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PAUTA PREGUNTA 1 - PRUEBA 2 - MÉTODOS ESTADÍSTICOS - 05/06
V1) [2 pts.] Suponga que el tiempo, en horas, que un piloto de la aerolínea Amianca perma-
nece volando al mes tiene distribución N(µ; σ2), donde ambos parámetros son descono-
cidos. En una muestra aleatoria simple de 150 pilotos de esta aerolínea, Ud. observa una
media y desviación estándar muestrales de 36 y 8 horas, respectivamente. Construya un
intervalo bilateral al 90% de con�anza para la varianza poblacional del tiempo de vuelo
al mes de un piloto de esta aerolínea. Explicite sus pasos.
R: Si s2 es la varianza muestral, entonces
(150− 1) · s2
σ2
∼ χ2(150−1).
Con un 90% de probabilidad
121.787 <
(150− 1) · s2
σ2
< 178.4854,
donde 121.787 y 178.4854 son los percentiles 0.05 y 0.95, respectivamente, de una dis-
tribución χ2(150−1). Despejando σ
2, con un 90% de probabilidad
(150− 1) · s2
178.4854
< σ2 <
(150− 1) · s2
121.787
.
Como s2 = 64, entonces 53.42734 < σ2 < 78.30064, con un 90% de con�anza.
V2) [2 pts.] Suponga que el tiempo, en horas, que un piloto de la aerolínea Amianca perma-
nece volando al mes tiene distribución N(µ; σ2), donde ambos parámetros son descono-
cidos. En una muestra aleatoria simple de 200 pilotos de esta aerolínea, Ud. observa una
media y desviación estándar muestrales de 35 y 7 horas, respectivamente. Construya un
intervalo bilateral al 93% de con�anza para la varianza poblacional del tiempo de vuelo
al mes de un piloto de esta aerolínea. Explicite sus pasos.
R: Si s2 es la varianza muestral, entonces
(200− 1) · s2
σ2
∼ χ2(200−1).
Con un 93% de probabilidad
164.411 <
(200− 1) · s2
σ2
< 236.6311,
donde 164.411 y 236.6311 son los percentiles 0.035 y 0.965, respectivamente, de una
distribución χ2(200−1). Despejando σ
2, con un 93% de probabilidad
(200− 1) · s2
236.6311
< σ2 <
(200− 1) · s2
164.411
.
Como s2 = 49, entonces 41.2076 < σ2 < 59.30868, con un 93% de con�anza.
V3) [2 pts.] Suponga que el tiempo, en horas, que un piloto de la aerolínea Amianca perma-
nece volando al mes tiene distribución N(µ; σ2), donde ambos parámetros son descono-
cidos. En una muestra aleatoria simple de 180 pilotos de esta aerolínea, Ud. observa una
media y desviación estándar muestrales de 38 y 5 horas, respectivamente. Construya un
intervalo bilateral al 99% de con�anza para la varianza poblacional del tiempo de vuelo
al mes de un piloto de esta aerolínea. Explicite sus pasos.
R: Si s2 es la varianza muestral, entonces
(180− 1) · s2
σ2
∼ χ2(180−1).
Con un 99% de probabilidad
134.0204 <
(180− 1) · s2
σ2
< 231.4838,
donde 134.0204 y 231.4838 son los percentiles 0.005 y 0.995, respectivamente, de una
distribución χ2(180−1). Despejando σ
2, con un 99% de probabilidad
(180− 1) · s2
231.4838
< σ2 <
(180− 1) · s2
134.0204
.
Como s2 = 25, entonces 19.33181 < σ2 < 33.39044, con un 99% de con�anza.
V4) [2 pts.] Suponga que el tiempo, en horas, que un piloto de la aerolínea Amianca perma-
nece volando al mes tiene distribución N(µ; σ2), donde ambos parámetros son descono-
cidos. En una muestra aleatoria simple de 220 pilotos de esta aerolínea, Ud. observa una
media y desviación estándar muestrales de 30 y 8.5 horas, respectivamente. Construya un
intervalo bilateral al 95% de con�anza para la varianza poblacional del tiempo de vuelo
al mes de un piloto de esta aerolínea. Explicite sus pasos.
R: Si s2 es la varianza muestral, entonces
(220− 1) · s2
σ2
∼ χ2(220−1).
