Ayudantia 5

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Consuelo Sepúlveda 
 csepulveda3@uc.cl 
Ayudantía 5 
Ejercicios: 
1. (SHC, ejemplo 2 en página 555) Suponga la siguiente función de producción: 𝑄 =
√K + 𝐿. Los precios de cada unidad de capital y de trabajo son, respectivamente, 1 y 
20. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto capital y trabajo debe contratar si quiere producir 30 unidades de 
producto al mínimo costo posible? Use el Método de Lagrange. 
b) ¿Cuál es el costo total de producir 30 unidades? 
c) Repita el ejercicio anterior, pero con 31 unidades en lugar de 30. ¿En cuánto 
aumentan los costos? Verifique que coincide con el multiplicador de Lagrange. 
d) Explique por qué el multiplicador de Lagrange, en este caso, se puede interpretar 
como el “costo marginal de producción”. 
2. Considere la siguiente función de utilidad de dos períodos 
𝐶1
1
10𝐶2
1
11 
La cual está sujeta a la restricción intertemporal de 
𝑦1 +
𝑦2
1 + 𝑟∗
= 𝐶1 +
𝐶2
1 + 𝑟∗
 
Supongamos que los datos para r* = 10% y que y1 = y2 = 10. Calcular los valores para 
el consumo en el periodo 1 y periodo 2. 
3. Consideremos el problema de maximización de la utilidad 
𝑀𝑎𝑥 𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎 𝑥 + 4𝑦 = 100 
a. Resolver el problema usando el método de Lagrange 
b. Si el ingreso de este consumidor se incrementa de 100 a 101, ¿cuál es el 
incremento exacto de la utilidad maximizada U*? Comparar con el valor del 
multiplicador de Lagrange encontrado en (a). 
c. Supongamos ahora que la restricción presupuestaria del individuo toma la 
forma general px + qy = m, mientras que mantenemos la misma función de 
utilidad. Hallar las cantidades demandadas óptimamente por el individuo, 
bajo el supuesto de que m > q2/4p 
4. Suponga que Ud, es el único abastecedor en Concepción de peras deshidratadas. Ud. 
tiene dos plantas deshidratadoras, en Temuco y Rancagua, cuyos costos en materia 
prima, procesamiento y transporte están dados a continuación. 
 
 Consuelo Sepúlveda 
 csepulveda3@uc.cl 
Nota: Los costos está expresados por kg. de producto final equivalente. Ud. debe 
ofrecer por lo menos 100 unidades a un precio unitario de 200 pesos por kg. Ud. 
puede vender cuanto quiera por encima de dichas 100 unidades. Se pide: 
a. Plantee el problema de programación no lineal que le permita decidir cuánto 
debe producir en cada planta. 
5. Con el fin de permitir el intercambio entre dos poblados aislados se ha decidido 
construir la infraestructura de transporte necesaria para comunicarlos. En un primer 
análisis del problema, se ha definido la situación como sigue: El poblado A está 
ubicado en una isla a 200 km. del continente y a 500 km. del poblado B que se 
encuentra tierra adentro, a 100 km. de la costa. El proyecto contempla la construcción 
de 2 puertos, en la isla y en el litoral, además de una carretera entre el poblado B y el 
puerto del litoral. Suponga que el costo variable por tonelada-kilometro en el 
transporte terrestre es de 30 pesos, mientras que dicho costo es de 12 pesos en el caso 
del transporte marítimo. Se estima que habría 5000 viajes de ida y vuelta al año con 
un promedio de carga de 1,5 toneladas, y que el costo del camino terrestre es de 
500.000 pesos por km. Adicionalmente, suponga una tasa de interés de 10% anual y 
que el camino durará 10 años. El problema es plantear el problema de optimización 
correspondiente. Gráficamente la situación se puede representar como sigue 
 
El problema es dónde ubicar el puerto del litoral. En términos del gráfico siguiente se 
trata de determinar X, de modo tal de minimizar el costo de transporte entre A y B. 
 
Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente.