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Ayudantia 4

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Consuelo Sepúlveda
 csepulveda3@uc.cl 
Ayudantía 4 
Ejercicios: 
1. Consideremos la función: 
𝐶(𝑥, 𝑦) =
1
100
𝑥2 − 10𝑥 +
1
300
𝑦3 − 9𝑦 + 20.600 
Definida para x ≥ 0 e y ≥ 0. 
a. Obtener punto estacionario 
b. Demostrar que punto estacionario es un mínimo 
2. Clasificar los puntos estacionarios de 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥 
3. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 𝑦 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 para todo (x,y). ¿Es f cóncava o convexa? 
4. La función 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧 + 𝑦3 + 3𝑦𝑧 + 𝑧3 
Tiene puntos estacionarios (-2, -2, -2) y (0, 0, 0). Clasificarlos con el teorema de la 
matriz Hessiana y el test de punto silla. 
5. Considere la función 
𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥2 − 𝑦2 − 𝑎𝑥𝑦 
Donde “a” es un parámetro que puede tomar cualquier valor. 
Se pide: 
a. Demuestre que el punto (x, y) = (0, 0) es un punto crítico 
b. Encuentre un valor cualquiera de “a” tal que dicho punto crítico sea un 
máximo. 
c. Para el valor de “a” encontrado, encuentre el valor de 
i. f(0, 0) 
ii. f(0, 1) 
iii. f(1, 0) 
iv. f(0, -1) 
v. f(-1, 0) 
vi. f(1, 1) 
vii. f(-1, -1) 
Trate de imaginar la forma de la función. 
d. Encuentre un valor cualquiera de “a” tal que el punto crítico sea un punto de 
inflexión. 
e. Repetir pregunta (c) para el nuevo valor de “a” encontrado.

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