Ayudantia 10 EDO

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
EAF200A Aplicaciones Matemáticas 
II Semestre 2019—Ayudantía N9- Ecuaciones Diferenciales 
Prof.: R. Aguila 
Ayudantes.: E. Zuleta -- I. Luraschi -- N. Caraball 
 
Ejercicio 1 
 
Considérese la ecuación diferencial 𝑥 , = 𝑥 + 𝑡 (*) 
a) Demostrar que: 𝑋(𝑡) = −𝑡 − 1 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑋(𝑡) = 𝑒𝑡 − 𝑡 − 1 son soluciones particulares de (*). Mas 
generalmente demostrar que: 𝑋(𝑡) = 𝐶𝑒𝑡 − 𝑡 − 1 también es solución de (*) cualquiera sea la 
constante C 
 
b) Usando el método del Factor Integrante encontrar la solución más general dada en a) 
 
Demostración 
 
a) Para demostrar que son soluciones de (*) se debe reemplazar las soluciones en (*) y demostrar que se 
tiene una identidad 
 
 
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑥
=
𝑑(−𝑡−1)
𝑑𝑡
= −1 (𝟏) por otra parte 𝑥 + 𝑡 = −𝑡 − 1 + 𝑡 = −1 (𝟐) ; 
 (𝟏) = (𝟐) 𝑄. 𝐸. 𝐷. 
 
 
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑥
=
𝑑(𝑒𝑡−𝑡−1)
𝑑𝑡
= 𝑒𝑡 − 1 (𝟏) además 𝑥 + 𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝑡 − 1 + 𝑡 = 𝑒𝑡 − 1 (𝟐) ; 
 (𝟏) = (𝟐) 𝑄. 𝐸. 𝐷. 
 
 
𝑑𝑋(𝑡)
𝑑𝑥
=
𝑑(𝐶𝑒𝑡−𝑡−1)
𝑑𝑡
= 𝐶𝑒𝑡 − 1 (𝟏) además 
 𝑥 + 𝑡 = 𝐶𝑒𝑡 − 𝑡 − 1 + 𝑡 = 𝐶𝑒𝑡 − 1 (𝟐) ; (𝟏) = (𝟐) 𝑄. 𝐸. 𝐷. 
 
b) La ecuación (*) es una EDOL, ya que: 
𝑥 , = 𝑥 + 𝑡 → 𝒙, − 𝒙 = 𝒕 → 𝑎(𝑡) = −1; 𝑐(𝑡) = 𝑡 
 Usando el FI: 𝐹𝐼 = 𝑒∫ −𝑑𝑡 = 𝑒−𝑡 
 Multiplicando m. a m. tenemos 𝒙,𝒆−𝒕 − 𝒙𝒆−𝒕 = 𝒕𝒆−𝒕 
 Entonces (𝑥𝑒−𝑡)´ = 𝑡𝑒−𝑡 
 De donde: 𝑥𝑒−𝑡 = ∫ 𝑡𝑒−𝑡𝑑𝑡 = −𝑡𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 + 𝐶 ( lado derecho integral por partes) 
 Multiplicando por 𝑒𝑡 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑋(𝑡) = −𝑡 − 1 + 𝐶𝑒𝑡 
 
 
Ejercicio 2 
 
Considérese la EDOL Autónoma general dada por: 𝒙′ + 𝒂𝒙 = 𝒄 ; 𝒙(𝟎) = 𝑿(𝟎) 
 
 Obtener la solución de dicha EDOL, ver la existencia de estados de equilibrio y su estabilidad en el 
tiempo. 
 
 
Solución 
 
Primer Caso 𝒂 = 𝒄 = 𝟎 
 
 𝑎 = 𝑐 = 0 → 𝑥′ = 0 → 𝑥(𝑡) = 𝐾 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥(0) = 𝑋(0) → 𝑿(𝒕) = 𝑿(𝟎) 
 
 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑋(0) 
 
 
Segundo Caso 𝒂 = 𝟎 
 
 𝑎 = 0 → 𝑥′ = 𝑐 → 𝑥 = 𝑐𝑡 + 𝐾 ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥(0) = 𝑋(0) → 𝑿(𝒕) = 𝑿(𝟎) + 𝒄𝒕 
 Nótese que el Primer Caso, es un caso particular de este segundo caso, ya que al exigir que c = 0, la 
solución pasa a ser 𝑿(𝒕) = 𝑿(𝟎) Con equilibrio permanente en 𝑿(𝟎) 
 
 Si consideramos que 𝑐 ≠ 0 Estamos frente a una solución divergente, sin estados de equilibrio. 
 
