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Introducción 
al análisis 
de sistemas 
dinámicos
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS 
UNIVARIABLES 
 
El objetivo principal de la primera parte de este libro es presentar una 
metodología para representar y analizar sistemas dinámicos uniecuacionales. Para 
lograr dicho objetivo se trabajará con sistemas planteados tanto en tiempo discreto 
como en tiempo continuo. En el primer caso, el instrumento matemático que se 
desarrollará es el de ecuaciones de diferencias, mientras que en el segundo habrá que 
estudiar el tema de ecuaciones diferenciales. 
En este primer capítulo se introducen algunos modelos simples que tratan de 
desarrollar la capacidad de planteamiento del problema, que tiene que ver con cómo 
se representa la realidad en términos de ecuaciones; de solución del problema y de 
análisis de la solución, típicamente en términos de tasas de crecimiento, equilibrio y 
estabilidad. 
Crecimiento geométrico y crecimiento exponencial 
Tiempo discreto 
 Dentro de los modelos dinámicos en tiempo discreto, el más clásico es el 
modelo de crecimiento geométrico. El supuesto básico es que el valor de una 
variable en un período determinado, o período k, es igual al valor de dicha variable 
en el período anterior multiplicado por un factor a. Este fenómeno dinámico podría 
entonces describirse matemáticamente como 
 X(k+1) = a X(k) 
Esto significa que 
X(1) = a X(0) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
y en general 
 X(k) = ak X(0). 
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14 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Ejemplo 1.1 
Una situación típica donde se aplicaría el modelo de crecimiento geométrico 
anterior es cuando se deposita un monto X(0) en un banco a una tasa de interés 
constante e igual a r, durante varios períodos. En este caso, el saldo en la cuenta en 
los distintos períodos seguiría la relación X(k+1) = (1 + r) X(k) y la solución sería 
X(k) = X(0) (1 + r)k. 
Ejemplo 1.2 
El modelo anterior también se aplica cuando, por ejemplo, se sabe que la 
población de un país se duplica cada 20 años y se desea determinar el tiempo que 
demoraría en quintuplicarse. En este caso, si se supone que la tasa de crecimiento 
anual de la población a es constante, se tiene que X(k+1) = (1+a) X(k) y que X(20) = 
2X(0). De aquí se desprende que 
X(20) = (1+a)20 X(0) = 2X(0) 
con lo que a debe ser igual a 0,03526. Una vez obtenida la tasa anual de crecimiento, 
se debe encontrar k tal que 
X(k) = (1+a)k X(0) = 1,03526k X(0) = 5 X(0) 
Al despejar se obtiene que el tiempo que demorará la población en 
quintuplicarse es de aproximadamente 46,4 años. 
Tiempo continuo 
En tiempo continuo, el modelo de crecimiento exponencial es análogo al 
modelo de crecimiento geométrico recién visto. Lo que se postula es que el cambio 
experimentado por una variable X por unidad de tiempo es proporcional al valor de 
dicha variable. 
 En términos matemáticos, esto quiere decir que 
 ( )
 
 ( ) ( ) 
donde dX(t)/dt es la derivada respecto al tiempo de la variable X(t). 
 La ecuación anterior se puede escribir como 
 ( )
 ( )
 
 . Así, a es una 
constante que mide el cambio porcentual en la variable X(t) por unidad de tiempo. 
 La solución a esta ecuación diferencial es: 
 X(t) = X(0) eat 
tal como se demuestra al derivar esta expresión respecto al tiempo 
 ( )
 
 ( ) ( ) 
y al comprobar que X(0) = X(0) ea0 . 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 15 
 
 
 
 Esta solución también se puede encontrar viendo que si 
 ( )
 ( )
 
 
entonces 
 ( )
 ( )
 
 Si se integran ambos lados de la ecuación, se obtiene que 
∫
 
 ( )
 ( ) ∫ 
con lo cual, 
 ( ) 
 ( ) 
Si se obliga a satisfacer la condición inicial, entonces la solución al sistema 
completo, incluida dicha condición, es ( ) ( ) 
Ejemplo 1.3 
Suponga que la población de un país crece a una tasa anual de 5% a partir 
de una población inicial de 1 millón de personas, entonces al cabo de 4 años habría 
un total de personas igual a 
 X(4) = eat X(0) = e0,2 1.000.000 1.221.403 
 Esta respuesta difiere de aquella que se derivaría de trabajar en tiempo 
discreto donde X(4) sería igual a X(4)=(1,05)4 1.000.000 ≈ 1.215.506. La razón 
para esta diferencia es que el modelo discreto supone que el crecimiento ocurre una 
vez al año, mientras que el modelo continuo supone que esto ocurre en forma 
continua y permanente. 
Ejemplo 1.4 
 El ejemplo siguiente sirve para clarificar el punto anterior. Suponga que 
usted deposita $ 1.000 en un banco al 12% anual. Si los intereses se calculan una vez 
al año, usted obviamente tendría $ 1.120 al cabo de un año. 
 El problema es determinar cuánta plata tendría usted en el banco si los 
intereses se calculan cada 6 meses, por ejemplo. En este caso, en el segundo 
semestre no solo habrá que calcular el interés sobre el monto inicial de $ 1.000, que 
sería de $ 60, al igual que en el primer semestre, sino que además habrá que calcular 
el interés sobre los $ 60 obtenidos en el primer semestre. Dicho de otra forma, la tasa 
de interés semestral es 12/2 = 6%. Sin embargo, al capitalizarse los intereses, al cabo 
de un año usted tendría $ 1.000 (1,06)2 = $ 1.123,6. 
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16 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 En términos generales, si los intereses se calculan n veces por año, al cabo 
de un año usted tendría $ 1.000 (1 + 
0,12
n ) 
n. El Cuadro 1.1 muestra lo que ocurriría 
con su depósito al cabo de un año para distintos valores de n. Se puede ver que si el 
interés se calcula en forma continua, usted tendría $ 1.127,50 al cabo de un año. Este 
valor corresponde a 
 ( 
 
 
)
 
 
Debe señalarse que la “tasa de interés” en todos estos casos es de 12% 
anual. Lo que varía es la “tasa de rendimiento”. En general, la diferencia entre la tasa 
de interés y la tasa de rendimiento será mayor mientras más seguido se apliquen los 
intereses y mientras mayor sea la tasa de interés. 
Cuadro 1.1 
Rendimiento anual de un depósito de $ 1.000 en función de la periodicidad en la 
aplicación de intereses 
 n X(1) 
 1 1.120,00 
 2 1.123,60 
 3 1.124,86 
 4 1.125,51 
 12 1.126,83 
 365 1.127,47 
 ∞ 1.127,50 
 
Ejemplo 1.5 
 Suponga que ha decidido modelar la evolución del Producto Interno Bruto de 
Chile de acuerdo con la ecuación 
 ( )
 
 ( ) 
 Esto quiere decir que ha decidido suponer que la tasa de crecimiento es 
constante e igual a a. La solución, como ya se vio, es 
 X(t) = X(0) eat 
 El problema es estimar dicha tasa de crecimiento. Suponga que para 
hacerlo, en primer lugar linealizó la ecuación. Así, 
 ln X(t) = ln X(0) + a t 
 En segundo lugar, suponga que estimó esta ecuación usando el método de 
mínimos cuadrados ordinarios y la evolución del Producto Interno Bruto, PIB, de 
Chile en el período 1986-2010. 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 17 
 
 
 
La evolución del PIB se presenta en el Cuadro 1.2. 
Cuadro 1.2 
Evolución del Producto Interno Bruto de Chile en el período 
1986-2010 (en millones de pesos del año base 2003) 
 Año PIB 
 1986 19.171.553 
 1987 20.412.280 
 1988 21.911.021 
 1989 24.228.289 
 1990 25.142.431 
 1991 27.136.665 
 1992 30.438.176 
 1993 32.559.292 
 1994 34.416.724 
 1995 38.028.591 
 1996 40.831.596 
 1997 43.526.546 
 1998 44.944.340 
 199944.616.349 
 2000 46.605.199 
 2001 48.165.625 
 2002 49.209.330 
 2003 51.156.416 
 2004 54.246.819 
 2005 57.262.645 
 2006 59.890.971 
 2007 62.646.127 
 2008 64.940.432 
 2009 63.848.206 
 2010 67.167.124 
Fuente: Banco Central de Chile. Cuentas Nacionales de Chile, 1986-2010. 
 
 
La ecuación estimada fue 
 ln X(t) = 16,8855 + 0,0518 t. 
 Como dln X(t)/ dt = 0,0518, se desprende que 
 X(t) = A e0,0518t 
 La tasa de crecimiento estimada es una tasa continua, con lo cual si el 
ingreso en un período es de 1.000, el Producto Interno Bruto estimado para el 
período siguiente no es de 1.051,8, sino de 1.000 e
0,0518
= 1.053,2. 
 
