Apuntes de Calculo I

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4. Derivada Implícita, Logarítmica y de Orden 
Superior 
Cristián García-Campo 
Universidad de los Andes 
Cálculo I 
2° semestre 2018 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
4.1 Objetivos de Aprendizaje 
 Entender el Concepto de Derivada y su relación con los Límites 
 
 Conocer y aplicar las técnicas de derivación avanzadas. 
 
 Interpretar y calcular derivadas de orden Superior. 
 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Implícitas 
Contexto 
 
 
 
Suponga que usted desea calcular la ecuación de la 
recta tangente al elipse de la figura que pasa por el 
punto ( 1, 0 ). 
 
La ecuación del elipse viene dada por: 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 
 
Probablemente su primera intuición sería pensar que, 
geométricamente, la derivada de una función o relación 
es la pendiente «m» de la recta tangente, por lo que 
intentaría derivar y remplazar para obtener «m». Pero… 
¿Como derivo la relación del elipse si no puedo 
despejar la y? 
 
¡Utilizamos el concepto de derivada implícita! 
y=mx+b 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Implícitas 
Contexto 
 
 
 
En Primer Lugar hago un supuesto razonable indicando que existe 
una manera de escribir «y» como una función (continua y derivable) 
de «x» de la forma y=f(x). Si mi supuesto es correcto entonces 
también existe la derivada f´(x) aunque todavía no se cual es… 
 
Entonces puedo indicar que la derivada del elipse con respecto a x: 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏 
 
Es: 
𝟔𝒙 − 𝟐 + 𝒇´ 𝒙 + 𝟐𝒇 𝒙 ∗ 𝒇´(𝒙) = 𝟎 
 
O: 
𝒇´ 𝒙 ∗ 𝟏 + 𝟐𝒇 𝒙 = 𝟐 − 𝟔𝒙 
𝒇´ 𝒙 =
𝟐 − 𝟔𝒙 
𝟏 + 𝟐𝒚
 
 
Remplazando en ( 1, 0) 
𝒇´ 𝒙 = −𝟒 (𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 − 𝑷𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆) → 𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟒 
y=-4x+4 
¡Derivada Implícita! 
y=f(x) 
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Derivadas Implícitas 
Contexto 
La derivación implícita es una técnica que facilita el calculo de derivadas de funciones 
o relaciones que no están enunciadas de la forma común y= f(x). 
 
Para esto se hace el supuesto de que «y» es una función ( o relación ) continua y 
diferenciable de «x» y por lo tanto existe la derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 y se puede despejar de la 
ecuación resultante. 
 
Note que para efectos de esta sección del curso utilizaremos la notación de Leibniz 
para referirnos a las derivadas, a saber: 
 
𝒇´ 𝒙 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
 
 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Implícitas 
Contexto 
Suponga que desea calcular la derivada 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de: 
 
𝒚 + 𝒚𝟑 − 𝒙 = 𝟕 
 
Note que esta función no está escrita de la forma y = f(x) por lo que no se puede 
derivar con las técnicas que conocemos hasta ahora. 
 
Tendremos que derivar de manera implícita y luego despegar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de la ecuación 
resultante asumiendo que «y» es una función de x. Al derivar nos queda: 
 
 Derivada «Implícita» 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ (𝟑𝒚𝟐 ∗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
) − 𝟏 = 𝟎 
 
 Derivada «Implícita» + Regla de la Cadena 
 
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Derivadas Implícitas 
Contexto 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟑𝒚𝟐 ∗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟏 = 𝟎 
 
Factorizando el término común 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 se obtiene = 
 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
∗ 𝟏 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟏 
 
Y despejando: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟏 + 𝟑𝒚𝟐
 
 
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Derivadas Implícitas 
Contexto 
¡Ojo Con las Notaciones! 
 
 Derivada «Implícita» 
 
𝒇´(𝒙) + (𝟑𝒚𝟐 ∗ 𝒇´(𝒙)) − 𝟏 = 𝟎 
 
 Derivada «Implícita» + Regla de la Cadena 
 
Equivale a: 
 
 Derivada «Implícita» 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ (𝟑𝒚𝟐 ∗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
) − 𝟏 = 𝟎 
 
 Derivada «Implícita» + Regla de la Cadena 
 
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Derivadas Implícitas 
Pregunta 
Calcule las siguientes derivadas: 
 
1) 𝑥3 + 4𝑥𝑦2 − 27 = 𝑦4 
 
 
 
2) ey+x2y3=x−3y. 
 
