Pauta Examen 2021-2

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Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios EAF2010 2021
Examen
Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios - EAF2010
Bernardo Quiroga (secc. 1-2) Bernardita Vial (secc. 3)
11 de Diciembre de 2021
Pregunta I (40 puntos): Preguntas cortas
Elija y responda solamente cuatro de las siguientes preguntas (si responde más de cuatro se considerarán
los cuatro puntajes más bajos).
1. (10 puntos) Una empresa competitiva tiene una función de costos
c∗(q) = 2q3/2,
donde q es la cantidad a producir. Su objetivo es maximizar la ganancia π = pq − c∗(q), donde p es el
precio de venta del bien.
a) (5 puntos) Resuelva el problema de optimización encontrando la función de oferta q∗(p). No olvide
verificar si el punto crítico es un máximo.
b) (5 puntos) Calcule la elasticidad εq,p de la oferta. ¿Cuánto espera que aumente la cantidad pro-
ducida si el precio p aumenta en un 5 % entonces?
2. (10 puntos) Las funciones de demanda por los bienes x e y son
x∗(px, py,m) =
m
2px
,
y∗(px, py,m) =
m
2py
,
donde m es el ingreso y px, py son los precios de los bienes (todos estrictamente positivos).
a) (5 puntos) ¿Son homogéneas en (px, py,m) estas funciones? Demuestre y explique qué implica
(qué sentido económico tiene) el grado de homogeneidad de ellas.
b) (5 puntos) Suponga que estas demandas se obtienen de la maximización de la utilidad
u(x, y) =
√
xy
sujeto a una restricción presupuestaria. Usando el teorema de la envolvente indique cuál es el valor
del multiplicador de Lagrange λ∗; ¿qué indica esto respecto de impacto que tiene un aumento en
m sobre la utilidad, y cómo este depende de los precios?
3. (10 puntos) Considere un sistema dinámico descrito por la siguiente ecuación en diferencias:
xt+1 = axt + b.
Represente el sistema mediante un diagrama de fase y discuta su estabilidad para los siguientes casos:
(i) a = 0,5; b = 2, (ii) a = −2; b = 10.
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4. (10 puntos) Un individuo anticipa que sus flujos de ingreso en t = 0 y t = 1 serán m0 = 10000 y
m1 = 12100 respectivamente. Además tiene acceso al mercado de capitales que le permite ahorrar o
endeudarse a tasa r. Su preferencia por consumo presente (c0) y futuro (c1) se representa mediante la
utilidad intertemporal
U = ln (c0) + 0,95 ln (c1)
a) (2 puntos) Explique por qué lo máximo que puede consumir en t = 1 es
c1 = (m0 − c0)(1 + r) +m1
b) (8 puntos) Maximizando U sujeto a la restricción presupuestaria descrita en a) encuentre el
consumo presente óptimo, c∗0(r), y explique por qué es creciente o decreciente en r. No olvide
verificar si el punto crítico es un máximo.
5. (10 puntos) Una empresa de venta de ropa de caballeros debe optimizar el marketing mix de los dos
tipos de productos que vende, pantalones y camisas. Las utilidades por las ventas de cada una de las
líneas de productos, T (pantalones) y Z (camisas), son definidas por las variables t y z, respectivamente.
La utilidad total de la empresa proveniente de combinar las dos fuentes de utilidades individuales se
define por la función X(z, t):
X(z, t) = β · (zβ + tβ)
a) (2 puntos) Determine si X es homotética o no.
b) (3 puntos) Calcule la tasa marginal de substitución, TMS(z,t).
c) (5 puntos) Calcule la elasticidad de substitución entre t y z.
Respuesta.
1. a) La función objetivo
π = pq − 2q3/2
tiene segunda derivada −32q
−1/2 < 0. Luego, es estrictamente cóncava por lo que hay un máximo global
único. Ese máximo se encuentra a partir de p− 3q1/2 = 0, por lo que la oferta es:
q∗ = p2/9
b) La elasticidad se puede calcular aplicando logaritmo o directamente. Se obtiene
εq,p = 2
Luego, si p aumenta 5% la cantidad producida aumenta en 10%.