 
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18 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
Crecimiento con entradas o salidas 
Tiempo discreto 
 Los modelos anteriores pueden ser modificados para incorporar la 
posibilidad de entradas o salidas al sistema. Para ello se verá, en primer lugar, el 
sistema dinámico en tiempo discreto con entrada constante. Así, 
 X(k+1) = a X(k) + b 
 Claramente, si b es igual a cero, no habría diferencia con el modelo de 
crecimiento geométrico anterior. Sin embargo, el caso más general es cuando b, 
llamado entrada del sistema, es distinto de cero. Este sería el caso, por ejemplo, de un 
modelo de población que incluyera inmigraciones o emigraciones. La evolución de 
este sistema puede describirse de la siguiente forma: 
 X(1) = a X(0) + b 
 X(2) = a X(1) + b = X(0) + ab + b 
 X(3) = a X(2) + b = X(0) + a2 b + ab + b 
y en general 
 X(k) = a
k
 X(0) + a
k-1 b + a
k-2
 b + ... + ab + b 
 = a
k
 X(0) + [a
k-1
 + a
k-2
 + ... + a + 1] b 
 Ahora bien, si a es igual a 1, es claro que 
 X(k) = X(0) + kb 
 Un ejemplo de esta situación podría ser el de una cuenta corriente, cuyo 
saldo solo depende de los abonos o giros que se realicen, b. 
Si a es distinto de 1, la expresión a
k-1
 + ... + a + 1 es igual a 
 
 ( )( 
 )
( )
 = 
 
 
( ) ( )
( )
 
 
 
 
 
Así, la solución general al sistema X(k+1) = a X(k) + b sería 
 
 ( ) {
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 19 
 
 
 
Ejemplo 1.6: Interés y amortización 
 Suponga que usted tiene D pesos depositados en un banco a una tasa de 
interés anual, r, y que desea saber cuánto es el máximo que puede retirar al final de 
cada uno de los próximos n años. 
 Si se define X(k) como la cantidad que está depositada a comienzos del año 
k, y b como el monto que se retira al final de cada año, entonces 
 X(k+1) = (1 + r) X(k) - b. 
 Esta situación se puede representar como: 
 X(0)
0 1 2
-b-b X(2)-b X(1)
Año
 
 
 La solución a este sistema es, usando los resultados anteriores, 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
 ( )
 ( ) ( ) ( )
 
 
 
 
Como se desea determinar el monto máximo que puede retirarse al final de 
cada uno de los próximos n años (i.e., al final del año 0, 1, 2, ..., n-1), debe cumplirse 
que X(n) = 0. Dado que X(0) = D, se debe cumplir que 
 ( ) ( ) ( )
 
 
 
o bien 
 b = Dr/[1-(1+r)-n]. 
 A modo de ejemplo, si se parte con D = $ 100.000, r = 10%, entonces usted 
podría retirar al final de cada uno de los próximos cinco años un monto igual a $ 
26.379,75. 
 Para terminar este ejemplo, se destaca que en modelos en tiempo discreto, es 
fundamental definir claramente los supuestos acerca del momento en que se miden 
las variables, principio o final de período. 
Ejemplo 1.7: El modelo de la telaraña 
 El modelo de la telaraña es un modelo que persigue describir la evolución 
de los precios en mercados agrícolas, donde la producción tiene un rezago entre el 
momento de la siembra y el momento de la cosecha. Supone que los productores 
predicen al momento de sembrar que los precios para su cosecha serán iguales a los 
de la temporada recién pasada. Como la evolución de los precios es el resultado de 
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20 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
un modelo más general de oferta y demanda, a continuación se presenta dicho 
modelo, para luego deducir la ecuación de diferencias que rige el comportamiento de 
los precios. 
 En términos matemáticos, este modelo supone que la demanda por un 
producto en el período k está dada por 
 D(k) = d0 - a P(k) 
y que la oferta tiene un rezago, y depende del precio esperado E[P(k)] que se supone 
igual a P(k-1). Con esto, 
 S(k) = So + b P(k-1). 
 Ahora bien, si se supone que en cada período la cantidad ofrecida es igual a 
la cantidad demandada, entonces debe cumplirse que 
 d0 - a P(k) = S0 + b P(k-1) 
Esto implica que 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 Esta es la ecuación que define la evolución de los precios. Es posible 
comprobar, tal como se desprende al usar la solución general anterior, que la 
solución en este caso es 
 P(k) = (-b/a)k P(0) 
 ( )
 
 
( ) 
 En muchos ejemplos que se expresan matemáticamente como ecuaciones de 
diferencias, lo más importante es saber hacia dónde tiende la variable. En este 
ejemplo, si b es menor que a, el término (-b/a)k tendería a cero cuando k tiende a 
infinito y P(k) tendería a (d0 - S0)/(a + b). 
 Es importante señalar que la expresión (d0 - S0)/(a+b) es un punto de 
equilibrio del sistema, en el sentido de que si se alcanza dicho precio, este se 
mantiene para siempre. Esto se puede demostrar usando la ecuación 
 P(k+1) = 
d0 - S0
a - (b/a) P(k) 
e igualando P(k) a P(k+1) para ver cuál debe ser el precio en un período, para que al 
período siguiente el precio sea el mismo. Si se supone que 
 P(k+1) = P(k) = P
_
 
entonces P
_
 debe ser igual a (d0 - S0)/(a + b). 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 21 
 
 
 
 Puede concluirse, por lo tanto, que si b < a, el precio tenderá al equilibrio 
sea cuál sea el precio inicial. Es fácil demostrar también que si b > a, el precio no 
tenderá al equilibrio. En el primer caso, se habla de equilibrio estable y en el 
segundo, de equilibrio inestable. Es decir, en el primer caso el sistema converge al 
equilibrio y en el segundo caso diverge. Si a es igual a b, entonces el sistema no se 
alejará ni se acercará al equilibrio. El equilibrio sería marginalmente estable. Por 
último, si el sistema parte en el equilibrio, independiente de si el parámetro a es 
mayor, menor o igual a b, se quedará en el equilibrio para siempre. 
Debe notarse que en este caso a y b representan las pendientes de la 
demanda y la oferta, respectivamente, con lo que debe quedar claro que cuando la 
pendiente de la demanda es mayor que la pendiente de la oferta en términos 
absolutos, el sistema converge y cuando es menor, el sistema diverge1. 
 En términos más generales, en la ecuación X(k+1) = a X(k) + b, un punto 
de equilibrio, X
_
 , será aquel que satisface la ecuación ̅ ̅ , con lo cual, 
suponiendo que a es distinto de 1, X
_
 = 
b
1-a .
 
 Al recordar que la solución de la ecuación X(k+1) = a X(k) + b es la 
expresión X(k) = ak X(0) + 
1 - ak
1-a b, se puede sustituir lo anterior para llegar a 
 ( ) ( ( ) ̅) ̅. 
 Planteada la solución de esta forma, es claro que si a es menor que 1 en 
valor absoluto, X(k) tenderá a la larga al equilibrio, ya que el primer término del lado 
derecho tenderá a cero. En este casose habla de equilibrio estable al igual que en el 
ejemplo anterior. Por otro lado, si a es mayor que 1 en valor absoluto, la variable 
X(k) tenderá a alejarse cada vez más del punto de equilibrio. En este caso se habla de 
equilibrio inestable. Adicionalmente, debe quedar claro que si a es menor que cero, 
la evolución de X(k) presentará oscilaciones. 
 Por último, es importante destacar que en el modelo planteado, el punto de 
equilibrio depende del nivel de las entradas, pero no así la estabilidad de dicho 
equilibrio, la cual depende, como se vio, solo del parámetro a. 
En el Gráfico 1.1 se presenta en forma esquemática la solución de la 
ecuación X(k+1) = a X(k) + b para distintos valores de a, b y X(0). En todos los 
casos se eligió el valor de los parámetros de tal forma que el equilibrio fuera X* = 
100. 
 
 
 
1Debe señalarse que las constantes a y b son las pendientes de las curvas de demanda y oferta 
solo si se especifica la cantidad en función del precio y no el precio en función de la cantidad 
como es lo habitual, al menos en los análisis gráficos. 
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22 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
GRÁFICO 1.1 
Solución a la ecuación X(k+1) = a X(k) + b 
 
 
X(0) = X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
a>1; X(0)>X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
0<a<1; X(0)<X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
 -1<a<0; X(0)<X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 
a<-1; X(0)<X*
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6
 
 a=1;b>0 
(No hay equilibrio)
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 
 
Tiempo continuo 
 El modelo de crecimiento exponencial también puede ser modificado, al 
igual que en el caso discreto, de tal forma de incorporar posibles entradas o salidas 
del sistema. A continuación se estudia el caso donde el sistema dinámico puede 
expresarse a través de la relación 
 
dX(t)
dt = X'(t) = aX(t) + b 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 23 
 
 
 
 Si b es igual a 0, se vuelve al modelo de crecimiento exponencial que 
postula que el cambio experimentado por una variable X por unidad de tiempo es 
proporcional al valor de dicha variable. Si b es distinto de 0, lo que se postula es que, 
además del cambio por unidad de tiempo en la variable X proporcional a su valor, 
existe una entrada o salida constante y continua por unidad de tiempo. La solución 
general a esta ecuación es: 
 X(t) = c eat - b/a.2 
Si además se especifica el valor de X(0), entonces X(0) = c - 
b
a . 
Sustituyendo el valor de c en la solución anterior, se tiene que la solución al sistema 
completo, que incluye la condición inicial X(0), es: 
 X(t) = (X(0) + 
b
a )e
at - 
b
a 
 
Ejemplo 1.8 
 Suponga que la población de un país crece a una tasa del 2% anual, pero 
que hay una emigración neta de mil personas al año. En este caso, el sistema, si se 
plantea en términos de tiempo continuo y el tiempo se mide en años, sería: 
 X'(t) = 0,02 X(t) - 1.000 
donde X(t) = población. 
 El problema es ahora poder predecir la población en función de t. Si se usa 
la solución vista más arriba, es claro que 
 X(t) = (X(0) - 
1.000
0,02 ) e
0,02t + 
1.000
0,02 = (X(0) - 50.000) e
0,02t + 50.000 
 Puede verse que si X(0) es mayor que 50.000, X(t) tiende a crecer 
indefinidamente y que si X(0) es menor que 50.000, la población tiende a 
desaparecer. Este resultado es lógico si se observa que si el país tiene una población 
mayor que 50.000, el crecimiento natural anual es mayor que la emigración anual, 
con lo cual la población tiende a crecer indefinidamente. Lo contrario también es 
válido. La pregunta que surge es: ¿qué ocurre si X(0) = 50.000? En este caso, la 
población no tiende ni a aumentar ni a disminuir. El crecimiento natural es igual a la 
emigración; 50.000 es un nivel de equilibrio, en el sentido de que si la población es 
igual a 50.000 personas, esta no tiende ni a aumentar ni a disminuir. 
 En términos del sistema original, un punto, X
_
 , es de equilibrio si X'(t) = 0. 
Es decir, si 
 X'(t) = a X(t) + b = 0 
 
