Clase 21 Optimización Estocástica

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Optimización Clase 21: Optimización Estocástica 
Profesor: José Manuel Izquierdo
Puntos de análisis
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 2
• Cómo desarrollar un modelo de optimización cuando las Funciones Objetivo o las
Restricciones tienen componentes de incertidumbre las cuales son modeladas mediante
el uso de herramientas estocásticas/probabilísticas (no determinísticos)
• Cómo desarrollar un modelo de solución para encontrar la solución óptima del modelo
estocástico
• Qué herramientas de gestión o estrategias comerciales se pueden aplicar para mejorar
aún más la solución óptima.
Dentro de la gran variedad de modelos e implementaciones de la optimización estocástica
centraremos el análisis al estudio del Problema del Vendedor de Periódicos (PVP)
“Newsvendor Model”
Características del Problema del Vendedor de Periódicos
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 3
1. Presencia de una demanda por productos incierta, la cual se modela mediante el ajuste
de una distribución de probabilidades normal con media conocida (μ) y desviación
estándar conocida (σ).
2. Alto grado de pericibilidad/obsolescencia en los productos comerciales. No es posible de
almacenar o inventariar los productos de un período a otro.
3. Existencia de costos en dinero ($) asociados a la pericibilidad/obsolescencia de los
productos. No es posible recuperar la totalidad del dinero invertido en el abastecimiento
de estos.
4. Pérdida económico indirecta en dinero ($) como reducción de ventas y margen de
contribución por no contar con suficientes productos en stock para ser vendidos.
Cómo determinar una política de abastecimiento de productos que es determinística cuando
la venta de estos mismos productos es probabilística, teniendo en cuenta el alto grado de
pericibilidad/obsolescencia no permite recuperar toda la inversión .
Ejemplos: Venta de Información, reventa de entradas, venta de productos en estado fresco,
venta de equipos tecnológicos, reservas de hoteles y pasajes aéreos, etc.
Características del Problema del Vendedor de Periódicos
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 4
������ ��	
� �������� 
��. ��
Costos de Sobreponderación (Overage Cost ��) Todos los costos asociados a pérdidas
de utilidad dado que al final de la venta quedan unidades sin vender. Cuánta más utilidad
hubiese tenido por cada unidad que sobró si se hubiese conocido a ciencia cierta la demanda
por productos/servicios.
Costos de Subponderación (Underage Cost ��) Todos los costos asociados a pérdidas
de utilidad dado que al final de la venta no se fue capaz de satisfacer toda la demanda.
Cuánta más utilidad hubiese tenido por cada unidad que se pudo haber tenido en stock y
venderla si se hubiese conocido a ciencia cierta la demanda por productos/servicios.
Ejemplo de parámetros caso simplificado
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 5
Caso
Unidades
Compradas
Unidades
Vendidas
Stock 
Final
Condición
Co
unitario
Cu 
unitario
Balance
Pérdidas
1 400 350 + 50 Sobreponderación -410 - - 20.500
2 400 400 0 Igualdad 0 0 0
3 400 450 - 50 Subponderación - - 115 - 5.750
������ �� ��	
� �� = 525 ; ������ 
��. �� = 410 → �����	 �� ��	
�� !��ó	 (�$) = 115 
Caso
Unidades
Compradas
Unidades
Vendidas
Stock 
Final
Condición
Co
unitario
Cu 
unitario
Balance
Pérdidas
4 400 350 + 50 Sobreponderación -200 - - 10.000
5 400 400 0 Igualdad 0 0 0
6 400 450 - 50 Subponderación - - 325 -16.250
������ �� ��	
� �� = 525 ; ������ 
��. �� = 200 → �����	 �� ��	
�� !��ó	 (�$) = 325 
'�(�	�� )�� ����!�
�* ~ ,(- = 400, / = 100)
Balanceo de riesgos y beneficios
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 6
0 1 = 0!	��ó	 �� '�*
�� !��ó	 �� '�(�	�� ~ , -, / → �('�(�	�� ≤ 1)
Definición de curva de demanda
Contextualización del problema
El ordenar/adquirir una unidad adicional de producto incrementa la chance de
sobreponderación y sus costos asociados.
Pérdida esperada de la 1é456� unidad por sobreponderación = �7 × 0(1)
... pero por otra parte el ordenar/adquirir una unidad adicional de producto reduce la chance
de subponderación y sus costos asociados.
Ganancia esperada de la 1é456� unidad por reducción de subponderación = �9 × (1 − 0 1 )
� '�(�	�� ≥ 1 = 1 − 0(1)
Análisis de riesgos y beneficios de sub/sobreponderar
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 7
Caso 1: μ = 400, σ = 100, Co = 410, Cu = 115 Caso 2: μ = 400, σ = 100, Co = 200, Cu = 325
Como puede observarse en los gráficos a medida que se aumenta el número de unidades
solicitadas al proveedor, el beneficio esperado por reducción de subponderación va
disminuyendo a medida que la pérdida esperada se incrementa por el incremento de la
sobreponderación. El comportamiento de ambas curvas quedará definido por los valores de
Co y Cu para una misma distribución de probabilidades de venta final de productos.
