Ayudantía-6-probs-2021-1

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Ayudantía 6
VIERNES 07 DE MAYO
PROBABILIDADES 2021-01
Ejercicios
Ejercicio 1
En el diagrama adjunto, una persona 𝑃0 vive el punto 0, su amigo 𝑃𝐴 vive 
en el punto A y su amigo 𝑃𝐵 vive en el punto B. 𝑃0 lanza una moneda 
honesta para decidir a cuál de sus dos amigos (𝑃𝐴 o 𝑃𝐵) visita primero. Si 
𝑃0 está en el punto A, entonces vuelve a 0 con probabilidad 3/5, o visita 
a 𝑃𝐵 con probabilidad 2/5. Alternativamente, si 𝑃0 está en el punto B, 
entonces vuelve a 0 con probabilidad 3/5, o visita a 𝑃𝐴 con probabilidad 
2/5. Así, 𝑃0 continúa su secuencia de visitas hasta que regresa a su casa 
(punto 0), donde la secuencia de visitas termina.
A) Sea 𝜒 : n° de visitas que 𝑃0 realiza antes de volver a su casa. 
Obtenga la función de masa (o de frecuencia) de probabilidad de 𝜒.
3/5 3/5
2/5
1/2 1/2
Ejercicios
Ejercicio 1
A) Sea 𝜒 : n° de visitas que 𝑃0 realiza antes de volver a su casa. Obtenga la función de masa (o de frecuencia) de 
probabilidad de 𝜒.
𝑅𝑒𝑐 𝜒 = 1, 2, 3,…
En el instante 𝑡 = 0, 𝑃0 está en el punto 0. Para cada 𝑡 ≥ 1, defina los eventos:
𝐴𝑡: “𝑃0 visita a 𝑃𝐴 en el instante t”
𝐵𝑡 : “𝑃0 visita a 𝑃𝐵 en el instante t”
𝑂𝑡 : “𝑃0 regresa a su casa en el instante t”.
ℙ 𝑋 = 1 = ℙ 𝐴1 ∩ 𝑂2 + ℙ(𝐵1 ∩ 𝑂2)
= ℙ 𝑂2 𝐴1 ∗ ℙ 𝐴1 + ℙ 𝑂2 𝐵1 ∗ ℙ 𝐵1
=
3
5
∗
1
2
+
3
5
∗
1
2
=
3
5
3/5 3/5
2/5
Ejercicios
Ejercicio 1
A) Sea 𝜒 : n° de visitas que 𝑃0 realiza antes de volver a su casa. Obtenga la función de masa (o de frecuencia) de 
probabilidad de 𝜒.
ℙ 𝑋 = 2 = ℙ 𝐴1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝑂3 + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝑂3)
= ℙ 𝑂3 𝐵2 ∩ 𝐴1 ∗ ℙ 𝐵2|𝐴1 ∗ ℙ 𝐴1 + ℙ 𝑂3 𝐴2 ∩ 𝐵1 ∗ ℙ 𝐴2|𝐵1 ∗ ℙ 𝐵1
= 
3
5
∗
2
5
∗
1
2
+
3
5
∗
2
5
∗
1
2
=
2
5
∗
3
5
ℙ 𝑋 = 3 =
2
5
∗
2
5
∗
3
5
=
2
5
2
∗
3
5
ℙ 𝑋 = 4 =
2
5
∗
2
5
∗
2
5
∗
3
5
=
2
5
3
∗
3
5
…
ℙ 𝑋 = 𝜒 =
2
5
𝜒−1
∗
3
5
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜒 ∈ 1, 2, 3,… ,𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℙ 𝑋 = 𝜒 = 0 𝑠𝑖 𝜒 ∉ 1, 2, 3,…
3/5 3/5
2/5
Ejercicios
Ejercicio 1
B) Sea Y : n° de segmentos de recta que 𝑃0 recorre, incluyendo aquel que parte de 0 y aquel que finaliza en 0, 
i.e. cuando 𝑃0 vuelve a su casa. Obtenga la función de masa (o de frecuencia) de probabilidad de Y.
𝑅𝑒𝑐 𝑌 = 2, 3, 4,…
Note que 1 ∉ Rec(Y) pues 𝑃0 debe recorrer dos segmentos de recta: aquel que parte desde 0 y aquel que 
termina en 0, i.e. cuando 𝑃0 regresa a su casa.