2 Demostración: Si X(t) = ceat-b/a, dX/dt = aceat= a(ceat-b/a)+b = aX(t)+b. 
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24 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
con lo que 
 ̅ 
 
 . 
 En este caso, X
_
 es igual a 50.000. Dado que para valores mayores de 
50.000, la población tiende a crecer indefinidamente, y que para valores menores de 
50.000, esta tiende a desaparecer, se habla de equilibrio inestable. Ello es así porque 
a = 0,02 > 0. Cualquier desviación del equilibrio, por pequeña que sea, lleva al 
sistema a alejarse de él. 
 En este punto es conveniente observar que la solución para la ecuación 
 X' = aX + b 
dada anteriormente puede expresarse, haciendo las sustituciones correspondientes, 
como 
 X(t) = (X(0) - X
_
 ) eat + X
_
 3 
 Claramente, el equilibrio será estable si y solo si el parámetro a es menor 
que 0, ya que solo en dicho caso la expresión eat en la solución del sistema tiende a 
0 cuando t tiende a infinito y, por lo mismo, únicamente en dicho caso X(t) tiende al 
equilibrio cuando t aumenta. 
Ejemplo 1.9 
 La Ley de Newton de enfriamiento dice que el cambio de temperatura de un 
cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el 
cuerpo que se enfría y la temperatura del medioambiente. Esto se puede escribir 
como: 
 X'(t) = m (X(t) - Ta ) = m X(t) - m Ta 
donde 
X(t) = Temperatura del cuerpo en el momento t 
Ta = Temperatura del medioambiente 
m = Constante negativa. Si la temperatura del cuerpo es mayor que 
la del medioambiente, la temperatura del cuerpo tiende a 
decrecer, y viceversa. 
 
3 Nótese la similitud de esta fórmula con aquella derivada para el caso discreto en la ecuación 
de diferencias X(k+1) = a X(k) + b. En ese caso, la solución podía expresarse como 
 X(k) = (X(0) - X
_
 ) ak + X
_
 . 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 25 
 
 
 
 La temperatura de equilibrio sería aquella que satisface la ecuación X'(t) = 
0, con lo que X
_
 = Ta. Esto implica que 
 X(t) = (X(0) - Ta) emt + Ta 
 A modo de ejemplo, suponga que un cuerpo se enfría en 10 minutos desde 
una temperatura de 100 °C a una de 60 °C en un medioambiente de 20 °C. En este 
caso, es fácil determinar cuánto se demorará en alcanzar una temperatura de 25 °C. 
Esto se hace a continuación. En este caso, 
 X(t) = (100 - 20) emt + 20 = 80 emt + 20. 
 Como X(10) = 60, se tiene que 
 X(10) = 80 e10m + 20 = 60 
lo que implica 
 m = - 0,0693147; X(t) = 80 e- 0,0693147t + 20. 
 Faltaría determinar t* tal que X(t*) = 80 e-0,0693147t* + 20 = 25. 
Despejando, se tiene que t* = 40 minutos. 
 
Entradas variables 
 En los ejemplos anteriores se ha supuesto que la entrada es constante todos 
los períodos. A continuación se muestran algunos ejemplos, tanto en tiempo discreto 
como continuo, donde la entrada depende del período que se trate. 
Ejemplo 1.10 
 Suponga que Juan Pérez acaba de depositarle a su hijo Juanito, de 6 años, 
que estuvo ayer de cumpleaños, $ 6.000 en una cuenta de ahorro al 8% anual. 
Asimismo, suponga que ha prometido depositarle todos los añosel día después de su 
cumpleaños un monto igual a $ 1.000 por el número de años que haya cumplido. Si 
se define X(k) como el monto en la cuenta de ahorro de Juanito en el k'ésimo 
cumpleaños de Juanito, entonces es claro que 
 X(k+1) = (X(k)+1.000k) 1,08 = 1,08 X(k)+1.080k; k = 6,7,8...; X(6) = 0. 
 En este caso la entrada depende de k. La solución a este sistema, como se 
pedirá probar en el capítulo 2 (problema propuesto 2.19), es, aunque parezca extraño, 
 X(k) = 157.384,86 . 1,08k - 168.750 - 13.500 k k = 6,7,8... 
Ejemplo 1.11 
 Suponga la ecuación 
 X'(t) = 8 X(t) + 5 t2 
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26 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 La solución de esta ecuación diferencial, como se mostrará en el ejemplo 
2.14, es del tipo 
 X(t) = ce8t - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
donde c es una constante cuyo valor depende del valor que tome X(0). Si se supone, 
a modo de ejemplo, que X(0) = 4, entonces 
 X(0) = 4 = c - 
5
256 ; c = 4 + 
5
256 
 Así, la solución al sistema completo, que incluye tanto la ecuación 
diferencial como la condición inicial, es: 
 X(t) = (4 + 
5
256) e
8t - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
 
Tasa de crecimiento endógena o variable 
 La tasa de crecimiento en la ecuación X(k+1) = (1+a) X(k) es constante e 
igual al parámetro a, tal como se viera anteriormente. En tiempo continuo, en la 
ecuación X’(t) = aX(t), la tasa de crecimiento es también la constante a. Sin 
embargo, dicha tasa es frecuentemente considerada como endógena, dependiendo de 
la variable X(k) o X(t). También es posible que dicha tasa se modele como función 
del tiempo. A continuación se presentan algunos ejemplos. 
Ejemplo 1.12 
 En modelos de población, es común ver que la tasa de crecimiento depende 
en forma lineal de la población, con lo que 
 X(k+1) = (c - d X(k)) X(k) = c X(k) - d X(k)2 
donde c y d son parámetros positivos. 
 Desde un punto de vista matemático, la mayor diferencia de esta ecuación 
con las anteriores es que esta no es una ecuación lineal en X(k). 
Ejemplo 1.13 
 Suponga que la tasa de crecimiento en el ingreso de un país fue de 3% en 
2011 (en relación con 2010) y que se espera que dicha tasa suba en un punto todos 
los años hasta el año 2025. En este caso, la ecuación que rige la evolución del 
ingreso sería: 
 X(k+1) = (1,03 + 0,01 k) X(k) k = 0,1, ... 15 
donde k = 0 representa el año 2010. 
 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 27 
 
 
 
Ejemplo 1.14: Modelo logístico 
 Suponga que en un modelo de población, la tasa de crecimiento es 
proporcional a la diferencia entre un valor máximo que puede alcanzar la variable, 
M, y el valor de dicha variable. Matemáticamente esto querría decir que 
 dln X(t)/dt = a[M - X(t)], 
con lo cual 
 X'(t) = a[M - X(t)] X(t) 
 En este caso, la tasa de crecimiento es endógena, ya que depende del valor 
de la variable. 
Ejemplo 1.15 
 Suponga la ecuación X'(t) = 5 - 
16 X(t)
400 + 4t . 
 En este caso, la tasa de crecimiento varía en el tiempo en forma exógena. 
 
Orden de una ecuación de diferencias 
 Los ejemplos en tiempo discreto anteriores tienen la característica de ser 
todos expresables como ecuaciones de diferencias de primer orden, donde el orden es 
simplemente la diferencia entre el índice más alto y más bajo de la ecuación. 
 A modo de ejemplo, la ecuación X(k+2) = X(k+1) + X(k) + 3 (k+5) es de 
segundo orden, la ecuación X(k+3) - 2 X(k+1) + 3 X(k) = 2k es de tercer orden y la 
ecuación X(k+2)3 = 2 X(k+1)5 + 6 X(k) + k4 es de segundo orden. 
 Una característica común a todas las ecuaciones de diferencias es que cada 
una de ellas representa en sí misma a varias, y a veces infinitas, ecuaciones. Es así 
como la ecuación 
 X(k+1) = 2 X(k) 
significa que 
 X(1) = 2 X(0) 
 X(2) = 2 X(1) 
 X(3) = 2 X(2) 
 . 
 . 
 . 
 En general, aunque no siempre, es posible obtener la secuencia de valores 
X(0), X(1), X(2), ..., una vez definido el o los valores iniciales. En el ejemplo 
anterior, si se sabe que X(0) = 3, es claro que X(1) tomará el valor de 6, X(2) el valor 
de 12, X(3) el valor de 24, etc. 
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28 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 En el caso de una ecuación de segundo orden, se deberá especificar no uno, 
sino dos valores iniciales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden 
 X(k+2) = X(k+1) + 3 X(k) + k 
implica que 
 X(2) = X(1) + 3 X(0) + 0 
 X(3) = X(2) + 3 X(1) + 1 
 X(4) = X(3) + 3 X(2) + 2 
 . 
 . 
 . 
 
Ello significa que siempre habrá dos incógnitas más que el número de 
ecuaciones para resolverlas. Si se especifican los valores X(0) y X(1) se puede 
solucionar en forma recursiva la ecuación completa. A modo de ejemplo, si X(0) = 3 
y X(1) = 5, entonces es claro que 
 X(2) = 14 
 X(3) = 30 
 X(4) = 74 
 . 
 . 
 . 
 En general, se podrá resolver inambiguamente cualquier ecuación de 
diferencias de orden n si se especifican los n valores iniciales en forma consecutiva. 
El teorema siguiente, que se presenta sin demostración, plantea condiciones 
suficientes que garantizan la existencia de una única solución4. 
 
Teorema de existencia y unicidad en tiempo discreto 
 Supóngase la siguiente ecuación: 
 X(k+n) + f [X(k+n-1), X(k+n-2), ..., X(k), k] = 0 
donde f es una función real valorada, definida sobre una secuencia finita o infinita de 
valores de k (k = k0, k0+1, ... ). La ecuación tiene una y solo una solución 
correspondiente a cada especificación arbitraria de los n valores iniciales 
 X(k0 ), X(k0 +1), X(k0 +2), ..., X(k0 +n-1). 
 La solución será siempre una secuencia de números reales. 
 
