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Ayudantía 8 EDF 1 Orden-1

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
EAF200A Aplicaciones Matemáticas 
II Semestre 2019—Ayudantía N°8—EDF 
Prof.: R. Aguila 
Ayudantes.: E. Zuleta -- I. Luraschi -- N. Caraball 
Ejercicio 1 
 
Se considera que el crecimiento de un país se duplica cada 20 años y se desea determinar la cantidad de 
años en que la población al menos se quintuplique, se supone que la tasa de crecimiento anual "𝑟“es 
constante. 
 
Solución 
 
Se tiene que: 
 𝑋20 = (1 + 𝑟)
20𝑋0 = 2𝑋0 ; 1 + 𝑟 = 𝑒
𝑙𝑛2/20 = 1,035265 
 Por lo tanto nos piden el valor de “t”, tal que: (1 + 𝑟)𝑡𝑋0 ≥ 5 ∗ 𝑋0 
 De donde: 𝑡 ≥
𝑙𝑛5
𝑙𝑛1,035265
= 𝟒𝟔, 𝟒𝟒 ≈ 𝟒𝟕 𝒂ñ𝒐𝒔 
 
Ejercicio 2 
 
Resolver la siguiente EDF: 3𝑥𝑡+1 − 6𝑥𝑡 = 3
𝑡+1 ; 𝑥0 = 1 
 
Solución 
 
Esta es una EDF No Homogénea de 1° orden del tipo: 𝒂𝟏𝒙𝒕+𝟏 + 𝒂𝟎𝒙𝒕 = 𝒄𝒕 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒂𝟏 = 𝟑 ≠ 𝟏 por lo 
cual debemos llevarla a la forma usual 𝒙𝒕+𝟏 + 𝒂𝟎𝒙𝒕 = 𝒄𝒕 
Para ello dividimos todo por “3”, por lo tanto, la EDF a resolver es: 𝒙𝒕+𝟏 − 𝟐𝒙𝒕 = 𝟑
𝒕 ; 𝒙𝟎 = 𝟏 
Con lo nos queda de la forma usual con 𝑎1 = 1; 𝑎0 = −2; 𝑐𝑡 = 3
𝑡 
 Resolvemos primero la EDFH: 𝑥𝑡+1 − 2𝑥𝑡 = 0 
 Cuya solución está dada por: 𝑋𝑡
ℎ = 𝐾1 ∗ (−𝑎0)
𝑡 = 𝐾1 ∗ 2
𝑡 
 
Ahora buscamos la solución particular de la no homogénea, basándonos en la tabla sugerida para ello: 
 
 Por lo cual la tabla nos sugiere probar con: 𝑋𝑡
𝑝
= 𝐾2 ∗ 3
𝑡 
 
 La solución general nos queda dada por: 𝑋𝑡 = 𝐾1 ∗ 2
𝑡 + 𝐾2 ∗ 3
𝑡 
 
 Usando la condición inicial, debemos obtener los valores de las constantes 𝐾1 𝑦 𝐾2, para ello 
reemplazamos la solución general en la EDF No homogénea 
 
𝑋𝑡+1 − 2𝑋𝑡 = 3
𝑡 ⇒ 𝐾1 ∗ 2
𝑡+1 + 𝐾2 ∗ 3
𝑡+1 − 2 ∗ (𝐾1 ∗ 2
𝑡 + 𝐾2 ∗ 3
𝑡) = 3𝑡 
 
2𝐾1 ∗ 2
𝑡 + 3𝐾2 ∗ 3
𝑡 − 2𝐾1 ∗ 2
𝑡 − 2𝐾2 ∗ 3
𝑡 = 3𝑡 
 
De donde: 𝐾2 ∗ 3
𝑡 = 3𝑡 ⇒ 𝐾2 = 1 𝑦 𝐾1 = 𝐾 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 Por lo tanto, la solución final es: 𝑿𝒕 = 𝑲 ∗ 𝟐
𝒕 + 𝟑𝒕 
 