2. a) Son homogéneas de grado cero. Esto significa que si cambian precios e ingreso en el mismo porcentaje
no cambia la demanda (porque la restricción presupuestaria no cambia).
b) La función de valor (utilidad máxima, o utilidad indirecta) es
v(px, py,m) =
m
2
√
pxpy
Luego,
λ∗ =
1
2
√
pxpy
Si aumenta m sube la utilidad máxima, pero esa alza es menor mientras más caros sean los bienes.
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3. (i) Recta con pendiente 0,5 e intercepto 2; punto fijo x∗ = 4 es estable, lo que se observa en el diagrama
de fase: partiendo de cualquier punto distinto de 4, el sistema converge a 4. (ii) Recta con pendiente -2
e intercepto 10; punto fijo x∗ = 10/3 es inestable, lo que se observa en el diagrama de fase: partiendo
de cualquier punto distinto de 10/3, el sistema diverge.
4. a) Si consume c0 en t = 0, ahorra la diferencia obteniendo (m0− c0)(1 + r) en t = 1, lo que puede usar
junto con m1 para consumir en ese período.
b) U es cóncava (suma de cóncavas) y la restricción es lineal, por lo que se obtendrá un máximo. Puede
usar Lagrange o método directo (reemplazar c1 y resolver para c0). Se obtiene
c∗0 =
m0
1,95
+
m1
1,95(1 + r)
Mientras más alta la tasa de interés mayor es el costo de dejar de ahorrar o endeudarse, por lo que
baja c0.
5. a) Verificar queX es homogénea es directo:X(θ·z, θ·t) = β·((θz)β+(θt)β) = β·(zβ+tβ)·θβ = X(z, t)·θβ
Como X es homogénea de grado β, es homotética también.
b)
Xt = β
2tβ−1
Xz = β
2zβ−1
TMSzt = Xt/Xz = (
z
t
)1−β
c) La elasticidad de substitución es σzt =
∂ ln(z/t)
∂ lnTMSzt
. Luego:
Pregunta II (30 puntos): Ahorrando para la educación superior
Al nacer su hija un padre decide poner un monto X0 en una cuenta de ahorro que entrega un interés de
r = 10 % anual, esperando acumular en 18 años un monto suficiente para asegurar el financiamento de su
educación superior.
a) (5 puntos) Si necesita acumular $50 000 000 (50 millones) en t = 18, ¿Cuál debería ser el monto X0 que
invierte en t = 0? Puede dejar expresado su resultado sin resolver el monto exacto (pero debe despejar
hasta el último paso).
b) (10 puntos) Entusiasmado con la idea, el abuelo se compromete a aportar $500 000 (500 mil) al final de
cada año, por lo que obtiene
xt+1 = (1 + r)xt + 500 000
en cada fecha. Con este aporte, ¿cuánto debería poner el padre en t = 0 para acumular $50 000 000 en
t = 18? Puede dejar expresado su resultado sin resolver el monto exacto (pero debe despejar hasta el
último paso).
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c) (15 puntos) Por último, suponga que una tía se compromete a aportar a partir de t = 2 un 5, 75 % de lo
que se haya logrado acumular dos años atrás. Así, se obtiene
xt+2 = (1 + r)xt+1 + 0,0575xt + 500 000
El padre calcula que poniendo X0 = 1 500 000 en t = 0 puede juntar más de lo necesario.
c.1) (10 puntos) Resuelva la ecuación en diferencias, considerando que x0 = 1 500 000 y x1 = 2 150 000.
Puede dejar expresado(s) su(s) resultado(s) sin resolver cada número exactamente (pero debe des-
pejar hasta el último paso las incógnitas que deba resolver).
c.2) (5 puntos) Identifique qué variables afectan los valores de las raíces de la ecuación característica λ1
y λ2, y qué variables afectan el estado estacionario x∗. ¿En qué afectan entonces los montos iniciales
x0 y x1? Justifique sus respuestas.