4Ver problemas propuestos 1.9, 1.10 y 1.11, que presentan casos donde no se aplica este 
teorema. 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 29 
 
 
 
Desafortunadamente, este teorema solo dice bajo qué condiciones uno puede 
estar seguro que habrá una única solución a una ecuación de diferencias cuando se 
especifican los n valores iniciales. No dice nada acerca de cómo encontrar dicha 
solución en forma rápida. El método recursivo anterior puede ser muchas veces muy 
largo y engorroso. Dicho de otra forma, en el ejemplo anterior, ¿cuánto vale X(100)? 
¿X(237)? Sería obviamente conveniente poder expresar la solución como una sola 
ecuación. En el caso de la ecuación 
 X(k+1) = a X(k) 
dicha solución, tal como se vio anteriormente, se puede expresar como 
 X(k) = ak X(0) 
 Desgraciadamente, en muchos casos no es posible encontrar dicha expresión 
y se debe recurrir al método recursivo señalado. Sin embargo, para algunas familias 
de ecuaciones de diferencias sí se puede encontrar una ecuación que represente la 
secuencia completa de valores X(k). Una de tales familias está formada por las 
ecuaciones lineales de coeficientes constantes. Estas se pueden escribir como 
 X(k+n) + an-1 X(k+n-1)... + a0 X(k) = g(k) 
 Este tipo de ecuación será analizado en profundidad más adelante. 
 
Orden de una ecuación diferencial 
 En tiempo continuo, muchas veces se trabaja con ecuaciones diferenciales 
que relacionan la función no solo con la primera derivada, como en los ejemplos 
anteriores, sino también con derivadas de orden superior. 
El orden de una ecuación diferencial es simplemente el orden de la derivada 
más grande que aparezca en la ecuación. Así,los ejemplos en tiempo continuo 
anteriores son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden. La ecuación 
 
d2X
dt2
 + [sen y] 
dX
dt + X = cos t 
es de segundo orden. 
En este punto, puede ser útil señalar que una ecuación diferencial se dice 
lineal si puede escribirse como 
 an(t) 
dnX
dtn
 + an-1(t) 
dn-1X
dtn-1
 + ... + a0(t) X = g(t) 
La ecuación anterior se dice homogénea si g(t) = 0 para todo t y es de 
coeficientes constantes si ai(t) = ai para todo i, t. 
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30 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
En tiempo continuo, las “condiciones iniciales”, mencionadas para el 
análisis en tiempo discreto, se refieren a los valores que toma la variable y sus 
derivadas en algún punto inicial. 
Teorema de existencia y unicidad en tiempo continuo 
 En general, al igual que en el caso discreto, se podrá resolver 
inambiguamente cualquier ecuación diferencial de orden n si se especifican las n 
condiciones iniciales. A continuación se presenta el teorema de existencia y 
unicidad para el caso continuo. 
 Suponga que las funciones ai(t) , i = 0, ..., n-1 y g(t) son continuas en un 
intervalo 0 ≤ t ≤ T. Entonces, para cualquier conjunto de valores de 
bi (i = 0,1, ..., n-1) , existe una única solución a la ecuación diferencial lineal 
 
dnX
dtn
 + an-1(t) 
dn-1X
dtn-1
 + ... + a0(t) X = g(t) 
que satisface 
 X(0) = b0 
 
dn-1X(0)
dtn-1
 = bn-1 5 
 Este teorema, al igual que en el caso discreto, solo dice bajo qué 
condiciones se puede estar seguro de encontrar una única solución cuando se 
especifican las n condiciones iniciales. No dice nada acerca de cómo encontrar dicha 
solución. En algunos casos será posible encontrar una solución analítica mientras 
que en otros se deberá recurrir a métodos numéricos. Este tema será abordado en los 
próximos capítulos. 
Problemas propuestos 
1.1 Suponga que la población de un país se duplica en 30 años y que la tasa de 
crecimiento anual es constante. Su problema es determinar en cuánto 
tiempo se triplicará la población de dicho país. 
1.2 Usted tiene una piscina con 10.000 litros de agua y abre el tapón. ¿En 
cuánto tiempo tendrá la piscina 4.000 litros si, por hora, se le va 5% del 
agua? 
1.3 Suponga una tasa de interés de 10% anual. ¿Cuánto tendría que depositar 
todos los años para tener $ 1.000 en el banco al final del año 10 si parte en 
el año 0 con un depósito inicial de $ 50? 
 
5 Debe hacerse notar que este teorema, a diferencia del teorema análogo en tiempo discreto 
discutido antes, se plantea aquí solo para ecuaciones diferenciales lineales. 
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 CAP.1 / INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES 31 
 
 
 
1.4 En relación con el ejemplo 1.7 (sobre el modelo de la telaraña), encuentre la 
ecuación de diferencias que describe la evolución de la producción, S(k), a 
través del tiempo. 
1.5 Usted acaba de depositar $ 1.000 en el banco a una tasa de 10% anual y 
desea retirar un monto fijo anual al final de cada uno de los próximos 4 
años. 
a) ¿Cuál es el monto máximo que puede retirar cada año? 
b) ¿Cuál es el monto máximo que puede retirar cada año si desea terminar 
con $ 500 al final de los 4 años? 
1.6 Suponga que la población de un país se duplicaría en 20 años si no hay 
inmigraciones. Sin embargo, la población creció de 1 millón a 2 millones en 
un período de solo 10 años debido a que un número constante de personas 
inmigró todos los años. Encuentre dicho número de personas definiendo 
claramente sus variables. 
1.7 En general, cuando se trabaja en tiempo discreto, hay que fijarse muy bien 
en el instante en que se supone se miden las variables (i.e., comienzo o final 
del período). Suponga que en el ejemplo 1.6 se define X(k) como el monto 
depositado en el banco al final del año k y b como el monto que se retira al 
comienzo de cada año. ¿Cuánto vale b en este caso? 
1.8 En relación con el ejemplo 1.10, suponga que en lugar de 8% anual, el 
banco paga 10% anual en las cuentas de ahorro. ¿Cuánta plata tendrá 
Juanito el día de su décimo cumpleaños? Resuelva usando un programa de 
planilla electrónica. 
1.9 El siguiente ejemplo demuestra que, para garantizar que la solución a una 
ecuación de diferencias sea única, es necesario especificar los n valores 
iniciales (donde n es el orden de la ecuación) en forma consecutiva. 
 Suponga 
 X(k+2) - X(k) = 0; X(0) = X(2) = 0 
 Encuentre al menos dos soluciones distintas a esta ecuación de diferencias, 
tomando en cuenta las condiciones iniciales planteadas. 
1.10 Este ejemplo demuestra que no siempre es posible encontrar una secuencia 
de valores reales que solucione una ecuación de diferencias. Suponga la 
ecuación X(k+1)2 + X(k)2 = -1. Explique, usando el teorema de existencia 
y unicidad, por qué no se puede encontrar una solución en este caso. 
1.11 Considere la ecuación de diferencias kX(k+1) - X(k) = 0 (k = 0,1,2,...). Si 
X(0) = 10, ¿qué valor toma X(1)? Explique por qué en este caso no se 
cumple el teorema de existencia y unicidad. 
1.12 Suponga 
 X(k+2) + k X(k+1)2 + k2X(k) = 3k; X(0) = 2, X(1) = 4. 
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32 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
a) ¿Cuál es el orden de la ecuación? 
 b) Demuestre, usando el teorema de existencia y unicidad, que esta ecuación 
de diferencias tiene una solución única. 
c) ¿Cuánto vale X(2), X(3) y X(4)? 
1.13 Son las 10:45 horas. Un estanque contiene 100 litros de salmuera de 
concentración 0,1 kg/litro. Se vierte salmuera de 0,7 kg/litro al estanque a 
razón de 4 litros por minuto y la mezcla sale del estanque a razón también de 
4 litros por segundo. 
 Si el agua es potable solo si tiene una concentración menor o igual a 0,3 
kg/litro, ¿hasta qué hora podrá beberse el agua salada del estanque? 
 En el momento en que deja de ser potable, ¿a qué tasa (porcentaje) crece el 
contenido de sal en el estanque? ¿Cuál es la tasa (porcentaje) de crecimiento 
en el contenido de sal en el largo plazo? 
1.14 En relación con el ejemplo 1.13, suponga que el ingreso de dicho país en 
2010 fue de 1.000. ¿Cuál debería ser el ingreso en el año 2025? Resuelva y 
grafique usando un programa de planilla electrónica. 
1.15 Un estanque contiene 100 litros de salmuera, cuya concentración es de 0,2 kg 
por litro; 3 litros de salmuera de concentración 0,3 kg/l fluyen al estanque 
cada minuto, mientras que 3 litros de la mezcla salen cada minuto. 
 Determine el contenido de sal en el estanque luego de una hora de proceso. 
1.16 En relación con el ejemplo 1.14, compruebe que la solución a la ecuación 
diferencial es la expresión 
 ( ) 
 
 
1.17 La población de peces en un lago es de 500 toneladas y crece a una tasa de 
4% anual. Si todos los años se capturan 40 toneladas, ¿cuál sería la población 
dentro de 5 años? Plantee el problema en tiempo continuo y resuelva. 
1.18 Suponga la ecuación diferencial X'(t) = a X(t) + b. Usando un programa de 
planilla electrónica, grafique la solución de dicha ecuación para los siguientes 
casos: 
a) a = 0,2; b = - 4; X(0) = 20. 
b) a = - 0,2; b = 5; X(0) = 28. 
c) a = 0; b = - 4; X(0) = 100. 
 
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CAPÍTULO 2 
 
 
ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y 
DIFERENCIALES 
 
En este segundo capítulo, el énfasis estará en la forma de solucionar las 
ecuaciones de diferencias y diferenciales. En primer lugar, se verá la solución de las 
ecuaciones lineales, para luego continuarcon el caso no lineal, el que se aborda 
principalmente a través de métodos numéricos de solución. 
Una ecuación de diferencias es lineal si se puede expresar como 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Por otro lado, una ecuación diferencial es lineal si se puede representar 
como 
 
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) 
Si g(k) o g(t) es igual a cero, se dice que la ecuación es homogénea. Si ai(·) 
= ai para todo i, se habla de coeficientes constantes. 
A continuación se analiza este tipo de ecuaciones. 
 