�< · 0 1 �9 · 1 : 0 1 �< · 0 1 �9 · 1 : 0 1
Solución del problema
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 8
A fin de maximizar los beneficios esperados para la empresa, se demuestra que la cantidad
óptima de unidades a solicitarle al proveedor (Q) se logra cuando el beneficio marginal
esperado del ahorro por subponderación es igual al costo marginal esperado por
sobreponderación. De esta manera se logra maximizar la utilidad esperada del problema de
optimización, donde se tiene lo siguiente:
�7 × 0 1 = �9 1 − 0 1 → 0 1 = �9�< + �9
?�@ó	 ��í
��� = �B = �9�< + �9 → , - = 0; / = 1 = 0 @ → @ = Φ 0(@)
1∗ = -̂ + @/F
0. G. ∶ ��I J
�K���� L*)����� 1 = M �� · ��	 1, I · ) I �I − M �� · 1 · )(I) �I 
@ = Φ 0(@) → '�*
�� !��ó	 ,��(�K N	O��*� �	 �K O�K�� 0(@)
Ejemplos
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 9
�B = �9�< + �9 =
115
410 + 115 = 0,219
0 @ = 0,219 → @ = Φ 0,219 = −0,776
1∗ = -̂ + @/F = 400 − 0,776 × 100
Caso 1: μ = 400, σ = 100, Pv = 525, Pa = 410
1∗ = 322,4
�B = �9�< + �9 =
325
200 + 325 = 0,619
0 @ = 0,619 → @ = Φ 0,619 = 0,303
1∗ = -̂ + @/F = 400 + 0,303 × 100
Caso 2: μ = 400, σ = 100, Pv = 525, Pa = 200
1∗ = 430,3
N	���*�* ��S� L*). = 322 × 525 = 169.050
 ��*
�* ��S� = 322 × 410 = 132.020
 J
�K���� ��S� L*). = 37.030
N	���*�* ��S� L*). = 430 × 525 = 225.750
 ��*
�* ��S� = 430 × 200 = 86.000
 J
�K���� ��S� L*). = 139.750
�7 = 410 �9 = 525 − 410 = 115 �7 = 200 �9 = 525 − 200 = 325
Análisis de ejemplos
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 10
Caso 1: μ = 400, σ = 100, Pv = 525, Pa= 410
1∗ � 322,4
Caso 2: μ = 400, σ = 100, Pv = 525, Pa = 200
1∗ � 430,3
N	���*�*	��S�	L*).� 322 8 525 � 169.050
														��*
�*	��S� � 322 8 410 � 132.020
																													J
�K����	��S�	L*). � 37.030
N	���*�*	��S�		L*).� 430 8 525 � 225.750
													��*
�*	��S� � 430 8 200 � 86.000
																													J
�K����	��S�	L*).� 139.750
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 11
Con el objetivo de reducir la variabilidad (incertidumbre) de la demanda por
productos/servicios en sectores con márgenes ajustados (ver análisis en anexo), las
suscripciones permiten disociar la demanda entre una cantidad fija y conocida y otra variable,
de manera que al contar con una cantidad fija la variabilidad (σ) de la parte variable sea
menor. Idealmente en un proceso de suscripción se busca que la cantidad fija sea mayor a la
media de la función de demanda original, razón por la cual se ofrece un descuento por
suscripción para lograr este objetivo, pero lamentablemente no siempre funciona.
Suscripciones
En la misma línea que las suscripciones, las ventas anticipadas buscan reducir la variabilidad
(σ) de la demanda por productos, en la cual al ofrecer un descuento antes de tener el
producto a listo para venta logra asegurar demanda y por ende reducir la incertidumbre. Las
ventas anticipadas son una estrategia muy utilizada desde el punto de vista de desarrollo de
proyectos/productos donde el hecho depoder garantizar flujos futuros y reducir la
incertidumbre permite a las empresas/desarrolladores obtener mejores condiciones de
financiamiento e inversión, ej: venta de departamentos en verde, ventas anticipadas de
recitales.
Ventas anticipadas
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 12
Suscripciones
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
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Ventas anticipadas
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
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Ventas anticipadas
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 15
Dado que a la empresa productora le interesa que se vendan la mayor cantidad de
productos/servicios y dado que la incertidumbre inhibe al distribuidor a solicitar un pedido de
mayor tamaño por miedo a incrementar sus costos de sobreponderación, la empresa
productora puede ofrecer una política de recomprarle (Pr) a distribuidor las unidades que el no
venda a un precio fijo.
