Ayudantía 26 abril (Pauta)

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AYUDANTÍA N° 03 – ECONOMETRÍA
1° Semestre 2013
Profesores: Pilar Alcalde, Gonzalo Aguirre, Ignacio Inostroza y David Kimber
Fecha: 26 de abril de 2013.
Tema 1
Dipros es una compañía que fabrica y distribuye detergente líquido. Para una óptima administración de su stock, esta compañía desea estimar la demanda por su producto Fresh a través de un modelo econométrico. Para desarrollar este modelo, la compañía ha registrado, durante 30 períodos, algunas variables que podrían explicar la demanda por Fresh. En el -ésimo período:
· : demanda por botellas grandes de detergente líquido Fresh (en millones de unidades).
· : precio de cada botella grande de Fresh (en dólares).
· : precio promedio de una botella de similares características que Fresh ofrecido por la competencia (en dólares).
· : gasto en publicidad por parte de Dipros para su producto Fresh (en millones de dólares).
	Así, la matriz de datos es como sigue:
	período
	ventas
	precio
	prcomp
	public
	1
	0,74
	3,85
	3,8
	0,55
	2
	0,85
	3,75
	4
	0,68
	
	
	
	
	
	30
	0,93
	3,7
	4,25
	0,68
a. Usted formula el siguiente modelo:
Al estimar este modelo, usted obtiene: = 9,02; = – 2,46; = – 1,713; = 0,527. 
i. Escriba la estimación del efecto parcial del precio de Fresh sobre las ventas de este detergente líquido. Use esa expresión para explicarle al gerente de marketing de Dipros qué significan y .
El efecto parcial estimado del precio de cada botella de Fresh sobre las ventas de este detergente líquido es:
 
 
Las interpretaciones pedidas son:
· Significado de : Por cada dólar de incremento en el precio de una botella de Fresh, se estima que las ventas promedio caerán en 2460000 unidades, pero sólo en períodos donde la competencia ofrece gratuitamente sus botellas de detergente a consumidores.
· Significado de : Si el precio de una botella de Fresh aumenta en un dólar, se estima que el cambio en las ventas promedio de este detergente líquido aumentará en 527000 unidades por cada dólar que aumente el precio promedio de detergente líquido de la competencia.
ii. Explíquele al gerente de marketing de Dipros cuál es la lógica detrás de este modelo econométrico.
La idea detrás de este modelo es saber si el cambio en las ventas promedio de Fresh, ante un incremento en el precio de este detergente líquido, depende del precio promedio de venta de su símil por parte de la competencia.
Alternativamente, la lógica del modelo es examinar cómo el precio del detergente Fresh y el precio promedio de detergentes ofrecidos por la competencia afectan a las botellas vendidas del detergente Fresh. 
b. Ahora, suponga el siguiente modelo:
donde = .
i. ¿Por qué sería útil usar ln(ventas) en lugar de ventas como variable dependiente?
El uso de ln(ventas) en lugar de ventas como variable dependiente se justifica porque:
· Pueden ignorarse unidades de medida en variables que aparecen en logaritmos (se miden variaciones porcentuales, no variaciones absolutas).
· Cuando se emplean logaritmos en variables de un modelo, este modelo suele satisfacer mejor los supuestos del modelo lineal clásico. Variables estrictamente positivas suelen ser asimétricas y/o heterocedásticas. Usando logaritmos, usualmente se atenúa dicho comportamiento.
· Se estrecha rango de variación de variables en las cuales se incorporan logaritmos. Luego, observaciones son menos sensibles a observaciones atípicas (outliers).
ii. Explíquele al gerente de marketing de Dipros cuál es la lógica detrás de este modelo econométrico.
Este modelo permite capturar si los cambios porcentuales en las ventas promedio de Fresh, ante un aumento de un millón de dólares en el gasto en publicidad, son cada vez mayores o menores a medida que se inyecta cada vez más presupuesto a publicidad para este producto.
iii. Al estimar este modelo, usted obtiene: = – 0,292; = 0,011; = 6,73. Interprete .
Notar que,
Luego,
O sea,
De acuerdo a la expresión, solo se puede interpretar en sí mismo, sólo cuando publicm cambia de 0 a 1. En tal caso, se estima que las ventas promedio de Fresh aumenten en un 1,1%.
Tema 2
En un estudio de recolección de basura, se encontró que la cantidad esperada de papel recogido se expresa en función de la cantidad de contenedores, y teniendo en cuenta si la medición fue registrada en una comuna dentro de la Región Metropolitana (RM) o en una comuna fuera de ella. En la figura 1 se puede observar la relación gráfica, dependiendo del grupo de interés. Con el objeto de analizar la dependencia existente entre la cantidad de papel recogido y el número de contenedores, se han definido las siguientes variables:
· ptpapel: kilos de papel recogido.
· ncont: número de contenedores (unidades físicas).
· Region: variable binaria que registra si la medición se realizó en una comuna fuera de la RM (1) o en una comuna dentro de ella (0).
Dado el aspecto que presenta la relación, se propone el siguiente modelo de regresión para las variables en cuestión:
+
	
