Clase 22 Enunciado

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
PRIMER SEMESTRE 2021
CLASE 22 / 10-JUNIO-2021 / PROBABILIDADES
P1. [Ejercicio 22 - Cap 4 texto guía]
La demanda semanal de gas propano, en miles de galones, de una instalación particular
es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad
fX(x) =

2 ·
(
1− 1
x2
)
si 1 < x < 2
0 en otro caso.
a) Obtenga y gra�que la función de distribución acumulada de X. R: i) FX(x) = 0
si x ≤ 1, ii) FX(x) = 1 si x ≥ 2 y iii) FX(x) = 2 · (x+ 1/x)− 4 si 1 < x < 2.
b) Obtenga una expresión para el (100 · p)o percentil de X, con 0 ≤ p ≤ 1.
R: η(p) =
(
p+ 4 +
√
p2 + 8 · p
)
/4.
c) Calcule E(X) y Var(X). R: E(X) = 1.613706 y Var(X) = 0.06262078.
d) Si 1500 galones están en existencia al principio de la semana y no hay nuevos
suministros durante la semana, ¾cuál es el número esperado de galones que queden
al �nal de la semana? R: 0.06093022 · 1000 = 60.93022 galones.
P2. Considere una carretera de longitud �ja A, con A > 0. En esta carretera, suponga
que la distancia desde el punto 0 hasta la ubicación de un incendio es una variable
aleatoria continua X con función de densidad fX(x) = 2 · x/A2 si 0 < x < A,
mientras que fX(x) = 0 en otro caso. ¾Dónde ubicaría Ud. una estación de bomberos
en esta carretera, tal que la distancia esperada entre esta estación de bomberos y el
lugar de un incendio sea mínima?
R: Si b es la ubicación óptima de la estación de bomberos respecto al punto 0, entonces
b = A/
√
2.