Cap1 1 1 a 1 3

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Capítulo 1. Funciones de varias variables
1.1. Funciones de dos (o más) variables utilizadas en economía y negocios. Dominio.
1.2. Representación geométrica (curvas de nivel dos variables).
1.3. Derivadas parciales de primer y de segundo orden. Relación con planos tangentes. 
Teorema de Young.
1.4. Derivadas parciales en economía.
1.5. Formas cuadráticas de dos variables. Signo. Formas indefinidas
1.1. Funciones de dos o + variables
Una función de dos variables, es una regla
que asigna a cada para de valores 𝑥, 𝑦 ∈
𝐷, un número real único 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
-5
-3
-1
1
3
5
420
430
440
450
460
470
480
490
500
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Z
Y
𝑦
𝑧
(𝑥, 𝑦, )
(𝑥,𝑦, 𝑓(𝑥,𝑦))
 
𝑓: 𝐷 ⊂ ℜ2 → ℜ
 D: Dominio de f
 𝑓 𝑥, 𝑦 |(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 : Imagen o Recorrido
 x e y variables independientes
 z: variable dependiente
 F es una superficie en el espacio ℜ3
Si una función está definida por una fórmula y no se especifica su dominio,
entonces el dominio se entiende que es el conjunto de todos los pares de valores
(x,y) en que la expresión dada está bien definida.
Capítulo 1. Funciones de varias variables
𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 𝑦2)
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦2
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-5
-3
-1
1
3
5
X
Z
Y
𝑧 = 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐
1.2 Funciones de dos variables: Gráficos y Curvas de Nivel 
Se exige que la función sea igual a una constante: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦2 = 𝑘
Gráficamente, la curva de nivel “k”, 
corresponde a la intersección del plano 
paralelo a ℜ𝑥ℜ, 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑘, s con la función 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦2
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑘
Nótese que en el caso del gráfico, la 
intersección es una hipérbola de dos mantos
Las curvas de nivel se pueden proyectar al 
plano ℜ𝑥ℜ
Si particularmente k=0 entonces 𝑥2 𝑦2 = ⇒ 𝑦2 = 𝑥2 ⇒ 𝑦 = ±𝑥
Por lo tanto para k=0 existen dos curvas de nivel y corresponden a las bisectrices de los 
cuadrantes del plano ℜ𝑥ℜ
1.2 Funciones de dos variables: Gráficos y Curvas de Nivel 
Si k<0, las curvas de nivel 
corresponden a hipérbolas de 
dos mantos, con eje principal 
el eje x
Si k>0, las curvas de nivel 
corresponden a hipérbolas de 
dos mantos, con eje principal 
el eje y
Si k=0, las curvas de nivel 
corresponden a a las 
bisectrices de los cuadrantes 
del plano ℜ𝑥ℜ
𝑘 < 
𝑘 > 
𝑘 = 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦2
1.2 Funciones de dos variables: Gráficos y Curvas de Nivel(Excel) 
Haga click sobre el gráfico con botón derecho mousse
Seleccione cambiar tipo de gráfico
Elija opcción contorno reticular
Si desea ver las curvas de nivel proyectadas al plano inferior
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦2
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦2
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 𝑦2
GiroY=90°, Perspectiva=0,1° Curvas de nivel en el plano
GiroY=0°, superficie en 3D
Usted puede modificarcon giro 3D
Haga click sobre el gráfico con botón derecho mousse
Seleccione Giro 3D
Puede modificar Giro X, GiroY, Perspectiva
Función de Utilidad Esperada: Media – Varianza
Nivel de utilidad “esperada” como función del retorno esperado y de la varianza
de los retornos de una inversión: 𝑼𝑬 = 𝑹𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 
𝑨
𝟐
Varianza
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
Función de Utilidad
Nivel de utilidad alcanzado al consumir una cierta combinación de bienes y
servicios: 𝑼 = 𝒖 𝒄𝒉𝒐𝒄𝒐𝒍𝒂𝒕𝒆𝒔, 𝒇𝒓𝒖𝒕𝒂𝒔
Función de Demanda
Nos dicen la cantidad demandada como función del precio del bien o servicio y
del ingreso: 𝒙𝒅 = 𝟏𝟎𝟎
𝑰
𝒑𝒙
Coob Douglas (ISOCUANTAS)
Una función muy utilizada en economía y que citaremos frecuentemente es la
función de producción de Coob Douglas:
𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝑨𝒙𝒂𝒚𝒃 ; 𝐴, 𝑎, 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠; 𝑥 ≥ ; 𝑦 ≥ 
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
En 1928 Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio en el cual
modelaban el crecimiento de la economía estadounidense durante el período
1899-1922.