	
Figura 1
Para cada parámetro de este modelo, determine (si es posible) si su signo es positivo, negativo o si el parámetro es exactamente igual a 0. Justifique su elección.
Para lograr lo pedido en el enunciado, es útil reescribir el modelo como sigue:
 
 
Por tanto, se escriben los respectivos modelos, dependiendo si la comuna pertenece o no a la Región Metropolitana:
Fuera de RM: 
Dentro de RM: 
Si en una comuna dentro de la RM no hubiese contenedor alguno, la cantidad esperada de papel recolectado es positiva. Por tanto, .
Si en una comuna no hubiese contenedor alguno, se espera mayor cantidad de papel recogido en una comuna de la RM versus una comuna fuera de la RM. Por tanto, .
Dentro de la RM, la relación entre la cantidad esperada de papel recolectado y el número de contenedores es lineal. Por tanto, .
Dentro de la RM, la relación entre la cantidad esperada de papel recolectado y el número de contenedores es creciente. Por tanto, .
Fuera de la RM, la relación entre la cantidad esperada de papel recolectado y el número de contenedores es cuadrática. Además, esta relación es creciente, pero a una tasa decreciente. Por tanto, y también .
Anteriormente, se dedujo que . Por tanto, .
En cuanto a , no es posible saber su signo, pues para comunas con pocos contenedores, ante un contenedor adicional, el cambio de la cantidad esperada de papel recogido es mayor fuera de la RM que dentro de ella. Pero, en comunas con gran cantidad de contenedores, esta tasa de cambio es superior dentro de la RM que fuera de ella. Para ver esto, considere que ante un contenedor adicional en una comuna:
Fuera de la RM, el cambio en la cantidad esperada de papel recogido es
Dentro de la RM, el cambio en la cantidad esperada de papel recogido es
Luego, 
En comunas con pocos contenedores: . O sea,
Como , entonces 
Por tanto, . Como , entonces .
En comunas con muchos contenedores, . O sea, 
Sabemos que , pero no se sabe si es positivo, negativo o cero.
Caso 1: Suponga que 
Por el desarrollo anterior, sabemos que .
Caso 2: Suponga que
Luego, 
Caso 3: Suponga que
Luego, 
Tema 3
En una muestra aleatoria simple de 4137 estudiantes se registraron las siguientes variables:
· sat: puntuación en test de aptitud escolar (a mayor puntaje, más habilidades tiene el estudiante).
· hsize: tamaño de la promoción (en cientos de alumnos) a la que pertenece el alumno.
· female: variable que toma el valor 1 si el estudiante es mujer; en caso contrario, vale 0.
· black: variable que toma el valor 1 si el estudiante es de raza negra; en caso contrario, vale 0.
· athlete: variable que toma el valor 1 si el estudiante es deportista; en caso contrario, vale 0.
	Se propone el siguiente modelo para estimar los efectos de varios factores sobre los resultados del test SAT de aptitud escolar: 
	 (1)
La estimación MCO del modelo (1) es:
	
