Ayudantía 7 KKT

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
EAF200A Aplicaciones Matemáticas 
II Semestre 2019—Ayudantía N°7—KKT 
Prof.: R. Aguila 
Ayudantes.: E. Zuleta -- I. Luraschi -- N. Caraball 
 
Ejercicio 1 Ejemplo 1.1 pág. 2 GE 
 
Suponga que usted tiene un fundo con las siguientes características: 
1. El fundo tiene 120 hectáreas 
2. Usted está considerando la posibilidad de poner trigo, porotos, o una combinación de 
ambos cultivos 
3. Usted no dispone de trabajadores permanentes y debe contratarlos a 700 u. m. por 
jornada 
4. El trigo requiere de 5 jornadas hombre por hectárea, mientras que los porotos 
requieren 10 jornadas hombre por hectárea. 
5. Usted dispone de un tractor y no puede tomar en arriendo, ni dar en arriendo el tractor. 
Esto le impone un máximo de 300 jornadas tractor para todo el año. El trigo requiere 
3 jornadas tractor por hectárea y los porotos 5 jornadas tractor por hectárea 
6. Los costos variables por hectárea, sin contar la mano de obra, son de 50.000 u. m. en 
el caso del trigo y 35.000 u. m. en el caso de los porotos 
7. El precio por quintal de trigo es de 3.000 u. m. y por quintal de porotos es de 4.000. 
8. El rendimiento esperado de trigo por hectárea es de 60 y de porotos es de 40 quintales 
 
El problema es determinar ¿Cuántas hectáreas sembrar de cada cultivo? 
 
 Plantee el problema de programación, especifique de que problema se trata y diga 
cómo se debería resolver, NO LO RESUELVA 
 
 
 
Ejercicio 2 Ejemplo 1.4 pág. 7 GE 
 
En un corral de engorda de novillos, se ha decidido alimentarlos con henos de alfalfa y 
maíz en grano, que cuestan 8 y 10 u. m. por kilo respectivamente. 
El heno tiene, por kilo: 1,8 mkcal., 160 gramos de proteína, 20 gramos de calcio y 160 
gramos de fósforo. 
El maíz tiene, por kilo: 3,0 mkcal., 90 gramos de proteína, 3 gramos de calcio y 2 
gramos de fósforo. 
Los requerimientos de cada novillo por día son: 12,0 mkcal., 1,2 kilos de proteína, 100 
gramos de calcio y 50 gramos de fósforo. 
 
 El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, permita 
minimizar el costo de engorda diario por novillo, suponiendo que, por razones 
técnicas, la relación calcio : fósforo debe estar entre 1:1 y 2:1 
 
 
Ejercicio 3 Leer desarrollo Ejemplo 1.5 pág. 7 GE 
Ejercicio 4 Ejemplo 5.3 pág. 44 GE 
 
Supóngase que las líneas aéreas, tienen una dimensión máxima para las maletas, 
expresadas en términos de la suma del largo, ancho y alto. 
Suponga que un fabricante de maletas ha decidido producir la “Súper Maleta”, que 
maximiza el volumen, cumpliendo con la restricción de las líneas aéreas, que la suma de 
las tres dimensiones de la maleta, no puede exceder los 120 cm. 
 
 Plantee y resuelva el problema de optimización 
 
Ejercicio 5 Ejemplo 7.1 pág. 65 GE 
 
Suponga que una empresa distribuidora cuenta con 250 unidades de un cierto producto 
en Concepción, 100 unidades en Los Ángeles y 325 unidades en Valparaíso. Por otra 
parte, debe abastecer con 140 unidades a Santiago, 220 unidades a Rancagua y 185 
unidades a Teno. 
 
Los costos de flete entre las distintas ciudades, en miles de pesos por unidad, se presenta 
a continuación 
 
Hacia Santiago Rancagua Teno 
Desde 
 
Concepción 14 6 5 
Los Ángeles 30 12 11 
Valparaíso 5 7 8 
 
Por convenios sindicales en Concepción, la empresa ha decidido que lo que se envía desde 
dicha ciudad a Santiago debe ser al menos el doble que lo que se envía desde dicha ciudad 
a Rancagua. Asimismo, en Santiago, se exige que como máximo el 3’% de lo que 
provenga desde Concepción. 
 