Consideraron un punto de vista simplificado de la economía en el cual la
producción está determinada por la cantidad de mano de obra relacionada y la
cantidad de capital invertido. Si bien hay muchos otros factores que afectan el
rendimiento económico, su modelo resultó ser notablemente exacto. La función
mediante la cual modelaron la producción era de la forma
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
Q 𝑳,𝑲 = 𝒃𝑳𝜶𝑲𝟏−𝜶
 Q:Producción total (valor monetario de todos los bienes que se producen en un año)
 L: # de mano de obra (la cantidad total de horas-hombre trabajadas en un año)
 K: # de capital invertido (el valor monetario de toda la maquinaria, equipo y
edificios)
 Base 1899 (=100)
Q 𝐿, 𝐾 = 1. 1𝐿0.75𝐾0.25
Año Q L K
1899 100 100 100 101,0
1900 101 105 107 106,6
1901 112 110 114 112,1
1902 122 117 122 119,4
1903 124 122 131 125,4
1904 122 121 138 126,3
1905 143 125 149 131,9
1906 152 134 163 142,1
1907 151 140 176 149,7
1908 126 123 185 137,6
1909 155 143 198 156,7
1910 159 147 208 161,9
1911 153 148 216 164,3
1912 177 155 226 172,0
1913 184 156 236 174,7
1914 169 152 244 172,8
1915 189 156 266 180,0
1916 225 183 298 208,8
1917 227 198 335 228,1
1918 223 201 366 235,8
1919 218 196 387 234,7
1920 231 194 407 235,8
1921 179 146 417 191,7
1922 240 161 431 208,0
 
La gráfica nos muestra que Q se incrementa cuando L o K se incrementan
Ejemplo Coob Douglas
Asumiendo la función de Coob Douglas:
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
Q 𝐿, 𝐾 = 1. 1𝐿0.75𝐾0.25
 Encuentre la fórmula que describe la relación entre K y L para una cantidad
de producción constante 0
 ¿Cómo es la relación entre K y L en esa función?
 0 = 1. 1𝐿
0.75𝐾0.25 → 𝐾 =
 0
1. 1𝐿0.75
4
• Sobre una ISOCUANTA Q es fijo
• Sobre una ISOCUANTA, cuando L
aumenta, K disminuye.
• Cuando L y K aumentan entonces la
ISOCUANTA se desplaza paralelamente
• Las ISOCUANTAS no se interceptan 0
50
100
150
200
250
300
0 50 100 150 200 250 300
Curvas de Nivel 
ISOCUANTAS
En cada curva se mantiene
el mismo valor 
𝑳
𝑲
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟒𝟎
𝟏𝟖𝟎
𝟐𝟐𝟎
 0
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
Función Utilidad (CURVAS DE INDIFERENCIA o PREFERENCIA)
En finanzas se utiliza bastante las funciones de utilidad del tipo:
𝑼 = 𝝁 
𝑨
𝟐
𝝈𝟐 ; 𝐴 > 
Donde 𝜇 es el retorno esperado de una inversión financiera y 𝜎 es una medida de
la variabilidad o qué tan inciertos son los retornos que entregará esta inversión
 Encuentre la fórmula que describe la relación entre 𝜇 𝑦 𝜎 para una Utilidad
constante 𝑈0 (curva de nivel)
 Calcule la tasa marginal de sustitución (TMS)
 Grafique curva de indiferencia cuando (𝑈0= 1 𝑦 𝐴 = 1); (𝑈0= 1 𝑦 𝐴 = 5)
 ¿Cómo es la relación entre 𝜇 𝑦 𝜎 en cada curva de indiferencia?
 ¿Cuál es el efecto del aumento de A?
