Ayudantía 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
EAF200A Aplicaciones Matemáticas 
II Semestre 2019--Ayudantía N° 2 - PAUTA 
 
Problema 1 (Prueba 1- Pregunta 1 Tessada) 
 
Considere la función de producción: 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = (𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑠
𝛼⁄ 
 
donde s, a, b y 𝛼 son constantes positivas. K y L son el total de capital y trabajo contratados para ser 
usados. Y es el número de unidades producidas. Se pide lo siguiente, 
 
a) Analice la homogeneidad de dicha función 
b) Obtenga los productos marginales de K y L. 
c) ¿Qué relación debe existir entre los parámetros s, a, b, 𝛼 de tal manera que el producto marginal 
respecto a K sea decreciente? 
d) Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución Total definida por: 𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿 =
𝑃𝑀𝑔𝐿
𝑃𝑀𝑔𝐾
 
 
Solución 
 
a) 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = (𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑠
𝛼⁄ 
 
 𝐹(𝑡𝐾, 𝑡𝐿) = (𝑎(𝑡𝐾)𝛼 + 𝑏(𝑡𝐿)𝛼)
𝑠
𝛼⁄ = 𝑡𝑠(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑠
𝛼⁄ = 𝑡𝑠𝐹(𝐾, 𝐿) 
Por lo tanto, F es homogénea de grado “s” 
 
b) 𝑃𝑀𝑔𝐾 =
𝜕𝐹
𝜕𝐾
= 𝑠 ∗ 𝑎 ∗ 𝐾𝛼−1(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼
−1
 ; 𝑃𝑀𝑔𝐿 =
𝜕𝐹
𝜕𝐿
= 𝑠 ∗ 𝑏 ∗ 𝐿𝛼−1(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼
−1
 
 
Para que los productos marginales sean decrecientes, se debe cumplir que: 𝑃𝑀𝑔
´ < 0 tanto para K como 
para L. 
 
Veamos que ocurre con el caso particular del capital K 
 
 𝑃𝑀𝑔𝐾
´ =
𝜕2𝐹
𝜕𝐾2
= 𝑠𝑎 [(𝛼 − 1)𝐾𝛼−2(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼
−1 + 𝐾2𝛼−2 (
𝑆
𝛼
− 1) 𝑎𝛼(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼
−2] 
 
 
 𝑃𝑀𝑔𝐾
´ = 𝑠𝑎𝐾𝛼−2(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼
−2 [(𝛼 − 1)(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼) + 𝐾𝛼 (
𝑆
𝛼
− 1) 𝑎𝛼𝐾] 
 
 Por lo tanto: para que 𝑃𝑀𝑔𝐾
´ < 0 Entonces se debe cumplir que: 
 
[(𝛼 − 1)(𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛼) + 𝐾𝛼 (
𝑆
𝛼
− 1) 𝑎𝛼𝐾] < 0 
 
c) 𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿 =
𝑃𝑀𝑔𝐿
𝑃𝑀𝑔𝐾
=
𝑠∗𝑏∗𝐿𝛼−1(𝑎𝐾𝛼+𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼−1
𝑠∗𝑎∗𝐾𝛼−1(𝑎𝐾𝛼+𝑏𝐿𝛼)
𝑆
𝛼−1
=
𝑏
𝑎
∗ (
𝐿
𝐾
)
𝛼−1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 
 
A partir de la función de producción de CD, dada por: 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾𝛼𝐿𝛽, con rendimientos constantes 
a escala, esto es: 𝛼 + 𝛽 = 1. 
 Utilizando las propiedades de las funciones homogéneas, encontrar la relación del producto per-cápita 
(
𝑌
𝐿
) con el capital per-cápita (
𝐾
𝐿
) (Esta relación la utiliza Solow para representar su modelo de 
crecimiento) 
 