Recompra de inventario perecible/obsoleto
Caso 1: μ = 400, σ = 100, Pv = 525, Pa = 410, Pr = 0
�7 = 410 − 0 = 410 �9 = 525 − 410 = 115
�B = �9�< + �9 =
115
410 + 115 = 0,219
0 @ = 0,219 → @ = Φ 0,219 = −0,776
1∗ = -̂ + @/F = 400 − 0,776 × 100
1∗ = 322,4
Caso 2: μ = 400, σ = 100, Pv = 525, Pa = 410, Pr = 50
�7 = 410 − 50 = 360 �9 = 525 − 410 = 115
�B = �9�< + �9 =
115
360 + 115 = 0,242
0 @ = 0,242 → @ = Φ 0,242 = −0,697
1∗ = -̂ + @/F = 400 − 0,697 × 100
1∗ = 330,3
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 16
Considere una tienda de ropa, donde en la actual temporada otoño invierno un chaleco es vendido en
$22.000 a los clientes siendo este importado desde China a un costo de $12.500, la tienda ofrece a sus
vendedores una comisión de un 2,5% del precio de venta a clientes si los vendedores son capaces de
venderlo. El estudio de mercado prevé que la demanda por chalecos distribuirá normal con media μ=555 y
σ = 123. Determine el pedido óptimo de chalecos que debe hacer la tienda al proveedor Chino si no es
posible realizar una liquidación de temporada como también determine el pedido óptimo si la tienda
considera la posibilidad de realizar una liquidación al 50% del valor original de venta donde si se liquida el
vendedor no recibe comisión por venta.
Recompra de inventario perecible/obsoleto (liquidación)
Caso 1: μ = 555, σ = 123
Pv = 22.000, Pa = 12.500,C=2,5% Pl = 0
�7 = 12.500 − 0 = 12.500 �9 = 22.000 − 12.500 − 0,025 · 22.000 = 8.950
�B = �9�< + �9 =
8.950
12.500 + 8.950 = 0,417
0 @ = 0,417 → @ = Φ 0,417 = −0,209
1∗ = -̂ + @/F = 555 − 0,209 · 123
1∗ = 529,3
�7 = 12.500 − 11.000 = 1.500 �9 = 22.000 − 12.500 − 0,025 · 22.000 = 8.950
�B = �9�< + �9 =
8.950
1.500 + 8.950 = 0,856
0 @ = 0,856 → @ = Φ 0,856 = 1,064
1∗ = -̂ + @/F = 555 + 1,064 · 123
1∗ = 685,9
Caso 2: μ = 555, σ = 123
Pv = 22.000, Pa = 12.500,C=2,5%, Pl = 11.000
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 17
La segmentación de clientes es una estrategia muy utilizada por las aerolíneas y hoteles, los
cuales además de tener políticas comerciales de venta anticipada de servicios para reducir la
volatilidad en un segmento de márgenes estrechos, utilizan la estrategia de identificar a sus
clientes para segmentarlos principalmente en dos categorías: Pasajeros que viajan por
motivos de Turismo y pasajeros que viajan por motivos de trabajo en su empresa (Negocios).
El segmento Turista se caracteriza por tener un alto volumen pero es muy sensible al nivel de
precios, es decir, presenta un alto nivel medio en la demanda esperada (μ) pero es muy alta
su variabilidad (σ) y tiene como tendencia una menor predisposición de pago que el segmento
ejecutivo. Por otro lado el segmento Negocios es menos sensible al nivel de precios,
presenta un nivel bajo de demanda esperara pero tiene una baja variabilidad.
Ante esta situación las aerolíneas y hoteles logran identificar con gran eficacia el tipo de
reserva que un cliente está realizando y adecuan sus precios de manera de disponer de
suficientes espacios (asientos/habitaciones) para los clientes ejecutivos y controlar el número
de espacios disponibles a clientes turistas a fin de asegurarse una cantidad mínima que
rentabilice el negocio
Segmentación de clientes y tarifas (Yield management)
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Fuente: Latam Airlines Group Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 18
Segmentación de clientes y tarifas (Yield management)
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 19
Zara, Inditex, tiene por política que las prendas de vestir de una tienda no se trasladan a otra tienda
si un cliente lo solicita. La idea detrás de esta política es forzar al cliente a tomar su decisión de
compra de vestuario en el momento ya que bajo la venta de productos Fast-Fashion fuerzan al
cliente a tomar la decisión en el acto evitando posible cotizaciones entre productos sustitutos o
similares ya que se induce al cliente a pensar de la siguiente manera “Si no lo compro ahora se va a
agotar” o “Si no lo compro ahora la moda va a dejar de existir”.
Zara es la empresa de vestuario líder a nivel mundial, las liquidaciones de inventario y descuentos
asociados en Zara son muy reducidos de manera de evitar que el cliente tenga la percepción
“Prefiero esperar que pase la temporada para comprar con precios de descuento”. La idea de Zara
es evitar a lo mínimo las pérdidas por sobreponderación e inducir al cliente de manera de reducir de
la misma manera lo mínimo las pérdidas asociadas a subponderación con su modelo de Fast-
Fashion Celebrity designer.
Reservas de Avión, Hoteles, Amazon: El sistema revisa el número IP de quien cotiza de manera que
si no hace la compra la primera vez, la próxima vez que vuelva a ingresar a la página no encontrará
los precios reducidos u oferta de la primera vez. El sistema busca evitar que se cotice con las
distintas alternativas de manera de reducir la variabilidad de la demanda de consumidores.