Con un 95% de probabilidad
179.9069 <
(220− 1) · s2
σ2
< 261.8793,
donde 179.9069 y 261.8793 son los percentiles 0.025 y 0.975, respectivamente, de una
distribución χ2(220−1). Despejando σ
2, con un 95% de probabilidad
(220− 1) · s2
261.8793
< σ2 <
(220− 1) · s2
179.9069
.
Como s2 = 72.25, entonces 60.42001 < σ2 < 87.94966, con un 95% de con�anza.
PAUTA PREGUNTA 2 - PRUEBA 2 - MÉTODOS ESTADÍSTICOS - 05/06
V1) Suponga que el tiempo que un estudiante universitario invierte, en hrs./semana, revisan-
do redes sociales virtuales tiene distribución normal. En una investigación sobre hábitos
de estudiantes universitarios durante esta pandemia, Ud. observa los siguientes tiempos,
en hrs./semana, que invierten cuatro estudiantes elegidos aleatoriamente revisando redes
sociales virtuales: 10, 11, 11 y 10.
Construya un intervalo bilateral al 90% de con�anza para el tiempo promedio, en hrs./semana,
que un estudiante universitario invierte revisando redes sociales virtuales. Explicite sus pa-
sos.
R: Sean X y s la media y desv. estándar muestrales del tiempo que estudiantes usan para
revisar redes sociales. Sean µ y σ las respectivas media y desv. estándar poblacionales.
Como σ es desconocido y 4 ≤ 40, entonces
T =
X − µ
s/2
∼ t(4−1).
Con un 90% de probabilidad −2.353363 < T < 2.353363, donde −2.353363 y 2.353363
son los percentiles 0.05 y 0.95 de una distribución t(4−1).
Al despejar µ de esta desigualdad doble,
X − 2.353363 · s
2
< µ < X + 2.353363 · s
2
,
con un 90% de probabilidad. Como X = 10.5 y s = 0.5773503, entonces el intervalo
pedido es: 9.820642 < µ < 11.17936, con un 90% de con�anza.
V2) Suponga que el tiempo que un estudiante universitario invierte, en hrs./semana, revisan-
do redes sociales virtuales tiene distribución normal. En una investigación sobre hábitos
de estudiantes universitarios durante esta pandemia, Ud. observa los siguientes tiempos,
en hrs./semana, que invierten cuatro estudiantes elegidos aleatoriamente revisando redes
sociales virtuales: 10, 11, 11 y 10.
Construya un intervalo bilateral al 95% de con�anza para el tiempo promedio, en hrs./semana,
que un estudiante universitario invierte revisando redes sociales virtuales. Explicite sus pa-
sos.
R: Sean X y s la media y desv. estándar muestrales del tiempo que estudiantes usan para
revisar redes sociales. Sean µ y σ las respectivas media y desv. estándar poblacionales.
Como σ es desconocido y 4 ≤ 40, entonces
T =
X − µ
s/2
∼ t(4−1).
Con un 95% de probabilidad −3.182446 < T < 3.182446, donde −3.182446 y 3.182446
son los percentiles 0.025 y 0.975 de una distribución t(4−1).
Al despejar µ de esta desigualdad doble,
X − 3.182446 · s
2
< µ < X + 3.182446 · s
2
,
con un 95% de probabilidad. Como X = 10.5 y s = 0.5773503, entonces el intervalo
pedido es: 9.581307 < µ < 11.41869, con un 95% de con�anza.
V3) Suponga que el tiempo que un estudiante universitario invierte, en hrs./semana, revisan-
do redes sociales virtuales tiene distribución normal. En una investigación sobre hábitos
de estudiantes universitarios durante esta pandemia, Ud. observa los siguientes tiempos,
en hrs./semana, que invierten cuatro estudiantes elegidos aleatoriamente revisando redes
sociales virtuales: 10, 11, 11 y 10.
Construya un intervalo bilateral al 92% de con�anza para el tiempo promedio, en hrs./semana,
que un estudiante universitario invierte revisando redes sociales virtuales. Explicite sus pa-
sos.
R: Sean X y s la media y desv. estándar muestrales del tiempo que estudiantes usan para
revisar redes sociales. Sean µ y σ las respectivas media y desv. estándar poblacionales.
Como σ es desconocido y 4 ≤ 40, entonces
T =
X − µ
s/2
∼ t(4−1).