Ecuación lineal homogénea de coeficientes constantes 
Tiempo discreto 
Antes de examinar en detalle la ecuación de diferencias lineal homogénea 
de coeficientes constantes, se debe señalar que si la secuencia de números 
 X1(k) k = 0, 1, 2, ... 
es una solución a dicha ecuación, también lo es la secuencia de números 
 X2(k) = c X1(k) k = 0, 1, 2, ... 
 La razón para esta afirmación es que si X1(k) es una solución, entonces por 
definición de solución tiene que ser cierto que 
 X1(k+n) + an-1 X1(k+n-1) + ... + a0 X1(k) = 0 
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34 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Si se multiplica esta ecuación por c, se llega a 
 c X1(k+n) + ... + c a0 X1(k) = 0 k = 0, 1, 2 ... 
y lo que es lo mismo 
 X2(k+n) + ... + a0 X2(k) = 0 k = 0, 1, 2, ... 
 Con esto queda demostrado que si la secuencia X1(k) es solución, 
entonces c X1(k) también lo es. El ejemplo siguiente sirve para ilustrar este punto. 
Ejemplo 2.1 
 La ecuación lineal X(k+1) = 2 X(k) tiene como solución la expresión X(k) = 
2k , ya que 2k +1 = 2.2k. La secuencia alternativa X(k) = c.2k también la satisface, 
ya que c2k+1 = 2c2k. 
 El otro punto que es necesario señalar es que si las secuencias X1(k) e 
X2(k) son soluciones de la ecuación homogénea, entonces la secuencia 
 X3(k) = c1 X1(k) + c2 X2(k) 
también es solución. La demostración de este punto es similar a la demostración 
anterior (ver problema propuesto 2.4). 
 Ahora bien, un resultado importante para la ecuación homogénea 
 X(k+n) + an-1 X(k+n-1) + ... + a0 X(k) = 0 
es que siempre existe una solución del tipo X(k) = Ok ��para algún valor de O. 
 Si Ok es solución, quiere decir que 
 �� ���������������������������������������������� 
 Si se multiplica por O-k ��ambos lados de la ecuación, se tiene que 
 �� 
 Esta ecuación se conoce como ecuación característica de la ecuación de 
diferencias homogénea especificada anteriormente. 
 Claramente, para que la secuencia X(k) = Ok ��sea solución, es necesario que 
O satisfaga la ecuación característica. Como esta es una ecuación de grado n, debe 
tener n raíces que pueden ser reales o complejas e iguales o distintas entre sí. 
 Así, si Oi ��es una raíz de la ecuación característica, entonces la secuencia 
ci O
k
i �satisface la ecuación de diferencias original, con lo cual es solución. El 
ejemplo siguiente muestra el procedimiento para derivar las soluciones de una 
ecuación homogénea. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 35 
 
 
 
Ejemplo 2.2 
 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+2) = 6 X(k+1) - 8 X(k). 
 En este caso la ecuación característica es 
 O2 - 6O +8 = 0 
con lo que O1 = 2 y O2 = 4. 
 Esto quiere decir que tanto la secuencia c12k como c24k solucionan la 
ecuación de diferencias planteada. Esto quiere decir que 
 ( ) 
 Ahora bien, si además se conoce el valor de X(0) e X(1) (condiciones 
iniciales), es posible determinar los valores de c1 y c2. Por ejemplo, supóngase que 
X(0) = 2 y X(1) = 2. Esto querría decir que 
 c1 + c2 = 2 
 2c1 + 4 c2 = 2 
con lo cual c1 = 3, c2 = -1, y 
 X(k) = 3.2k - 4k. 
 Como esta ecuación satisface tanto la ecuación de diferencias como las 
condiciones iniciales, debe ser cierto que es la única solución al sistema completo. 
Ello, por cuanto en este caso se aplica el teorema de existencia y unicidad presentado 
en el Capítulo 1. 
 En general, en una ecuación de orden n, si las n raíces de la ecuación 
característica son distintas, entonces las n soluciones generadas 
 O
k
1�, O
k
2�, ..., O
k
n� 
son linealmente independientes, con lo cual pueden ser usadas para generar todas las 
soluciones a la ecuación de diferencias homogénea. Dicho de otra forma, si las n 
raíces de la ecuación característica son distintas, entonces toda solución a la ecuación 
de diferencias puede expresarse como 
 X(k) = c1 O
k
1 �+ c2 
 
�+ ... + cn O
k
n� 
 Como debería esperarse, las n constantes ci estarán relacionadas con las n 
condiciones iniciales, de manera de poder obtener la solución única del sistema 
completo de ecuaciones de diferencias que incluye dichas condiciones iniciales. 
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36 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 La razón para este último punto es que si se conocen las condiciones 
iniciales, entonces necesariamente se debe cumplir que 
 c1 O
0
1 �+ c2 O
0
2 �+ ... + cn O
0
n �= X(0) 
 . 
 . 
 . 
 c1 O
n-1
1 �+ c2 O
n-1
2 �+ ... + cn O
n-1
n �= X(n-1) 
 Si las secuencias 
 O
k
1�, O
k
2 �, ..., O
k
n� 
son linealmente independientes, entonces se podrá despejar c1 , c2 , ..., cn en 
términos de las condiciones iniciales. Una vez conocidos estos valores, y dado que la 
ecuación 
 X(k) = c1 O
k
1 �+ c2 O
k
2 �+ ... + cn O
k
n� 
satisface tanto la ecuación de diferencias original como las condiciones iniciales, 
entonces, nuevamente por el teorema de existencia y unicidad, debe ser cierto que la 
solución así generada sea la única solución al sistema completo. 
 A continuación se presentan algunos ejemplos adicionales de ecuaciones de 
diferencias. 
Ejemplo 2.3: Secuencia de Fibonacci 
 Supóngase la ecuación 
 X(k+2) = X(k+1) + X(k) k = 0, 1, 2, 3, ... 
 Es decir, el valor de la secuencia para cualquier k, es la suma de los dos 
valores anteriores. Supóngase además que las condiciones iniciales son X(0) = 0 y 
X(1) = 1. 
 La ecuación característica del sistema es , lo que implica que 
O 
 √ 
 
 y que O 
 √ 
 
 . 
Como las raíces de este sistema son distintas, cualquier solución a la 
ecuación homogénea, sin considerar las condiciones iniciales, puede expresarse 
como combinación lineal de las secuencias O 
 �y O 
 . Esto quiere decir que 
 ( ) O 
 O 
 
 Si se incluyen las condiciones iniciales, X(0) = 0, X(1) = 1, se puede 
determinar c1 y c2 resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 37 
 
 
 
 O 
 O 
 = c1 + c2 = 0 
 c1 O1 �+ c2 O2 �= 1 
 De aquí se obtiene 
 
√ 
; 
 
√ 
, con lo que la solución al sistema 
completo, que incluye las condiciones iniciales, sería 
 ( ) 
√ 
( √ 
 
) 
√ 
( √ 
 
) k = 0, 1, 2, ... 
 De esta forma, se puede determinar el valor de la secuencia para cualquier k. 
Cabe señalar que X(k) será siempre un número entero, aunque parezca extraño. 
 En este punto, es interesante destacar que el término ( √ 
 
) tiende a cero a 
medida que k tiende a infinito, con lo que para k suficientemente grande la secuencia 
X(k) es aproximadamente igual a 
 ( ) 
√( √ 
 
)
 
 
 Ello significa que la tasa de crecimiento de la secuencia, que es igual a 
 ( )
 ( )
 , tiende a (O1 - 1) = 0,618. El Cuadro 2.1 ilustra este hecho. Se volverá 
sobre la importancia de las raíces características en la determinación de las tasas de 
crecimiento más adelante. Por el momento, se hace notar que la tasa de crecimiento 
tiende a O1 - 1, donde O1 es la raíz característica mayor, en valor absoluto. 
Cuadro 2.1 
Secuencia de Fibonacci 
 k X(k) X(k+1)/X(k) 
 0 0 --- 
 1 1 1 
 2 1 2 
 3 2 1,5 
 4 3 1,667 
 5 5 1,6 
 6 8 1,625 
 7 13 1,615 
 8 21 1,619 
 9 34 1,618 
 10 55 1,618 
 
Ejemplo 2.4 
 Supóngase la ecuación 
 X(k+2) + X(k) = 0; X(0) = X(1) = 1 
 La ecuación característica en este caso es igual a 
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38 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 O2 �+ 1 = 0 
 O = ± -1 = ± i 
 En este caso, las raíces son complejas, lo cual no introduce problemas 
mayores. De hecho, en este caso la solución se puede expresar como 
 X(k) = c1 i
k + c2 (-i)
k 
 Si se incorporan las condiciones iniciales, se obtiene que 
 
 
 
 
 y que 
 
 
 
 
 
 con lo cual 
 ( ) ( 
 
 
 
) ( 
 
 
 
)(- ) 
 Aunque parezca extraño, esta expresión será real para cualquier valor de k. 
Más adelante, en este mismo capítulo, se verá que en el caso de raíces complejas, la 
solución se puede expresar en términos de senos y cosenos. 
 Hasta aquí se ha hablado de ecuaciones donde las raíces son todas distintas. 
En caso de haber repetición, por ejemplo O1 = O2, las secuencias 
 y serán 
linealmente dependientes, por lo que no podríamos obtener n secuencias 
independientes con las cuales poder expresar cualquier solución al sistema. Por lo 
mismo, no tendríamos garantía de poder expresar la solución del sistema completo, 
que incluye las condiciones iniciales, como combinación lineal de las soluciones 
anteriores. 
 Afortunadamente, existe un procedimiento para obtener n secuencias 
independientes cuando las raíces no son todas distintas. Este consiste en multiplicar 
la secuencia repetida Ok �por k, k2 , k3 , ..., tantas veces como sea necesario para 
tener independencia entre las secuencias. 
Ejemplo 2.5 
 Supóngase la siguiente ecuación característica de una ecuación de 
diferencias: 
 (O - 4)3 (O - 2)2 (O - 8) = 0 
 Esta ecuación de grado 6 tiene como raíces O1 �= 4, O2 �= 2, O3 �= 8, que 
se repiten 3, 2 y 1 vez, respectivamente. Esto quiere decir que cualquier solución 
puede escribirse como 
 X(k) = c1 4
k + c2 k4
k + c3 k
2 4k + c4 2
k + c5 k 2
k + c6 8
k 
 Para terminar, debe advertirse que en general la secuencia 
 ks Ok s > 0 
es solución a la ecuación homogénea solo si O se repite más de una vez como raíz de 
la ecuación característica. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 39 
 