 
 
3) 𝑦𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥𝑒𝑦 
 
 
 
 
Matemáticas para Economía y Administración de Empresas –Prof. Cristian García-Campo 
Derivadas Implícitas 
Pregunta 
Calcule las siguientes derivadas Implícitas: 
 
1) 𝑥3 + 4𝑥𝑦2 − 27 = 𝑦4 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥2 + 4𝑦2
4𝑦3 − 8𝑥𝑦
 
 
 
2) ey+x2y3=x−3y. 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1 − 2𝑥𝑦3
𝑒𝑦 + 3𝑥2𝑦2 + 3
 
 
3) 𝑦𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥𝑒𝑦 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑒𝑦−𝑦
𝑥𝑙𝑛 𝑥 −𝑥2𝑒𝑦
 
 
 
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Derivadas Logarítmicas 
Contexto 
 
 
 
Suponga que tiene se le pide derivar la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo lo haría? ¿Podemos usar las técnicas vista hasta ahora en el curso? 
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Derivadas Logarítmicas 
Contexto 
 
 
 
Claramente 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒙 no es una función exponencial, la cual requiere que la base sea 
una constante y no la variable «x». Sin embargo, como vimos en límites, es posible 
utilizar las propiedades de logaritmos para «bajar» el exponente. Esta técnica auxiliar 
se conoce como derivación logarítmica. 
 
Tenemos: 
𝒚 = 𝒙𝒙 
Aplicando Ln() en ambos lados 
ln 𝑦 = ln 𝑥𝑥 
ln 𝑦 = x ∗ ln (𝑥) 
 
Derivando implícitamente: 
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 ∗ ln 𝑥 + 𝑥 ∗
1
𝑥
 → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 ∗ (ln 𝑥 + 1) 
 
Haciendo 𝒚 = 𝒙𝒙 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑥 ∗ (ln 𝑥 + 1) 
 
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Derivadas Logarítmicas 
Pregunta 
 
 
 
En general la Derivación Logarítmica puede aplicarse a cualquier función de la forma: 
 
 
 
𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) 
 
 
 
Veamos algunos ejemplos 
 
1) y= 1 + 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 
 
2) y=
3
𝑥2
𝑥
 
 
3) y=(𝑥2 + 1)𝑥+1 
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Derivadas Logarítmicas 
Pregunta 
 
 
 
 
1) y= 1 + 𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑒𝑥)𝑙𝑛𝑥∗
ln (1 + 𝑒𝑥)
𝑥
+
𝑒𝑥ln (𝑥)
1 + 𝑒𝑥
 
 
2) y=
3
𝑥2
𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
𝑥2
𝑥
∗ −2 + ln (
3
𝑥2
) 
 
3) y=(𝑥2 + 1)𝑥+1 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥2 + 1)𝑥+1∗
2𝑥(𝑥 + 1)
𝑥2 + 1
+ ln (𝑥2 + 1) 
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Derivadas Logarítmicas 
Contexto 
 
 
 
Otra aplicación de la derivada logarítmica tiene relación con facilitar la resolución de 
derivadas complejas. Considere por ejemplo la derivada de: 
 
𝒚 =
(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟑
𝒙𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟒
 
 
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Derivadas Logarítmicas 
Contexto 
 
 
 
𝒚 =
(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟑
𝒙𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟒
 
 
Aplicando Ln() a ambos lados 
 
𝑙𝑛 𝑦 =
1
2
∗ ( 𝑙𝑛 2𝑥 − 5 3 − 𝑙𝑛(𝑥2 ∗ 𝑥2 + 1
4
)) 
𝑙𝑛 𝑦 =
1
2
∗ ( 3𝑙𝑛 2𝑥 − 5 − 𝑙𝑛 𝑥2 − 𝑙𝑛( 𝑥2 + 1
4
)) 
𝑙𝑛 𝑦 =
1
2
∗ ( 3𝑙𝑛 2𝑥 − 5 − 2𝑙𝑛 𝑥 −
1
4
𝑙𝑛(𝑥2 + 1)) 
 
Derivando a ambos lados 
 
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
∗ (
6
2𝑥 − 5
−
2
𝑥
−
𝑥
2 𝑥2 + 1
) 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
(𝟐𝒙 − 𝟓)𝟑
𝒙𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟒
∗
𝟏
𝟐
∗ (
𝟔
𝟐𝒙 − 𝟓
−
𝟐
𝒙
−
𝒙
𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏
) 
 
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Derivadas Logarítmicas e Implícitas 
Preguntas 
 
 
 
Encuentre las derivadas 
dy
dx
 de: 
 
 
𝒚 =
(𝟒𝒙+𝟔)𝟐
𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏
𝟑 𝒚 =
(𝟐𝒙𝟐+𝟐)𝟐
𝒙+𝟏 𝟐(𝟑𝒙+𝟐)
 
 
 
𝑦 = 4𝑒𝑥𝑥3𝑥 𝒚 = (
𝒙
𝟑
) 𝟐𝒙
𝟐+𝟏 
 
 
𝑥1/5 + 𝑦1/5 = 4𝑦 𝑒𝑥+𝑦 = ln (𝑥 + 𝑦) 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Contexto 
 
 
 
Anteriormente habíamos indicando que la derivada de una función era también 
una función y por lo tanto es posible «derivar la derivada». A la derivada de la 
derivada se le conoce como derivada de segundo orden o segunda derivada y susnotaciones son: 
 