Con un 92% de probabilidad −2.605427 < T < 2.605427, donde −2.605427 y 2.605427
son los percentiles 0.04 y 0.96 de una distribución t(4−1).
Al despejar µ de esta desigualdad doble,
X − 2.605427 · s
2
< µ < X + 2.605427 · s
2
,
con un 92% de probabilidad. Como X = 10.5 y s = 0.5773503, entonces el intervalo
pedido es: 9.747878 < µ < 11.25212, con un 92% de con�anza.
PAUTA PREGUNTA 3 - PRUEBA 2 - MÉTODOS ESTADÍSTICOS - 05/06
V1) Un tradicional medicamento tiene una e�cacia del 60% para aliviar la tensión en adultos.
Una �rma farmacéutica está desarrollando un nuevo medicamento que promete una mayor
e�cacia contra la tensión que el medicamento tradicional. Antes de lanzarlo al mercado,
la �rma testeará la e�ciacia de este nuevo medicamento administrándolo a 150 adultos
elegidos aleatoriamente quienes padecen tensión nerviosa y contando cuántos de ellos
sienten alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
a) [0.3 pts.] Enel contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de adultos quienes sienten
alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
Obs.: En la de�nición de p debe quedar claro que se re�ere al nuevo medicamento,
pues la e�cacia del tradicional medicamento ya es conocida, i.e. 60%.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : p = 0.6 y Ha : p > 0.6.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: El estadístico de prueba es: Z = (p̂ − 0.6)/
√
0.6 · 0.4/150 = (p̂ − 0.6)/0.04,
donde p̂ es la proporción muestral de adultos quienes sienten alivio después de ingerir
el nuevo medicamento. Si H0 es cierta, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionar sólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] ¾Cuántos adultos en la muestra deben sentir alivio luego de ingerir el
nuevo medicamento para que el valor-p del test sea igual a 0.1?
R: El valor-p del test es P(Z > Zobs). Para que P(Z > Zobs) = 0.1, debe ocurrir que
Z > 1.281552, lo que equivale a p̂ > 0.6 + 0.04 · 1.281552 = 0.6512621. Por tanto,
el número pedido debe ser mayor o igual que el entero inmediatamente posterior a
150 · 0.6512621 = 97.68931, i.e. al menos 98 adultos.
V2) Un tradicional medicamento tiene una e�cacia del 65% para aliviar la tensión en adultos.
Una �rma farmacéutica está desarrollando un nuevo medicamento que promete una mayor
e�cacia contra la tensión que el medicamento tradicional. Antes de lanzarlo al mercado,
la �rma testeará la e�ciacia de este nuevo medicamento administrándolo a 200 adultos
elegidos aleatoriamente quienes padecen tensión nerviosa y contando cuántos de ellos
sienten alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de adultos quienes sienten
alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
Obs.: En la de�nición de p debe quedar claro que se re�ere al nuevo medicamento,
pues la e�cacia del tradicional medicamento ya es conocida, i.e. 65%.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : p = 0.65 y Ha : p > 0.65.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: El estadístico de prueba es: Z = (p̂−0.65)/
√
0.65 · 0.35/200 = (p̂−0.65)/0.03372684,
donde p̂ es la proporción muestral de adultos quienes sienten alivio después de ingerir
el nuevo medicamento. Si H0 es cierta, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionar sólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] ¾Cuántos adultos en la muestra deben sentir alivio luego de ingerir el
medicamento para que el valor-p del test sea igual a 0.08?
R: El valor-p del test es P(Z > Zobs). Para que P(Z > Zobs) = 0.08, debe ocurrir
que Z > 1.405072, lo que equivale a p̂ > 0.65+0.03372684 ·1.405072 = 0.6973886.
Por tanto, el número pedido debe ser mayor o igual que el entero inmediatamente
posterior a 200 · 0.6973886 = 139.4777, i.e. al menos 140 adultos.
V3) Un tradicional medicamento tiene una e�cacia del 63% para aliviar la tensión en adultos.