𝒄𝒕 𝑿𝒕
 
𝑐𝑡 K𝑐𝑡
𝑡 𝑐𝑡 𝑝 (𝑡)𝑐
𝑡
 (𝑡 ), 𝑠𝑒𝑛(𝑡 ) 𝐾1 𝑡 + 𝐾2𝑠𝑒𝑛(𝑡 )
(𝑐𝑡 (𝑡 ), 𝑐𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡 )) 𝑐𝑡𝐾1 𝑡 + 𝑐
𝑡𝐾2𝑠𝑒𝑛(𝑡 )
(𝑐𝑡𝑡 (𝑡 ), 𝑐𝑡𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡 )) 𝑐𝑡𝑝 (𝑡) 𝑡 + 𝑐
𝑡𝑝 (𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡 )
Ejercicio 3 
 
Suponga que un papá acaba de abrir una cuenta de ahorro bancaria a una tasa del 8% anual a su hijo que 
cumplió ayer 6 años, con un monto de $6.000, es decir, le depositó en esta primera ocasión $1.000 por cada 
año cumplido. 
Asimismo, el papá ha prometido depositarle todos los años venideros, el día después de su cumpleaños un 
monto igual a $1.000 multiplicado por el número de años que haya cumplido. 
Si se define: 
𝑿𝒕 = 𝑴𝒐𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 $ 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒓á 𝒆𝒍 𝒉𝒊𝒋𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒉𝒐𝒓𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝒔𝒖 𝒄𝒖𝒎 𝒍𝒆𝒂ñ𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 "𝒕" 
 (se asume que papá cumple promesa) 
 
 Plantee la EDF para el monto en la cuenta de ahorro y resuelva dicha ecuación 
 
Solución 
 
 La EDF es: 𝒙𝒕+𝟏 = (𝒙𝒕 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒕) ∗ 𝟏, 𝟎𝟖 = 𝟏, 𝟎𝟖𝒙𝒕 + 𝟏. 𝟎𝟖𝟎𝒕 ; 𝒕 = 𝟔, 𝟕, 𝟖, …. ; 𝒙𝟔 = 𝟎 
 Es una EDF de primer orden, lineal, no homogénea, con coeficientes constantes 
 Es resuelve primero la parte homogénea 𝑥𝑡+1 − 1,08𝑥𝑡 = 0 
 Cuya solución es: 𝑋𝑡
ℎ = 𝐾1 ∗ 1,08
𝑡 
 Ahora buscamos una solución particular de la EDF: 𝑥𝑡+1 − 1,08𝑥𝑡 = 1.080𝑡 
 Por la forma del término independiente 𝑐𝑡 y apoyándonos en la tabla 
 La solución particular sugerida es: 𝑋𝑡
𝑝
= 𝐾2 + 𝐾3𝑡 
 Esta nueva solución particular la reemplazamos en la EDF 
 𝐾2 + 𝐾3(𝑡 + 1) − 1,08(𝐾2 + 𝐾3𝑡) = 1.080𝑡 
 De donde debemos resolver el sistema 
 −0.08𝐾3 = 1080 
−0,08𝐾2 + 𝐾3 = 0 De donde: 𝐾2 = −168.750 ; 𝐾3 = −13.500 (𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓: 𝟏𝟔𝟖. 𝟕𝟓𝟎 → −𝟏𝟔𝟖. 𝟕𝟓𝟎) 
 
 Luego la solución general es: 𝑋𝑡 = 𝐾1 ∗ 1,08
𝑡 − 168.750 − 13.500𝑡 
 Para determinar la constante 𝐾1 usamos la condición inicial: 𝒙𝟔 = 𝟎 
𝐾1 ∗ 1,08
6 − 168.750 − 13.500 ∗ 6 = 0 → 𝐾1 =
13.500 ∗ 6 + 168.750
1,086
= 157.384,864 
 Por lo tanto, la solución final es: 
 
𝑿𝒕 = 𝟏𝟓𝟕. 𝟑𝟖𝟒, 𝟖𝟔 ∗ 𝟏, 𝟎𝟖
𝒕 + 𝟏𝟔𝟖. 𝟕𝟓𝟎 − 𝟏𝟑. 𝟓𝟎𝟎𝒕 ; 𝒕 = 𝟔, 𝟕, 𝟖,…. 
 
Ejercicio 4 Modelo de la TELARAÑA 
 
Este modelo describe la evolución de los precios en mercados agrícolas, donde la producción tiene un 
rezago entre los momentos de la siembra y la cosecha. Al momento de sembrar, los productores predicen 
que los precios de su cosecha, serán iguales a los precios de la temporada recién pasada. 
 