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
CURVAS DE INDIFERENCIA
 𝑼𝟎 = 𝝁 
𝑨
𝟐
𝝈𝟐 ⇔ 𝜇 = 𝑈0 
𝐴
2
𝜎2

𝑑𝜇
𝑑𝜎
= 𝐴𝜎 = 𝑇𝑀𝑆
 Para un mismo nivel de Utilidad, en la
medida que la varianza del retorno
aumenta, el retorno medio también
aumenta
1,0
5,0
9,0
13,0
17,0
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
0
,0
0
1
,0
0
2
,0
0
3
,0
0
4
,0
0
5
,0
0
6
,0
0
7
,0
0
8
,0
0
9
,0
0
1
0
,0
0
m
u
U
ti
li
d
a
d
s igma
𝑈 = 𝜇 
𝐴
 
𝜎2 ; = 1
m = 0.5s2 + 10
A=1
0,000
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
m
u
sigma
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
 Al aumentar A, la pendiente de la curva de indiferencia también aumenta. Esto significa que
la curva es mas empinada, partiendo del punto 𝜎 = ; 𝜇 = 1 .
 Esto implica que ahora para mantener el mismo nivel de utilidad, el inversionista quiere una
mayor cantidad de retorno por cada unidad en que aumenta la variabilidad de estos retornos:
( o sea requiere “mayorcompensación“)
 Esto es lo que en finanzas se conoce como “aversión al riesgo” y el parámetro A es como se
refleja esta aversión, en este tipo de funciones de utilidad.
m = 0.5s2 + 10
A=1
0,000
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
m
u
sigma
𝜇 = .5𝜎2 1 
A=5
Si f es una función de dos variables x e y, sus derivadas parciales 𝑓𝑥 ; 𝑓𝑦 están
definidas de la siguiente manera:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑙í𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥 ℎ, 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑙í𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥, 𝑦 ℎ 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Primer Orden
• Para obtener 𝑓𝑥, considerar a “y” como constante, luego derivar f (x, y) con 
respecto a x.
• Para obtener 𝑓𝑦, considerar a “x” como constante, luego derivar f (x, y) con 
respecto a y.
Si “w” es una función de tres variables, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , sus derivadas parciales 𝑓𝑥 ; 𝑓𝑦 ; 𝑓𝑧
están definidas de la siguiente manera:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑙í𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥 ℎ, 𝑦, 𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ℎ
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑙í𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥, 𝑦 ℎ, 𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ℎ
𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝑙í𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ℎ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
ℎ
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Primer Orden(Generalización)
De manera mas general si “w” es función de “n variables” 𝑤 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, . . , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛
𝑓𝑥𝑖 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑖
= 𝑙í𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖 ℎ,… , 𝑥𝑛 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛)
ℎ
La derivada parcial 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 es la pendiente 
de la tangente a la curva 𝐶1 en el punto “P”
Equivalentemente
Es la razón de cambio de “z respecto a x” 
cuando “y” permanece constante
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Primer Orden(Interpretación geométrica)
Notaciones: 𝑓𝑥 ;
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
;
𝜕𝑧
𝜕𝑥
;
𝜕𝑓
𝜕𝑥
; 𝑓𝑦 ;
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
;
𝜕𝑧
𝜕𝑦
;
𝜕𝑓
𝜕𝑦
La derivada parcial 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 es la pendiente 
de la tangente a la curva 𝐶2 en el punto “P”
Equivalentemente
Es la razón de cambio de “z respecto a y” 
cuando “x” permanece constante
• S: z = f (x, y) ; f (a, b) = c
• P(a, b, c) ∈ S.
• 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐶1: 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 𝑏 ∩ 𝑆
• La Curva 𝐶1 esta definida por:
g(x) = f (x, b) 
• La pendiente de la tangente 𝑻𝟏 en P
es: 𝑔, 𝑎 = 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)
𝐶2: ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑎, 𝑦 → ℎ
´ 𝑏 = 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Primer Orden(Interpretación geométrica)
Ejemplo: Derivadas Parciales de Primer Orden(Silla de Montar)
-5
,0 -4
,5 -4
,0 -3
,5 -3
,0 -2
,5 -2
,0 -1
,5 -1
,0 -0
,5 0
,0 0
,5 1
,0 1
,5 2
,0 2
,5 3
,0 3
,5 4
,0 4
,5 5
,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
-5
,0
-4
,0
-3
,0
-2
,0
-1
,0
0
,0
1
,0
2
,0
3
,0
4
,0
5
,0
X
Z
Y
𝑺: 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒛 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐
 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =
𝜕 𝑥2−𝑦2
𝜕𝑥
= 𝑥
𝑧 = 𝑓(𝑥, ) = 𝑥2 = 𝑔 𝑥 (parábola convexa)
𝑧 = 𝑓 , 𝑦 = 𝑦2 = ℎ 𝑦 (parábola cóncava)
𝑃 = ( , , )  𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =
𝜕 𝑥2−𝑦2
𝜕𝑦
= y
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑥 = ; 𝑦 = → 𝑧 = 𝑓 , = → 𝑃 = , , 
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 
Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales 𝑓𝑥; 𝑓𝑦 son también
funciones de dos variables, de modo que a su vez podemos considerar sus derivadas parciales:
𝑓𝑥 𝑥 ; 𝑓𝑥 𝑦 ; 𝑓𝑦 𝑥 ; 𝑓𝑦 𝑦
que se llaman segundas derivadas parciales de f.