Respuesta.
a) La solución de xt+1 = (1 + r)xt es
xt = (1 + r)
tx0
Luego, debe poner x0 = 50,000,000/1,118 = $8,992,939, 5 para tener x18 = 50,000,000.
b) La solución de xt+1 = (1 + r)xt + 500000 es
xt = (1 + r)
t
(
x0 +
b
r
)
− b
r
Entonces, debe poner x0 = 55,000,000−1,1
185,000,000
1,118
= 4,892,233, 44 para obtener lo que necesita.
c.1) La ecuación característica de la parte homogénea es λ2 − 1,1λ − 0, 575 = 0 que tiene soluciones
λ1 = 1,15 y λ2 = −0,05. Como solución particular de la parte no homogénea podemos usar el estado
estacionario (constante A) que es x∗ = −3,174,603. Luego, obtenemos
xt = c1 ∗ 1,15t + c2 ∗ (−0,05)t + x∗,
y al evaluar en t = 0 y t = 1 encontramos c1 = 4631944,4 y c2 = 42658,7. Así, la solución es
xt = 4631944,4 ∗ 1,15t + 42658,7 ∗ (−0,05)t − 3,174,603,
c.2) La ecuación característica depende de la tasa de interés y del porcentaje que aporte la tía (parte
homogénea). El estado estacionario depedendeademás del aporte del abuelo (parte no homogénea).
Para encontrar la solución única hace falta incorporar los valores iniciales, que permiten encontrar
la secuencia de monto acumulado en cada fecha t.
Pregunta III (30 puntos): Maletín Literario
El Ministerio de Educación y la Dirección de Bibliotecas, Archivos y Museos están a cargo de planificar
la entrega del llamado “Maletín Literario” (una biblioteca básica para estimular los hábitos de lectura en la
población). Se entregan tres tipos de maletines: A, B y C, con respectivos costos unitarios de M$20, M$24
y M$5
Todas las opciones de composición de los maletines de cada tipo se encuentran resumidas en el siguiente
cuadro:
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El Ministerio de Educación ha fijado como meta que se entreguen al menos 3200 libros de literatura
chilena y 1600 libros de literatura universal.
Por lo tanto, el problema que enfrenta el gobierno es el siguiente:
mı́n
(a,b,c)∈R3
V (a, b, c) = 20a+ 24b+ 5c
sujeto a
16a+ 12b+ 5c ≥ 3200 ;
8a+ 12b+ c ≥ 1600 ;
a ≥ 0 ; b ≥ 0 ; c ≥ 0
a) (5 puntos) Utilizando el método de (Karush-)Kuhn-Tucker, escriba el Lagrangeano y las condiciones de
primer orden (CPO) del problema presentado. (Ayuda: NO escriba los casos, ni resuelva todavía)
Respuesta. Primero, se debe recordar escribir las restricciones como ≤ y la función objetivo de minimizaón
de V (a, b, c) como maximización de −V (a, b, c)
Versión 1:
L = −20a− 24b− 5c+ λ1(16a+ 12b+ 5c− 3200) + λ2(8a+ 12b+ c− 1600) + λ3a+ λ4b+ λ5c
con condiciones de KKT:
(1) Derivadas iguales a cero:
∂L
∂a
= −20 + 16λ1 + 8λ2 + λ3 = 0
∂L
∂b
= −24 + 12λ1 + 12λ2 + λ4 = 0
∂L
∂c
= −5 + 5λ1 + 1λ2 + λ5 = 0
(2) Holguras complementarias:
λ1 ≥ 0 ; λ1(16a+ 12b+ 5c− 3200) = 0
λ2 ≥ 0 ; λ2(8a+ 12b+ c− 1600) = 0
λ3 ≥ 0 ; λ3a = 0
λ4 ≥ 0 ; λ4b = 0
λ5 ≥ 0 ; λ5c = 0
(3) Restricciones
(ojo, que las pueden escribir igual que en el enunciado, o en formato gj(.) ≤ Cj como aquí abajo, o en
formato Cj − gj(.) ≥ 0, y las tres formas son correctas):
−16a− 12b− 5c ≤ −3200 ;
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−8a− 12b− c ≤ −1600 ;
−a ≤ 0 ; − b ≤ 0 ; − c ≤ 0
Versión 2: Lo mismo, pero usando las holguras complementarias del lagrangeano para las variables no-
negativas (en vez de derivar e igualar a cero directamente como en (1)) y sin λs explícitos para las
no-negatividades.
b) (5 puntos) Considere ahora el problema alternativo (pero relacionado al original) descrito a continuación:
máx
(x,y)∈R2
v(x, y) = 3200x+ 1600y
sujeto a
16x+ 8y ≤ 20 ;
12x+ 12y ≤ 24 ;
5x+ y ≤ 5 ;
x ≥ 0 ; y ≥ 0
Utilizando el método de (Karush-)Kuhn-Tucker, escriba el Lagrangeano y las condiciones de primer orden
(CPO) del problema alternativo. (Ayuda: NO escriba los casos, ni resuelva todavía)
Respuesta.
