Control1_2009_2

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PAUTA CONTROL Nº 1
FILA A
1. Sean
 es múltiplo de }E œ ÖB − À B &
 es múltiplo de }F œ ÖB − À B $
Para cada una de las siguientes proposiciones decida si es verdadera o falsa (1 punto) y
 justifique a cabalidad su afirmación (2 puntos).
 a) es par )aB − E bC − F ÐB  C
b) aB − E aC − F ÐB  C  "(Ñ Ä ÐBC  &!Ñ
Solución:
a) Es verdadera. 1p.
 Pues si es impar elegimos , y si es par elegimos B C œ $ B C œ 'Þ
 En ambos casos la suma es par.B  C
 Pauta:
 Cualquier demostración completa y correcta 2 p.
 1 p.Demostración mal escrita o incompleta 
 0 p.Si tiene errores lógicos 
b) Es falsa 1 p.
 Pues con ,B œ "!ß C œ ' se cumple que pero B  C  "( BC  &!Þ
 Pauta:
 Cualquier contraejemplo 2 p.
 1 p.Demostración mal escrita o incompleta 
 0 p.Si tiene errores lógicos 
2. Probar por inducción que:
 · · · · ·" #  # #  $ #  â  8 # œ #  Ð8  "Ñ ## $ 8 8"
Demostración:
Sea la proposición:Ð8Ñ
 · · · · · " #  # #  $ #  â  8 # œ #  Ð8  "Ñ ## $ 8 8" 1 p.
3Ñ Ð"Ñ Verificamos que es verdadera.:
 En efecto, si se tiene que 1· ·2 8 œ " # œ # œ #  ! # 1 p.
33Ñ Ð5ÑSupongamos que es verdadera. Es decir que:
 Hip. de inducción · · · · · " #  # #  $ #  â  5 # œ #  Ð5  "Ñ ## $ 5 5" 1 p.
 Por demostrar
 · · · · · ·" #  # #  $ #  â  5 #  Ð5  "Ñ # œ #  5 ## $ 5 5" 5#
Sumamos · a ambos lados de la H.I. y se obtiene queÐ5  "Ñ #5"
" #  # #  $ #  â  5 #  Ð5  "Ñ # œ #  Ð5  "Ñ #  Ð5  "Ñ #· · · · · · ·# $ 5 5" 5" 5"
 œ #  # Ð5  "  5  "Ñ5"
 ·2œ #  # 55"
 · œ #  5 #5# 2 p.
Entonces, por cumplirse las dos hipótesis del Principio de Inducción, la proposición es
cierta para todos los números naturales. 1 p.
Indicaciones:
 Los dos puntos de la demostración se asignan por cualquier demostración correcta. Si
no se llega al resultado por algún error aritmético, colocar entre 0 y 1 punto. Pero aún así
la última frase lleva 1 punto.
 Puede ser que no coloquen la H.I. al comienzo. Pero si la usan correctamente,
indicando que es "por H.I." se le asigna el punto correspondiente.
PAUTA CONTROL Nº 1
FILA B
1. Sean
 es múltiplo de }E œ ÖB − À B &
 es múltiplo de }F œ ÖB − À B $
Para cada una de las siguientes proposiciones decida si es verdadera o falsa (1 punto) y
 justifique a cabalidad su afirmación (2 puntos).
 a) es divisible por 75)bB − E aC − F ÐBC
 b) es par ) no es múltiplo de aB − E bC − F ÐB  C • ÐC 'Ñ
Solución:
a) Es verdadera. 1p.
 Basta tomar Todo elemento de tiene la forma para un entero B œ #&Þ F C œ $5 5Þ
Luego 25 · es divisible por 75.BC œ $5 œ (& 5
 Pauta:
 Cualquier elección correcta de BÞ 2 p.
 1 p.Demostración mal escrita o incompleta 
 0 p.Si tiene errores lógicos 
b) Es falsa 1 p.
 Basta probar que hay un elemento en tal que, para cualquier elección de en , unaE C F
 de las afirmaciones siguientes es falsa.
 Tomemos si está en , o bien es impar, o bien es par.B œ "!ß C F
 Si es impar, entonces C B  C es impar.
 Si es par, entonces es múltiplo de C C 'Þ
Por tanto, para cualquier en la afirmaciónC Fß
 ÐB  C • ÐC 'Ñ es par ) no es múltiplo de 
 es falsa, porque una de las dos lo es.
 Pauta:
 Demostración correcta 2 p.
 1 p.Si la idea es correcta, pero no está bien desarrollada. 
 0 p.Si tiene errores lógicos 
2. Probar por inducción que:
" " " " 8
# $ % % & Ð8"Ñ Ð8#Ñ #Ð8#Ñ ·3 · · ·   â œ
Demostración:
Sea la proposición:Ð8Ñ
" " " " 8
# $ % % & Ð8"Ñ Ð8#Ñ #Ð8#Ñ ·3 · · ·   â œ 1 p.
3Ñ Ð"Ñ Verificamos que es verdadera.:
 En efecto, si se tiene que 8 œ " " "' #Ð"#Ñ œ 1 p.
33Ñ Ð5ÑSupongamos que es verdadera. Es decir, (Hipótesis de Inducción),:
" " " " 5
# $ % % & Ð5"Ñ Ð5#Ñ #Ð5#Ñ ·3 · · ·   â œ 1 p.
 Por demostrar
" " " " 5"
# $ % Ð5"Ñ Ð5#Ñ Ð5#Ñ Ð5$Ñ #Ð5$Ñ ·3 · · ·  â  œ
Sumamos a ambos lados de la H.I. y se obtiene que"Ð5#Ñ Ð5$Ñ · 
" " " " 5 "
# $ % Ð5"Ñ Ð5#Ñ Ð5#Ñ Ð5$Ñ #Ð5#Ñ Ð5#Ñ Ð5$Ñ ·3 · · · ·  â  œ 
 œ " 5 "Ð5#Ñ # Ð5$Ñ Š ‹
 œ " 5 $5#Ð5#Ñ # Ð5$Ñ Š ‹
#
 
 œ "Ð5#Ñ # Ð5$Ñ
Ð5#ÑÐ5"Ñ
 Š ‹
 
 œ 5"#Ð5$Ñ 2 p.
Entonces, por cumplirse las dos hipótesis del Principio de Inducción, la proposición es
cierta para todos los números naturales. 1 p.
Indicaciones: Las mismas que en la Fila A