Una �rma farmacéutica está desarrollando un nuevo medicamento que promete una mayor
e�cacia contra la tensión que el medicamento tradicional. Antes de lanzarlo al mercado,
la �rma testeará la e�ciacia de este nuevo medicamento administrándolo a 180 adultos
elegidos aleatoriamente quienes padecen tensión nerviosa y contando cuántos de ellos
sienten alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de adultos quienes sienten
alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
Obs.: En la de�nición de p debe quedar claro que se re�ere al nuevo medicamento,
pues la e�cacia del tradicional medicamento ya es conocida, i.e. 63%.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : p = 0.63 y Ha : p > 0.63.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: El estadístico de prueba es: Z = (p̂−0.63)/
√
0.63 · 0.37/180 = (p̂−0.63)/0.03598611,
donde p̂ es la proporción muestral de adultos quienes sienten alivio después de ingerir
el nuevo medicamento. Si H0 es cierta, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionar sólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] ¾Cuántos adultos en la muestra deben sentir alivio luego de ingerir el
medicamento para que el valor-p del test sea igual a 0.15?
R: El valor-p del test es P(Z > Zobs). Para que P(Z > Zobs) = 0.15, debe ocurrir
que Z > 1.036433, lo que equivale a p̂ > 0.63+0.03598611 ·1.036433 = 0.6672972.
Por tanto, el número pedido debe ser mayor o igual que el entero inmediatamente
posterior a 180 · 0.6672972 = 120.1135, i.e. al menos 121 adultos.
V4) Un tradicional medicamento tiene una e�cacia del 60% para aliviar la tensión en adultos.
Una �rma farmacéutica está desarrollando un nuevo medicamento que promete una mayor
e�cacia contra la tensión que el medicamento tradicional. Antes de lanzarlo al mercado,
la �rma testeará la e�ciacia de este nuevo medicamento administrándolo a 300 adultos
elegidos aleatoriamente quienes padecen tensión nerviosa y contando cuántos de ellos
sienten alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de adultos quienes sienten
alivio después de ingerir el nuevo medicamento.
Obs.: En la de�nición de p debe quedar claro que se re�ere al nuevo medicamento,
pues la e�cacia del tradicional medicamento ya es conocida, i.e. 60%.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : p = 0.6 y Ha : p > 0.6.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: El estadístico de prueba es: Z = (p̂−0.6)/
√
0.6 · 0.4/300 = (p̂−0.6)/0.02828427,
donde p̂ es la proporción muestral de adultos quienes sienten alivio después de ingerir
el nuevo medicamento. Si H0 es cierta, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionar sólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] ¾Cuántos adultos en la muestra deben sentir alivio luego de ingerir el
medicamento para que el valor-p del test sea igual a 0.05?
R: El valor-p del test es P(Z > Zobs). Para que P(Z > Zobs) = 0.05, debe ocurrir
que Z > 1.644854, lo que equivale a p̂ > 0.6+0.02828427 · 1.644854 = 0.6465235.
Por tanto, el número pedido debe ser mayor o igual que el entero inmediatamente
posterior a 300 · 0.6465235 = 193.9571, i.e. al menos 194 adultos.
PAUTA PREGUNTA 4 - PRUEBA 2 - MÉTODOS ESTADÍSTICOS - 05/06
V1) Ud. está a cargo de una máquina que envasa cereales en barritas, cuyo peso neto (en gr)
sigue una distribución N(µ; σ2 = 4).
Con�guraciones de la máquina dicen que el peso neto promedio es 30 gr por barrita. Pero,
Ud. sospecha que este peso promedio es menor al programado. Si su sospecha es cierta,
Ud. debe pagar la reparación de la máquina. Para decidir, Ud. observa el peso neto de
15 barritas de cereal elegidas aleatoriamente entre las que la máquina produce.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es µ: promedio poblacional del peso neto de contenido
del cereal que la máquina envasa (en gr. por barrita).
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : µ = 30 y Ha : µ < 30.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: Estadístico de prueba: Z = (X − 30)/(2/
√
15). Bajo H0, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionarsólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] Suponga que para Ud. es más costoso envasar cereales con un peso menor
al programado que reparar innecesariamente la máquina.
Sea X el contenido neto promedio muestral de cereal por barrita.
Considere las siguientes reglas de decisión:
R1: Pagar reparación de la máquina si X < 28.2 gr.
R2: Pagar reparación de la máquina si X < 29 gr.
¾Cuál regla de decisión le conviene a Ud. usar? ¾Por qué?
R: Un error de tipo I es pagar innecesariamente por la reparación de la máquina,
mientras que un error de tipo II es no reparar la máquina cuando en realidad es
necesario hacerlo, i.e. envasar cereales con un peso promedio menor al programado.
Por enunciado, es más costoso cometer un error de tipo II que cometer un error de
tipo I.