Demanda Instantánea
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 20
Estrategias de acción para mejorar resultados PVP 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 21
En industrias en las cuales los activos fijos son arrendados consecutivamente, en una primera
instancia el realizar una inversión en compra de activo fijo implica analizar cuántos arriendos son
necesarios para pagar la inversión, para ejemplificar esta situación consideremos lo siguiente:
Blockbuster años 90.
El precio de adquirir una película en VHS con los derechos para ser reproducida por el público US$
60 donde el videoclub franquiciado debe de comprarle la película a Blockbuster Internacional. El
video club franquiciado la arrendaba a 3 (US$/arriendo), se necesitan 20 arriendos para recién
recuperar la inversión. El videoclub franquiciado no sabe a ciencia cierta cuántos arriendos es
capaz de realizar por cada película y tiende a inhibirse de comprar más títulos en VHS a
Blockbuster Internacional por temor a no recuperar la inversión.
Nueva política de aprovisionamiento de Blockbuster Internacional. Venderle a los videoclubs los
VHS al costo US$ 40, pero el precio del arriendo sube de 3 a 4 (US$/arriendo) y el US$1
incremental del arriendo es propiedad de Blockbuster Internacional.
Esta medida implicó que Blockbuster incrementara en un 52% su participación de mercado en USA,
ya que sus actuales videoclub franquiciados demandaron una considerable mayor cantidad de
películas al reducirse la incertidumbre de recuperar la inversión ya que de 20 arriendos necesarios,
la cifra bajó a 13, con lo cual los locales afiliados a Blockbuster si bien cobraban más caro que la
competencia, existía mayor variedad de títulos disponiblesy muchos videoclubs no afiliados al ver
que existía más certeza en recuperar la inversión se afiliaron a Blockbuster.
Por el lado de Blockbuster, el hecho de resignar ganancias en la venta de los VHS fue más que
compensado por recibir ese US$ adicional del arriendo de una masa mucho más grande de títulos
que se arriendan
Reciprocidad de Beneficios (Revenue Shareing)
Optimización Clase 21: Optimización Estocástica
Anexo de Ejercicios
Trajes de Baño
Ejercicio propuesto profesor M. Rojas, U. Andes Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 23
Una empresa de retail compra trajes de baño para la temporada de verano. La firma compra sus trajes de
baño desde un proveedor barato desde China, pero solo puede hacer una sola compra por año. La
demanda estimada es en promedio de 5.000 unidades, con una desviación estándar de 1.000 unidades. El
precio de venta es de $20.000 por cada traje de baño, así también el costo para la empresa es de $5.000
por unidad. Asuma que los productos no vendidos se pierden.
a) ¿Cuánto inventario debería importar la firma desde China de modo de maximizar su utilidad
esperada?
b) Suponga que las unidades que no se pueden vender en la temporada se pueden enviar a un outlet de
la firma y venderse con un 40% de descuento del precio de lista original, señale ahora cuál sería su
política óptima de inventario y compárela con la solución de a), explique en palabras, en caso de
existir, porqué es diferente.
c) Considere el escenario de b) pero ahora con un 90% de descuento, ¿qué ocurre con la política de
inventario? Comente.
d) Suponga (basado en el caso de a)) que el proveedor de los trajes de baño está muy interesado en
entrar a Chile y propone un subsidio por unidad vendida a la empresa de retail. Determine cuánto debe
ser el subsidio por unidad que permite el mismo nivel de inventario que en c). Explique si tiene lógica
económica
Trajes de Baño: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 24
�B = �9�< + �9 =
15.000
5.000 + 15.000 = 0,75
0 @ = 0,75 → @ = Φ 0,75 = 0,674
1∗ = -̂ + @/F = 5.000 + 0,674 × 1.000
μ = 5.000, σ = 1.000
Pv = 20.000, Pa = 5.000 
1∗ = 5.674
�7 = 5.000 �9 = 20.000 − 5.000 = 15.000
a) ¿Cuánto inventario debería importar la firma desde China de modo de maximizar su utilidad esperada?
Trajes de Baño: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 25
�B = �9�< + �9 =
15.000
−7.000 + 15.000 = 1,875
0 @ = 1,875 → @ = Φ 1,875 = No existe
μ = 5.000, σ = 1.000
Pv = 20.000, Pa = 5.000, Pliquidacion = 12.000 
�7 = 5.000 − 12.000 = −7.000 �9 = 20.000 − 5.000 = 15.000
b. Suponga que las unidades que no se pueden vender en la temporada se pueden enviar a un outlet de la
firma y venderse con un 40% de descuento del precio de lista original, señale ahora cuál sería su política
óptima de inventario y compárela con la solución de a), explique en palabras, en caso de existir, porqué
es diferente.
Como la razón crítica es mayor a 1 deberíamos pedir una cantidad infinita ya que el costo de
sobreponderar es negativo, pediría todo el inventario que pueda.