Solución 
 
 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾𝛼𝐿𝛽 ⇒ 𝐹(𝑡𝐾, 𝑡𝐿) = 𝑡𝛼+𝛽𝑌 = 𝑡𝑌 (visto clases: homogénea de grado (𝛼 + 𝛽)) 
 Ahora, tomando 𝑡 =
1
𝐿
 entonces 𝐹 (
𝐾
𝐿
, 1) = 𝐹 (
𝐾
𝐿
) =
𝑌
𝐿
 (1) 
 
Por otra parte, de acuerdo con la definición de la función CD dada en el enunciado: 
 
 𝐹 (
𝐾
𝐿
, 1) = 𝐹 (
𝐾
𝐿
) = (
𝐾
𝐿
)
𝛼
1𝛽 = (
𝐾
𝐿
)
𝛼
 (2) 
 
 Igualando (1) con (2) 
𝑌
𝐿
= (
𝐾
𝐿
)
𝛼
 
 
 
Problema 3 
 
Muestre que si 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado “k”, entonces: 𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= (𝑘 − 1)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
 
Solución 
 
Por propiedades vistas en clases tenemos que: 
 
1) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado “k” entonces por Teorema de Euler: 𝑥𝑓𝑥
´ + 𝑦𝑓𝑦
´ = 𝑘𝑓 
 
2) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado “k” entonces 𝑓𝑥
´ y 𝑓𝑦
´ son homogénea de grado (k-1) 
 
3) Así entonces como 𝑓𝑥
´ es homogénea de grado (k-1) ´podemos volver a aplicar Euler a 𝑓𝑥
´ 
 
Por lo tanto: 𝑥𝑓𝑥𝑦
´´ + 𝑦𝑓𝑦𝑦
´´ = (𝑘 − 1)𝑓𝑦
´ 
 
Nótese que también se puede establecer que: 𝑥𝑓𝑥𝑥
´´ + 𝑦𝑓𝑦𝑥
´´ = (𝑘 − 1)𝑓𝑥
´ 
 
Una segunda solución más explícita, es la siguiente: 
 
Como 𝑓(𝑥, 𝑦) es homogénea de grado “k” entonces por Teorema de Euler: 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑘𝑓 
Derivando parcialmente respecto a “y”, se tiene que: 
 
𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+ 𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑦
= 𝑘
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 ⇒ 𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑦
= (𝑘 − 1)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (SHC Slater, problema 15.19 pág.410) y ejemplo 15.28 pag. 420 
 
a) Sea la función: 𝐹(𝐴, 𝐵, 𝑇) = 122 + 3𝐴 − 25𝑇 − 75𝐵2 −
𝐴
𝐵
 
 Obtener la matriz Hessiana de F 
 Obtener el determinante: |𝐻(𝑓)| 
 
b) Clasificar cada una de las siguientes formas cuadráticas 
 𝑥2 + 𝑦2 
 (𝑥 + 𝑦)2 
 −𝑥2 − 𝑦2 
 −(𝑥 + 𝑦)2 
 𝑥2 − 𝑦2 
 
Solución 
 
a) 𝐻(𝐹) =
[
 
 
 
 
𝜕2𝐹
𝜕𝐴2
𝜕2𝐹
𝜕𝐴𝜕𝐵
𝜕2𝐹
𝜕𝐴𝜕𝑇
𝜕2𝐹
𝜕𝐵𝜕𝐴
𝜕2𝐹
𝜕𝐵2
𝜕2𝐹
𝜕𝐵𝜕𝑇
𝜕2𝐹
𝜕𝑇𝜕𝐴
𝜕2𝐹
𝜕𝑇𝜕𝐵
𝜕2𝐹
𝜕𝑇2 ]
 
 
 