 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
 𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
(Primero se deriva respecto a “x”, en
segundo lugar respecto a y)
 𝑓𝑦 𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
(Primero se deriva respecto a “y”, en
segundo lugar respecto a x)
 𝑓𝑦 𝑦
= 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Segundo Orden
Ejemplo: Derivadas Parciales de Segundo Orden(Silla de Montar)
-5
,0 -4
,5 -4
,0 -3
,5 -3
,0 -2
,5 -2
,0 -1
,5 -1
,0 -0
,5 0
,0 0
,5 1
,0 1
,5 2
,0 2
,5 3
,0 3
,5 4
,0 4
,5 5
,0
-25,0
-20,0
-15,0
-10,0
-5,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
-5
,0
-4
,0
-3
,0
-2
,0
-1
,0
0
,0
1
,0
2
,0
3
,0
4
,0
5
,0
X
Z
Y
𝑺: 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒛 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐
 𝑓𝑦 =
𝜕 𝑥2−𝑦2
𝜕𝑦
= y
( , , )
 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕𝑓𝑥
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑥
𝜕𝑦
= 
 𝑓𝑥 =
𝜕 𝑥2−𝑦2
𝜕𝑥
= 𝑥
 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕𝑓𝑦
𝜕𝑥
=
𝜕−2𝑦
𝜕𝑥
= 
 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕𝑓𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑥
𝜕𝑥
= 
 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕𝑓𝑦
𝜕𝑦
=
𝜕−2𝑦
𝜕𝑦
= 
 Las derivadas parciales de orden superior pueden ser de orden mayor o igual a 2
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Orden Superior
 Para una función z = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , las funciones, 
𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑖
, son las derivadas 
parciales de primer orden
 Notar que en general las funciones 
𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑖
, son funciones de 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, por lo 
que también podemos obtener sus derivadas (si es que existen)

𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑖
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝑖
2( de orden 2) ; 
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑗
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
( de orden 2 cruzada)

𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝑖
2 =
𝜕3𝑧
𝜕𝑥𝑖
3( de orden 3) ; 
𝜕
𝜕𝑥𝑘
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
=
𝜕3𝑧
𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
( de orden 3 cruzada)
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Segundo Orden
Teorema de CLAIRAUT (YOUNG)(SCHUARZ)
Las condiciones de existencia y de continuidad de la derivadas parciales
cruzadas son suficientes para afirmar la igualdad de ellas
Sea 𝑓: 𝐴 ⊂ ℜ𝑛 → ℜ con dominio A abierto, tal que existen las derivadas 
cruzadas de segundo orden y son continuas
Entonces para cualquier punto 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, se cumple que:
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛
Para el caso bivariado:
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑎, 𝑏 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑎, 𝑏
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales –PLANO TANGENTE
Caso dos variables
En la medida que nos acercamos a un 
punto sobre la superficie de una función 
derivable de dos variables
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
la superficie se parece más y más a un 
plano, su plano tangente, así entonces es 
posible aproximarse a la función mediante 
una función lineal de dos variables.
Caso una variable:
En la medida que nos acercamos a un punto
de la gráfica de una función derivable:
𝒚 = 𝒇(𝒙)
la gráfica se vuelve indistinguible desde su
línea tangente y puede aproximarse a la
función mediante una función lineal.