Tercer Caso 𝒂 ≠ 𝟎 
 
 Como en este caso 𝑎(𝑡) = 𝑎 → 𝐹𝐼 = 𝑒∫ 𝑎𝑑𝑡 = 𝑒𝑎𝑡 
 
 Multiplicando m. a m. tenemos 𝒙′𝒆𝒂𝒕 + 𝒂𝒙𝒆𝒂𝒕 = 𝒄𝒆𝒂𝒕 
 
 Entonces (𝑥𝑒𝑎𝑡)′ = 𝑐𝑒𝑎𝑡 
 
 De donde: 𝑥𝑒𝑎𝑡 = ∫ 𝑐𝑒𝑎𝑡𝑑𝑡 =
𝑐
𝑎
𝑒𝑎𝑡 + 𝐾 
 
 Multiplicando por 𝑒−𝑎𝑡 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑿(𝒕) =
𝒄
𝒂
+ 𝑲𝒆−𝒂𝒕 
 
 Considerando la condición inicial 𝑿(𝟎) =
𝒄
𝒂
+ 𝑲 → 𝑲 = 𝑿(𝟎) −
𝒄
𝒂
 
 
 Por lo tanto, la solución general es: 𝑿(𝒕) =
𝒄
𝒂
+ (𝑿(𝟎) −
𝒄
𝒂
) 𝒆−𝒂𝒕 ; 𝒂 ≠ 𝟎 ; 𝒙(𝟎) = 𝑿(𝟎) 
 
 El equilibrio, se produce cuando 𝑥′ = 0 → 𝑋𝑒 = 𝑋
∗ =
𝑐
𝑎
 
 
 Por lo tanto, una expresión alternativa de la solución es: 
 
𝑿(𝒕) = 𝑿∗ + (𝑿(𝟎) − 𝑿∗)𝒆−𝒂𝒕 ; 𝒂 ≠ 𝟎 ; 𝒙(𝟎) = 𝑿(𝟎) ; 𝑿∗ =
𝒄
𝒂
 
 
 Si 𝑎 > 0 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑋(𝑡) = 𝑋
∗, la solución se acerca al equilibrio, por lo tanto estamos frente a un 
EQUILIBRIO ESTABLE 
 
 Si 𝑎 < 0 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑋(𝑡) = ∞ 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, la solución se aleja del equilibrio, por lo tanto, estamos frente 
a un EQUILIBRIO INESTABLE 
 
 NOTA: 
 
Se pueden ver adicionalmente los gráficos de 𝑋(𝑡) 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡 𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 que aparecen 
en las notas de clase 
 
 
 
Ejercicio 3: Modelos dinámicos de ajuste de precios 
 
 Se considera un único bien en un mercado de competencia perfecta (Economía competitiva y libre, por 
tanto, los consumidores y productores compiten para determinar los precios, se rige por la ley de oferta y 
demanda) 
Asumamos que: 
 “t” es tiempo continuo y que el precio 𝑝 = 𝑝(𝑡) 
 Tanto la Demanda 𝐷(𝑝) como la Oferta 𝑆(𝑝) son funciones lineales en el precio "𝑝". 
 El precio aumenta proporcionalmente al exceso de la demanda respecto de la oferta 
 
a) Obtener la evolución del precio "𝑝(𝑡)" en cualquier instante de tiempo t. Graficar. 
b) Determinar la existencia del precio de equilibrio y analizar su estabilidad. 
 
Nota: Asumir un precio inicial: 𝑝(0) = 𝑃(0) 
Solución 
 
 La Demanda 𝐷(𝑝) como la Oferta 𝑆(𝑝) son funciones lineales en el precio "𝑝", por lo tanto, 
 
𝐷(𝑝) = 𝑑0 + 𝑑1 ∗ 𝑝 ; 𝑆(𝑝) = 𝑠0 + 𝑠1 ∗ 𝑝 
 
 El precio aumenta proporcionalmente al exceso de la demanda respecto de la oferta, por lo tanto, 
Asumiendo una constante de proporcionalidad 𝛼 > 0 
 
𝑑𝑝(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑝′ = 𝛼(𝐷(𝑝) − 𝑆(𝑝)) = 𝛼(𝑑0 + 𝑑1 ∗ 𝑝 − 𝑠0 − 𝑠1 ∗ 𝑝 ) = 𝛼(𝑑0 − 𝑠0) + 𝛼(𝑑1 − 𝑠1)𝑝 
 