𝒚´´ = 𝒇´´(𝒙) =
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
 
 
 
De la misma manera podemos derivar la derivada de segundo orden todas la veces 
que sea necesario para obtener las derivadas de tercer, cuarto, quinto… orden las 
cuales se denotan de manera análoga a la definición anterior: 
𝒚´´´ = 𝒇´´´(𝒙) =
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒙𝟑
 
 
 𝒚´´´´ = 𝒇´´´´ 𝒙 =
𝒅𝟒𝒚
𝒅𝒙𝟒
 
 
 … 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Contexto 
 
 
 
Considere por Ejemplo la Función: 
 
𝒇 𝒙 = 𝟔𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐 
 
 se tiene entonces que: 
𝑓´ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 18𝑥2 − 24𝑥 + 6 
 
𝑓´´ 𝑥 =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 36x − 24 
 
𝑓´´´ 𝑥 =
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= 36 
 
𝑓´´´´ 𝑥 =
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
= 0 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Pregunta 
 
 
 
Para cada función f(x) encuentre la segunda derivada 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
: 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 
 
 
𝑓(𝑥) =
16
𝑥 + 4
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + 1) 
 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Pregunta 
 
 
 
Para cada función f(x) encuentre la segunda derivada 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
: 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 2𝑒𝑥
2
∗ (2𝑥2 + 1) 
 
𝑓(𝑥) =
16
𝑥 + 4
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
32
(𝑥 + 4)3
 
 
𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + 1) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
−1
(𝑥 + 1)2
 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Cierre 
 
 
 
Para cada función encuentre la segunda derivada 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
, puede ser necesario derivar 
implícitamente: 
 
 
𝑥2 + 4𝑦2 =4 
 
 
𝑦2 = 𝑒𝑥+𝑦 
 
 
𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 =4 
 
 
 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Cierre 
 
 
 
Para cada función encuentre la segunda derivada 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
, puede ser necesario derivar 
implícitamente: 
 
 
𝑥2 + 4𝑦2 =4 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= −
1
4𝑦3
 
 
 
𝑦2 = 𝑒𝑥+𝑦 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
2𝑦
(2 − 𝑦)3
 
 
𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥 =4 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
2(𝑦 − 1)
(1 + 𝑥)2
 
 
 
 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Cierre 
 
 
 
Encuentre todas las derivadas de orden superior de la función: 
 
𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝟐 
 
 
 
 
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Derivadas de Orden Superior 
Cierre 
 
 
 
Encuentre todas las derivadas de orden superior de la función: 
 
𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒆𝒙 + 𝟐 
 
𝑓´ 𝑥 = 12𝑥2 + 4𝑥 + 𝑒𝑥 
 
𝑓´´ 𝑥 = 24𝑥 + 4 + 𝑒𝑥 
 
𝑓´´´ 𝑥 = 24 + 𝑒𝑥 
 
𝑓´´´´ 𝑥 = 𝑒𝑥 
 
 …. 
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Derivadas de Orden Superior 
Contexto 
 
 
 
Anteriormente habíamos dicho que, geométricamente hablando, la derivada de una curva 
representaba la pendiente de la recta tangente. ¿ Que representa entonces la segunda 
derivada? 
 
Considere por ejemplo la función: 
 
 
𝒇´ 𝒙 = 𝟐𝒙 
𝒇´´ 𝒙 = 𝟐 
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 
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La segunda derivada dice relación con la concavidad de la curva. En los intervalos en 
que la segunda derivada es positiva la curva es cóncava hacia arriba, mientras que en 
los intervalos en que la segunda derivada es negativa la curva es cóncava hacia abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analice la concavidad de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥; 𝑓 𝑥 = 𝑥; 𝑓 𝑥 = ln(x) 
 
¡Veremos esta propiedad con mayor profundidad en la sección 6: Trazado de Curvas! 
Derivadas de Orden Superior 
Contexto 
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Repaso 
Preguntas 
 
 
 
 
 
Encuentre la derivada de: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2 ∗ 𝑥 + 1 4 ∗ 𝑥 − 2 2 
 
𝑓 𝑥 =
4𝑒3𝑥
𝑥𝑒𝑥−1
 
 
𝑓 𝑥 = (𝑥2)𝑥
2
 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥
𝑥
 
 
𝑓 𝑥 =
(𝑥2 + 1) ∗ (𝑥2 + 2)
3
(2𝑥3 + 6𝑥)2/5
 
 
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Repaso 
Preguntas 
 
 
 
 
 
Encuentre la derivada de: 
 
2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 10 
 
 
ln 𝑥𝑦2 = 𝑥𝑦 
 
 
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 
 
 
𝑒𝑦 + 𝑦 = 2𝑥 
 
 
 
4. Derivada Implícita, Logarítmica y de Orden 
Superior 
Cristián García-Campo 
Universidad de los Andes 
Cálculo I 
2° semestre 2018