Guia Suplementaria

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
MAT110-E Algebra I
GUIA SUPLEMENTARIA
(1) Determine la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones
(a) 2x− 3y = 5 .
(b) 4y − z = 7 en las variables x, y, z.
(c) 5x1 − 4x3 + x4 = 1 en las variables x1, . . . , x5.
(2) Encontrar el valor del parámetro c que hace posible resolver el sistema lineal
u + v + 2w = 2 ,
2u + 3v − 2 = 5 ,
3u + 4v + w = c .
(3) Estudiar la compatibilidad del sistema
x + y + cz = 4c ,
x + cy + z = −2 ,
2x + y + z = −2 ,
y el número de soluciones para diferentes valores de c.
(4) ¿Para qué valores de k el sistema
kx + y = 1 ,
x + ky = 1 ,
no tiene solución, tiene una solución o una infinidad de soluciones?
(5) Considere el sistema de ecuaciones
x1 + x2 + x3 = 1 ,
x1 − 2x2 + ax3 = b ,
2x1 + x2 + 3x3 = c ,
donde a, b, c son constantes. Determine los valores de a, b, c tales que el sistema: no
tenga solución, tenga solución única, tenga infinitas soluciones.
1
2
(6) Sea A =
[
1 2
−1 −4
]
. Resuelva simultáneamente los sistemas Ax = bi donde
b1 =
[
1
2
]
, b2 =
[
0
3
]
, b3 =
[
3
2
]
.
(7) Determine un sistema de ecuaciones Ax = 0 tal que el conjunto solución sea:
S = 〈

1
2
2
1
 ,

−1
2
1
1
〉 .
(8) Considere el sistema de ecuaciones
3x + 2y = 6
6x + 4y = a
Elija un valor de a de modo que el sistema tenga o bien infintas soluciones o bien ninguna
solución.
(9) Considere el sistema
2x + 5y + z = 0
4x + dy + z = 2
y − z = 3
¿Qué valor de d introduce un intercambio de filas y cual es el sistema triangular obtenido
para ese valor de d? ¿Que valor de d hace al sistema singular.?
(10) Invente una matriz M de 3 × 3 con coeficentes 1, 2, . . . , 9 tal que las filas, columnas y
diagonales suman 15. ¿Cuanto es M
 11
1
?.
(11) Considere el sistema de ecuaciones
3x + 2y = 6
6x + 4y = a
Elija un valor de a de modo que el sistema tenga o bien infintas soluciones o bien ninguna
solución.
(12) Considere el sistema
2x + 5y + z = 0
4x + dy + z = 2
y − z = 3
3
¿Qué valor de d introduce un intercambio de filas forzado? Que valor de d hace al sistema
singular (la matriz de coeficentes no tiene inversa).
(13) (a) Construya un sistema de 3× 3 tal que se requieren 2 intercambios de filas forzados
para reducirlo a un sistema escalonado
(b) Construya un sistema de 3 × 3 que necesita un intercambio de filas forzado para
reducirlo a su forma escalonada pero no tiene solución.
(14) Encontrar los valores de α y β, para que los sistemas de ecuaciones Ax = b tengan
solución única para cada b.
(a) A =
[
0 α
β 2
]
(b) A =
 1 0 α0 −1 0
α β 0

(c) A =

1 1 −1 2
α 1 1 1
1 −1 3 −3
4 2 0 α

(15) Encontrar matrices A para las cuales el número de soluciones de Ax = b sea
(a) 0 o ∞, dependiendo de b
(b) 1, independiente de b
(16) Dadas las matrices
A =

