Clase 21 Enunciado

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
PRIMER SEMESTRE 2021
CLASE 21 / 08-JUNIO-2021 / PROBABILIDADES
P1. [Basado en el ejercicio 4 - Cap 4 texto guía]
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad:
fX(x) =
{
k · x · e−x2/200 si x > 0
0 si x ≤ 0,
donde k es una constante.
a) Muestre que k = 1/100.
b) Calcule la probabilidad que X
i) sea al menos 25. R: 0.04393693.
ii) esté entre 10 y 30. R: 0.5954217.
c) Suponga que el tiempo (en min) que una persona permanece en una tienda hasta
comprar un producto es una variable aleatoria continua con la misma función de
densidad de X. Suponga que 10 personas ingresan simultáneamente a esta tienda
y que sus tiempos de permanencia en la tienda son independientes entre sí. ¾Cuál
es la probabilidad que al menos tres personas permanezcan más de 20 min en la
tienda hasta comprar un producto? R: 0.1432451.
P2. Suponga que el tiempo, en minutos, que un individuo puede estar sin respirar bajo el
agua es una variable aleatoria continua T cuya función de densidad es fT (t) = e
−t si
t ≥ 0, mientras que fT (t) = 0 si t < 0.
a) Calcule la probabilidad que un individuo permanezca sin respirar bajo el agua entre
20 y 60 segundos. R: 0.3486519.
b) Determine el valor de t0, con t0 > 0, tal que la probabilidad que un individuo dado
esté al menos t0 minutos sin respirar bajo el agua sea 0.25. R: 1.386294.
c) En una prueba para seleccionar buzos, Ud. registra el tiempo que cada postulante
puede permanecer bajo el agua. Cada postulante tiene sólo un intento. Para pasar
la prueba, el postulante debe estar más de dos minutos bajo el agua. En otro caso,
falla. Suponga que los tiempos de permanencia bajo el agua son independientes
entre postulantes y que los registros son sucesivos. El proceso �naliza cuando Ud.
observa al tercer postulante que pasa la prueba. Calcule la probabilidad que el
proceso �nalice con el quinto postulante. R: 0.01111936.
P3. [Ejercicio 22 - Cap 4 texto guía]
La demanda semanal de gas propano, en miles de galones, de una instalación particular
es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad
fX(x) =

2 ·
(
1− 1
x2
)
si 1 < x < 2
0 en otro caso.
a) Obtenga y gra�que la función de distribución acumulada de X. R: i) FX(x) = 0
si x ≤ 1, ii) FX(x) = 1 si x ≥ 2 y iii) FX(x) = 2 · (x+ 1/x)− 4 si 1 < x < 2.
b) Obtenga una expresión para el (100 · p)o percentil de X, con 0 ≤ p ≤ 1.
R: η(p) =
(
p+ 4 +
√
p2 + 8 · p
)
/4.
c) Calcule E(X) y Var(X). R: E(X) = 1.613706 y Var(X) = 0.06262078.
d) Si 1500 galones están en existencia al principio de la semana y no hay nuevos
suministros durante la semana, ¾cuál es el número esperado de galones que queden
al �nal de la semana? R: 0.06093022 · 1000 = 60.93022 galones.