 Plantear el problema de PNL, sin resolver 
 
Ejercicio 6 Ejemplo 8.1 pág. 79 GE 
 
Se debe programar la producción de dos productos, 𝑥1 𝑦 𝑥2 de manera tal de maximizar 
las utilidades. El siguiente cuadro resume los principales antecedentes del problema 
 
Tipo de Máquina Producto1(Hrs/unid) Producto 2(Hrs/unid) Disponibilidad(Hrs/semana 
 
1 2 1 70 
2 1 1 40 
3 1 3 90 
 
Precio Unitario 70 120 
Costo Unitario 30 60 
 
 Plantear el problema y resolver mediante KKT 
 
Ejercicio 7 Ejemplo 18.19 pág. 550 HSE 
 
Plantear y resolver el siguiente problema de PNL, mediante KKT 
 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 𝑠. 𝑎. 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑧 ≤ 𝑥𝑦 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 3 
 
Ejercicio 8 Ejemplo 19,1 pág. 564 HSE 
 
Un pastelero tiene 150 kilos de harina, 22 kilos de azúcar y 22,5 kilos de mantequilla 
para hacer dos tipos de pasteles. Supongamos que se necesitan 3 kilos de harina, 1 de 
azúcar y 1 de mantequilla para hacer una docena de pasteles del tipo A, mientras que 
las cantidades para una docena de pasteles del tipo B son: 6; 0,5 y 1 kilo 
respectivamente. 
Supongamos que el beneficio que se obtiene por la venta de una docena de pasteles 
del tipo A es 20, y por una docena del tipo B es 30. 
 
 Obtener el número “x” de docenas de pasteles del tipo A y el número de docenas “y” 
de pasteles del tipo B que hay que hacer para maximizar el beneficio del pastelero 
 
Ejercicio 9 Ejemplo 2 Guía complementaria 2 J. Tessada 
 
Una empresa tiene dos máquinas para producir dos bienes, 𝑥1 𝑦 𝑥2 cuyos precios en 
el mercado son 4 y 5, respectivamente. La empresa tiene un total de L trabajadores 
disponibles y cada trabajador puede participar en la fabricación de uno solo de los 
bienes. Las funciones de producción están dadas por: 
 
𝑥1(𝑙1) = 10𝑙1 − 0,5𝑙1
2 
𝑥2(𝑙2) = 8𝑙1 − 0,75𝑙2
2 
 
donde 𝑙𝑖 es la cantidad de trabajadores en la producción del bien 𝑥𝑖; i=1,2. Suponga 
que la empresa maximiza el valor de mercado de la producción. Asuma que la 
empresa no necesita emplear todos los trabajadores disponibles, pero no puede 
contratar un número mayor. 
a) Encuentre la cantidad óptima de trabajadores en cada bien si en total hay 10 
trabajadores disponibles. Calcule 
b) Repita la parte anterior, pero suponga ahora que hay 20 trabajadores disponibles. 
c) Grafique la función de valor como función de L. Interprete los resultados. 
 
Nota: plantee su problema en función de los valores de 𝑙1 𝑦 𝑙2. 
 
 
Ejercicio 10 Usando economía para descartar casos de KKT (E. Zuleta) 
 
Una lista candidata al CAAE 2020 busca, dentro de sus propuestas, optimizar el número 
de charlas que se darán durante los almuerzos de todo el año. Para ello han modelado lo 
que ellos llaman “La función de Utilidad del estudiante de Comercial promedio”. Dicha 
función esta representada por: 
𝑈(𝑒, 𝑎) = 𝑒0,4𝑎0,6 
Donde 𝑈 es el nivel de utilidad alcanzado por el estudiante promedio al asistir a charlas. 
"𝑒" es la cantidad de charlas de temas de economía y "𝑎" es la cantidad de charlas de 
temas de administración. 
Saben además que el costo por cada charla de economía es $150.000 y por cada charla de 
administración es $80.000 y tienen un presupuesto destinado a charlas de $5.000.000. Por 
regla general, NO pueden traspasarse presupuestos entre distintas comisiones, por lo que 
el dinero que no se gaste en charlas NO queda disponible para libre disposición. 
 
a) Informe a la lista candidata al CAAE cuantas charlas de economía y cuantas de 
administración debieran hacer durante el año si buscan optimizar la felicidad del 
estudiante de comercial promedio (aproxime a 2 decimales). 
b) El candidato a jefe de finanzas del CAAE afirma lo siguiente “En la función de 
Utilidad se nota claramente que el estudiante promedio valora más las charlas de 
administración que las de economía. Dado que el costo de las charlas de 
administración es mas barato que el de las de economía, no hay por donde perderse, 
hay que gastarse toda la plata en charlas de administración.” Comente.