Trajes de Baño: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 26
�B = �9�< + �9 =
15.000
3.000 + 15.000 = 0,833
0 @ = 0,833 → @ = Φ 0,833 = 0,967
μ = 5.000, σ = 1.000
Pv = 20.000, Pa = 5.000, Pliquidacion = 2.000 
�7 = 5.000 − 2.000 = 3.000 �9 = 20.000 − 5.000 = 15.000
La cantidad a importar sube de 5.674 a 5.967, esto se debe que al disminuir el costo por sobreponderar
dado la posibilidad de realizar una liquidación, el importador sufre menos por cada unidad no vendida,
con lo cual aumenta su pedido
c) Considere el escenario de b) pero ahora con un 90% de descuento, ¿qué ocurre con la política de
inventario con respecto al escenario descrito en a)? Comente.
1∗ = -̂ + @/F = 5.000 + 0,967 × 1.000
1∗ = 5.967
Trajes de Baño: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 27
�B = �9�< + �9 =
15.000 + I
5.000 + 15.000 + I = 0,833 → I = 10.000
0 @ = 0,833 → @ = Φ 0,833 = 0,967
μ = 5.000, σ = 1.000
Pv = 20.000, Pa = 5.000, Psubsidio = x 
�7 = 5.000 �9 = 20.000 − 5000 + I = 15.000 + I
Para mantener la cantidad de 5.967, es necesario que en vez de realizar una liquidación a un valor de
$2.000 cada traje de baño, el proveedor Chino pague un subsidio de $10.000 por cada unidad, lo cual no
presenta mucha lógica económica ya que el subsidio sería casi 2 veces el valor de venta, con lo cual al
proveedor Chino sería más conveniente recomprar las unidades no vendidas por el cliente en Chile a
$2.000 cada una en vez de entregar un subsidio de $10.000 por cada unidad vendida.
1∗ = -̂ + @/F = 5.000 + 0,967 × 1.000
1∗ = 5.967
d) Suponga (basado en el caso de a) que el proveedor de los trajes de baño está muy interesado en entrar
a Chile y propone un subsidio por unidad vendida a la empresa de retail. Determine cuánto debe ser el
subsidio por unidad que permite el mismo nivel de inventario que en c). Explique si tiene lógica
económica.
Análisis de aumento de variabilidad: Márgenes estrechos
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 28
�B = �9�< + �9 =
75
300 + 75 = 0,20
0 @ = 0,2 → @ = Φ 0,2 = −0,84
1∗ = -̂ + @/F = 350 − 0,84 × 100
Caso 1: μ = 350, σ = 100, Pv = 375, Pa = 300
1∗ = 266
�B = �9�< + �9 =
75
300 + 75 = 0,20
0 @ = 0,2 → @ = Φ 0,2 = −0,84
1∗ = -̂ + @/F = 350 − 0,84 × 190
Caso 2: μ = 350, σ = 190, Pv = 375, Pa = 300
1∗ = 190
N	���*�* ��S� L*). = 266 × 375 = 99.750
 ��*
�* ��S� = 266 × 300 = 79.800
 J
�K���� ��S� L*). = 19.950
N	���*�* ��S� L*). = 190 × 375 = 71,250
 ��*
�* ��S� = 190 × 300 = 57.000
 J
�K���� ��S� L*). = 14.250
�7 = 300 �9 = 375 − 300 = 75 �7 = 300 �9 = 375 − 300 = 75
En industrias con márgenes ajustados (Co > Cu), el aumento de la variabilidad medida implica
que la venta de productos (Q*) es menor por el riesgo a sobreponderar, lo cual acarrea que
las utilidades esperadas sean menores
Análisis de aumento de variabilidad: Márgenes amplios 
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 29
�B = �9�< + �9 =
105
90 + 105 = 0,538
0 @ = 0,538 → @ = Φ 0,538 = 0,095
1∗ = -̂ + @/F = 210 + 0,095 × 70
Caso 3: μ = 210, σ = 70, Pv = 195, Pa = 90
1∗ = 217
�B = �9�< + �9 =
105
90 + 105 = 0,538
0 @ = 0,538 → @ = Φ 0,538 = 0,095
1∗ = -̂ + @/F = 210 + 0,095 × 120
Caso 4: μ = 210, σ = 120, Pv = 195, Pa = 90
1∗ = 221
N	���*�* ��S� L*). = 217 × 195 = 42.315
 ��*
�* ��S� = 217 × 90 = 19.530
 J
�K���� ��S� L*). = 22.785
N	���*�* ��S� L*). = 221 × 195 = 43.095
 ��*
�* ��S� = 221 × 90 = 19.890
 J
�K���� ��S� L*). = 23.205
�7 = 90 �9 = 195 − 90 = 105 �7 = 90 �9 = 195 − 90 = 105
En industrias con márgenes amplios (Cu > Co), el aumento de la variabilidad medida implica
que la venta de productos (Q*) es mayor por el riesgo a subponderar, lo cual acarrea que las
utilidades esperadas sean mayores
Ejercicios propuestos
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 30
Caso 5: μ = 700, σ = 107, Pv = $1.120, Pa = $970
Comisión del vendedor = 3% del Precio de Venta si se realiza la venta.