ℙ 𝑌 = 2 =
1
2
∗
3
5
+
1
2
∗
3
5
=
3
5
ℙ 𝑌 = 3 =
1
2
∗
2
5
∗
3
5
+
1
2
∗
2
5
∗
3
5
=
2
5
∗
3
5
ℙ 𝑌 = 4 =
2
5
∗
2
5
∗
3
5
=
2
5
2
∗
3
5
…
ℙ 𝑌 = 𝑦 =
2
5
𝑦−2
∗
3
5
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑦 ∈ 2, 3, 4,… ,𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℙ 𝑌 = 𝑦 = 0 𝑠𝑖 𝑦 ∉ {2, 3, 4,… }
3/5 3/5
2/5
Ejercicios
C) Sea Z: n° de veces que 𝑃0 visita a 𝑃𝐵 en su secuencia de visitas antes de volver a su casa. Obtenga la función de masa (o de 
frecuencia) de probabilidad de Z.
𝑅𝑒𝑐 𝑍 = 0,1, 2, 3, …
En 𝑡 = 0, 𝑃0 está en el punto 0. Para 𝑡 ≥ 1 , defina los eventos:
𝐴𝑡: “𝑃0 visita a 𝑃𝐴 en el instante t”
𝐵𝑡 : “𝑃0 visita a 𝑃𝐵 en el instante t”
𝑂𝑡 : “𝑃0 regresa a su casa en el instante t”.
ℙ 𝑍 = 0 = ℙ 𝐴1 ∩ 𝑂2 = ℙ 𝑂2 𝐴1 ∗ ℙ 𝐴1 =
3
5
∗
1
2
=
3
10
ℙ 𝑍 = 1 = ℙ(𝐵1∩ 𝑂2) + ℙ(𝐴1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝑂3) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝑂3) + ℙ(𝐴1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝑂4)
= ℙ 𝑂2 𝐵1 ∗ ℙ 𝐵1 + ℙ 03|𝐵2 ∩ 𝐴1 ∗ ℙ 𝐵2 𝐴1 ∗ℙ 𝐴1 + ℙ 03|𝐴2 ∩ 𝐵1 ∗ ℙ 𝐴2 𝐵1 ∗ ℙ 𝐵1 + ℙ 04|𝐴3 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐴1 ∗
ℙ 𝐴3|𝐵2 ∩ 𝐴1 ∗ ℙ 𝐵2 𝐴1 ∗ ℙ 𝐴1
=
3
5
∗
1
2
+
3
5
∗
2
5
∗
1
2
+
3
5
∗
2
5
∗
1
2
+
3
5
∗
2
5
∗
2
5
∗
1
2
=
3
5
∗
1
2
+ 2 ∗
3
5
∗
2
5
∗
1
2
+
3
5
∗
2
5
2
∗
1
2
3/5 3/5
2/5
Ejercicios
C) Sea Z: n° de veces que 𝑃0 visita a 𝑃𝐵 en su secuencia de visitas antes de volver a su casa. Obtenga la función de masa (o de 
frecuencia) de probabilidad de Z.
ℙ 𝑍 = 2 = ℙ(𝐵1∩ 𝐴2 ∩ 𝐵3∩ 𝑂4) + ℙ(𝐴1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝐵4 ∩ 𝑂5) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐴4 ∩ 𝑂5) +
ℙ 𝐴1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝐵4 ∩ 𝐴5 ∩ 𝑂6 =
1
2
∗
2
5
2
∗
3
5
+ 2 ∗
1
2
∗
2
5
3
∗
3
5
+
1
2
∗
2
5
4
∗
3
5
ℙ 𝑍 = 3 =
1
2
∗
2
5
4
∗
3
5
+ 2 ∗
1
2
∗
2
5
5
∗
3
5
+
1
2
∗
2
5
6
∗
3
5
ℙ 𝑍 = 4 =
1
2
∗
2
5
6
∗
3
5
+ 2 ∗
1
2
∗
2
5
7
∗
3
5
+
1
2
∗
2
5
8
∗
3
5
…
ℙ 𝑍 = 𝑧 =
1
2
∗
2
5
2∗𝑧−2
∗
3
5
+ 2 ∗
1
2
∗
2
5
2∗𝑧−1
∗
3
5
+
1
2
∗
2
5
2∗𝑧
∗
3
5
=
2
5
2∗𝑧−2
∗
147
250
Para todo 𝑧 ∈ {1, 2, 3,… }, mientras que ℙ 𝑍 = 𝑧 = 0 si 𝑧 ∉ {0, 1, 2, 3, … }
3/5 3/5
2/5
Ejercicios
Ejercicio 2
Suponga que, para cada visitante a una tienda, hay dos posibilidades: compra algún producto de la tienda o no compra nada. 
