecánica se puede expresar en ejes relativos al vehículo o en ejes tierra. Téngase en cuenta que el término de empuje desde el
punto de vista de trabajo exterior realizado carece del término de fuerza sobre la superficie de salida.
Balance energético
Reordenando los términos, :
     2 22 21 1 1 12 2 2 2            s s s s s s amV mV m V V mV V m V V EV A p p V
POTENCIA MECÁNICA GLOBAL POTENCIA MECÁNICA EVACUADA POTENCIA MECÁNICA ÚTIL
     212q fuente s s e e s lossQ m h T h T mV Q      
POTENCIA 
SUMISTRADA
(100%)
POTENCIA 
TÉRMICA EN LA 
SALIDA (30%-60%)
POTENCIA 
CINÉTICA EN LA 
SALIDA (0%-40%)
RENDIMIENTO 
DE CONVERSIÓN 
(98 %)
PÉRDIDAS 
TÉRMICAS 
PAREDES (2%)
Balance energético
Finalmente, el balance energético muestra que la potencia suministrada al motor se emplea en las pérdidas en el proceso de conversión y a
través de las paredes del sistema y en producir una corriente de gasto másico , con una entalpía sensible determinada por la composición y
la temperatura de salida y cierta cantidad de potencia cinética
Balance energético
J. M. Tizón
POTENCIA 
SUMISTRADA
(100%)
POTENCIA 
TÉRMICA EN LA 
SALIDA (30%-60%)
POTENCIA 
CINÉTICA EN LA 
SALIDA (0%-40%)
RENDIMIENTO 
DE CONVERSIÓN 
(98 %)
PÉRDIDAS 
TÉRMICAS 
PAREDES (2%)
     212q fuente s s e e s lossQ m h T h T mV Q      
ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
J. M. Tizón
Rendimiento MOTOR
El rendimiento motor (térmico) del sistema se define,
tradicionalmente, como el cociente entre la energía
mecánica neta producida y la potencia suministrada:
EV
21
2 

s
M
fuente
V
Q m
Definiciones
A la vista de la ecuación de la energía se pueden definir con precisión los diversos términos que
intervienen:
Potencia liberada de la fuente:
Potencia TÉRMICA en la salida del motor:
Potencia MECÁNICA NETA producida:
Potencia mecánica total empleada:
Potencia MECÁNICA útil:
q fuenteQ
     s s e em h T h T
21
2  smV
2 21 1
2 2 smV mV
Rendimiento PROPULSIVO
El rendimiento propulsivo del sistema se define como
el cociente entre la potencia mecánica útil y la potencia
mecánica disponible:
2 21 1
2 2
 
 P s
EV
mV mV
P
sV V
1
1
 22 2 2 21 12 2
22
1
   
  

   
s s
P
s s s
mV V V VEV
mV mV mV mV V V
21
2
21
2
V
V


     212q fuente s s e e s lossQ m h T h T mV Q      
 
0
 

s s aA p p V
Definiciones
En los sistemas eléctricos cobra importancia la distinción entre las potencias empleadas en el sistema de conversión y
la empleada en el sistema de aceleración. Mientras que la conversión de energía química en térmica tiene lugar con
rendimientos elevados, no ocurre lo mismo en los motores cohete eléctricos en los que la conversión de la energía
eléctrica almacenada se ve comprometida por diversos procesos.
Podemos distinguir varios rendimientos:
Con lo que el rendimiento motor queda:
Rendimiento Motor
J. M. Tizón
pot. introducida sist. aceleracion
pot. suministrada al motor 
pot. cinetica producida
pot. introducida sist. aceleracion
SC
SA




M SC SA   
Expresión vectorial
En las aplicaciones habituales en la sección de salida del motor se puede hacer uso de alguna simetría o simplificación que
permite evaluar las integrales de superficie adoptando valores medios adecuados:
EMPUJE: Expresión vectorial
J. M. Tizón
   
s s
s s s a
A A
E V V n dA p p n dA
        
  
 
    
   1 1, , ,
s s s s
s s s s s s s s
sA A A A
m V n dA n A n dA p p n dA V V V n dA
A m
          
        


s s a s sE m V p p n A     
   

Valores promedio
La expresión anterior define los valores medios de las variables fluidas empleadas en ella a partir de la inequívoca
expresión para el gasto másico (surge inmediatamente la necesidad de describir el campo fluido en superficies de salida
arbitrarias).
Aplicación
La expresión vectorial del empuje posibilita el calculo de éste en las siguientes situaciones:
• Se realiza una definición arbitraria de la superficie de salida.
• Los perfiles de variables termodinámicas y/o velocidad no son uniformes.
Expresión escalar
Habitualmente las toberas de salida presentan simetría de revolución y la elección mas conveniente de superficie de salida es
un plano, perpendicular al eje de ésta, que se apoya sobre el labio externo de la tobera. En estas circunstancias el vector
empuje está alineado con el eje de la tobera y se puede expresar mediante:
Empuje del motor ideal
Gran parte de los cálculos preliminares, se realizan disponiendo de datos en la salida de la tobera, calculados con
procedimientos unidimensionales que omiten los detalles de la forma de la tobera y, por lo tanto, los efectos de desalineación
de los vectores velocidad.
Por otra parte, para la presión de salida no se suelen incorporar (en primera aproximación) corrección alguna de los valores
unidimensionales, así como para el modulo de la velocidad tampoco (esta ultima corrección se suele incorporar por medio de
un coeficiente de descarga que afecta a la correcta evaluación del gasto másico).
EMPUJE: Expresión escalar
J. M. Tizón
 s s a sE m V p p A  
   1 1, ,
s s s
s s s s s s
sA A A
m V n dA p p dA V V V n dA
A m
       