Proveedor se compromete a recomprar los productos sobrantes a $300 cada uno
�B = �9�< + �9 =
116,4
670 + 116,4 = 0,148
�7 = 970 − 300 = 670 �9 = 1.120 − 1.120(0,03) − 970 = 116,4
0 @ = 0,148 → @ = Φ 0,148 = −1,045
1∗ = -̂ + @/F = 700 − 1,045 × 107
1∗ = 588
Optimización probabilística: Rolling Stones
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 31
Usted se encuentra a cargo de la comercialización de las entradas del próximo recital de los
Rolling Stones (La mejor banda de Classic rock de la historia, no es necesario hacer
otro tipo de análisis, no insista) el 3 de febrero en el estadio nacional para lo cual su
empresa ha de realizar una solicitud de compra de entradas a D&G medios (productora del
evento) para las localidades de cancha ytribuna. D&G medios ha acordado con usted que le
venderá las entradas de cancha y tribuna en $140.000 y $61.000 respectivamente.
Usted ha encargado a MIJ consultores un estudio de demanda para ambas localidades
teniendo como resultado que se espera una distribución normal μ = 5.700, σ = 1.500 para
localidades cancha y μ = 32.000 σ = 2.500 para localidades tribuna.
Con estas cifras en la mano se ha decidido que el precio a público general será de $200.000
para cancha y $90.000 para tribuna.
Determine la cantidad óptima de entradas que debe de solicitarle a D&G medios para
maximizar sus beneficios económicos, y cuánto dinero espera ganar con la venta de
entradas.
Adicionalmente su jefe le ha solicitado realizar un análisis para evaluar una posible venta
anticipada de entradas a un 90% y cómo el precio es más barato MIJ consultores ha
determinado que la demanda por entradas se comportaría de la siguiente manera: cancha
μ=6.100, σ=1.100 y tribuna μ = 39.000 σ = 2.200. Es una buena idea hacer preventa a este
precio con esos datos
Rolling Stones: Análisis NVP
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 32
�B = �9�< + �9 =
60.000
140.000 + 60.00 = 0,300
0 @ = 0,300 → @ = Φ 0,300 = −0,524
1∗ = -̂ + @/F = 5.700 − 0,524 × 1.500
μ = 5.700, σ = 1.500
Pv = 200.000, Pa = 140.000 
1∗ = 4.913
N	���*�* ��S� L*). = 4.913 × 200.000 = 983��
 ��*
�* ��S� = 4.913 × 140.000 = 688��
 J
�K���� ��S� L*). = 295��
�7 = 140.000 
�9 = 200.000 − 140.000 = 60.000
Cancha Tribuna
�B =
�9
�< + �9
=
29.000
61.000 + 29.00
= 0,322
0 @ = 0,322 → @ = Φ 0,322 = −0,461
1∗ = -̂ + @/F = 32.000 − 0,461 × 2.500
μ = 32.000, σ = 2.500
Pv = 90.000, Pa = 61.000 
1∗ = 30.846
N	���*�* ��S� L*). = 30.846 × 90.000 = 2.276��
 ��*
�* ��S� = 30.846 × 61.000 = 1.881��
 J
�K���� ��S� L*). = 894��
�7 = 61.000 
�9 = 90.000 − 61.000 = 29.000
Rolling Stones: Caso preventa
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 33
�B =
�9
�< + �9
=
40.000
140.000 + 40.00
= 0,222
0 @ = 0,222 → @ = Φ 0,222 = −0,765
1∗ = -̂ + @/F = 6.100 − 0,765 × 1.100
μ = 6.100, σ = 1.100
Pv = 180.000, Pa = 140.000 
1∗ = 5.259
N	���*�* ��S� L*). = 5.259 × 180.000 = 947��
 ��*
�* ��S� = 5.259 × 140.000 = 736��
 J
�K���� ��S� L*). = 210 ��
�7 = 140.000 
�9 = 180.000 − 140.000 = 40.000
Preventa Cancha Preventa Tribuna
�B =
�9
�< + �9
=
20.000
61.000 + 20.00
= 0,247
0 @ = 0,247 → @ = Φ 0,247 = −0,684
1∗ = -̂ + @/F = 39.000 − 0,684 × 2.200
μ = 39.000, σ = 2.200
Pv = 81.000, Pa = 61.000 
1∗ = 37.495
N	���*�* ��S� L*). = 37.495 × 81.000 = 3.037��
 ��*
�* ��S� = 37.495 × 61.000 = 2.287��
 J
�K���� ��S� L*). = 750��
�7 = 61.000 �9 = 81.000 − 61.000 = 20.000
Optimización probabilística: Rolling Stones 2
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 34
Ante el certero éxito del recital de los Rolling Stones, otra empresa ha decidido negociar con
D&G Medios la comercialización de entradas pero sólo del segmento Tongue Pit VIP
Premium la cual según precio de lista alcanza los $575.000 para venta a clientes, siendo un
segmento tan exclusivo el estudio de demanda entrega como resultado μ = 500 σ = 120.