Versión 1:
L = 3200x+ 1600y + λ1(20− 16x− 8y) + λ2(24− 12x− 12y) + λ3(5− 5x− y) + λ4x+ λ5y
con condiciones de KKT:
(1) Derivadas iguales a cero:
∂L
∂x
= 3200− 16λ1 − 12λ2 − 5λ3 + λ4 = 0
∂L
∂y
= 1600− 8λ1 − 12λ2 − λ3 + λ5 = 0
(2) Holguras complementarias:
λ1 ≥ 0 ; λ1(20− 16x− 8y) = 0
λ2 ≥ 0 ; λ2(24− 12x− 12y) = 0
λ3 ≥ 0 ; λ3(5− 5x− y) = 0
λ4 ≥ 0 ; λ4x = 0
λ5 ≥ 0 ; λ5y = 0
(3) Restricciones
(ojo, que las pueden escribir igual que en el enunciado, o rearreglando el formato gj(.) ≤ Cj como aquí
abajo, o en formato Cj − gj(.) ≥ 0, y las tres formas son correctas):
16x+ 8y ≤ 20 ;
12x+ 12y ≤ 24 ;
5x+ y ≤ 5 ;
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−x ≤ 0 ; − y ≤ 0
Versión 2: Lo mismo, pero usando las holguras complementarias del lagrangeano para las variables no-
negativas (en vez de derivar e igualar a cero directamente como en (1)) y sin λs explícitos para las
no-negatividades.
c) (10 puntos) A partir del gráfico siguiente encuentre el(los) vértice(s) óptimo(s) del problema alternativo.
Para ello debe comenzar por indicar a qué restricción corresponde cada una de las rectas del gráfico.
Justifique su respuesta con los casos correspondientes en las condiciones de (Karush-)Kuhn-Tucker.
x
y
(1/2, 3/2); v = 4000
(5/6, 5/6); v = 4000
(0, 2); v = 3200
(1, 0); v = 3200
Bernardita Vial Microeconoḿıa I Primer semestre 2021 2 / 7
Respuesta. Es posible darse cuenta (aunque no es necesario decirlo) que la curva de nivel v = 4000 de la
función objetivo coincide con la restricción 1 cuando el objetivo es maximizado. Luego, el segmento que
une los puntos (5/6, 5/6) y (1/2, 3/2) es donde se maximiza la función objetivo.
En el gráfico se pueden identificar que la restricción 1 (16x + 8y ≤ 20) (y la curva de nivel v = 4000 de
la función objetivo v(x, y) = 3200x+ 1600y) se cumple con igualdad en la recta que pasa por los puntos
(5/6, 5/6) y (1/2, 3/2); que la restricción 2 (12x + 12y ≤ 24) se cumple con igualdad con la recta que
pasa por (1/2, 3/2) y (0,2); que la restricción 3 (5x+ y ≤ 5) se cumple con igualdad en la recta que pasa
por (1, 0) y (5/6, 5/6). Las no negatividades se cumplen con igualdad en los ejes correspondientes.
Gracias a eso, los únicos caso de KKT necesario a revisar es donde λ1 > 0 y, o bien, λ2 > 0 ó λ3 > 0 ó
ambos iguales a cero (dado que la restricción 1 siempre "aprieta", no tiene sentido ver el caso donde al
mismo tiempo λ2 y λ3 son positivas). Gracias al gráfico, podemos ver a qué valores de x∗ e y∗ correspon-
den en los puntos ahí identificados.
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Caso 1: (λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 = λ4 = λ5 = 0). Por holgura complementaria, 20 = 16x+8y y 24 = 12x+12y.
El punto (x∗ =1/2, y∗ =3/2) cumple ese sistema, con lo que 1600−8λ1−12λ2 = 0 y 3200−16λ1−12λ2 = 0.
Eso da λ∗1 = 200; λ∗2 = 0.