1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
 B =

2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 1 2

Determinar una matriz X de modo que AX = B.
(17) Resolver la ecuación(
1 1
3 4
)
X
[
4 −2
−3 2
]
=
[
6 4
22 14
]
(18) Suponga que T,R : Rn −→ Rn son transformaciones lineales.
(a) Demuestre que T (~0) = ~0
(b) Demuestre que la función T +R : Rn −→ Rn definida por (T +R)(x) = T (x)+R(x)
es lineal
(c) Demuestre que la función αT : Rn −→ Rn definida por (αT (x)) = αT (x) es lineal,
con α ∈ R.
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(d) Demuestre que la función T ◦ R : Rn −→ Rn definida por (T ◦ R)(x) = T (R(x)) es
lineal.
(19) (Recomendado) Demuestre que es imposible para un sistema de ecuaciones lineales tener
sólo dos soluciones. Es decir si Ax1 = b y Ax2 = b y x1 6= x2 entonces hay más solu-
ciones. Construya infintas de ellas a partir de x1, x2.(Ayuda: Use la propiedad lineal).
(20) Sea A de 4 × 3 tal que A(e1) = (1, 2, 3)T A(e2) = (0, 1, 2)T A(e3) = (1, 3, 5)T A(e4) =
(0, 0, 0)T donde ei es el vector canónico i-ésimo de R4 Determine A(x, y, z, t)T .
(21) Sea A de 2× 2 tal que A(1, 0)T = (3, 6)T y A(0, 1)T = (1, 2)
(a) Mostrar que la imagen bajo A de la recta 3x + 2y = 0 es la recta 2x + y = 0
(b) Hay una recta L que pasa por el origen y que queda fija bajo A, (es decir, A(L) = L,
aunque no necesariamente A(l) = l, para l ∈ L). ¿Cuál es la recta?
(22) Sea A de 2× 2 tal que A(3, 1)T = (1, 2)T y A(−1, 0)T = (1, 1)T :
(a) Calcule A.
(b) Describa la imagen bajo A del triángulo cuyos vértices son (−3, 0)T , (26, 6)T y
(−12,−3)T .
(23) Sea L una aplicación lineal de R3 a R, tal que: L(1, 1, 1)T = 3, L(0, 1, 1)T = 2 y
L(0, 0, 1)T = 1. Determine L(a, b, c)T .
(24) ¿Existe una matriz A de 3× 3 tal que:
A(1, 2, 0)T = (1, 2, 3)T , A(2, 1,−1)T = (1, 0,−1)T , A(7, 8,−2)T = (0,−3, 2)T ?
(25) Escriba expĺıcitamente cada una de las matrices elementales que llevan A a su forma
triangular U para
A =
 1 1 04 6 1
−2 2 0

Usando estas matrices encuentre una matriz M tal que MA = U .
(26) (a) Suponga que E resta la fila 1 a la fila 2 y P intercambia las filas 2 con la 3. Calcule
M = PE, la matriz que realiza los 2 pasos en 1.
(b) Suponga que P intercambia las filas 2 y 3 y que E resta la fila 1 a la 3. Calcule
M = EP , la matriz que realiza los 2 pasos en 1.
(c) Explique por qué las matrices M son iguales y por qué las matrices E son distintas.
(27) Explique: Si la tercera columna de B es cero entonces la tercera columna de AB es
siempre cero. Si la tercera fila de B es cero entonces no siempre la tercera fila de AB es
cero.
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(28) Resuelva los sistemas Ax = b1 y Ax = b2 al mismo tiempo con A =
[
1 4
2 7
]
y
b1 = (2, 1)T , b2 = (−1, 1)T .
(29) Suponga que A es de 3 × 5, B es de 5 × 3, C es de 5 × 1, D es de 3 × 1. Indique las
operaciones que están definidas, y cual es el tamaño del resultado cuando existe:
(a) BA
(b) A(B + C)
(c) ABD
(d) AC + BD
(e) ABABD
(30) Indique las filas y columnas de las siguientes matrices que se requieren para calcular:
(a) La cuarta columna de AB
(b) La primera fila de AB.
(c) El elemento 2,3 de ABC
(d) La primera fila de ABC
(31) Encuentre An para A =
[
1 b
0 1
]
y A =
[
2 2
0 0
]
(32) Encuentre un contraejemplo para demostrar que no siempre se tiene que (A + B)2 =
A2 + 2AB + B2. Escriba la fórmula correcta.
(33) Verdadero o falso. Escriba un contraejemplo cuando sea falso y demuestre cuando sea
verdadero.
(a) Si las columnas 1 y 3 de B son iguales entonces también las de AB
(b) Si las filas 1 y 3 de B son iguales entonces también las de AB
(c) Si las filas de A son iguales entonces también las de AB.
(d) Si las columnas de A son iguales entonces la escalonada reducida de AB tiene a lo
más un fila no nula.
(e) (AB)2 = A2B2.
(34) Para matrices de 3× 3. Elija B, si es posible, de modo que para cada matriz A se tiene:
(a) BA = 4A
(b) BA = 4B
6
(c) Todas las filas de BA son iguales.
(35) ¿Cuales de las siguentes matrices necesariamente son iguales a (A−B)2?
(a) A2 −B2
(b) (B −A)2
(c) A2 − 2AB + B2
(d) A(A−B)−B(A−B)
(e) A2 −AB −BA + B2
(36) Verdadero o falso:
(a) Si A2 está definido entonces A es cuadrada.
(b) Si AB y BA están definidas entonces A y B son cuadradas.
(c) Si AB y BA están definidas entonces AB y BA son cuadradas.
(d) Si AB = B entonces A = I
(37) Para A =
[
2 −1
3 −2
]
y B =
[
1 0 4
1 0 6
]
calcule lo pedido y nada más
(a) La columna 2 de AB
(b) La fila 2 de AB
(c) La fila 2 de A2
(d) La fila 2 de A3.
(38) Determine matrices de 2× 2 con coeficientes reales y tales que:
(a) A2 = −I,
(b) BC = −CB pero BC no es la matriz nula.
(a) Determine una matriz no nula E tal que E2 = O.
(b) Determine una matriz G tal que G2 6= O pero G3 = O.
(39) Multiplique AB por los métodos Matriz×Columna, Fila×Matriz, Fila×Columna, Columna×Fila
y por bloques según una partición definida por Ud.
A =
 1 02 4
1 2
 B = [ 3 3 01 2 1
]
7
(40) Determine las inversas de
L =
 1 0 0a 1 0
b c 1
 U =
 a b c0 d e
0 0 f