Sea α la probabilidad que un visitante dado compre algún producto de la tienda, con 0 < α < 1. Suponga que visitantes llegan 
sucesivamente a la tienda y que cada visitante decide si compra o no en la tienda independientemente de los demás. Calcule la
probabilidad que:
A) La primera compra la realice el quinto visitante de la tienda
Sea T: n° de visitantes necesarios hasta observar el primero que compra en la tienda.
𝑅𝑒𝑐 𝑇 = 1, 2, 3,…
Para cada i ∈ 1, 2, 3,… , defina el evento:
𝐶𝑖: "el visitante i compra en la tienda“.
ℙ 𝑇 = 5 = ℙ 𝐶1
𝐶 ∩ 𝐶2
𝐶 ∩ 𝐶3
𝐶 ∩ 𝐶4
𝐶 ∩ 𝐶5
= ℙ(𝐶1
𝐶)*ℙ(𝐶2
𝐶)*ℙ(𝐶3
𝐶)*ℙ(𝐶4
𝐶)* ℙ(𝐶5) = (1 − 𝛼)
4∗ 𝛼
Ejercicios
Ejercicio 2
B) La tercera compra la realice el noveno visitante a la tienda
Sea W: n° de visitantes necesarios hasta observar el tercero que compra en la tienda.
𝑅𝑒𝑐 𝑊 = 3, 4, 5, 6,…
ℙ 𝑊 = 9 = 9−1
3−1
∗ 1 − 𝛼 9−3 ∗ 𝛼3
Donde el primer factor es el número de formas de elegir los (3-1) = 2 visitantes quienes compran en la tienda 
entre los (9-1) = 8 visitantes que preceden al tercero quien compra en la tienda. 
Ayuda memoria combinatoria: 
"n sobre x": el n° de formas diferentes de 
elegir x objetos de un total de n objetos 
distinguibles, tales que el orden no 
importa y la extracción es sin reemplazo.
Ejercicios
Ejercicio 3
Una tienda de electrónica vende unidades de memoria flash, ya sea con 1 GB, 2 GB, 4 GB, 8 GB o 16 GB de memoria. Si Y 
es la variable aleatoria cantidad de memoria de una unidad elegida aleatoriamente, en GB, suponga que la distribución 
de probabilidad de Y es:
A) Obtenga la función de distribución acumulada de Y
Ejercicios
Ejercicio 3
A) Obtenga la función de distribución acumulada de Y
Si 𝑦 < 1, entonces 𝐹𝑌 𝑦 = ℙ 𝑌 ≤ 𝑦 = 0
Si 1 ≤ 𝑦 < 2, entonces 𝐹𝑌 𝑦 = ℙ 𝑌 ≤ 𝑦 = 0 + 0.05 = 0.05
Si 2 ≤ 𝑦 < 4, entonces 𝐹𝑌 𝑦 = ℙ 𝑌 ≤ 𝑦 = 0.05 + 0.1 = 0.15
Si 4 ≤ 𝑦 < 8, entonces 𝐹𝑌 𝑦 = ℙ 𝑌 ≤ 𝑦 = 0.15 + 0.35= 0.5
Si 8 ≤ 𝑦 < 16, entonces 𝐹𝑌 𝑦 = ℙ 𝑌 ≤ 𝑦 = 0.5 + 0.4 = 0.9
Si 𝑦 ≥ 16, entonces 𝐹𝑌 𝑦 = ℙ 𝑌 ≤ 𝑦 = 0.9 + 0.1 = 1
Ejercicios
El gráfico de 𝐹𝑌 𝑦 =, para todo 𝑦 ∈ ℝ es: 
Ejercicios
Ejercicio 3
B) Calcule ℙ Y < 8.5 Y > 2.5
ℙ(𝑌<8.5 ∩ 𝑌>2.5)
ℙ(𝑌>2.5)
=
ℙ(2.5 < 𝑌 < 8.5)
1 −ℙ(𝑌 ≤ 2.5)
=
ℙ 𝑌<8.5 −ℙ 𝑌≤2.5
1 −ℙ(𝑌 ≤ 2.5)
=
ℙ 𝑌≤8 −ℙ 𝑌≤2
1 −ℙ(𝑌 ≤ 2)
=
0.9 −0.15
1 −0.15
= 0.8823
𝐴𝑦𝑢𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙: 𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)