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Consuelo Sepúlveda csepulveda3@uc.cl Ayudantía 4 Ejercicios: 1. Consideremos la función: 𝐶(𝑥, 𝑦) = 1 100 𝑥2 − 10𝑥 + 1 300 𝑦3 − 9𝑦 + 20.600 Definida para x ≥ 0 e y ≥ 0. a. Obtener punto estacionario b. Demostrar que punto estacionario es un mínimo 2. Clasificar los puntos estacionarios de 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥 3. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 𝑦 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 para todo (x,y). ¿Es f cóncava o convexa? 4. La función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧 + 𝑦3 + 3𝑦𝑧 + 𝑧3 Tiene puntos estacionarios (-2, -2, -2) y (0, 0, 0). Clasificarlos con el teorema de la matriz Hessiana y el test de punto silla. 5. Considere la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥2 − 𝑦2 − 𝑎𝑥𝑦 Donde “a” es un parámetro que puede tomar cualquier valor. Se pide: a. Demuestre que el punto (x, y) = (0, 0) es un punto crítico b. Encuentre un valor cualquiera de “a” tal que dicho punto crítico sea un máximo. c. Para el valor de “a” encontrado, encuentre el valor de i. f(0, 0) ii. f(0, 1) iii. f(1, 0) iv. f(0, -1) v. f(-1, 0) vi. f(1, 1) vii. f(-1, -1) Trate de imaginar la forma de la función. d. Encuentre un valor cualquiera de “a” tal que el punto crítico sea un punto de inflexión. e. Repetir pregunta (c) para el nuevo valor de “a” encontrado.
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