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Ayudant́ıa 9 - Probabilidades
10 de junio de 2021
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 1 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
a)
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 2 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
b)
I = (Área triángulo izquierdo)+
I = + (Área triángulo derecho)
I =
(5 � 0) � 1=5
2
+
(10 � 5) � 1=5
2
I =
1
2
+
1
2
= 1.
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 3 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
c)
P(Y � 3) =
Z 3
0
fY (y) dy
P(Y � 3) =
Z 3
0
y
25
dy
P(Y � 3) =
�
y 2
2 � 25
������
y=3
y=0
= 0:18
Equivalentemente,
P(Y � 3) = (3 � 0) � 3=25
2
= 0:18
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 4 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
d)
P(Y � 8) =
Z 8
0
fY (y) dy
P(Y � 8) = 1
2
+
Z 8
5
�
2
5
�
y
25
�
dy
P(Y � 8) = 1
2
+
�
2 � 8
5
�
82
2 � 25
P(Y � 8) = �
�
2 � 5
5
�
52
2 � 25
��
P(Y � 8) = 0:92.
Equivalentemente,
P(Y � 8) = 1 � (10 � 8) � (2=5 � 8=25)
2
P(Y � 8) = 1 � 2
25
= 0:92.
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 5 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
e)
P(3 � Y � 8) = 1�
�
(Área triángulo izq.)+
P(3 � Y ) = + (Área triángulo der.)
�
P(3 � Y ) = 1�
�
3 � 3=25
2
+
2 � (2=5� 8=25)
2
�
P(3 � Y ) = 0:74:
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 6 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
f)
P(fY < 2g[fY > 6g) = P(Y < 2) +P(Y > 6)
P(Y < 2) =
2 � 2=25
2
+
(10� 6) � (2=5� 6=25)
2
P(Y < 2) =
2
25
+
8
25
= 0:4.
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 7 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
f)
E(Y ) =
Z 5
0
y � y
25
dy +
Z 10
5
y �
�
2
5
� y
25
�
dy
E(Y ) =
Z 5
0
y2
25
dy +
Z 10
5
�
2 � y
5
� y
2
25
�
dy
E(Y ) =
�
y3
3 � 25
�����
y=5
y=0
+
�
2 � y2
2 � 5 �
y3
3 � 25
�����
y=10
y=5
E(Y ) =
53
3 � 25 +
�
2 � 102
2 � 5 �
103
3 � 25
E(Y ) =�
�
2 � 52
2 � 5 �
53
3 � 25
��
= 5.
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 8 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
f)
E(Y 2) =
Z 5
0
y2 � y
25
dy +
Z 10
5
y2 �
�
2
5
� y
25
�
dy
E(Y ) =
Z 5
0
y3
25
dy +
Z 10
5
�
2 � y2
5
� y
3
25
�
dy
E(Y ) =
�
y4
4 � 25
�����
y=5
y=0
+
�
2 � y3
3 � 5 �
y4
4 � 25
�����
y=10
y=5
E(Y ) =
54
4 � 25 +
�
2 � 103
3 � 5 �
104
4 � 25
E(Y ) =�
�
2 � 53
3 � 5 �
54
4 � 25
��
= 29:16667
Var(Y ) = E(Y 2)� (E(Y ))2
Var(Y ) = 29:16667� 52 = 4:16667.
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 9 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
g)
Note que la mediana de Y es �(1=2) = 5.
Si 0 � p < 1=2, entonces �(p) satisface:
p = FY (�(p)) =
Z
�(p)
0
y
25
dy
p =
�
y2
2 � 25
�����
y=�(p)
y=0
=
�(p)2
50
.
Por tanto, si 0 � p < 1=2, �(p) = p50 � p.
Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 10 / 12
fY (y) =
8<
:
y=25 si 0 � y < 5
2=5� y=25 si 5 � y < 10
0 en otro caso.
g)
Si 1=2 � p � 1, entonces �(p) satisface:
p = FY (�(p)) =
1
2
+
Z
�(p)
5
�
2
5
� y
25
�
dy
p = 1� (10� �(p)) � (2=5� �(p)=25)
2
p = 1� 1
2
�
�
2� �(p)
5
�2
)
�
2� �(p)
5
�2
= 2 � (1� p)
) 2� �(p)
5
=
p
2 � (1� p)
) �(p) = 5 �
�
2�
p
2 � (1� p)
�
,
si 1=2 < p � 1.
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Ayudant́ıa 9 - Probabilidades 10 de junio de 2021 12 / 12