𝒑′ − 𝜶(𝒅𝟏 − 𝒔𝟏)𝒑 = 𝜶(𝒅𝟎 − 𝒔𝟎) ; 𝑬𝑫𝑶𝑳 𝑨𝒖𝒕ó𝒏𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝟏° 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝜶 > 𝟎 
 
En base al ejercicio anterior, tenemos que 𝑎 = −𝛼(𝑑1 − 𝑠1) ; 𝑐 = 𝛼(𝑑0 − 𝑠0) 
Y asumiendo que 𝑑1 − 𝑠1 ≠ 0 , es decir, asumiendo que las pendientes de la curva de oferta es distinta 
de la pendiente de la curva de demanda 
 
 Una primera expresión de la solución es: 
 
𝑷(𝒕) = −
𝒅𝟎 − 𝒔𝟎
𝒅𝟏 − 𝒔𝟏
+ (𝑷(𝟎) +
𝒅𝟎 − 𝒔𝟎
𝒅𝟏 − 𝒔𝟏
) 𝒆𝜶(𝒅𝟏−𝒔𝟏) ; (𝒅𝟏 − 𝒔𝟏) ≠ 𝟎 ; 𝒑(𝟎) = 𝑷(𝟎) 
 
 Una segunda expresión de la solución en base al punto de equilibrio 𝑷∗ = −
𝒅𝟎−𝒔𝟎
𝒅𝟏−𝒔𝟏
 es: 
 
𝑷(𝒕) = 𝑷∗ + (𝑷(𝟎) − 𝑷∗)𝒆𝜶(𝒅𝟏−𝒔𝟏)𝒕 ; (𝒅𝟏 − 𝒔𝟏) ≠ 𝟎 ; 𝒑(𝟎) = 𝑷(𝟎) ; 𝑷
∗ = −
𝒅𝟎 − 𝒔𝟎
𝒅𝟏 − 𝒔𝟏
 
 
 Como 𝛼 > 0, entonces cuando la pendiente de la curva de demanda es mayor que la de la oferta, es 
decir, cuando 𝒅𝟏 > 𝒔𝟏 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑃(𝑡) = 𝑃
∗, la solución se acerca al equilibrio, por lo tanto estamos frente 
a un EQUILIBRIO ESTABLE 
 
 Como 𝛼 > 0, entonces cuando la pendiente de la curva de demanda es menor que la de la oferta, es 
decir, cuando 𝒅𝟏 < 𝒔𝟏 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞𝑃(𝑡) = ∞ 𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, la solución se aleja del equilibrio, por lo tanto 
estamos frente a un EQUILIBRIO INESTABLE 
 
 
Ejercicio 4 
 
Una empresa en un mercado competitivo, maximiza sus utilidades produciendo la cantidad de producto 
“q”, en la cual el costo marginal “c(q)” se iguala al precio “p”. Sin embargo, esta firma no puede ajustar 
sus cantidades de manera instantánea y le toma tiempo hacer estos ajustes. Suponemos que la firma 
cambia su producción de manera proporcional a la diferencia entre el precio y el costo marginal del 
nivel de producción actual: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝑞, = �̇� = 𝛼(𝑝 − 𝑐(𝑞)) 
 
a) Suponga que la función de costo marginal es 𝑐(𝑞) = 𝑐𝑞2. Escriba la ecuación diferencial para la 
cantidad. Identifique que tipo de ecuación diferencial es. 
b) Encuentre el(los) estado(s) estacionario(s) de esta ecuación diferencial y determine si es(son) estable(s) 
o no. Dibuje el diagrama de fase de esta ecuación diferencial. 
c) Suponga ahora que la función de costo marginal es 𝑐(𝑞) = 𝑐𝑞−
1
2. Escriba la ecuación diferencial para 
la cantidad. 
d) Encuentre el(los) estado(s) estacionario(s) de esta ecuación diferencial y determine si es(son) estable(s) 
o no. Dibuje el diagrama de fase de esta ecuación diferencial. 
 
 
Solución 
 
a) 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
= 𝜶(𝒑 − 𝒄𝒒𝟐) → 𝒒, + 𝜶𝒄𝒒𝟐 = 𝜶𝒑 ; 𝜶, 𝒄, 𝒑 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 
 Ecuación diferencial ordinaria (se asume p constante), 
 De primer orden, 
 No homogénea, 
 No lineal, 
 Autónoma 
 
b) Para encontrar estados estacionarios, se debe igualar resolver la ecuación 𝒒, = 𝟎 
 