	Coef. Estimado
	Error estándar
	Estadístico t
	Valor-
	(Intercepto)
	1033,62
	6,24
	165,75
	0,0000
	hsize18,02
	3,78
	4,77
	0,0000
	hsize 2
	– 1,89
	0,52
	– 3,64
	0,0003
	female
	– 48,45
	4,25
	– 11,41
	0,0000
	black
	– 130,25
	14,11
	– 9,23
	0,0000
	female black
	36,71
	18,38
	2,00
	0,0459
	athlete
	– 97,58
	11,01
	– 8,86
	0,0000
	athlete black
	– 59,17
	25,22
	– 2,35
	0,0190
	Estadístico : 75,01 (valor-: 0,0000)
Coeficiente de determinación: 0,1128
R2-ajustado: 0,1113
	Suponga que el modelo (1) satisface los supuestos del modelo lineal clásico.
1. En el contexto del enunciado, interprete la estimación MCO de .
Indica que si un estudiante es deportista, el cambio en su puntaje en prueba de aptitud escolar (versus un estudiante no deportista) es 59,17 puntos menor si el estudiante es de raza negra, versus un estudiante de raza no negra.
2. Grafique la relación estimada entre el puntaje en la prueba de aptitud escolar de un estudiante y el tamaño de la promoción a la cual pertenece, manteniendo constantes el resto de las variables. ¿Cuál es la lógica de incorporar la variable en el modelo?
La lógica de incorporar es examinar si el cambio en el puntaje esperado en prueba sat, ante incrementos en el tamaño de la promoción, es diferente ante distintos tamaños de la promoción (si existen rendimientos decrecientes).
3. Ceteris paribus, ¿cuál es la diferencia estimada en puntajes prueba sat entre hombres deportistas y hombres no deportistas? Esta diferencia, ¿es significativa? Explique.
En hombres deportistas, la estimación de su puntaje en prueba sat es:
 
En hombres no deportistas (ceteris paribus), la estimación de su puntaje en prueba sat es:
	
Luego, 
	
Para evaluar si esta diferencia es significativa, debiera realizarse el siguiente test de hipótesis:
 versus 
En tal caso, debiera estimarse el modelo restringido:
, del cual se obtiene el coeficiente de determinación . Así, se obtiene el estadístico de prueba:
Con un 5% de significancia, se concluye que la diferencia es significativa si: .
4. Al observar estos resultados, un amigo “iluminado” le comenta a un “pecador econométrico”: “el hecho de ser de raza negra (versus no serlo) beneficia más a mujeres que a hombres, en términos del puntaje en la prueba sat, ceteris paribus”. ¿Qué opina usted?
Considere que el modelo puede reescribirlo así:
Observación: No es necesario que el alumno re-escriba el modelo para responder a la pregunta
Si el amigo “iluminado” tuviese razón, entonces . Para saberlo, habría que realizar un test de hipótesis. Para llevar a cabo este test no se tienen datos suficientes. Sin embargo, al menos en la muestra, se observa que y además se sabe que , con un 5% de significancia.
0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5	9	9.5	10	10.5	11	11.5	12	12.5	13	13.5	14	14.5	15	15.5	16	16.5	17	17.5	18	18.5	19	19.5	20	20.5	21	21.5	22	22.5	23	23.5	24	24.5	25	1033.6199999999999	1042.1574999999998	1049.75	1056.3974999999998	1062.0999999999999	1066.8574999999998	1070.6699999999998	1073.5374999999999	1075.46	1076.4375000000011	1076.47	1075.5574999999999	1073.6999999999998	1070.8975	1067.1499999999999	1062.4575000000011	1056.82	1050.2375000000011	1042.71	1034.2375000000011	1024.82	1014.4574999999974	1003.1499999999999	990.89749999999947	977.69999999999993	963.55749999999796	948.46999999999946	932.43749999999739	915.45999999999947	897.53749999999798	878.66999999999939	858.85749999999746	838.09999999999991	816.39749999999947	793.74999999999989	770.15749999999946	745.62	720.13749999999948	693.71	666.33749999999748	638.02	608.75749999999948	578.54999999999939	547.39749999999947	515.29999999999995	482.25749999999994	448.27	413.33749999999969	377.46000000000004	340.63750000000005	302.86999999999989	Tamaño promoción (cientos de alumnos)
Puntaje estimado en prueba sat