(41) Supongamos que A conmuta con cualquier matriz de 2 por 2, en particular
A =
[
a b
c d
]
conmuta con
[
1 0
0 0
]
y
[
0 1
0 0
]
.Mostrar que a = d y h = c = 0, de tal modo que A debe ser un múltiplo de la identidad;
estas son las únicas matrices que conmutan con cualquiera.
(42) Para la matriz A =
(
0 −1
1 0
)
calcule:
A4n, A4n+1, A4n+2, A4n+3
(43) Calcular
(
p 1
0 p
)n
y
 p 1 00 p 1
0 0 p
n
(44) Determinar las matrices X e Y que verifican el sistema X + AY = B, CX + Y = D,
siendo
A =
(
1 0
1 1
)
B =
(
4 3
4 6
)
C =
(
1 2
3 0
)
D =
(
−2 9
6 6
)
(45) (a) Demuestre que el producto de matrices triangulares inferiores con 1’s en su diagonal
es triangular inferior con 1’s en su diagonal, y el producto de triangulares superiores
es tringular superior.
(b) Demuestre que la inversa de un matriz triangular superior existe si y sólo si los
elementos de su diagonal son no nulos.
(c) Demuestre que la inversa de una triangular inferior con 1’s en la diagonal es tri-
angular inferior con 1’s en la diagonal, y la inversa de una triangular superior es
triangular superior (cuando existe).
(46) Encuentre tres matrices A de 2× 2 (A 6= I) tal que A−1 = A
(47) Si A tiene inversa y AB = AC demuestre que B = C
(48) Encuentre matrices A 6= O y B,C tal que AB = AC pero B 6= C.
(49) Suponga que B se obtiene de A (de 3× 3 sumando la primera fila a la segunda y luego
intercambiando las filas 2 con 3. Demuestre que si A tiene inversa entonces B también
tiene inversa y explique como obtener B−1 a partir de A−1.
(50) Si B es la inversa de A2 demuestre que AB es la inversa de A.
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(51) Demuestre que si una matriz A de n × n tiene una columna de ceros entonces no es
invertible.
(52) Demuestre que si la tercera columna de A es combinación lineal de las columnas 1 y 2
entonces A no tiene inversa.
(53) Si la tercera columna de A es 2 veces la primera columna más 3 veces la segunda columna
encuentre soluciones de Ax = ~0
(54) Muestre que A2 = O es posible pero AT A = O no es posible a menos que A = O.