   


 1ideal D s s a sE mV p p A     
, 1s s
s s
V V
p p
    
   
Expresión vectorial
La expresión vectorial del empuje del motor permite el cálculo de éste para una definición arbitraria de la superficie de salida.
Es el caso de toberas truncadas de forma no axilsimétrica (“scarfed rocket nozzle”) que se emplean, por ejemplo, en la
propulsión de algunos misiles en los que no es posible situar el motor en la parte trasera del sistema o en los sistemas de
orientación de vehículos con formas aerodinámicas que prevalecen sobre la situación desalineada de los motores.
EMPUJE: Scarfed Nozzles
J. M. Tizón
   
s s
s s s a
A A
E V V n dA p p n dA
        
  
 
    
s s a s sE m V p p n A     
   

Algunas referencias
• Shyne, R. and Keith, T. G., “Analysis and Design of Optimized Truncated Scarfed Nozzles
Subjet to External Flow Effects”, NASA TM 103175 and AIAA 90-2222, 26 th Joint
Propulsion Coneference, Orlando 1990.
• Lilley, J. S., “The Design and Optimization of Propulsion Systems Employing Scarfed
Nozzles”, AIAA-85-1308, 21st Joint Propulsion Conference, Monterrey 1985
En las figuras esquema del motor cohete que propulsa el misil TOW-2 de ATK, que se lanza
desde un tubo y es guiado ópticamente mediante un cable, motivo por el que las toberas
expulsan el propulsante oblicuamente.
Fuerza en Banco
J. M. Tizón
   
s s
s s s a aerodinamica BANCO
A A
dVM V V n dA p p n dA F Mg F
dt
        

     
Fx E
Fy
Mg
dV/dt = 0 Faer = 0
   0 0
s s
s s s a BANCO
A A
V V n dA p p n dA Mg F        
    
     
 
s s
x x s s s aBANCO
A A
y BANCO
F n V V n dA p p n dA
F Mg

        
  

 
   
Comentarios
• Los bancos de motores cohete a menudo son verticales.
• Las fuerzas aerodinámicas no son idénticamente nulas, pues serán
las correspondientes a la perturbación que el chorro de salida
establezca sobre las superficies externas del motor.
• En el caso de sistemas no-autónomos, el proceso de ingestión del
gasto de aire complica la situación considerablemente (aparecen
fuerzas, adicional y externa, y la situación en banco se debe tratar
con cuidado al no haber igualdad entre el empuje y la fuerza
medida).
Actuaciones de motores cohete
Al ser un sistemaautónomo la presión de cámara de un motor cohete está determinada exclusivamente por el sistema de
alimentación (que impulsa el propulsante por la garganta crítica de la tobera). La presión de salida, en funcionamiento
regular de la tobera, queda fijada por el valor de la presión de cámara y la relación de áreas de la tobera y, por último, el
área de la garganta, a lo sumo, pertenece al sistema de control. Las actuaciones del motor con la velocidad y altura de
vuelo quedan determinadas en función, exclusivamente, de la presión ambiente.
Influencia de la velocidad de vuelo
El empuje del motor cohete permanece constante e independiente de la velocidad de vuelo.
Influencia de la altura de vuelo
El empuje del motor cohete aumenta monótonamente con la altura de vuelo al mismo ritmo que disminuye la presión
ambiente.
EMPUJE: Actuaciones
J. M. Tizón
V
MCE
TRE
H
TRE
MCE
Definición
Se define el impulso específico como el cociente entre el empuje del motor y el gasto másico empleado en producir dicho
empuje. Es una variable intensiva (no depende del tamaño del sistema) directamente relacionada con las actuaciones del
sistema, ya que, a mayor impulso específico mayor producción de empuje con la misma cantidad de propulsante:
En estas condiciones la unidad de medida en el Sistema Internaciones es [m/s].
Impulso específico
J. M. Tizón
 spI E m
 
2 2
1 11 1 1 1 1s a s s s a s a a asp s s s s s s
s s s s s s s s s s
p p A p A p RT p p pEI V V V V V V
m m V A p V p M p M p

   
         
                      
         
  sp s s aI V sii p p
Definiciones alternativas
Impulso en segundos: Es habitual encontrar en la literatura especializada el impulso definido como el empuje dividido por
peso de propulsante empleado:
En este caso la unidad de medida en el Sistema Internacional es [s].
Impulso volumétrico: En algunas aplicaciones (sistemas de volumen limitado) tiene interés el empuje obtenido por unidad
de volumen de propulsante empleado.
 20 0 0, 9.80665   o osp sp spI E g m E W I g I g m s
 ŝp p sp p pI I E m E Vol    
Resumen
J. M. Tizón
Ecuaciones integrales
Teorema de Reynolds
Expresiones de las EIMF en forma adecuada
Aplicación a motores cohete:
• Continuidad
• Cantidad de movimiento. Definición de empuje
• Energía. Balance energético
Empuje
Definición
Expresiones vectorial y escalar
Empuje en banco de ensayo.
Valores promedio
Pérdidas por divergencia
Actuaciones
Comparación con los turborreactores
Impulso especifico
Definición
 spI E m