Ayudantía 7-2021-01

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Probabilidades 
Primer Semestre 2021 
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Ayudantía 7 
 
Ejercicio 1: problema 49, sección 3.4, página 123 
Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de 
mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “de segunda”. 
X = Nº de copas “de segunda” entre las seis copas elegidas. 
Rec(X) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} 
X ~ Bin(n = 6; p = 0.1) 
a) Entre seis copas al azar, ¿Qué tan probable es que solo una sea “de segunda”? 
P(X = 1) = dbinom(x=1, size=6, prob=0.1) 
= 0.354294 
 
b) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿Qué tan probable es que al menos dos sean 
“de segunda”? 
P(X ≥ 2) = 1 – P(X ≤ 1) 
= 1 – pbinom(q = 1, size = 6, prob = 0.1) 
 = 0.114265 
 
c) Si las copas se examinan una por una, ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 
cinco deban ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean de segunda? 
 
Y = Nº de copas a examinar hasta encontrar la cuarta copa que no sea “de segunda”. 
Rec(Y) = {4; 5; 6; …} 
 
P(Y ≤ 5) = P(Y = 4) + P(Y = 5) 
 = 0.94 + 4 * 0.1 * 0.94 
 = 0.91854 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 2: problema inventado, sección 3.3 
Autos llegan a un puesto de vacunación, sean: 
T = tiempo para atender a un auto. 
N = Nº de personas en un auto que llegan a vacunarse. 
C(N) = costo de vacunar a las n personas que llegan en un auto. 
N 1 2 3 4 5 
P(n) 0.1 0.2 0.35 0.3 0.05 
T(min) 1 2.5 4 5.5 7.5 
a) Calcule el Nº esperado de personas a vacunar por auto: 
E(N) = 1 * 0.1 + 2 * 0.2 + 3 * 0.35 + 4 * 0.3 + 5 * 0.05 
 = 3 
 
b) Calcule la varianza y la desviación estándar de N: 
Var(N) = E(N2) - (E(N))2 
 = 12 * 0.1 + 22 * 0.2 + 32 * 0.35 + 42 * 0.3 + 52 * 0.05 – 32 
 = 10.1 – 9 
 = 1.1 
 
DE(N) = √𝑉𝑎𝑟(𝑁) 
 = √1.1 
 = 1.04881 
 
c) Calcule E(T): 
E(T) = 1 * 0.1 + 2.5 * 0.2 + 4 * 0.35 + 5.5 * 0.3 + 7.5 * 0.05 
 = 4.025 
 
d) Calcule Var(T) y DE(T): 
Var(T) = 12 * 0.1 + 2.52 * 0.2 + 42 * 0.35 + 5.52 * 0.3 + 7.52 * 0.05 – 4.0252 
 = 18.8375 – 16.200625 
 = 2.369 
DE(T) = √𝑉𝑎𝑟(𝑇) 
 = √2.369 
 = 1.539 
 
 
 
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El costo de vacunar las n personas en un auto está definido por: 
C(N) = 3N + 4 
e) Calcule E(C(N)): 
E(C(N)) = E(3N + 4) 
 = 3 * E(N) + 4 
 = 3 * 3 + 4 
 = 13 
 
f) Calcule la varianza y la desviación estándar del costo: 
Var(C) = Var(3N + 4) 
 = 32 * Var(N) 
 = 9 * 1.1 
 = 9.9 
DE(C) = √𝑉𝑎𝑟(𝐶) 
 = √9.9 
 = 3.1464 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 3: problema 66, sección 3.4, página 125 
Una limusina del aeropuerto puede transportar hasta cuatro pasajeros en cualquier viaje. 
La compañía aceptara hasta máximo seis reservaciones por viaje y cada pasajero debe 
tener reservación. 
Según registros previos, 20% de quienes reservan no se presentan para el viaje. 
Responda las siguientes preguntas, suponiendo independencia en los casos en que sea 
apropiado. 
Suponiendo que el Nº de cupos disponibles en la limusina depende de cuantos individuos 
se presentan para el viaje, dado que reservan. 
W: Nº de individuos quienes se presentan para el viaje entre las seis reservas. 
Rec(W) = {0; 1; 2; …; 6} 
W ~ Bin(n = 6; p = 0.8) 
 
a) Si se hacen seis reservaciones, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un individuo 
con reservación no pueda ser acomodado en el viaje? 
P(W ≥ 5) = 1 – P(W ≤ 4) 
 = 1 – pbinom(q = 4, size = 6, prob = 0.8) 
 = 0.65536 
 