𝑓 𝑎 𝑓´(𝑎)(𝑥 𝑎) ≈ 𝑓(𝑥)
(𝑎, 𝑓(𝑎)
𝒚 = 𝒇 𝒙
𝒛 𝒄 = 𝒛𝒙 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒙 𝒂 𝒛𝒚 𝒂, 𝒃 ∗ (𝒚 𝒃)
𝑐 = 𝑓(𝑎, 𝑏)
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales –PLANO TANGENTE
 𝑧𝑥 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕(2𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑥
= 4𝑥 → 𝒛𝒙 𝟏, 𝟏 = 4
Ejemplo
La ecuación del plano tangente al paraboloide 𝑧 = 𝑥2 𝑦2 en el punto (1,1,3), esta dado
por:
𝒛 = 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑
 𝑧𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕(2𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑦
= 𝑦 → 𝒛𝒚 𝟏, 𝟏 = 
Ya que:
𝒛 𝟑 = 𝟒 𝒙 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 ↔ 𝒛 = 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑Por lo tanto:
PLANO TANGENTE: Aproximación Lineal a la función z
Ecuación plano tangente de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto (a, b, f (a, b)) es:
A la función lineal cuya gráfica es este plano tangente:
𝒛 = 𝒇 𝒂, 𝒃 𝒇𝒙
´ 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒙 𝒂 𝒇𝒚
´ 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒚 𝒃
𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝒂, 𝒃 𝒇𝒙
´ 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒙 𝒂 𝒇𝒚
´ 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒚 𝒃
Se le llama "𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒇 𝒆𝒏 (𝒂, 𝒃)"
Se llama aproximación lineal o aproximación del plano tangente de f en (a, b).
𝒇(𝒙, 𝒚) ≈ 𝒇 𝒂, 𝒃 𝒇𝒙
´ 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒙 𝒂 𝒇𝒚
´ 𝒂, 𝒃 ∗ 𝒚 𝒃
PLANO TANGENTE: Aproximación Lineal a la función z
El plano tangente a una superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en un punto P es el plano que más 
se aproxima a dicha función cerca del punto P.
Para el ejemplo precedente, vimos que el plano tangente en el punto P(1,1,3) a la 
superficie definida por la función 𝑧 = 𝑥2 𝑦2, esta dado por la función lineal
𝒛 = 𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑
Esta función Lineal de dos variables L(x, y) es una buena aproximación a:
𝑓 𝑥, 𝑦 , cuando 𝑥, 𝑦 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 (1,1) f(𝒙, 𝒚) ≈ 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑
Punto (1.1,0.95) cercano al punto (1,1)
𝑓 1.1, .95 =∗ 1.12 .952 = 𝟑. 𝟑𝟐𝟐𝟓 ; 𝐿 1.1, .95 = 4 ∗ 1.1 ∗ .95 3 = 𝟑. 𝟑𝟎𝟎𝟎 ≈ 𝟑. 𝟑𝟐𝟐𝟓
Buena aproximación
Punto (2,3) lejano al punto (1,1)
𝑓 ,3 = ∗ 2 32 = 17 ; 𝐿 ,3 = 4 ∗ ∗ 3 3 = 𝟏𝟏 ≉ 𝟏𝟕
Mala aproximación
Aproximación Lineal a la función z: DIFERENCIALES
Sea z = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función de dos variables, supongamos que: 
𝑥 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒: 𝑎 → 𝑎 ∆𝑥 ; 𝑦 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒: 𝑏 → 𝑏 ∆𝑦
⇓
El incremento correspondiente a z esta dado por:
∆𝑧 = 𝑓 𝑎 ∆𝑥, 𝑏 ∆𝑦 𝑓(𝑎, 𝑏)
∆𝑧 representa el cambio del valor de la función “f” cuando 𝑥, 𝑦 , pasa de:
𝑎, 𝑏 → 𝑎 ∆𝑥, 𝑏 ∆𝑦
Definición
Sea z = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función de dos variables, entonces “f” es 
DIFERENCIABLE en 𝑎, 𝑏 , 𝑠𝑖 ∆𝑧 se puede expresar de la siguiente forma:
∆𝑧 = 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 ∗ ∆𝑥 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 ∗ ∆𝑦 𝜀1 ∗ ∆𝑥 𝜀2 ∗ ∆𝑦
Donde: 𝜀1 𝑦 𝜖2 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ∆𝑥, ∆𝑦 → , 
Aproximación Lineal a la función z: DIFERENCIALES
Teorema
Si las derivadas parciales 𝑓𝑥; 𝑓𝑦 existen cerca de (a, b) y son continuas en (a, b), 
entonces f es diferenciable en (a, b).
La definición precedente, establece que una función “f” es diferenciable en 𝑎, 𝑏
cuando para puntos 𝑥, 𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 la aproximación lineal es una 
buena aproximación de la función “f”
En otras palabras, cuando cerca del punto de tangencia, el plano tangente esta 
muy aproximado a la gráfica de “f”.