Note que P(X < 28.2 |µ = 30) < P(X < 29 |µ = 30). Esto es, la probabilidad de
cometer un error de tipo I es mayor con R2 que con R1. Por tanto, la probabilidad
de cometer un error de tipo II es mayor con R1 que con R2. Como persona a cargo
de la máquina, a Ud. le conviene usar R2.
V2) Ud. está a cargo de una máquina que envasa cereales en barritas, cuyo peso neto (en gr)
sigue una distribución N(µ; σ2 = 4).
Con�guraciones de la máquina dicen que el peso neto promedio es 35 gr por barrita. Pero,
Ud. sospecha que este peso promedio es mayor al programado. Si su sospecha es cierta,
Ud. debe pagar la reparación de la máquina. Para decidir, Ud. observa el peso neto de
20 barritas de cereal elegidas aleatoriamente entre las que la máquina produce.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es µ: promedio poblacional del peso neto de contenido
del cereal que la máquina envasa (en gr. por barrita).
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : µ = 35 y Ha : µ > 35.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: Estadístico de prueba: Z = (X − 35)/(2/
√
20). Bajo H0, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionar sólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] Suponga que para Ud. es más costoso envasar cereales con un peso mayor
al programado que reparar innecesariamente la máquina.
Sea X el contenido neto promedio muestral de cereal por barrita.
Considere las siguientes reglas de decisión:
R1: Pagar reparación de la máquina si X > 37 gr.
R2: Pagar reparación de la máquina si X > 36.2 gr.
¾Cuál regla de decisión le conviene a Ud. usar? ¾Por qué?
R: Un error de tipo I es pagar innecesariamente por la reparación de la máquina,
mientras que un error de tipo II es no reparar la máquina cuando en realidad es
necesario hacerlo. Por enunciado, es más costoso cometer un error de tipo II que
cometer un error de tipo I.
Note que P(X > 37 |µ = 35) < P(X > 36.2 |µ = 35). Esto es, la probabilidad de
cometer un error de tipo I es mayor con R2 que con R1. Por tanto, la probabilidad
de cometer un error de tipo II es mayor con R1 que con R2. Como persona a cargo
de la máquina, a Ud. le conviene usar R2.
V3) Ud. está a cargo de una máquina que envasa cereales en barritas, cuyo peso neto (en gr)
sigue una distribución N(µ; σ2 = 6).
Con�guraciones de la máquina dicen que el peso neto promedio es 30 gr por barrita. Pero,
Ud. sospecha que este peso promedio es mayor al programado. Si su sospecha es cierta,
Ud. debe pagar la reparación de la máquina. Para decidir, Ud. observa el peso neto de
20 barritas de cereal elegidas aleatoriamente entre las que la máquina produce.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es µ: promedio poblacional del peso neto de contenido
del cereal que la máquina envasa (en gr. por barrita).
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula (H0) y alternativa (Ha).
R: H0 : µ = 30 y Ha : µ > 30.
c) [0.5 pts.] Escriba el estadístico de prueba. ¾Cuál es su distribución de probabilidad
bajo H0?
R: Estadístico de prueba: Z = (X − 30)/
√
6/20. Bajo H0, Z ∼ N(0; 1).
Obs.: En la distribución bajoH0, el alumno debe indicar �normal estándar� o N(0; 1).
Mencionar sólo �distribución normal� no basta.
d) [0.9 pts.] Suponga que para Ud. es más costoso envasar cereales con un peso mayor
al programado que reparar innecesariamente la máquina.
Sea X el contenido neto promedio muestral de cereal por barrita.
Considere las siguientes reglas de decisión:
R1: Pagar reparación de la máquina si X > 31.5 gr.
R2: Pagar reparación de la máquina si X > 30.8 gr.
¾Cuál regla de decisión le conviene a Ud. usar? ¾Por qué?
R: Un error de tipo I es pagar innecesariamente por la reparación de la máquina,
mientras que un error de tipo II es no reparar la máquina cuando en realidad es
necesario hacerlo. Del enunciado se deduce que es más costoso cometer un error de
tipo II que cometer un error de tipo I.
Note que P(X > 31.5 |µ = 30) < P(X > 30.8 |µ = 30). Esto es, la probabilidad de
cometer un error de tipo I es mayor con R2 que con R1. Por tanto, la probabilidad
de cometer un error de tipo II es mayor con R1 que con R2. Como persona a cargo
de la máquina, a Ud. le conviene usar R2.