D&G Medios le dispondrá de esta entrada a $463.000 y dado lo exclusivo de este segmento
se ha decidido contratar a un grupo de vendedores a los cuales se les pagará un 3% del
valor a clientes como comisión.
Por otro lado ante la perspectiva de tener un riesgo económico tan grande en la
eventualidad de no poder llegar a vender todas las entradas VIP, la empresa estaría
dispuesta de vender aquellas entradas no vendidas durante la mañana del recital en la
entrada del estadio a precio cancha $200.000 para asegurarse la venta aunque sea con
pérdidas ya que al tratarse de la mejor banda de Classic Rock de la historia (cosa que nadie
discute) van a existir de todas maneras fanáticos que si bien no lograron adquirir mediante
los canales regulares una entrada de cancha irán a probar suerte al estadio el día del recital.
Debido al hecho que la entrada tuvo que ser liquidada a última hora en el estadio, se
considera que el vendedor no logró su objetivo, razón por la cual no se le pagará su
comisión.
Rolling Stones 2: Caso entrada VIP comisión y liquidación
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 35
�B =
�9
�< + �9
=
112.000
463.000 + 112.000
= 0,195
0 @ = 0,195 → @ = Φ 0,195 = −0,86
1∗ = -̂ + @/F = 500 − 0,86 × 120
μ = 500, σ = 120
Pv = 575.000, Pa = 463.000 
1∗ = 397
�7 = 463.000 �9 = 575.000 − 463.000 = 112.000
VIP Normal sin comisión ni liquidación VIP Comisión/Liquidación
�B = �9�< + �9 =
94.750
263.000 + 94.750 = 0,265
0 @ = 0,265 → @ = Φ 0,265 = −0,628
1∗ = -̂ + @/F = 500 − 0,628 × 120
μ = 500, σ = 120
Pv = 575.000, Pa = 463.000
Com.=17.250, Pliquida.=200.000 
1∗ = 425
�7 = 463.000 − 200.000 = 263.000 
�9 = 575.000 − 463.000 − 17.250 = 94.750
Optimización probabilística: Seguir a la Roja
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 36
Football&Travel (FT) es una agencia de turismo que se dedica a la venta de paquetes turísticos para
fanáticos del “Deporte Más Hermoso del Mundo” que quieran seguir a sus equipos en partidos fuera de
Chile. En esta oportunidad FT se encuentra vendiendo paquetes turísticos para la próxima Copa
Confederaciones, donde seguir a la selección Chilena durante la fase de grupos cuesta USD $7.500 por
persona, esto incluye pasaje aéreo en clase turista, hospedaje en hotel tres estrellas, y entradas en
categoría media. El costo interno para FT de organizar este paquete turístico alcanza los USD $6.100 por
pasajero, y dada la alta demanda por pasajes, hoteles y entradas, FT debe realizar reservaciones con 120
días de anticipación y pagar por anticipado todos los costos asociados. El estudio de mercado realizado
por FT indica que se espera una demanda normal con media 1.680 y una desviación estándar de 240.
i. Justifique conceptualmente por qué modelaría este problema mediante los conceptos descritos en
clase sobre el Problema del Vendedor de Periódicos (News Vendor Model)
ii. Determine la cantidad de reservaciones que debiese realizar por anticipado FT de manera de
maximizan la utilidad esperada. Indique cuánto serían los beneficios económicos totales en dinero
que espera obtener FT.
iii. Si a última hora FT decidiera realizar una oferta de último minuto por paquetes turísticos que no se
logran vender justo el día antes del debut de la selección Chilena por USD $4.500 a cuánto se espera
que varíe el número de reservaciones que haría con las aerolíneas-hoteles-entradas de manera de
maximizar sus beneficios bajo el criterio del valor esperado
Seguir a la Roja: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 37
i. Justifique conceptualmente por qué modelaría este problema mediante los conceptos descritos en clase
sobre el Problema del Vendedor de Periódicos (News Vendor Model)
1. Debido a que FT enfrenta una demanda incierta modelada a través de una distribución de
probabilidades normal.
2. El producto ofrecido es un servicio con un alto nivel de perecibilidad u obsolescencia, debido al hecho
que una vez terminada la Copa América Centenario será imposible vender ese producto en específico.
3. El hecho de tener que reservar y pagar por anticipado la futura demanda implica que el hecho de no
poder vender un cierto número de paquetes turísticos implica una pérdida, y dado el hecho que el
haber reservado una cantidad inferior de paquetes a los efectivamente solicitados por los clientes se
incurre en una pérdida potencial por no haber satisfecho la totalidad de la demanda.
ii. Determine la cantidad de reservaciones que debiese realizar por anticipado FT de manera de maximizan
la utilidad esperada. Indique cuánto serían los beneficios económicos totales en dinero que espera
obtener FT.