 
 
Tiempo continuo 
A continuación se verá la forma de resolver ecuaciones diferenciales 
homogéneas de coeficientes constantes. El resultado, análogo al caso discreto, es que 
para la ecuación 
 
 
 
 
 
 
siempre existe una solución del tipo 
 X(t) = eOt 6 
con lo que X'(t) = OeOt , X"(t) = O2 �eOt , y en general 
 Xn(t) = On �eOt 
 Al reemplazar en la ecuación diferencial, se tiene que 
 On �eOt + an-1 On-1 �eOt + ... + a0 eOt = 0 
 Si se multiplican ambos lados de esta ecuación por e-Ot se tiene 
 On �+ an-1 On-1 �+ ... + a0 = 0 
 Esta es la ecuación característica del sistema homogéneo. Al igual que en el 
caso discreto, si O1, ... , On son raíces de la ecuación característica, entonces la 
función 
 X(t) = c1eO1t + ... + cneOnt 
también es solución a la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes 
planteada. Ahora bien, si las n raíces son distintas, entonces toda solución a la 
ecuación diferencial podrá expresarse en términos de la ecuación anterior. Ello, por 
cuanto eOit es linealmente independiente de eOjt toda vez que Oi sea distinto de Oj. 
Por último, si no todas las raíces son distintas, entonces se debe multiplicar la 
función repetida eOt por t, t2, t3, ..., tantas veces como sea necesario para tener 
independencia lineal entre las funciones, lo cual es análogo a lo que se hizo en el 
caso discreto. 
Ejemplo 2.6 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 X’’ - 5X’ + 6X = 0 
 
6 La expresión O es equivalente a O usada en el caso discreto, ya que O se puede escribir 
como 
 definiendo O O. 
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40 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 La ecuación característica es O2 �- 5O + 6 = 0, cuyas raíces son O1 �= 2 y O2 �
�= 3, con lo cual las funciones 
 X = e2t ; X2(t) = e
3t 
son soluciones a la ecuación diferencial planteada. En forma análoga al caso discreto, 
la solución general a la ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = c1 e
2t + c2 e
3t 
 Para terminar con este ejemplo, es conveniente señalar que en este caso la 
tasa de crecimiento de la variable X, X'/X, es igual a 
 
 
 
 
 
 
 Esta expresión tiende a 3 cuando t tiende a infinito. Esta sería la tasa de 
crecimiento de largo plazo y es igual a la mayor raíz característica. Se volverá sobre 
este punto más adelante. 
Ejemplo 2.7 
 Supóngase la ecuación diferencial 
d2X
dt2
 - 6 
dX
dt + 9 X = 0 
 La ecuación característica es O2 ��- 6�O�+ 9 = 0, cuyas raíces son ambas 
iguales a 3, con lo cual la solución general a la ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = c1 e
3t + c2 t e
3t 
Ejemplo 2.8 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 
d2X
dt2
 + X = 0 
 La ecuación característica es 
 O2 ��+ 1 = 0 
 Las raíces son O1 ��= i y O2 ��= -i, con lo cual la solución general a la 
ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = c1 e
it + c2 e
-it 
 Las constantes c1 y c2 se determinan una vez especificadas las condiciones 
iniciales. En forma análoga a lo señalado para el caso discreto, la expresión anterior 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 41 
 
 
 
será real para cualquier valor de t. Además, más adelante, en este mismo capítulo, se 
verá que en el caso de raíces complejas, la solución se puede expresar en términos de 
senos y cosenos. 
 Para terminar este análisis de las ecuaciones homogéneas de grado n, tanto 
en tiempo discreto como continuo, puede ser útil destacar que en el largo plazo 
 ( ) O ( ), o bien ( ) O ( ). 
Esto quiere decir que el comportamiento de largo plazo de secuencias que se 
comportan según ecuaciones de enésimo orden se puede representar por ecuaciones 
de primer orden. Ello con la excepción de raíces de la ecuación característica 
repetidas o de igual magnitud. 
 
Ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes 
 
Las ecuaciones lineales no homogéneas de coeficientes constantes se 
pueden expresar como 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
o como 
 
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) ( ) 
según si se trabaja en tiempo discreto o continuo. 
 
Tiempo discreto 
 El resultado principal para este tipo de ecuaciones se puede expresar en 
términos del siguiente teorema: 
Teorema 
 Sea Xp(k) una solución particular cualquiera a la ecuación de diferencias 
 X(k+n) + an-1 X(k+n-1) + ... + a0 X(k)= g(k). 
 El conjunto de todas las soluciones a esta ecuación es el conjunto de todas 
las funciones de la forma 
 X(k) = Xp(k) + Xh(k) 
donde Xh(k) es una solución a la ecuación homogénea correspondiente. 
 Este teorema dice que si Xp(k) es una solución, entonces Xp(k)+Xh(k) 
también es solución. La importancia de este resultado es que si se tiene n soluciones 
independientes a la ecuación homogénea y además una solución particular a la 
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42 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
ecuación no homogénea, entonces “cualquier” solución a la ecuación no homogénea 
puede expresarse como 
 X(k) = Xp(k) +c1 Xh1(k) + ... + cn Xhn(k) 
 Si se tiene, además, n condiciones iniciales, entonces para resolver el 
sistema completo, que incluye tanto la ecuación de diferencias original como las 
condiciones iniciales, solo se requerirá resolver un sistema de n ecuaciones lineales 
con n incógnitas. Esto se podrá hacer siempre si las ecuaciones son independientes, y 
ello será así toda vez que las soluciones Xhi(k) (i = 1, ..., n) sean independientes. 
 En relación con lo anterior, si se usa otra solución particular para la 
ecuación no homogénea, solo cambiarían los valores de ci en la solución del sistema 
no homogéneo completo. Como debe esperarse, el resultado final debe ser el mismo 
por el teorema de existencia y unicidad. 
Ejemplo 2.9 
 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+1) = a X(k) + b; X(0) = X0 
 La solución al sistema homogéneo, como ya se ha visto, es Xh(k) = ca
k . 
 Si la secuencia Xp(k) = A fuera usada como solución particular al sistema 
no homogéneo, entonces 
 X(k+1) = A = a X(k) + b = a A + b 
lo que hace que A = b/(1-a). Esto quiere decir que cualquier solución a la ecuación 
no homogénea puede escribirse como 
 X(k) = Xh(k) + Xp(k) = ca
k + 
b
1-a 
 Dado que X(0) = ca0 + 
b
1-a = X0 , se tiene que 
 c = X0 - 
b
1-a 
lo que implica que la solución del sistema no homogéneo, incluidas las condiciones 
iniciales, es 
 X(k) = (X0 - 
b
1-a )a
k + 
b
1-a = X0 a
k + 
1-ak
1-a b 
 Esta solución es obviamente igual a la derivada en el Capítulo 1 para el caso 
en que la entrada al sistema era una constante. En el ejemplo siguiente se verá cómo 
resolver una ecuación cuando la entrada depende de k. 
 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 43 
 
 
 
Ejemplo 2.10 
 Supóngase la ecuación 
 X(k+1) = a X(k) + k 
 En este caso la solución al sistema homogéneo es igual al ejemplo anterior. 
El problema es, por lo tanto, encontrar una solución particular al sistema no 
homogéneo. Si se prueba la secuencia constante 
 Xp(k) = A 
entonces debería ser cierto que X(k+1) = A = a A + k = a X(k) + k, con lo que A 
debería ser igual 
k
1 - a Esto querría decir que A no es constante y que depende de k. 
Esto implica que Xp(k) = A no puede ser usada como solución particular. 
 Por otro lado, si se prueba la secuencia 
 Xp(k) = A k + B 
entonces debería ser cierto que 
 Xp(k+1) = A(k+1) + B = a Xp(k) + k = a(A k + B) + k 
con lo cual 
 A k + A + B = a A k + a B + k. 
 Esto implicaría que 
 (A - a A - 1) k + (A + B - a B) = 0 
 Esta ecuación será válida para todo k solo si los términos entre paréntesis 
son 0. Es decir, debe cumplirse que 
 A - a A - 1 = 0; A + B - a B = 0 
 Este sistema de ecuaciones en A y B implica que 
 A = 
1
1-a ; B = 
-1
(1-a)2
 
 Así, 
 Xp(k) = A k + B = 
k
1-a - 
1
(1-a)2
 
 Con esto, cualquier solución al sistema 
 X(k+1) = a X(k) + k 
puede expresarse como 
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44 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 X(k) = Xp(k) + Xh(k) = 
k
1-a - 
1
(1-a)2
 + cak 
donde cak es, como ya se ha visto, la solución general al sistema homogéneo. 
 Ahora el problema es cómo encontrar soluciones particulares sin la 
necesidad de usar el mecanismo de prueba y error. La tabla siguiente resume los 
principales casos.7 
Cuadro 2.2 
Solución particular de las ecuaciones de diferencias no homogéneas 
 
g(k) Solución particular Xp(k) 
bak A a
k 
sen(bk) o cos(bk) A sen(bk) + B cos(bk) 
bkn A
0 
+ A
1 
k + A
2 
k
2 + ... + A
n 
k
n 
bkn ak ak (A0 + A1k + ... + Ank
n) 
cak sen(bk) o cak cos(bk) ak (A sen(bk) + B cos(bk)) 
 
Si la solución particular incluye una función que es solución al sistema 
homogéneo, dicha solución particular debe multiplicarse por k e intentar una nueva 
solución. Si esta función sigue siendo una solución al sistema homogéneo, se usa k
2 , 
k
3 , ..., hasta que no lo sea. Este procedimiento es análogo al caso homogéneo visto 
anteriormente. 
 Otro resultado importante es que si g(k) = g1(k) + g2(k) , la solución 
particular se encuentra tratando ambos casos en forma separada. Es decir, 
 Xp(k) = Xp1(k) + Xp2(k) 
donde Xp1(k) soluciona el sistema con g1(k) y Xp2(k) soluciona el sistema con 
g2(k) . 
 
