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Ayudantía 8 - Pauta Matemáticos

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Análisis Económico y Experiencia Chilena
Primer Semestre 2020
Ayudantía 8 - Estado
PAUTA
Dudas acerca de esta ayudantía:
Santiago Aravena (santiago.aravena@uc.cl)
Ejercicios
1. Suponga el siguiente mercado de un bien público. Este bien se produce con la siguiente función de
costo marginal, CMg = 20X donde X es la cantidad producida del bien. Si Ariel presenta la siguiente
demanda por este bien, X = 30− P y Benjamin presenta esta otra demanda X = 16− 2P , entonces:
a) Determine el óptimo de producción de este mercado y los precios a cobrar a los consumidores.
Respuesta:
Las demandas individuales se componen de la siguiente manera:
XA = 30− PA ↔ PA = 30−XA
XB = 16− 2PB ↔ PB = 8− XB2
Debido a que el bien descrito es no exclusivo y tampoco es excluyente en el consumo, este se
considera como un bien público. La demanda de mercado del bien público corresponde a la suma
vertical de las demandas individuales. En consecuencia, la demanda por este bien público es:
Si

Q ≥ 30→ PT = 0
30 > Q ≥ 16→ PT = PA = 30−X
16 > Q→ PT = PA + PB = 38− 3X2
En consecuencia, el equilibrio de mercado dado un CMg = 20X se alcanza en el tercer rango.
QT = 1,8; PT = 35; PA = 28,2; PB = 7,1
b) ¿Cuál de los 2 consumidores tendrá mayor incentivo a ser un free rider? ¿Cómo sería el equilibrio
alcanzado en este mercado si efectivamente el free rider no paga? Justifique mediante Cálculos.
Respuesta:
i) El consumidor que tendría mayor incentivo a ser free-rider es aquel que gana mayor exce-
dente del consumidor al no pagar (aunque implique consumir menos). Al calcular el precio y
cantidades consumidas en cada escenario, obtenemos que:
Solo Ariel demanda del bien público:
X = 30− P
P = 30−X
20X = 30−X
21 = 30
X = 1,43; P = 28,6
1
Solo Benjamin demanda del bien público:
X = 16− 2P
P = 8− X2
20X = 8− X2
20,5X = 8
X = 0,39; P = 7,8
Si ambos consumen y solamente Ariel paga, el precio del bien para Benjamin sería:
X = 16− 2P
1,43 = 16− 2P
P = 7,3
Si ambos consumen y solamente Benjamin paga, el precio del bien para Ariel sería:
X = 30− P
0,39 = 30− P
P = 29,61
Al graficar estos resultados, obtenemos que:
P
X
30
30
CMg = 20X
35
1,8
7,1
28,2
28,6
1,43
7,8
0,39
29,61
7,3
Excedente de Ariel y Benjamin si pagan ambos:
EXCA =
(30− 28,2) ∗ 1,8
2 = 1,62
EXCB =
(8− 7,1) ∗ 1,8
2 = 0,82
Excedente de Ariel y Benjamin si paga solo Ariel:
EXCA =
(30− 28,6) ∗ 1,8
2 = 0,98
EXCB =
8 ∗ 16
2 −
7,3 ∗ (16− 1,43)
2 = 10,82
2
Excedente de Ariel y Benjamin si paga solo Benjamin:
EXCA =
(30− 29,6) ∗ 0,39
2 + (0,39 ∗ 29,6) = 11,622
EXCB =
(8− 7,8) ∗ 0,39
2 = 0,043
Por lo tanto, el que gana más siendo free-rider es Ariel.
ii) El equilibrio lo podemos observar dentro del gráfico, donde se transarán 1,43 unidades y Ariel
deberá pagar 28,6 por las unidades de bien público.
2. Supongamos una comunidad en la cual existen 2 tipos de personas: Amantes de la Naturaleza y No
Amantes de la Naturaleza. La disposición a pagar por generar Parques Nacionales para un Amante de
la Naturaleza (AN) es igual a p = 4000− q y para una persona No Amante de la Naturaleza (NAN)
es de p = 1000 − q. Donde q corresponde al número de Parques Nacionales. Usted sabe que existen
200 AN y 450 NAN en la comunidad. Si usted es el ministro encargado de tomar las decisiones de
esta área, responda:
a) ¿Como proveería a esta comunidad de Parques Nacionales si sabe que el costo de generar un
Parque Nacional es igual a 3000 pesos por cada uno? ¿Cuanto pagaría una persona AN?¿Es esto
un equilibrio de Lindahl?