El teorema precedente proporciona una condición suficiente y práctica para 
establecer que una función “f” es diferenciable
Aproximación Lineal a la función z: DIFERENCIALES
Ejemplo
Demuestre que 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥𝑦 es diferenciable en (1, 0) y determine su 
linealización en dicho punto. Luego úsela para aproximar f (1.1, -0.1)
 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑥𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥𝑦 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 ; 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑥𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑦
= 𝑥2𝑒𝑥𝑦
 𝑓𝑥 1, = 𝑒
1∗0 1 ∗ 𝑒1∗0 = 1 ; 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 1
2𝑒1∗0 = 1
 𝑓𝑥 ; 𝑓𝑦 son continuas en el punto (1,0), ∴ por el teorema precedente 
 𝐿 𝑥, 𝑦 = 𝑓 1, 𝑓𝑥 1, ∗ 𝑥 1 𝑓𝑦 1, ∗ 𝑦 = 𝑥 𝑦
 𝑥𝑒𝑥𝑦 ≈ 𝑥 𝑦 ⇒ 𝑓 1.1, .1 = 1.1 .1 = 1 ≈ .9854 = 1.1𝑒−1.1∗0.1
DIFERENCIAL TOTAL (caso dos variables)
Para una función diferenciable 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), se definen las diferenciales
𝒅𝒙 ; 𝒅𝒚 como variables independientes, es decir, pueden tomar cualquier valor
Entonces la diferencial 𝑑𝑧, conocida como la Diferencial Total, esta dada por:
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑑𝑥 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∗ 𝑑𝑥 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∗ 𝑑𝑦
Si consideramos: 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 𝑥 𝑎 ; 𝑑𝑦 = ∆𝑦 = 𝑦 𝑏 Entonces 
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ (𝑥 𝑎) 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ (𝑦 𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑓𝑥
´ 𝑎, 𝑏 ∗ 𝑥 𝑎 𝑓𝑦
´ 𝑎, 𝑏 ∗ 𝑦 𝑏
Por lo tanto, en la aproximación lineal del plano tangente: 
Se puede afirmar que: 𝒇 𝒙, 𝒚 ≈ 𝒇 𝒂, 𝒃 𝒅𝒛
DIFERENCIAL TOTAL (caso tres variables)
 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
 Aproximación Lineal:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≈ 𝑓 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∗ (𝑥 𝑎)+𝑓𝑦 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∗ (𝑦 𝑏)+𝑓𝑧 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∗ (𝑧 𝑐)
 Incremento: ∆𝑤 = 𝑓 𝑎 ∆𝑥, 𝑏 ∆𝑦, 𝑐 ∆𝑧 𝑓 𝑎, 𝑏, 𝑐
 Diferencial: 𝑑𝑤 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥+𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦+𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑑𝑧
Si: 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 𝑥 𝑎 ; 𝑑𝑦 = ∆𝑦 = 𝑦 𝑏 ; ∆𝑧 = 𝑧 𝑐 Entonces 
 𝑑𝑤 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑥 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑦 𝑏 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ (𝑧 𝑐)
 Aproximación Lineal: 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 ≈ 𝒇 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒅𝒘
DIFERENCIAL TOTAL (Ejemplo: caso dos variables)
a) Si 𝑧 = 𝑥2 3𝑥𝑦 𝑦2, determine la diferencial total 𝑑𝑧
b) Si x cambia de 2 a 2.05, e , y pasa de 3 a 2.96, compare los valores ∆𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑧
Por otra parte: 
 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑑𝑥 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 = 𝑥 3𝑦 𝑑𝑥 3𝑥 𝑦 𝑑𝑦
𝑆𝑖 𝑥 = , 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = . 5 ; 𝑦 = 3, ∆𝑦 = . 4 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
 𝑑𝑧 = ∗ 3 ∗ 3 ∗ . 5 3 ∗ ∗ 3 ∗ . 4 = .65
 ∆𝑧 = 𝑓 𝑎 ∆𝑥, 𝑏 ∆𝑦 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑓 . 5,3 . 4 𝑓 ,3 =
 . 52 3 ∗ . 5 ∗ . 4 .962 2 3 ∗ ∗ 3 .962 = .6449
 Aproximación: ∆𝑧 = .6449 ≈ .65 = dz (𝑑𝑧 es más fácil de calcular)
 La derivada parcial
𝜕𝑧
𝜕𝑥
, mide la razón de cambio de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en el
sentido del “eje x”, cuando “y” permanece constante, es decir vectorialmente en el
sentido del vector unitario Ƹ𝒊. Ƹ𝒊 = 𝟏, 𝟎
 La derivada parcial
𝜕𝑧
𝜕𝑦
, mide la razón de cambio de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en el
sentido del “eje y”, cuando “x” permanece constante, , es decir vectorialmente en
el sentido del vector unitario Ƹ𝒋. Ƹ𝒋 = 𝟎, 𝟏
1.3. Derivadas Direccionales; Dos Variables
Ahora recordaremos la llamada derivada direccional, que permite calcular la 
razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección.