Caso 2: (λ1 > 0, λ3 > 0, λ2 = λ4 = λ5 = 0). Por holgura complementaria, 20 = 16x+ 8y y 5 = 5x+ y. El
punto (x∗ = 5/6, y∗ = 5/6) cumple ese sistema, con lo que 1600− 8λ1− λ3 = 0 y 3200− 16λ1− 5λ3 = 0.
Eso da λ∗1 = 200; λ∗3 = 0.
Caso 3: (λ1 > 0, λ3 = λ2 = λ4 = λ5 = 0). Por holgura complementaria, 20 = 16x + 8y y 5 = 5x + y.
Nótese que λ1 = 200 automáticamente a partir de las derivadas del lagrangeano igual a cero, y por holgura
complementaria, solamente tenemos 20 = 16x + 8y, que tiene infinitas soluciones, entre ellas (x∗ =5/6,
y∗ = 5/6) y (x∗ =1/2, y∗ =3/2).
Por ende, los vértices óptimos del problema son (x∗ = 5/6, y∗ = 5/6) y (x∗ = 1/2, y∗ = 3/2), pues ambos
arrojan un valor de la función objetivo igual a v∗ = 4000.
d) (10 puntos) El problema alternativo (formalmente conocido como problema dual) comparte con el proble-
ma original que el valor de la función objetivo optimizada es el mismo para ambos problemas. Asimismo,
aquellos puntos (x∗, y∗) que optimizan al problema alternativo corresponden a los valores de los λ de las
restricciones del problema original en ese mismo óptimo (de esa manera, el valor de x corresponde al λ1
de la restricción de literatura chilena, y el de y corresponde al λ2 de la restricción de literatura universal).
Se pide: Calcular, con la información obtenida a partir del problema alternativo, el punto (a∗, b∗, c∗)
que minimiza el problema de costos original, si además se le informa que, en el óptimo, a∗ (la cantidad
de maletines tipo A) es siempre estrictamente positiva.
(Ayuda: Si encuentra más de un punto óptimo (x∗, y∗) del problema alternativo, puede elegir cualquiera
de ellos como valores de los (λ∗1, λ∗2) correspondientes a reemplazar en el problema original)
Respuesta. A partir de la ayuda, se puede tomar cualquiera de las dos soluciones vértices que optimiza-
ban el problema original. Corresponde tomar las condiciones de primer orden del problema original, y
reemplazar en ellas los valores de los correspondientes. Como nos dicen que la solución de a∗ es siempre
positiva, también nos están diciendo que el λ∗3 correspondiente debe ser 0. Vamos a usar (λ∗1 = x∗ = 1/2,
λ∗2 = y
∗ = 3/2), a sabiendas que usar (5/6, 5/6) es análogo.
Por holgura complementaria, como λ1 y λ2 son positivos, entonces 16a+ 12b+ 5c = 3200 y 8a+ 12b+ c =
1600. Podemos multiplicar la segunda ecuación por -2 y sumarla conla primera: b(12−24)+ c(5−2) = 0,
desde donde se obtiene que c = 4b. Esto es cierto independientemente del punto escogido para
reemplazar.
Por las derivadas del lagrangeano iguales a cero, reemplazando los 3 λs que conocemos, tenemos que:
∂L
∂a
= −20 + 16(1/2) + 8(3/2) + 0 = 0
∂L
∂b
= −24 + 12(1/2) + 12(3/2) + λ4 = 0
∂L
∂c
= −5 + 5(1/2) + 1(3/2) + λ5 = 0
Desde donde se desprende que λ4 = 0 y que λ5 = 1. Como λ5 = 1 > 0, eso implica que por holgura
complementaria, c = 0. Reemplazando en c = 4b, entonces b = 0 también, con lo que el punto que minimiza
el problema original es (a∗ > 0, b∗ = 0, c∗ = 0). Reemplazando de vuelta en 16a + 12b + 5c = 3200 y
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8a + 12b + c = 1600, en cualquiera de los dos casos se cumple que a∗ = 200, con lo que (a∗ = 200, b∗ =
0, c∗ = 0) es el punto que minimiza el problema original, con V (a∗ = 200, b∗ = 0, c∗ = 0) = 4000 siendo
el mínimo costo del programa de maletines literarios.
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