PAUTA PREGUNTA 5 - PRUEBA 2 - MÉTODOS ESTADÍSTICOS - 05/06
V1) El gerente de marketing de una �rma sostiene que el 70% del mercado potencial ha
comprado su nuevo producto. Como investigador de mercados, Ud. quiere testear si el
porcentaje de compradores de este producto es menor que lo que a�rma el gerente. Para
ello, Ud. elige aleatoriamente a 15 individuos del mercado potencial y observa cuántos
de ellos compraron el nuevo producto. Si menos de 10 individuos lo compraron, entonces
Ud. tiene evidencia su�ciente para refutar la a�rmación del gerente.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de individuos en el mercado
potencial quienes compraron el nuevo producto.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula y alternativa.
R: H0 : p = 0.7 y Ha : p < 0.7.
c) [0.4 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el estadístico de prueba.
R: El estadístico de prueba es X: número de individuos en la muestra quienes com-
praron el nuevo producto.
Obs.: Alternativamente, el alumno puede de�nir como estadístico de prueba p̂: pro-
porción de individuos en la muestra quienes compraron el nuevo producto (note que
X = 15 · p̂).
d) [0.5 pts.] Escriba la distribución de probabilidad, incluyendo parámetros, del esta-
dístico de prueba si la hipótesis nula es cierta.
R: Si la hipótesis nula es cierta, entonces X ∼ Bin(n = 15; p = 0.7).
e) [0.5 pts.] ¾Cuál es el nivel de signi�cancia del test?
R: El nivel de signi�cancia del test es P(X < 10) = P(X ≤ 9) = 0.2783786, donde
X ∼ Bin(n = 15; p = 0.7).
V2) El gerente de marketing de una �rma sostiene que el 75% del mercado potencial ha
comprado su nuevo producto. Como investigador de mercados, Ud. quiere testear si el
porcentaje de compradores de este producto es menor que lo que a�rma el gerente. Para
ello, Ud. elige aleatoriamente a 20 individuos del mercado potencial y observa cuántos
de ellos compraron el nuevo producto. Si menos de 13 individuos lo compraron, entonces
Ud. tiene evidencia su�ciente para refutar la a�rmación del gerente.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de individuos en el mercado
potencial quienes compraron el nuevo producto.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula y alternativa.
R: H0 : p = 0.75 y Ha : p < 0.75.
c) [0.4 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el estadístico de prueba.
R: El estadístico de prueba es X: número de individuos en la muestra quienes com-
praron el nuevo producto.
Obs.: Alternativamente, el alumno puede de�nir como estadístico de prueba p̂: pro-
porción de individuos en la muestra quienes compraron el nuevo producto (note que
X = 20 · p̂).
d) [0.5 pts.] Escriba la distribución de probabilidad, incluyendo parámetros, del esta-
dístico de prueba si la hipótesisnula es cierta.
R: Si la hipótesis nula es cierta, entonces X ∼ Bin(n = 20; p = 0.75).
e) [0.5 pts.] ¾Cuál es el nivel de signi�cancia del test?
R: El nivel de signi�cancia del test es P(X < 13) = P(X ≤ 12) = 0.1018119,
donde X ∼ Bin(n = 20; p = 0.75).
V3) El gerente de marketing de una �rma sostiene que el 60% del mercado potencial ha
comprado su nuevo producto. Como investigador de mercados, Ud. quiere testear si el
porcentaje de compradores de este producto es menor que lo que a�rma el gerente. Para
ello, Ud. elige aleatoriamente a 15 individuos del mercado potencial y observa cuántos
de ellos compraron el nuevo producto. Si menos de 8 individuos lo compraron, entonces
Ud. tiene evidencia su�ciente para refutar la a�rmación del gerente.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de individuos en el mercado
potencial quienes compraron el nuevo producto.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula y alternativa.
R: H0 : p = 0.6 y Ha : p < 0.6.
c) [0.4 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el estadístico de prueba.
R: El estadístico de prueba es X: número de individuos en la muestra quienes com-
praron el nuevo producto.
Obs.: Alternativamente, el alumno puede de�nir como estadístico de prueba p̂: pro-
porción de individuos en la muestra quienes compraron el nuevo producto (note que
X = 15 · p̂).
d) [0.5 pts.] Escriba la distribución de probabilidad, incluyendo parámetros, del esta-
dístico de prueba si la hipótesis nula es cierta.