Supongamos que ahora queremos encontrar la razón de cambio de z en el punto
𝑥0, 𝑦0 , en la dirección de un vector unitario arbitrario ො𝑢 = 𝑎, 𝑏
Definición
La derivada direccional de f en 𝑥0, 𝑦0 en la dirección de un vector unitario
ො𝑢 = 𝑎, 𝑏 esta dada por:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥0 ℎ𝑎, 𝑦0 ℎ𝑏 𝑓 𝑥0, 𝑦0
ℎ
Asumiendo que este límite existe.
Nótese que las derivadas parciales, son casos particulares de derivadas
direccionales: Si ො𝑢 = Ƹ𝑖 → 𝐷𝑖𝑓 = 𝑓𝑥; 𝑆𝑖 ො𝑢 = Ƹ𝑗 → 𝐷𝑗𝑓 = 𝑓𝑦
Teorema
Si f es una función derivable en x e y, entonces f tiene una derivada direccional en
la dirección de cualquier vector unitario ො𝑢 = 𝑎, 𝑏 , dada por:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑏
1.3. Derivadas Direccionales; Dos Variables
1.3. Ejemplo: Derivada Direccional
Obtenga la derivada direccional de la función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 3𝑥𝑦 4𝑦2, en el
sentido del vector unitario dado por el ángulo 𝜃 =
𝜋
6
= 3 °
𝟑𝟎°
1
𝑺𝒆𝒏𝟑𝟎°
Cos𝟑𝟎°
𝟑
𝟐
.
𝟏
𝟐
 𝑓𝑥 = 3𝑥
2 3𝑦 ; 𝑓𝑦 =8y-3x
 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑏
 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 → ො𝑢 = 1; ∀𝜃
Ya que: 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥
2 3𝑦 ∗ 𝐶𝑜𝑠3 ° 5𝑦 3𝑥 ∗Sen30°
Por ejemplo: 𝐷𝑢𝑓 1, = 3 ∗ 1
2 3 ∗ ∗
3
2
 8 ∗ 3 ∗ 1 ∗
1
2
=
13−3 3
2
𝑥
𝑦
1.3. Derivada Direccional y Vector Gradiente
Nótese que según teorema, se tiene que la derivada direccional esta dada por:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑏
La cual se puede expresar como el producto punto de dos vectores:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑏 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ∙ ෝ𝒖
Definición
Si 𝑓:ℜ2 → ℜ, entonces se define al gradiente de f como la función vectorial
dada por: 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 = 𝜵𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 , 𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
Ƹ𝒊 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
Ƹ𝒋
Nótese que el gradiente es un vector en ℜ2
1.3. Derivada Direccional y Vector Gradiente
En base al vector gradiente, podemos expresar la derivada direccional como:
 𝒖𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝜵𝒇(𝒙, 𝒚) ∙ ෝ𝒖
Esta expresión nos indica que la derivada direccional de 𝒇(𝒙, 𝒚), en la 
dirección de un vector unitario ෝ𝒖, esta dada por la proyección escalar del 
vector gradiente sobre el vector unitario ෝ𝒖
𝑢
Ԧ𝑣 = 𝛻𝑓
𝜃
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 Ԧ𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢 Ԧ𝑣
𝐴𝐶
Ԧ𝑣
= 𝑢 𝐴𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
Si Ԧ𝑣 = 𝛻𝑓 𝑦 𝑢 = ො𝑢, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 = 1
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝐴𝐶 = 𝑃𝑟𝑜𝑦 𝛻𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ො𝑢=𝐷𝑢𝑓
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝛻𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ො𝑢 = 𝐷𝑢𝑓
Determine la derivada direccional de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 4𝑦 en el punto
(2, -1) en la dirección del vector 𝑢 = Ƹ𝑖 5 Ƹ𝑗.