Respuesta:
Primero, debemos agregar las demandas por cada grupo:
Amantes de la Naturaleza : PAN = 200 ∗ p = 200 ∗ (4000− q) = 800000− 200q
No Amantes de la Naturaleza : PNAN = 450 ∗ p = 450 ∗ (1000− q) = 450000− 450q
Para proveer el bien público, se deben sumar las Disposiciones a Pagar (DIP) de los 2 tipos de
personas, pero solo para el tramo de cantidades en que ambas demandas corren.
Luego, la demanda de mercado del bien público corresponde a la suma vertical de las demandas
individuales. En consecuencia, la demanda por este bien público es:
Si

Q ≥ 4000→ PT = 0
4000 > Q ≥ 1000→ PT = PAN = 800000− 200Q
1000 > Q→ PT = PAN + PNAN = 1250000− 650Q
Al evaluar P = CMg dentro del primer tramo, obtenemos la siguiente provisión de Parques
Nacionales:
P = 1250000− 650Q
3000 = 1250000− 650Q
Q∗ = 1918
Donde Q∗ > 1000, lo cual es mayor a la restricción impuesta dentro del tramo, por lo que existe
una contradicción en ella (no es el punto óptimo).
Al evaluar P = CMg dentro del segundo tramo, obtenemos la siguiente provisión de Parques
Nacionales:
P = 800000− 200Q
3000 = 800000− 200Q
Q∗ = 3985
Siendo este Q∗ = 3985 óptimo al cumplir la restricción impuesta dentro del tramo.
3
Al graficar estos resultados, obtenemos que:
P
Q
CMg = 3000
1,25MM
800M
450M
1000 4000Q∗
P = CMg
Ahora, para saber cuánto paga cada grupo, evaluamos el Q∗ en sus demandas originales:
AN: P = 3000. Como son 200 personas AN , cada uno de ellos paga: p = 15
NAN: P = 0. Ya que no están dispuestos a a pagar por el bien.
El equilibrio de Lindahl dice que se cumple cuando se llega a un precio donde ambos grupos
de individuos quieren la misma cantidad del bien público. En este caso, podemos observar que
los NAN no presentan una disposición a pagar bajo la cantidad óptima, por lo que pueden
existir problemas en la revelación de preferencias de este grupo de personas (reportan una menor
preferencia, pero podrían obtener el bien de igual forma sin pagar por el).
b) ¿Bajo que condiciones se cumple el equilibrio de Lindahl?
Respuesta:
Los precios Lindahl corresponden al concepto de ’benefit taxation’: Los individuos son gravados
por un bien público de acuerdo con su valoración del beneficio ricibido. Con precios Lindahl, el
gobierno no necesita conocer las funciones de utilidad de los agentes: consigue que ellos revelen
sus preferencias al declarar su disposición a pagar por diferentes niveles del bien público. Por lo
tanto, debe cumplirse que cada grupo de personas tiene que conocer su disposición a pagar
y que no mientan sobre su disposición.
3. La ciudad de Maipulandia se encuentra en período de elecciones; cada 4 años los ciudadanos de
Maipulandia asisten a las urnas y votan para escoger su representante para el periodo siguiente. Este
año, se presentan 3 candidatos a elección:
• La famosa Katherina, quien se postula a reelección tras regir Maipulandia durante 4 años.
• Don Robert, un famoso médico que ha vivido toda su vida en Maipulandia.
• El controversial Chris, quien fue alcalde de Maipulandia antes de ser electa Katherina.
Denotaremos a los candidatos anterior por (K), (R) y (C) respectivamente. Las elecciones parece
estar bastante peleada, ya que nadie ha podido predecir el resultado de la elección. En Maipulandia
existen 3 grupos de ciudadanos, compuestos por el mismo número de personas, los cuales presentan
las siguientes preferencias:
4
• Modernos: K > R > C
• Tradicionales: R > C >K
• Revoltosos: C > K>R
Se requiere de su ayuda para poder predecir los resultados de las elecciones.
a) ¿Cuál es el resultado de una votación entre las tres alternativas?
Respuesta:
En casa de realizar una votación simple entre las 3 alternativas, las 3 sacan la misma votación
(1,1,1) o 1/3 del total de votos. La anterior, puesto que las Modernos votan por Katherina, los
Tradicionales votan por Don Robert y los Revoltosos votan por Chris.
b) ¿Qué sucede si se hace un sistema de votación por descarte? Por ejemplo, el ganador entre (K) y
(R) se enfrenta a (C). O el ganador entre (K) y (C) se enfrenta a (R) y así sucesivamente. ¿Por
qué se produce este resultado?