R: Si la hipótesis nula es cierta, entonces X ∼ Bin(n = 15; p = 0.6).
e) [0.5 pts.] ¾Cuál es el nivel de signi�cancia del test?
R: El nivel de signi�cancia del test es P(X < 8) = P(X ≤ 7) = 0.2131032, donde
X ∼ Bin(n = 15; p = 0.6).
V4) El gerente de marketing de una �rma sostiene que el 65% del mercado potencial ha
comprado su nuevo producto. Como investigador de mercados, Ud. quiere testear si el
porcentaje de compradores de este producto es menor que lo que a�rma el gerente. Para
ello, Ud. elige aleatoriamente a 18 individuos del mercado potencial y observa cuántos
de ellos compraron el nuevo producto. Si menos de 11 individuos lo compraron, entonces
Ud. tiene evidencia su�ciente para refutar la a�rmación del gerente.
a) [0.3 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el parámetro de interés.
R: El parámetro de interés es p: proporción poblacional de individuos en el mercado
potencial quienes compraron el nuevo producto.
b) [0.3 pts.] Escriba las hipótesis nula y alternativa.
R: H0 : p = 0.65 y Ha : p < 0.65.
c) [0.4 pts.] En el contexto del enunciado, de�na el estadístico de prueba.
R: El estadístico de prueba es X: número de individuos en la muestra quienes com-
praron el nuevo producto.
Obs.: Alternativamente, el alumno puede de�nir como estadístico de prueba p̂: pro-
porción de individuos en la muestra quienes compraron el nuevo producto (note que
X = 18 · p̂).
d) [0.5 pts.] Escriba la distribución de probabilidad, incluyendo parámetros, del esta-
dístico de prueba si la hipótesis nula es cierta.
R: Si la hipótesis nula es cierta, entonces X ∼ Bin(n = 18; p = 0.65).
e) [0.5 pts.] ¾Cuál es el nivel de signi�cancia del test?
R: El nivel de signi�cancia del test es P(X < 11) = P(X ≤ 10) = 0.2717216,
donde X ∼ Bin(n = 18; p = 0.65).
PAUTA PREGUNTA 6 - PRUEBA 2 - MÉTODOS ESTADÍSTICOS - 05/06
V1) Suponga que el tiempo, en horas, que le toma a un tren completar su trayecto es una
variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo (0; θ), donde θ es
desconocido y θ > 0. Usted observa que tiempo total en el cual este tren completa 108
trayectos elegidos aleatoriamente es 220 horas. Obtenga un intervalo bilateral al 95% de
con�anza para θ. Explicite claramente sus pasos.
R: Xi: horas que le toma al tren completar el trayecto i, con i ∈ {1, . . . , 108}.
Por enunciado, Xi ∼ Unif(0; θ), E(Xi) = θ/2 y Var(Xi) = θ2/12, para todo i.
Sea X = (X1 + · · ·+X108)/108.
Por propiedades de X: E(X) = θ/2 y Var(X) = θ2/(12 · 108) = θ2/1296.
Como 108 > 30, el Teorema del Límite Central garantiza que X ∼ N(θ/2; θ2/1296).
Luego,
Z =
X − θ/2√
θ2/1296
=
X − θ/2
θ/36
=
36 ·X
θ
− 18 ∼ N(0; 1).
Con un 95% de probabilidad, −1.959964 < Z < 1.959964, donde −1.959964 y 1.959964
son los percentiles 0.025 y 0.975 de una distribución N(0; 1), respectivamente.
Despejando θ de la desigualdad doble, uno tiene
36 ·X
18 + 1.959964
< θ <
36 ·X
18− 1.959964
.
En la muestra en curso, X = 220/108 = 2.037037. Por tanto, con un 95% de con�anza,
el intervalo pedido es: 3.674021 < θ < 4.571893.
V2) Suponga que el tiempo, en horas, que le toma a un tren completar su trayecto es una
variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo (0; θ), donde θ es
desconocido y θ > 0. Usted observa que tiempo total en el cual este tren completa 147
trayectos elegidos aleatoriamente es 320 horas. Obtenga un intervalo bilateral al 93% de
con�anza para θ. Explicite claramente sus pasos.