 
= [
0
1
𝐵2
0
1
𝐵2
−150 −
2𝐴
𝐵3
0
0 0 0
] 
 
 |𝐻(𝐹)| = |
0
1
𝐵2
0
1
𝐵2
−150 −
2𝐴
𝐵3
0
0 0 0
| = 0 
 
Por el método que se desee calcular, el más simple, es que la fila 3, es igual a “0”, por lo cual se 
desarrolla el determinante por esa fila. O alternativamente con la matriz orlada 
 
b) 𝑥2 + 𝑦2 > 0 ∀(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) Por lo tanto 𝑥2 + 𝑦2 es d.p. 
Otra manera 
 
 𝑥2 + 𝑦2 = [𝑥 𝑦] [
1 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = �⃗�
𝑡𝐴�⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [
1 0
0 1
] 
Por lo tanto: 𝐷1 = |𝑎11| = |1| = 1 > 0 ; 𝐷2 = |
1 0
0 1
| = 1 ∗ 1 − 0 ∗ 0 = 1 > 0 
Como todos los menores principales son mayores a “0” entonces la f.c. es d.p. 
 
 (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = [𝑥 𝑦] [
1 1
1 1
] [
𝑥
𝑦] = �⃗�
𝑡𝐴�⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [
1 1
1 1
] 
 
Por lo tanto: 𝐷1 = |𝑎11| = |1| = 1 > 0 ; 𝐷2 = |
1 1
1 1
| = 1 ∗ 1 − 1 ∗ 1 = 0 
 Como todos los menores principales son mayores o iguales a “0” entonces la f.c. es d.p. 
 
 −𝑥2 − 𝑦2 = [𝑥 𝑦] [
−1 0
0 −1
] [
𝑥
𝑦] = �⃗�
𝑡𝐴�⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [
−1 0
0 −1
] 
 
Por lo tanto: 𝐷1 = |𝑎11| = |−1| = −1 < 0 ; 𝐷2 = |
−1 0
0 −1
| = (−1) ∗ (−1) − 0 ∗ 0 = 1 > 0 
Como todos los menores principales son con signos alternados, partiendo con signo negativo, entonces 
La f.c. es d.n. 
 
 −(𝑥 + 𝑦)2 = −𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦2 = [𝑥 𝑦] [
−1 −1
−1 −1
] [
𝑥
𝑦] = �⃗�
𝑡𝐴�⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [
−1 −1
−1 −1
] 
 
Por lo tanto: 𝐷1 = |𝑎11| = |−1| = −1 < 0 ; 𝐷2 = |
−1 −1
−1 −1
| = (−1) ∗ (−1) − (−1) ∗ (−1) = 0 
Como todos los menores principales son menores o iguales a “0” entonces la f.c. es s.d.n. 
 
 𝑥2 − 𝑦2 = [𝑥 𝑦] [
1 0
0 −1
] [
𝑥
𝑦] = �⃗�
𝑡𝐴�⃗� 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [
1 0
0 −1
] 
 Por lo tanto: 𝐷1 = |𝑎11| = |1| > ; 𝐷2 = |
1 0
0 −1
| = (1) ∗ (−1) − (0) ∗ (0) = −1 < 0 
 Como todos los menores principales son con signos alternados, partiendo con 𝐷1 > 0 entonces la f.c. 
es INDEFINIDA 
 
NOTA: Alternativamente se puede usar el método citado en la página 421 del texto SHC 
 
 La forma cuadrática: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 = [𝑥 𝑦] [
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
] [
𝑥
𝑦] es: 
 
 definida positiva (d.p.) ssi 𝑎 > 0; 𝑐 > 0; |
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
| > 0 
 semi definida positiva (s.d.p.) ssi 𝑎 ≥ 0; 𝑐 ≥ 0; |
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
| ≥ 0 
 definida negativa (d.n.) ssi 𝑎 < 0; 𝑐 < 0; |
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
| > 0 
 semi definida negattiva (s.d.n.) ssi 𝑎 ≤ 0; 𝑐 ≤ 0; |
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
| ≥ 0 
 Indefinida (I.) ssi |
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
| < 0