 𝜶(𝒑 − 𝒄𝒒𝟐) = 𝟎 → 𝒑 − 𝒄𝒒𝟐 = 𝟎 → 𝒒𝒆 = √
𝒑
𝒄
 
 
 Para analizar la estabilidad, debemos obtener el diagrama de fase:𝒒, = 𝜶(𝒑 − 𝒄𝒒𝟐) = 𝜶𝒑 − 𝜶𝒄𝒒𝟐 
 
 
 
Como 𝒒,(𝒒𝒆
−) > 𝟎 𝒚 𝒒,(𝒒𝒆
+) < 𝟎 → 𝒒𝒆 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝑬𝑺𝑻𝑨𝑩𝑳𝑬 
 
c) 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
= 𝜶 (𝒑 − 𝒄𝒒−
𝟏
𝟐) → 𝒒, + 𝜶𝒄𝒒−
𝟏
𝟐 = 𝜶𝒑 ; 𝜶, 𝒄, 𝒑 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 
 
d) Para encontrar estados estacionarios, se debe igualar resolver la ecuación 𝒒, = 𝟎 
 
 𝜶 (𝒑 − 𝒄𝒒−
𝟏
𝟐) = 𝟎 → 𝒑 − 𝒄𝒒−
𝟏
𝟐 = 𝟎 → 𝒒𝒆 = (
𝒄
𝒑
)
𝟐
 
 
Como 𝒒,(𝒒𝒆
−) < 𝟎 𝒚 𝒒,(𝒒𝒆
+) > 𝟎 → 𝒒𝒆 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝑰𝑵𝑬𝑺𝑻𝑨𝑩𝑳𝑬 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Fase
𝑞𝑒 =
𝑝
𝑐
 
𝒒
𝒒,
𝛼𝑝 𝒒, = 𝜶𝒑 − 𝜶𝒄𝒒𝟐
Diagrama de fase
𝑞𝑒 =
𝑐
𝑝
2
𝒒
𝒒,
𝒒, = 𝜶𝒑 − 𝜶𝒄𝒒−
𝟏
𝟐
Ejercicio 5 
 
Resolver la ecuación diferencial: 𝑥′′ − 3𝑥′ = 1 − 𝑡 ; 𝑥(0) = 1 ; 𝑥′(0) = 2 
 
Solución 
 
Este EDO es similar al ejemplo de la página 24 del capítulo 7, en que no existe en forma explícita la función 
incógnita 𝑥 = 𝑥(𝑡) 
 
Por lo cual la sugerencia es realizar el siguiente cambio de variable: 𝑦 = 𝑥′ 
 
Por lo tanto, la EDO inicial se puede expresar como una EDOL de 1° orden 
 
 𝑦′ − 3𝑦 = 1 − 𝑡 ⇒ 𝑦′ − 𝑦 = 1 − 𝑡 con 𝑎(𝑡) = −3 ; 𝑐(𝑡) = 1 − 𝑡 
 
 𝐹𝐼 = 𝑒∫ −3𝑑𝑡 = 𝑒−3𝑡 
 
 Multiplicando la EDO por el FI: 𝑦′𝑒−3𝑡 − 3𝑦𝑒−3𝑡 = (1 − 𝑡)𝑒−3𝑡 ⇒ (𝑦𝑒−3𝑡)′ = (1 − 𝑡)𝑒−3𝑡 
 
 Integrando m. a m. : ∫(𝑦𝑒−3𝑡)′ 𝑑𝑡 = ∫(1 − 𝑡)𝑒−3𝑡𝑑𝑡 
 
 De donde lado izquierdo es inmediato, pero el lado derecho lo debemos integrar por partes, esto es: 
 
𝑢 = 1 − 𝑡 → −𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑣 = 𝑒−3𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = −
1
3
𝑒−3𝑡 
 Por lo tanto: 
∫(1 − 𝑡)𝑒−3𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 = (1 − 𝑡) (−
1
3
𝑒−3𝑡) − ∫
1
3
𝑒−3𝑡𝑑𝑡 = (1 − 𝑡) (−
1
3
𝑒−3𝑡) +
1
9
𝑒−3𝑡 
 
 Por lo tanto: 𝑦𝑒−3𝑡 = 𝑡
1
3
𝑒−3𝑡 −
4
9
𝑒−3𝑡 + 𝐾 
 
 Multiplicando ambos miembros por: 𝑒3𝑡 → 𝑥′ =
𝑡
3
−
2
9
+ 𝐾𝑒3𝑡 
 
 Integrando respecto a “t”, tenemos que la solución es: 𝑿(𝒕) =
𝒕𝟐
𝟔
−
𝟐
𝟗
𝒕 + 𝑲𝟏𝒆
𝟑𝒕 + 𝑲𝟐