R: Xi: horas que le toma al tren completar el trayecto i, con i ∈ {1, . . . , 147}.
Por enunciado, Xi ∼ Unif(0; θ), E(Xi) = θ/2 y Var(Xi) = θ2/12, para todo i.
Sea X = (X1 + · · ·+X147)/147.
Por propiedades de X: E(X) = θ/2 y Var(X) = θ2/(12 · 147) = θ2/1764.
Como 147 > 30, el Teorema del Límite Central garantiza que X ∼ N(θ/2; θ2/1764).
Luego,
Z =
X − θ/2√
θ2/1764
=
X − θ/2
θ/42
=
42 ·X
θ
− 21 ∼ N(0; 1).
Con un 95% de probabilidad, −1.811911 < Z < 1.811911, donde −1.811911 y 1.811911
son los percentiles 0.035 y 0.965 de una distribución N(0; 1), respectivamente.
Despejando θ de la desigualdad doble, uno tiene
42 ·X
21 + 1.811911
< θ <
42 ·X
21− 1.811911
.
En la muestra en curso, X = 320/147 = 2.176871. Por tanto, con un 93% de con�anza,
el intervalo pedido es: 4.007932 < θ < 4.764861.
V3) Suponga que el tiempo, en horas, que le toma a un tren completar su trayecto es una
variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo (0; θ), donde θ es
desconocido y θ > 0. Usted observa que tiempo total en el cual este tren completa 192
trayectos elegidos aleatoriamente es 400 horas. Obtenga un intervalo bilateral al 90% de
con�anza para θ. Explicite claramente sus pasos.
R: Xi: horas que le toma al tren completar el trayecto i, con i ∈ {1, . . . , 192}.
Por enunciado, Xi ∼ Unif(0; θ), E(Xi) = θ/2 y Var(Xi) = θ2/12, para todo i.
Sea X = (X1 + · · ·+X192)/192.
Por propiedades de X: E(X) = θ/2 y Var(X) = θ2/(12 · 192) = θ2/2304.
Como 192 > 30, el Teorema del Límite Central garantiza que X ∼ N(θ/2; θ2/2304).
Luego,
Z =
X − θ/2√
θ2/2304
=
X − θ/2
θ/48
=
48 ·X
θ
− 24 ∼ N(0; 1).
Con un 90% de probabilidad, −1.644854 < Z < 1.644854, donde −1.644854 y 1.644854
son los percentiles 0.05 y 0.95 de una distribución N(0; 1), respectivamente.
Despejando θ de la desigualdad doble, uno tiene
48 ·X
24 + 1.644854
< θ <
48 ·X
24− 1.644854
.
En la muestra en curso, X = 400/192 = 2.083333. Por tanto, con un 90% de con�anza,
el intervalo pedido es: 3.899417 < θ < 4.473242.
V4) Suponga que el tiempo, en horas, que le toma a un tren completar su trayecto es una
variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo (0; θ), donde θ es
desconocido y θ > 0. Usted observa que tiempo total en el cual este tren completa 243
trayectos elegidos aleatoriamente es 560 horas. Obtenga un intervalo bilateral al 98% de
con�anza para θ. Explicite claramente sus pasos.
R: Xi: horas que le toma al tren completar el trayecto i, con i ∈ {1, . . . , 243}.
Por enunciado, Xi ∼ Unif(0; θ), E(Xi) = θ/2 y Var(Xi) = θ2/12, para todo i.
Sea X = (X1 + · · ·+X243)/243.
Por propiedades de X: E(X) = θ/2 y Var(X) = θ2/(12 · 243) = θ2/2916.
Como 243 > 30, el Teorema del Límite Central garantiza que X ∼ N(θ/2; θ2/2916).
Luego,
Z =
X − θ/2√
θ2/2916
=
X − θ/2
θ/54
=
54 ·X
θ
− 27 ∼ N(0; 1).
Con un 98% de probabilidad, −2.326348 < Z < 2.326348, donde −2.326348 y 2.326348
son los percentiles 0.01 y 0.99 de una distribución N(0; 1), respectivamente.
Despejando θ de la desigualdad doble, uno tiene
54 ·X
27 + 2.326348< θ <
54 ·X
27− 2.326348
.
En la muestra en curso, X = 560/243 = 2.304527. Por tanto, con un 90% de con�anza,
el intervalo pedido es: 4.243435 < θ < 5.043617.