Por otra parte, como la evolución de los precios es el resultado de un modelo más general de oferta y 
demanda, matemáticamente se tiene que: 
 La demanda de un producto en el período “t+1”, está dada por: 𝑑𝑡+1 = 𝑑0 − 𝑎𝑝𝑡+1 ; 𝑎 > 0 
 La oferta de un producto en el período “t+1”, está dada por: 𝑠𝑡+1 = 𝑠0 + 𝑏𝑝𝑡+1 ; 𝑏 > 0 
 
Si se asume que: 
 El producto es agrícola y que por tanto se cumple la predicción de los precios de los productores. 
 En cada período la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada. 
 Condiciones iniciales: 𝑝0 = 𝑃0 
 
 Se pide plantear matemáticamente la EDF para los precios y resolverla 
 
Solución 
 
Asumiendo que se cumple la predicción de los precios de los productores, entonces la oferta adopta la 
siguiente fórmula: 
𝑠𝑡+1 = 𝑠0 + 𝑏𝑝𝑡 
 
Como la cantidad demandada es igual a la ofertada, entonces 
 
𝑑0 − 𝑎𝑝𝑡+1 = 𝑠0 + 𝑏𝑝𝑡 
 
De donde la EDF de 1° orden con coeficientes constantes para los precios es: 𝒕+𝟏 = −
𝒃
𝒂
 𝒕 +
𝒅𝟎−𝒔𝟎
𝒂
 
 
Nos damos cuenta que se trata de una EDF geométrica con entradas o salidas del tipo: 
𝒙𝒕+𝟏 = 𝒂𝒙𝒕 + 𝒃, cuya solución fue obtenida en clases, 
como 𝑎 > 0 ; 𝑏 > 0 ⇒ −
𝑏
𝑎
< 0 ≠ 1, 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 
La solución única en este caso es: 𝑿𝒕 = 𝒂
𝒕𝑿𝟎 + 𝒃
𝟏−𝒂𝒕
𝟏−𝒂
= 𝑿∗ + (𝑿𝟎 − 𝑿
∗)𝒂𝒕 ; 𝑿∗ =
𝒃
𝟏−𝒂
 
 
Que, al adaptarla a la simbología de este problema, tenemos: 
 
𝑷𝒕 = (−
𝒃
𝒂
)
𝒕
𝑷𝟎 + (
𝒅𝟎 − 𝒔𝟎
𝒂
)
𝟏 − (−
𝒃
𝒂
)
𝒕
𝟏 +
𝒃
𝒂
= (−
𝒃
𝒂
)
𝒕
𝑷𝟎 + (𝒅𝟎 − 𝒔𝟎)
𝟏 − (−
𝒃
𝒂
)
𝒕
𝒂 + 𝒃
 
O alternativamente 
𝑷𝒕 = 𝑷
∗ + (𝑷𝟎 − 𝑷
∗) (−
𝒃
𝒂
)
𝒕
 ; 𝑷∗ =
𝒅𝟎 − 𝒔𝟎
𝒂
𝟏 +
𝒃
𝒂
=
𝒅𝟎 − 𝒔𝟎
𝒂 + 𝒃
;𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 
 
Ejercicio 5 
 
Resolver la siguiente EDF: 
 𝟐𝒙𝒕+𝟏 = 𝟒𝒙𝒕 + 𝟑 ; 𝒙𝟎 = 𝑿𝟎 ; 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑢 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑦 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 
 
Solución 
 
 Como 𝑎1 = 2 exigimos que sea igual a “1” por lo cual dividimos todo por “2” 
 Le EDF NO H DE 1° orden a resolver, nos queda de la forma usual: 
𝒙𝒕+𝟏 = 𝒂𝒙𝒕 + 𝒃 = 𝟐𝒙𝒕 +
𝟑
𝟐
 
