Ayudantía 1

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
EAF200A Aplicaciones Matemáticas 
II Semestre 2019--Ayudantía N° 1 
Ejercicio 1: Dominio de Funciones 
Determine los valores de x e y para los cuales las siguientes funciones están definidas 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2+𝑦2
𝑦−𝑥+2
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √(4 − 𝑥2 − 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 − 1) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
(1−𝑥2−𝑦2)1/2
+ √4 − (𝑥2 + 𝑦2) 
Ejercicio 2 Cuvas de nivel 
Considere la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2. Determine y grafique las curvas de nivel: 𝑥2 − 𝑦2 = 𝐾, para: 
• K = -1 
• K = 0 
• K =+1 
 
Ejercicio 3 Coob Douglas 
Una función muy utilizada en economía y que citaremos frecuentemente es la función de producción de 
Coob Douglas: 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝑨𝒙𝒂𝒚𝒃 ; 𝐴, 𝑎, 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 
• Obtenga una expresión para 𝐹(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) ; 𝑡 > 0 
 
 
Ejercicio 4: Derivadas Parciales de segundo orden 
Obtenga las derivadas de primer y segundo orden para las siguientes funciones y verifique que se 
cumple el teorema de Young 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥7 − 𝑦7 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑎 ln(𝑦) ; 𝑎𝜖ℜ 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑎𝑦2)𝑏 ; 𝑎, 𝑏𝜖ℜ 
 
Ejercicio 5: Efectos Directos e Indirectos 
Supongamos que el bienestar “u” de un grupo de habitantes en una sociedad depende de dos variables: el 
total de bienes producidos y consumidos “x” y el nivel de contaminación “c”, tal que: 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑐). 
a) ¿Qué signo esperaría usted que tuvieran las derivadas parciales de “u” con respecto a “x” y con respecto 
a “c”? Explique la intuición económica detrás de esto 
b) ¿Qué signo piensa usted que asumen los economistas para la derivada cruzada 
𝜕2𝑢(𝑥,𝑐)
𝜕𝑥𝜕𝑐
? 
 
Ejercicio 6: Función Cobb-Douglas 
Suponga que podemos modelar la producción “y” de una firma usando una función Cobb-Douglas 
𝑦 = 𝑥1
𝑎1 ∗ 𝑥2
𝑎2 ∗ 𝑥3
𝑎3 ∗ … ∗ 𝑥𝑛
𝑎𝑛 
Donde 𝑥𝑖 es la cantidad del factor de producción “i” utilizada por la firma, y 𝑎𝑖 son parámetros 
de la función de producción. 
a) Muestre que la productividad marginal 𝑃𝑀𝑔𝑖 de un factor 𝑥𝑖 se puede escribir como: 𝑃𝑀𝑔𝑖 = 𝑎𝑖
𝑦
𝑥𝑖
 
b) ¿Qué restricciones debemos imponer a los valores que pueden tomar los parámetros 𝑎𝑖 para que 
la productividad marginal de los factores sea positiva y decreciente 
c) Use el resultado de a) para mostrar que para esta función se cumple que: ∑ 𝑥𝑖𝑃𝑀𝑔𝑖 = 𝑦 ∑ 𝑎𝑖
𝑖=𝑛
𝑖=1
𝑖=𝑛
𝑖=1