Ejemplo 2.11 
 Suponga la siguiente ecuación de diferencias 
 X(k+2) - 4 X(k+1) + 4 X(k) = 3 k + 2k ; X(0) = 8; X(1) = 10 
 
7Esta tabla fue extraída de Goldberg, S. (1958): Introduction to difference equations. John 
Wiley and Sons Inc., página 146. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 45 
 
 
 
 Para resolver esta ecuación, en primer lugar debe analizarse la ecuación 
homogénea 
 X(k+2) - 4 X(k+1) + 4 X(k) = 0 
 La ecuación característica es 
 O� - 4 O + 4 = 0 
lo que implica que . Como ambas raíces son iguales, las secuencias 2k y 
k2k son dos secuencias independientes que garantizan que cualquier solución al 
sistema homogéneo puede expresarse como 
 Xh(k) = c12
k + c2k2k 
 Para ver la solución particular, se debe separar el análisis en dos partes. Para 
g1(k) = 3k, la solución particular sería, de acuerdo a la tabla 
 Xp1(k) = A0 + A1 k 
 Para g2(k) = 2
k , la solución sería A2k . Como esta secuencia soluciona el 
sistema homogéneo se debe usar Ak2k . Como esta secuencia también soluciona el 
sistema homogéneo, se usa 
 Xp2(k) = A k
2 2k 
 Así, una solución particular es 
 Xp(k) = A0 + A1 k + A k
2 2k 
 Para determinar A, A0 , A1 , se reemplaza Xp(k) en la ecuación de 
diferencias original, lo que da como resultado 
 Xp(k+2) - 4 Xp(k+1) + 4 Xp(k) = (A0 -2A1 ) + A1 k + 8A2
k = 0 + 3k + 
2k 
 Esto significa que 
 A0 - 2A1 = 0; A1 = 3; 8A = 1 
con lo cual A = 
1
8 ; A0 = 6; A1 = 3. 
 De aquí se desprende que 
 Xp(k) = 6 + 3k + 
1
8 k
2 2k 
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46 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Esta secuencia satisface la ecuación de diferencias original, pero no cumple 
con las condiciones iniciales. De acuerdo con lo señalado anteriormente, sin 
embargo, cualquier solución al sistema no homogéneo debe poder expresarse como 
 X(k) = (c1 + c2 k)2
k + 6 + 3k + 
1
8 k
2 2k 
 Para determinar c1 y c2 de tal forma de obtener la solución única al 
sistema no homogéneo que incluye las condiciones iniciales, se debe despejar c1 y c2 
de las ecuaciones 
 X(0) = c1 + 6 = 8 
 X(1) = (c1 + c2 ) 2 + 6 + 3 + 
2
8 = 2 c1 + 2 c2 + 
37
4 = 10 
 La solución de este sistemade ecuaciones es c1 = 2; c2 = -1,625. Con 
esto la solución del sistema no homogéneo completo que incluye las condiciones 
iniciales es la secuencia de números 
 X(k) = (2 - 1,625 k) 2k + 6 + 3 k + 
1
8 k
2 2k k = 0, 1, 2, ... 
 Para terminar esta sección, se debe destacar que cuando g(k) es una 
expresión compleja que no permite una solución analítica para X(k), se debe recurrir 
al método recursivo. En este caso, lo mejor es usar algún programa de planilla 
electrónica. 
 
Tiempo continuo 
Al igual que en el caso discreto, para solucionar ecuaciones no homogéneas, se debe 
primero solucionar el sistema homogéneo y luego buscar una solución particular al 
sistema no homogéneo, para así llegar a la solución general. 
Ejemplo 2.12 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 
dX
dt = aX + b; X(0) = 5 
 La ecuación característica es O - a = 0, con lo cual la solución al sistema 
homogéneo es, como ya se vio, 
 Xh(t) = ce
at 
 Como solución particular se prueba la función 
 Xp(t) = A 
con lo cual 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 47 
 
 
 
 X'p(t) = 0 = a A + b 
 Así, A = - 
b
a 
con lo que la solución general a la ecuación diferencial debe ser del tipo 
 X(t) = - 
b
a + ce 
at 
 Falta determinar c. Como X(0) = 5, se tiene que (-b/a) + c = 5, con lo que la 
solución general al sistema completo es 
 X(t) = - 
b
a + (5 + 
b
a) e
at 
 Ahora bien, para encontrar soluciones particulares, se puede usar la 
siguiente tabla. 
Cuadro 2.3 
Solución particular de las ecuaciones diferenciales no homogéneas 
g(t) Solución particular ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
su suma 
 
 
( 
 ) 
( 
 ) 
 ( 
 ) 
 
Si la solución particular incluye una función que es solución al sistema 
homogéneo, dicha solución particular debe multiplicarse por t e intentar una nueva 
solución. Si esta solución particular sigue siendo solución al sistema homogéneo se 
usa t2 , t3 , ..., hasta que no lo sea. Adicionalmente, al igual que en el caso discreto, 
si g(t) = g1(t) + g2(t), la solución particular se encuentra tratando ambos casos en 
forma separada. Es decir, Xp(t) = Xp1(t) + Xp2(t). 
Ejemplo 2.13 
 Supóngase la ecuación diferencial 
 X' - 8X = 5t2; X(0) = 4. 
 La solución al sistema homogéneo es Xh(t) = ce
8t. Como solución 
particular se prueba 
 Xp(t) = Ao + A1t + A2 t
2. 
Así 
 X'p(t) = A1 + 2A2t = 8Xp(t) + 5t
2 = 8Ao + 8A1t + 8A2 t
2 + 5t2 
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48 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
con lo que 
 (A1 - 8Ao) + (2A2 - 8A1)t - (8A2 + 5)t
2 = 0 
 Para que esta ecuación sea válida para todo t, es necesario que los términos 
entre paréntesis sean todos 0. Así 
 Ao = 
-5
256 ; A1 = 
-5
32 ; A2 = 
-5
8 
y en consecuencia, la solución general al sistema es 
 X(t) = ce
8t
 - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
 Como X(0) = 4 = c - 
5
256 , se tiene que c = 4 + 
5
256 , con lo cual la solución 
al sistema completo es 
 X(t) = (4 + 
5
256) e
8t - 
5
256 - 
5
32 t - 
5
8 t
2 
 
Oscilaciones en las ecuaciones lineales de coeficientes constantes 
 A continuación se analiza la evolución de ecuaciones dinámicas que 
presentan oscilaciones a través del tiempo. El estudio se hace en base a ecuaciones 
lineales de coeficientes constantes. Se comienza con ecuaciones en tiempo continuo 
para seguir con ecuaciones en tiempo discreto. 
Tiempo continuo 
 Antes de analizar las ecuaciones diferenciales que presentan oscilaciones, es 
conveniente demostrar que cuando la ecuación característica de una ecuación 
diferencial tiene raíces complejas, es posible expresar la solución en términos de 
senos y cosenos. Esto se hace a continuación, usando las expansiones de Taylor para 
las funciones eat, sen wt, y cos wt. 
Expansión de Taylor 
 Toda función continua, que permita ser derivada varias veces, se puede 
expresar como un polinomio de la forma 
 f(x) = f(x0) + 
f'(x0)
1! (x-x0) + 
f"(x0)(x-x0)2
2! + ... 
 Este resultado se conoce como Teorema de Taylor y permite aproximar una 
función al grado que se desee. Para entender la expresión anterior se utiliza el 
siguiente ejemplo. 
 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 49 
 
 
 
 
Ejemplo 2.14 
 Supóngase la función f(x) = ex. En este caso f'(x) = ex ; f"(x) = ex, etc. 
 Si se expande alrededor de x0 = 0, entonces 
 f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + 
f"(0)(x-0)2
2! +... = 1 + x + 
x2
2 + 
x3
6 + 
x4
24 + 
x5
 120 +... 
 A modo de ejemplo, para encontrar el valor de e, este se puede aproximar 
usando el polinomio anterior hasta la derivada que más convenga. El cuadro 
siguiente muestra este hecho. 
Cuadro 2.4 
Ejemplo del Teorema de Taylor 
 n e 
 1 1 + 1 = 2 
 2 1 + 1 + 
1
2 = 2,5 
 3 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 = 2,6667 
 4 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 + 
1
24 = 2,7083 
 5 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 + 
1
24 + 
1
120 = 2,7167 
 6 1 + 1 + 
1
2 + 
1
6 + 
1
24 + 
1
120 + 
1
720 = 2,7181 
 Para expandir las funciones trigonométricas de seno y coseno, es 
conveniente medir los ángulos en términos de radianes, con lo que 
 
d sen wt
dt = w cos wt; 
d cos wt
dt = - w sen wt. 
 De aquí se desprende que si f(t) = sen wt, entonces 
 f'(t) = w cos wt; f'(0) = w 
 f''(t) = - w2 sen wt; f''(0) = 0 
 f'''(t) = - w3 cos wt; f'''(0) = - w3 
 f''''(t) = w4 sen wt; f''''(0) = 0 
 . 
 . 
 . 
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50 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS / GONZALO EDWARDS 
 