 El cual corresponde al modelo de crecimiento geométrico con entradas o salidas constantes, visto 
explícitamente en clases, donde 𝑎 = 2 ≠ 1 ; 𝑏 =
3
2
≠ 0 
Asumiendo condición inicial: 𝑥0 = 𝑋0 la solución está dada por: 
𝑿𝒕 = 𝒂
𝒕𝑿𝟎 + 𝒃
𝟏 − 𝒂𝒕
𝟏 − 𝒂
= 𝟐𝒕𝑿𝟎 −
𝟑
𝟐
(𝟏 − 𝟐𝒕) = −
𝟑
𝟐
+ (𝑿𝟎 + (−
𝟑
𝟐
))𝟐𝒕 
 El punto de equilibrio está dado por: 𝑋∗ =
𝑏
1−𝑎
=
3
2
−1
= −
3
2
, luego la solución está dada por: 
𝑿𝒕 = 𝑿
∗ + (𝑿𝟎 − 𝑿
∗)𝟐𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝑿∗ = −
𝟑
𝟐
 𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶 𝑫𝑬 𝑬𝑸𝑼𝑰𝑳𝑰𝑩𝑹𝑰𝑶 
Sin embargo, como 𝒂 = 𝟐 > 𝟏 este equilibrio es INESTABLE 
(Nótese que 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑋𝑡 = ∞ ; 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜) 
 
 
a b
2,00 1,50 2,00 -1,50
𝑋∗𝑋0 0
500.000
1.000.000
1.500.000
2.000.000
2.500.000
3.000.000
3.500.000
4.000.000
0 5 10 15 20 25
Ejercicio 6 
 
Sin resolver y usando Diagrama de Fase analice el comportamiento de la EDF del Ejercicio 5 
𝒙𝒕+𝟏 = 𝟐𝒙𝒕 +
𝟑
𝟐
 
Solución 
 
 Los puntos de equilibrio o estacionalidad,se obtienen asumiendo que: 𝒙𝒕+𝟏 = 𝒙𝒕 
 Por lo tanto, reemplazamos esta condición en la EDF: 𝒙𝒕+𝟏 = 𝟐𝒙𝒕 +
𝟑
𝟐
 
 𝒙𝒕 = 𝟐𝒙𝒕 +
𝟑
𝟐
 → 𝒙𝒆 = −
𝟑
𝟐
 
 
DIAGRAMA DE FASE 
En algunas ocasiones, no es posible obtener las soluciones de una EDF, sin embargo, 
 los diagramas de fase permiten obtener ciertas propiedades del comportamiento, 
aunque dicha solución no haya sido obtenida. 
 
Para obtener el diagrama de fase, se deben tener en cuenta los siguientes puntos 
 
1. El eje de las abscisas corresponde a 𝒙𝒕 (𝒍í𝒏𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒔𝒆), 
2. El eje de las ordenadas se considera a 𝒙𝒕+𝟏, 
3. Se dibuja la gráfica de la EDF Autónoma: 𝒙𝒕+𝟏 = 𝒇(𝒙𝒕), a dicha gráfica se le conoce por el nombre 
de “curva de fase” 
4. Además, se considera la gráfica de la bisectriz del primer y cuarto cuadrante 
5. Las posibles intersecciones de la curva de fase con la bisectriz, representan los puntos en 𝒙𝒕+𝟏 = 𝒙𝒕 
por tanto corresponden a puntos estacionario o de equilibrio del sistema dinámico representado por la 
EDF y se corresponde con una solución constante de dicha ecuación. 
6. Si usted coloca el valor inicial de la sucesión 𝑥0 a la izquierda o a la derecha del punto de equilibrio, 
 Entonces a través de la curva de nivel, se tiene que la correspondiente imagen obtenida en el eje 
de las ordenadas es: 𝑥1 = 𝑓(𝑥0) 
 Luego si para alcanzar el punto (𝑥1, 𝑥1) que está sobre la bisectriz, usted lo hace alejándose del 
punto de equilibrio, se dice que el EQUILIBRIO ES INESTABLE, pero: 
 Si para alcanzar el punto (𝑥1, 𝑥1) que está sobre la bisectriz, usted lo hace acercándose al punto 
de equilibrio, se dice que el EQUILIBRIO ES ESTABLE 
 
 
 
Bisectriz: Xt+1 = Xt
Curva de Fase: Xt+1 = 2*Xt + 1,5
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5
Diagrama de Fase
−𝟏, 𝟓; 𝟏, 𝟓
𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑬𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐
EQUILIBRIO INEST𝑨𝑩𝑳𝑬
𝐴𝑙𝑒𝑗𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜
𝒙𝟎𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒙𝟐 = 𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟏 𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝐴𝑙𝑒𝑗𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜
𝒙𝟎

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