Respuesta:
Si hacemos un sistema de votación por descarte, se obtiene el siguiente ’ciclo’: no hay claro
ganador, ya que el resultado se sujeta a la secuencia con que se lleven las votaciones. Esto quiere
decir que: (1) si se enfrentan Katherina y Don Robert, gana Katherina con 2/3 de los votos, (2)
si se enfrentan Don Robert y Chris, ganaDon Robert con 2/3 de los votos y (3) si se enfrentan
Katherina y Chris, gana Chris con 2/3 de los votos.
Si enfretamos a K y R, gana K, pero al enfrentarlo con C, gana C. Sin embargo, vemos que si
a C con R, gana R, lo cual no tiene sentido ya que inicialmente R perdía contra K. Esto quiere
decir que se viola el principio de transitividad dando origen a un ciclo.
c) Represente gráficamente las preferencias de cada persona asumiendo que los candidatos son or-
denados de izquierda a derecha de la siguiente manera: Katherina, Don Robert y Chris. ¿Qué
persona (si es que existe alguna) tiene preferencias single-peaked? Relaciónelo con el resultado
obtenido en b).
Respuesta:
Single peaked significa que cuando una opción es preferida y las opciones que se alejan a esta,
siempre son menos preferidas.
En este caso, solo el grupo de Modernos y el grupo de Tradicionales tienen preferencias single
peaked y no hay un claro ganador, ya que existe un grupo de votantes (los Revoltosos) que
no tiene preferencias single-peaked. Por lo tanto, la votación por mayoría no proporciona una
agregación coherente de las preferencias individuales.
Al graficar, obtenemos que:
5
Orden de preferencia
Candidato
3
2
1
Katherina Don Robert Chris
Modernos
Revoltosos
Tradicionales
4. En la República de Pudahuel, un país pacifista que enfrenta un posible ataque por parte de sus vecinos
del poniente, y donde los votantes y sus representantes tienen siempre preferencias de un máximo
(single-peaked), el Presidente se encuentra en la elaboración de un presupuesto para el Ministerio de
Defensa. El presupuesto a presentar solo puede ser rechazado o aprobado por parte del Parlamento.
Antes del envío de este, con el fin de que la propuesta sea aceptada, el Presidente decide hacer el
siguiente ejercicio para determinar cuál sería el monto del presupuesto aceptable para el Congreso,
compatible con sus propias preferencias:
i. El Presidente determina que por motivos de responsabilidad fiscal, el presupuesto sólo puede
variar entre cero (0) miles de millones de pesos y veinte (20) miles de millones de pesos.
ii. Ha averiguado además, de forma confiable, que en el Senado las preferencias se distribuyen de
forma uniforme entre los 0 y 20 mil millones de pesos, y en la Camara de Diputados, en cambio,
lo hacen, también de forma uniforme, entre 0 y solamente 8 mil millones de pesos.
iii. Constitucionalmente el presupuesto sólo se puede aprobar o rechazar si ambas cámaras (que
operan bajo un sistema de voto mayoritario) coinciden.
iv. La preferencia del Presidente varía linealmente entre 0 y 16 mil millones de pesos, con un óptimo
de 8 mil millones de pesos.
Suponga que los miembros del Senado y de la Cámara de Diputados votan sinceramente, es decir,
sin considerar los efectos de sus votos en la votación de los demás actores. Si es así, explique cuál
será el monto del presupuesto que el Presidente enviará al Parlamaneto, sabiendo que será aprobado.
Explique.
Respuesta:
Podemos graficar las posibilidades de gasto en defensa en cada una de las cámaras y la Presidencia:
0 10 20
Senado
0 4 8 Diputados
0 8 16
Presidencia
Si cada cuerpo gubernamental vota de forma independiente, en el Senado el voto mayoritario sería a
favor de un gasto de 10 mil millones de pesos, en la Cámara de Diputados lo sería a favor de un gasto
6
de 4 mil millones de pesos, y el Presidente que se sabe que favorece uno de 8 mil millones de pesos.
Es decir, no habría acuerdo sobre un determinado monto.
En particular, en la Cámara de Diputados preferirían no tener defensa a gastar más de 8 mil millones
de pesos en ese rubro, de modo que el monto preferido por el Senado (10 mil millones de pesos) no
sería en absoluto aceptable para ese cuerpo. No obstante, si el Presidente propusiera un gasto de 8 mil
millones de pesos (que es su monto de gasto preferido en defensa), siendo la otra alternativa no gastar
nada en el rubro (0), estos 8 mil millones de pesos serían aceptables para todas las partes porque:
i. Gozarían de apoyo en el Senado, dado que una mayoría de senadores preferirán gastar eso a no
tener gasto en defensa.
ii. Lo mismo sucede en la Cámara de Diputados (a pesar de que los 8 mil millones están en un
extremo de lo aceptable para ellos).
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