�< = 6.100 �9 = 7.500 − 6.100 = 1.400�\ = 1.4006.100 + 1.400 = 0,187
�\ = 0 @ = 0,187 → @ = ] 0,187 = −0,890
Seguir a la Roja: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 38
ii. Determine la cantidad de reservaciones que debiese realizar por anticipado FT de manera de maximizan
la utilidad esperada. Indique cuánto serían los beneficios económicos totales en dinero que espera
obtener FT.
1∗ = - + @/ = 1.680 − 0.890 · 240 = 1.466
N	���*�*� �� ��S� = 1.466 · 7.500 = 10.995.000 
 ��*
� �� ��S� = 1.466 · 6.100 = 8.942.600
 J
�K���� = 1.466 · 1.400 = 2.052.400
iii. Si a última hora FT decidiera realizar una oferta de último minuto por paquetes turísticos que no se
logran vender justo el día antes del debut de la selección Chilena por USD $4.500 a cuánto se espera
que varíe el número de reservaciones que haría con las aerolíneas-hoteles-entradas de manera de
maximizar sus beneficios bajo el criterio del valor esperado
�< = 6.100 − 4.500 = 1.600 �9 = 7.500 − 6.100 = 1.400 �\ = 1.4001.600 + 1.400 = 0,467
�\ = 0 @ = 0,467 → @ = ] 0,467 = −0,084
1∗ = - + @/ = 1.680 − 0.084 · 240 = 1.660
Seguir a la Roja 2
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 39
Un análisis más detallado de la demanda ha evidenciado que existen 2 tipos de potenciales clientes, los
cuales se segmentan de acuerdo a la disposición a pagar y calidad del servicio entregado, razón por la
cual se estaría decidiendo ofrecer un servicio Clase A regular que incluye pasaje aéreo en clase turista en
vuelo con 2 escalas, alojamiento en hotel 2 estrellas y entradas en localidad galería, y un servicio
Categoría VIP que incluye pasaje aéreo en clase turista vuelo sin escalas, alojamiento en hotel 4 estrellas,
y entradas en categoría preferencial. El precio del paquete Clase A alcanza los USD $6.500, mientras que
el servicio Categoría VIP alcanza los USD $11.000. Por su parte la demanda esperada del paquete Clase A
distribuye Normal con media 1.100 y una desviación estándar de 300, mientras que el servicio de
Categoría VIP presenta una media de 580 con una desviación estándar de 110. Finalmente, los costos
asociados a los programas turísticos alcanzan los USD $5.700 y USD$ 8.900 para las Categorías A y VIP
respectivamente. En base a lo anterior se pide lo siguiente:
iv. Qué tipo de estrategia comercial está realizando FT con la posibilidad de ofrecer 2 tipos de paquetes
turísticos.
v. Determine la cantidad de reservaciones que debiese realizar por anticipado FT de manera de maximizan
la utilidad esperada para paquetes Clase A y VIP por separado. Indique cuánto serían los beneficios
económicos totales en dinero que espera obtener FT para cada categoría de paquete turístico.
Seguir a la Roja 2: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 40
iv. Qué tipo de estrategia comercial está realizando FT con la posibilidad de ofrecer 2 tipos de paquetes
turísticos.
FT se encuentra aplicando una estrategia de Yield Management, donde la demanda por paquetes turísticos
se ha dividido en dos segmentos de clientes conforme a la disposición a pagar por tipo de paquete
turístico, lo cual redunda en que la distribución de probabilidades primitiva se subdivide en 2 distribuciones
de probabilidades acorde a las condiciones de cada segmento objetivo.
v. Determine la cantidad de reservaciones que debiese realizar por anticipado FT de manera de maximizan
la utilidad esperada para paquetes Clase A y VIP por separado. Indique cuánto serían los beneficios
económicos totales en dinero que espera obtener FT para cada categoría de paquete turístico.
�<^ = 5.700 �9^ = 6.500 − 5.700 = 800 �\^ = 800800 + 5.700 = 0,123
�<_`a = 8.900 �9_`a = 11.000 − 8.900 = 2.100 �\_`a = 2.1002.100 + 8.900 = 0,191
�\^ = 0 @� = 0,123 → @� = ] 0,123 = −1,160
�\_`a = 0 @O�) = 0,191 → @O�) = ] 0,191 = −0,875
Seguir a la Roja 2: Solución
Optimización, Optimización Estocástica, Mayo-2018 41
v. Determine la cantidad de reservaciones que debiese realizar por anticipado FT de manera de maximizan
la utilidad esperada para paquetes Clase A y VIP por separado. Indique cuánto serían los beneficios
económicos totales en dinero que espera obtener FT para cada categoría de paquete turístico.
1^
∗ = -^ + @̂ /̂ = 1.110 − 1,16 · 300 = 752
1_`a∗ = -_`a + @_`a/_`a = 580 − 0,875 · 110 = 484