 Sustituyendo estos resultados en la ecuación original de la expansión de 
Taylor, se desprende que 
 sen(wt) = wt - 
w3t3
3! + 
w5t5
5! - 
w7t7
7! + . . . 
 Siguiendo un procedimiento análogo para expandir la función f(t) = cos wt, 
es posible ver que 
 cos(wt) = 1 - 
w2t2
2! + 
w4t4
4! - 
w6t6
6! + . . . 
 Repitiendo el procedimiento para expandir las funciones f(t) = eiwt y 
f(t) = e-iwt, donde i = -1 y donde la derivada de la función eat es 
d eat
dt = a e
at, se 
puede demostrar que 
 eiwt = 1 + iwt - 
w2t2
2! - 
iw3t3
3! + 
w4t4
4! + 
iw5t5
5! - ... 
 e-iwt = 1 - iwt - 
w2t2
2! + 
iw3t3
3! + 
w4t4
4! - 
iw5t5
5! - ... 
 Con esto, es fácil ver que 
 eiwt = cos wt + i sen wt 
y que 
 e-iwt = cos wt - i sen wt 
 Ahora bien, supóngase que las raíces de la ecuación característica son 
 O = P ± iw 
 Con esto, la solución al sistema homogéneo X(t) c1 eO1t � c2 eO2t 
toma la forma 
 = c1 e
Pt eiwt + c2 ePt e-iwt 
 = ePt [c1 (cos wt + i sen wt) + c2 (cos wt - i sen wt)] 
 = ePt [A sen wt + B cos wt] 
donde 
 A = c1i - c2i 
 B = c1 + c2 
 Debe señalarse que X(t) es una función real aun cuando O1, O2 sean 
complejos. Asimismo debe señalarse que siempre las constantes A y B, que quedan 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 51 
 
 
 
determinadas por las condiciones iniciales, serán reales. Este resultado se verá a 
través de algunos ejemplos. 
 
Ejemplo 2.15 
 Supóngasela ecuación diferencial 
 X" + X = 0 ; X(0) = 1, X'(0) = 2. 
 La ecuación característica es O2 + 1 = 0, cuyas raíces son O = ± i. Así, X(t) 
debe tomar la forma 
 X(t) = e0t [A sen t + B cos t] = A sen t + B cos t 
ya que en este caso P = 0 y w = 1. 
 Como X(0) = 1 y X'(0) = 2, se desprende que 
 A sen 0 + B cos 0 = B = 1 
 A cos 0 - B sen 0 = 2 
lo que implica que A = 2. Así, la solución a esta ecuación diferencial será 
 X(t) = 2 sen t + cos t. 
 
 El Gráfico 2.1 muestra la evolución de X(t) a través del tiempo. 
GRÁFICO 2.1 
Solución a la ecuación diferencial X" + X = 0; 
X(0) = 1; X'(0) = 2 
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
t
X(t)
 
Ejemplo 2.16 
 Supóngase la ecuación 
 X" - X' + 2X = 0; X(0) = 3; X'(0) = 1 
 La ecuación característica es 
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 O2 - O + 2 = 0 
cuyas raíces son 
 O�= 
1
2 ± 
i 7
2 , 
con lo cual X(t) debe tomar la forma 
 X(t) = e0,5t (A sen 
7
2 t + B cos 
7
2 t) 
 Como X(0) = 3 y X´(0)=1, se desprende que y 
√ 
 , 
 ( ) ( √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 ) 
con lo que la solución es 
 ( ) ( 
 √ 
√ 
 √ 
 
 ) 
Frecuencia de oscilaciones 
En una función del tipo 
 X(t) = ePt (A sen wt + B cos wt), 
donde las raíces características de la ecuación diferencial pueden expresarse como O 
= P ± iw, las oscilaciones están dadas por el término w y si estas son convergentes o 
divergentes dependerá de si el término P es menor o mayor que cero. 
 Ahora bien, el término entre paréntesis, que define las oscilaciones, tiene un 
período igual a 2 S (circunferencia completa), lo cual significa que 
 A sen wt + B cos wt = A sen (wt + 2S) + B cos (wt + 2S) 
 = A sen wt1 + B cos wt1 
donde t1 = 
2S
w + t 
 Esto quiere decir que los ciclos en la variable X(t) tienen una duración de 
2S/w unidades de tiempo. Este punto se clarifica si se observa que 
 A sen (wt + 2S) + B cos (wt + 2S) = A sen w(t+2S/w) + B cos w(t+2S/w) 
 El término w es conocido como la frecuencia de oscilaciones y mide el 
número de ciclos por cada 2S unidades de tiempo. 
Tiempo discreto 
 A continuación se analiza la evolución de sistemas dinámicos en tiempo 
discreto que presentan oscilaciones a través del tiempo. Al igual que en el caso 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 53 
 
 
 
continuo, raíces características complejas dan origen a oscilaciones, como se verá a 
continuación. Sin embargo, existe en este caso otra fuente de oscilaciones, que es 
cuando alguna o algunas raíces características, siendo reales, son negativas. En esta 
situación, el término Ok cambia de signo período a período.8 A continuación, se 
analizarán sistemas que presentan oscilaciones como producto de raíces complejas. 
 Supóngase que la ecuación característica de una ecuación de diferencias 
tiene como raíces los complejos conjugados O1 = a + bi y O2 = a - bi. Esto implicaría 
que la solución al sistema homogéneo sería de la forma 
 X(k) = c1 (a + bi)
k + c2 (a - bi)
k 
 Ahora bien, al representar la raíz compleja en forma gráfica, tal como se 
hace en el Gráfico 2.2, es claro que 
 O1 = a + bi = a2+b2 (
a
a2+b2
 + i 
b
a2+b2
)= r (cos T + i sen T) = reiT 
 O2 = a - bi = r (cos T - i sen T) = re-iT 
GRÁFICO 2.2 
�
 Es posible ver, usando las expansiones de Taylor presentadas más arriba, 
que 
 O
k
1 �= r
k eikT = rk (cos kT + i sen kT) 
 O
k
2 �= r
k e-ikT = rk (cos kT - i sen kT) 
 
 Con esto, la solución al sistema homogéneo puede reescribirse como 
 X(k) = c1 r
k (cos kT�+ i sen kT) + c2 rk (cos kT�- i sen kT) 
 = rk [c1 (cos kT�+ i sen kT) + c2 (cos kT�- i sen kT)] 
 = rk (A sen kT�+ B cos kT) 
 
8Otra fuente de oscilaciones, válida tanto para el caso discreto como para el caso continuo, es 
cuando la entrada o salida oscila. 
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donde 
 A = c1i - c2i; B = c1 + c2 
 Debe recordarse, al igual que para el caso continuo, que X(k) es una función 
real aun cuando las raíces características sean complejas. Asimismo, debe señalarse 
que para que X(k) sea real para todo nivel de k, es necesario que las constantes A y 
B, que se determinan una vez especificadas las condiciones iniciales, sean siempre 
reales. Por último, se destaca que la convergencia o no de X(k) al equilibrio, depende 
de r, que es función tanto del componente real como del componente imaginario de 
las raíces características. Si r > 1, el sistema diverge; y si r < 1, el sistema converge. 
Ejemplo 2.17 
 Supóngase la ecuación de diferencias 
 X(k+2) - 2X(k+1) + 2X(k) = 0; X(0) = 2; X(1) = 5. 
 La ecuación característica 
 O2 - 2 O + 2 = 0 
tiene como raíces 
 O1 = 1 + i; O2 = 1 - i 
con lo cual 
 a = 1; b = 1; r = a2 + b2 = 2 
 El ángulo T tiene un valor de S4 , ya que estos se deben expresar en 
radianes. Es equivalente a 45 grados (T = arctan b/a). Con esto, la solución a la 
ecuación es 
 X(k) = ( 2 )k [A sen 
S
4 k + B cos 
S
4 k] 
 Como X(0) = 2 y X(1) = 5, se desprende que 
 X(0) = B = 2; X(1) = 2 (A sen 
S
4 + B cos 
S
4 ) = A + B = 5 
 Esto quiere decir que A = 3, y que 
 X(k) = ( 2)k [3 sen 
S
4 k + 2 cos 
S
4 k] 
 En forma análoga a lo señalado en el caso continuo, los ciclos en la variable 
X(k) tienen una duración de 
 
 unidades de tiempo. Como en este caso 
 
, los ciclos en 
la variable X(k) tienen una duración de 8 períodos. 
 El Gráfico 2.3 muestra la evolución de X(k) a través del tiempo. 
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 CAP.2 / ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES 55 
 
 
 
 Para terminar, es importante señalar que el tamaño de los ciclos, tanto en 
ecuaciones lineales discretas como continuas, es constante a través del tiempo. No 
puede haber un ciclo de 3 años y luego uno de 5 años. Para modelar este tipo de 
situaciones, necesariamente se debe recurrir a ecuaciones no lineales. 
 
GRÁFICO 2.3 
Solución a la ecuación de diferencias 
X(k+2) - 2X(k+1) + 2X(k) = 0; X(0) = 2; X(1) = 5 
-500
0
500
1.000
1.500
2.000
0 4 8 12 16
 
 
Ecuaciones lineales no homogéneas de coeficientes no constantes 
Tiempo continuo 
A continuación se verá cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de 
primer orden cuando los coeficientes dependen del tiempo. Se trata entonces de 
solucionar ecuaciones del tipo 
x’(t) + p(t) x(t) = g(t) 
El método, conocido como el método de variación de parámetros, consiste en 
postular una solución del tipo 
 ( ) ( ) ∫ ( ) 
y encontrar la función A(t), la cual debe satisfacer la condición 
 ( ) ( ) ∫ ( ) 
 
Ejemplo 2.18 
Supóngase la ecuación 
X’ + t X = 2t 
 Para resolverla, se debe encontrar, en primer lugar, la función A(t). Como en 
este caso g(t) = 2t y p(t) = t, se debe cumplir que 
 ( ) ∫ 
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Es fácil comprobar que en este caso, 
 ( ) 
Así, ( ) ∫ . 
Para comprobar que esta