1.3. Ejemplo: Derivada Direccional
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 4𝑦 → 𝑓𝑥 = 𝑥𝑦
3 → 𝑓𝑥 , 1 = -4
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 4𝑦 → 𝑓𝑦 = 3𝑥
2𝑦2 4 → 𝑓𝑦 , 1 = 8
• Por lo tanto 𝛻𝑓 , 1 = 4,8 = 4 Ƹ𝑖 8 Ƹ𝑗
• Como 𝑢 = Ƹ𝑖 5 Ƹ𝑗 no es vector unitario y 𝑢 = 4 5 = 9 entonces
• ො𝑢 =
𝑢
𝑢
=
2
29
,
5
29
=
2
29
Ƹ𝑖 
5
29
Ƹ𝑗
• Por lo tanto: 𝐷𝑢𝑓 , 1 = 4,8 ∙
2
29
,
5
29
=
32
29
1.3. Ejemplo: Derivada Direccional
𝟐. 𝟏
 𝟐. 𝟕
𝜵𝒇 𝟐, 𝟏 = 𝟒, 𝟖
𝒖 = 𝟐 Ƹ𝒊 𝟓 Ƹ𝒋 ; 𝒖 = 𝟐𝟗 = 𝟓. 𝟑𝟗
𝟒. 𝟒
𝐷𝑢𝑓 , 1 =
3 
 9
= 5.94
La derivada direccional de 𝑓(𝑥, 𝑦), en la dirección de un 
vectorunitario ො𝑢, esta dada por la proyección escalar del 
vector gradiente sobre el vector unitario ො𝑢
Nótese que si el vector unitario ො𝑢 se considerara en la misma dirección del vector 
gradiente, entonces el valor absoluto 𝐷𝑢𝑓 es máximo (Proyección sobre si mismo)
1.3. Derivadas Direccionales; Tres Variables
Definición
La derivada direccional de f en 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 en la dirección de un vector unitario
ො𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 esta dada por:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓 𝑥0 ℎ𝑎, 𝑦0 ℎ𝑏, 𝑧0 ℎ𝑐 𝑓 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0
ℎ
Asumiendo que este límite existe.
Nótese que las derivadas parciales, son casos particulares de derivadas
direccionales: Si ො𝑢 = Ƹ𝑖 → 𝐷𝑖𝑓 = 𝑓𝑥; 𝑆𝑖 ො𝑢 = Ƹ𝑗 → 𝐷𝑗𝑓 = 𝑓𝑦; 𝑆𝑖 ො𝑢 = 𝑘 → 𝐷𝑘𝑓 = 𝑓𝑧
Teorema
Si f es una función derivable en x e y, entonces f tiene una derivada direccional en
la dirección de cualquier vector unitario ො𝑢 = 𝑎, 𝑏 , dada por:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑏 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑐
1.3. Derivada Direccional y Vector Gradiente
Entonces:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑎 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑏 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∗ 𝑐
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦. 𝑧 , 𝑓𝑧𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑎, 𝑏, 𝑐
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦. 𝑧 , 𝑓𝑧𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ ො𝑢
Definición
Si 𝑓:ℜ3 → ℜ, entonces se define al gradiente de f como la función vectorial dada por:
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 = 𝜵𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚, 𝒛 , 𝒇𝒚 𝒙, 𝒚, 𝒛 , 𝒇𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
Ƹ𝒊 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
Ƹ𝒋 
𝝏𝒇
𝝏𝒛
෡𝒌
Nótese que el gradiente es un vector en ℜ3
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜵𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∙ ො𝑢
1.3. Derivada Direccional y Vector Gradiente
Teorema
Supongamos que f es una función derivable de dos o tres variables.
 El valor máximo de la derivada direccional 𝐷𝑢𝑓 es el valor absoluto del
gradiente, esto es: 𝛻𝑓
 Dicho valor máximo se obtiene cuando ො𝑢 posee la misma dirección que el
vector gradiente 𝛻𝑓
𝛻𝑓
𝐴
𝐵
𝐵,
𝐵,,
𝐶Las derivadas direccionales son la 
proyecciones del gradiente sobre ො𝑢
𝜃
En la medida que 𝜃 → °
Las proyecciones van aumentando 
en valor absoluto, hasta su máximo 
valor 𝛻𝑓
𝒍𝒊𝒎𝜽→𝟎 ⇒ 𝑨𝑩 → 𝑨𝑪 = 𝜵𝒇