b) ¿Cuál es el valor esperado de asientos disponibles cuando un viaje parte? 
Y: Nº de asientos disponibles cuando la limusina parte. 
Rec(Y) = {0; 1; 2; 3; 4} 
P(Y = 0) = P(W ≥ 4) = 1 – P(W ≤ 3) 
 = 1 – pbinom(q = 3, size = 6, prob = 0.8) 
 = 0.90112 
P(Y = 1) = P(W = 3) 
 = dbinom(x = 3, size = 6, prob = 0.8) 
 = 0.08192 
P(Y = 2) = P(W = 2) 
 = dbinom(x = 2, size = 6, prob = 0.8) 
 = 0.01536 
P(Y = 3) = P(W = 1) 
 = dbinom(x = 1, size = 6, prob = 0.8) 
 = 0.001536 
P(Y = 4) = P(W = 0) 
 = dbinom(x = 0, size = 6, prob = 0.8) 
 = 6.4 * 10-5 
E(Y) = 0 * 0.90112 + 1 * 0.08192 + 2 * 0.01536 + 3 * 0.001536 + 4 * 6.4 * 10-5 
 = 0.117504 
 
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Suponga que en la siguiente tabla se da la distribución de probabilidad del número de 
reservaciones: 
Nº de reservas 
3 4 5 6 
Probabilidad 
0.1 0.2 0.3 0.4 
Sea X el número de pasajeros en un viaje seleccionado al azar, obtenga la función masa 
de probabilidad de X. 
N: Nº de individuos quienes se presentan para el viaje. 
Rj: “hay exactamente j reservas”, j = {3; 4; 5; 6} 
N│Rj ~ Bin(n = j; p = 0.8) 
c) Sea X el número de pasajeros en un viaje seleccionado al azar, obtenga la función masa 
de probabilidad de X. 
X: Nº de pasajeros en un viaje en limusina elegido al azar. 
Rec(X) = {0; 1; 2; 3; 4} 
P(X = 0) = P(N = 0) 
= P(N = 0│R3) * P(R3) + P(N = 0│R4) * P(R4) + P(N = 0│R5) * P(R5) 
+ P(N = 0│R6) * P(R6) 
= dbinom(x = 0, size = 3, prob = 0.8) * 0.1 + 
 dbinom(x = 0, size = 4, prob = 0.8) * 0.2 + 
 dbinom(x = 0, size = 5, prob = 0.8) * 0.3 + 
 dbinom(x = 0, size = 6, prob = 0.8) * 0.4 
= 0.0012416 
P(X = 1) = P(N = 1) 
= P(N = 1│R3) * P(R3) + P(N = 1│R4) * P(R4) + P(N = 1│R5) * P(R5) 
+ P(N = 1│R6) * P(R6) 
= dbinom(x = 1, size = 3, prob = 0.8) * 0.1 + 
 dbinom(x = 1, size = 4, prob = 0.8) * 0.2 + 
 dbinom(x = 1, size = 5, prob = 0.8) * 0.3 + 
 dbinom(x = 1, size = 6, prob = 0.8) * 0.4 
= 0.0172544 
P(X = 2) = P(N = 2) 
= P(N = 2│R3) * P(R3) + P(N = 2│R4) * P(R4) + P(N = 2│R5) * P(R5) 
+ P(N = 2│R6) * P(R6) 
= dbinom(x = 2, size = 3, prob = 0.8) * 0.1 + 
 dbinom(x = 2, size = 4, prob = 0.8) * 0.2 + 
 dbinom(x = 2, size = 5, prob = 0.8) * 0.3 + 
 dbinom(x = 2, size = 6, prob = 0.8) * 0.4 
= 0.090624 
 
 
 
 
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P(X = 3) = P(N = 3) 
= P(N = 3│R3) * P(R3) + P(N = 3│R4) * P(R4) + P(N = 3│R5) * P(R5) 
+ P(N = 3│R6) * P(R6) 
= dbinom(x = 3, size = 3, prob = 0.8) * 0.1 + 
 dbinom(x = 3, size = 4, prob = 0.8) * 0.2 + 
 dbinom(x = 3, size = 5, prob = 0.8) * 0.3 + 
 dbinom(x = 3, size = 6, prob = 0.8) * 0.4 
= 0.227328 
P(X = 4) = P(N ≥ 4) 
= P(N ≥ 4│R4) * P(R4) + P(N ≥ 4│R5) * P(R5) + P(N ≥ 4│R6) * P(R6) 
= (1 - pbinom(q = 3, size = 4, prob = 0.8)) * 0.2 + 
 (1 - pbinom(q = 3, size = 5, prob = 0.8)) * 0.3 + 
 (1 - pbinom(q = 3, size = 6, prob = 0.8)) * 0.4 
= 0.663552 
 
P(X = 0) = 0.0012416 
P(X = 1) = 0.0172544 
P(X = 2) = 0.090624 
P(X = 3) = 0.227328 
P(X = 4) = 0.663552 
P(X = x) = 0, para todo x que no pertenece a {0; 1; 2; 3; 4} 
Note que P(X = 0) + … + P(X = 4) = 1